15.3.1分式方程
初中数学人教版八年级上册《15.3.1分式方程》课件
子拆成分母与1的和，分别除以分母，消去分子中的未知数，然落后
行求解.
例如： x -1 (x - 2) 1 1 1 .
x-2 x-2
x-2
解： 原分式方程可化为：
(x - 2) 1 (x - 8) 1 (x - 4) 1 (x - 6) 1
x-2
x-8
x-4
x-6
即 1 1 1 1 ，移项，得 1 1 1 1.
摸索，下列不是整式方程的有哪些？
（1）2x+5=7
（2）9x-5
（3）6y+1>2y
（5）4x+3y=3 （7）2 2 5
x
（4）7-2=5 （6）x 2x 5
3 （8）x=4
不是整式方程的有：（2）、（3）、（4）、（7）
1、了解分式方程的概念，能判定一个等式是不是分式方程； 掌控解分式方程的步骤. 2、能熟练运用解分式方程的步骤进行运算.
130 70 40 v 40 - v
x-2 x 1 32
1、是方程； 2、分母中含有未知数.
1、是方程； 2、分子中含有未知数，分母中不含有未知数.
你能想到解形如左边方程的方法吗？
知识点1 分式方程
分式方程的概念：分母中含未知数的方程叫做分式方程.
分式方程必须满足的条件：（1）是方程；（2）含有分母；（3）分母中含有 未知数.三者缺一不可.
x2 -1
x 1
解：方程两边同乘(x+1)(x-1)，得4+x2-1=(x-1)2， 解得：x=-1. 检验：当x=-1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=-1不是原分式方程的解. 所以原分式方程无解.
分式方程的常数项“1”也要乘以最简公分母(x+1)(x-1).
15.3.1分式方程及其解法
求a的取值范围． 【思路点拨】解关于 x 的分式方程→根据解是正数 (即大于零)列出关于字母a的不等式→解不等式,确定 a的(x－2),得2x＋a＝2－x,
2a ． 解得 x＝ 3 2a 2a ＞0，且 2． 由题意,得 3 3 2a 2a ＞0， 由 解得a＜2；由 得a≠－4． 2， 3 3
解得:x=50经检验x=50是原方程的解
则甲工程队每天能完成绿化的面积是
50×2=100(m2) 答:甲,乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2,50m2.
过程展示
解:(2)设至少应安排甲队工作x天,根据题意得:
1800 100x 0.4x+ ∙0.25≤8, 50
解得:x≥10 答:至少应安排甲队工作10天．
× √
√) (×)
知识运用
一.分式方程的定义及解法 例1.(2013·资阳中考)解方程: 【教你解题】
x 2 1 ＋ ＝ . 2 x －4 x 2 x－2
解:
去分母
方程两边都乘以(x+2)(x-2), 得:x+2(x-2)=x+2. 解这个方程,得:x=3. 经检验,x=3是原方程的解
解整式方程
方法提示
分式方程无解的“两种情况”: 分式方程无解时分式方程化为整式方程后有 以下两种情况: (1)整式方程有解但这个解不是原分式方程的解； (2)分式方程化为整式方程后整式方程无解.
中考链接
(2014年∙广东汕尾)某校为美化校园,计划对面积为 1800m2的区域进行绿化,安排甲,乙两个工程队完成. 已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿 化的面积的2倍,并且在独立完成面积为400m2区域的 绿化时,甲队比乙队少用4天. (1)求甲,乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多 少 m2 ？ (2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元,乙队 为0.25万元,要使这次的绿化总费用不超过8万元,至少 应安排甲队工作多少天？
八年级数学上册 15.3 分式方程 15.3.1 分式方程教案 (新版)新人教版
课题 15.3.1 分式方程 授课类型 新课
能解可化为一元一次方程的分式方程，能根据具体问题中的数量关系 课标依据 列出方程（分式方程），体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
1．了解分式方程的概念． 2．掌握分式 方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会 知识与 技能 检验一个数是不是原方程的增根． 3．理解产生增根的原因，从而加深对验根的必要性的认识．
教学 重点 难点 教学 难点 理解解分式方程时产生增根的原因．
教学
师生活动
设计意图
过程 设计
一、创设情境，实例引入
通过问题导
教师活动：从本章引言中的航行问题说起，引导学生从分析入手， 引，从知识的 列出分母中含未知数的方程，为归纳出分式方程的概念，探索分式方 程的解法做准备。 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/小时，它沿江以 最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千 米所用时间相等，江水的流速为多少？ 学生活动：充分思考后各抒己见 分析：设江水的流速为 v 千米/时，根据“两次航行所用时间相 同”这一等量关系，得到方程 二、归纳定义，抓住关键 分式方程定义： 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 注意：分母是否含有末知数是区别分式方程与整式方程的关键。 练习：下列关于 X 的方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 不论是情景问 题的解决还是 方程的完善， 都能让学生顺 其自然地感受 到分式方程 发展所需和实 际问题的解决 所求，
得到整式方程 并解得 v 5 ，当 v 5 时， (20 v)(20 v) ≠0，去 分母时方程两边同乘了一个不为0的式子，所得整式方程的解与分式 方程的解相同。
1 10 2 两 边 同 乘 ( x 5)(x 5) ， 得 到 整 式 方 程 并 解 得 x 5 x 25
新人教版八年级上册数学15.3.1分式方程优质课件
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归纳
知1－导
•
90 60① .
30 v 30 v
• 方程①的分母中含未知数v ，像这样分母中含
•未知数的方程叫做分式方程.
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知1－讲
例1 判断下列方程是不是分式方程：
2x 3
3
4
x2
1
1
(1)
8;(2) ;(3) 1;(4)
400 x
400 160
1 20% x
18
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知2－练
1
(中考·乌鲁木齐)九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一
部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，
结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求
骑车学生的速度．设骑车学生的速度为x km/h，则所列方C程正确 的是( )
200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每 B
个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是( )
200 350 C. x x 3
B.
D.
200 350 x x3
200 350 x3 x
200 350 x3 x
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知2－练
3
(中考·辽阳)从甲地到乙地有两条公路，一条是全长450公里的普
总结
知1－讲
•(1)分式方程的两个特点： • ①方程中含有分母；②分母中含有未知数． •(2)分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的
• 根本区别，是区分分式方程和整式方程的依据．
•(3)整式方程和分式方程统称为有理方程．
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八年级数学人教版(上册)15.3.1分式方程及其解法(共25张PPT)
探究新知
在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中 出现的不适合于原方程的根 .
特征：增根使最简公分母为零 判断方法：验根时把整式方程的根代入最简公分母
交流讨论
问题1：产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？
分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分 式方程一定要验根！
问题2：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？
否为零？
方程的解
例题解析
方程两边同乘以x(x-3)，得 2x=3(x-3)
解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
解得x=-2. 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2) =0. 因此x=-2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解.
x = -2 时， 分式方程 的分母为
当堂达标
C
C
C C
C
x=3是增根，原分式方程无解 .
去分母时，原方程的整式部分漏乘． 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 忘记检验 . 注意去括号时前面的负号 .
例题解析
课堂小结：
说能出你这节课的收获和体验让大家与
你分享吗？
解分式方程的步骤
①去分母 ： 化分式方程为整式方程 . 即把分式方 程两边同乘以最简公分母 . ②解这个整式方程 . ③检验 ：把整式方程的解 ( 根 ) 代入最简公分母， 若结果为 0 ，则必须舍去，否则，它是原方程的 根. ④写结论 .
将x=0代入得3× (0-1)+6×0=0+k . 解得k=-3 . 将x=1代入得3× (1-1)+6×1=1+k . 解得k=5. 所以k=-3或k=5
新人教版八年级上《15.3.1分式方程(二)》导学案
15.3.1 分式方程(二)【学习目标】1.进一步了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根.3．理解“增根”和“无解”不是一回事.【学习重点】：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根.【学习难点】：掌握“增根”和“无解”不是一回事【知识准备】：【自主探究文】【探究一】解分式方程 .⑴11122x x =-- ⑵ 214111x x x +-=--【探究二】X 为何值时，代数式xx x x 231392---++的值等于2？【探究三】利用增根的性质解题。
若分式方程424-+=-x a x x 有增根，求a 的值【探究四】理解“增根”和“无解”.（一）已知分式方程有增根，确定字母系数的值。
例1.当a 为何值时，关于x 的方式方程349332+=-+-x x ax x 有增根？归纳:解决此类问题的一般步骤是：（1）把分式方程化为 方程；（2）求出使最简公分母为 的x 的值；（3）把x 的值分别代入整式方程，求出字母系数的值。
（二）已知分式方程无解，确定字母系数的值。
例2 若关于X 的分式方程132323-=-++--xmx x x 无解，求出m 的值。
【自测自结】1、方程2332x x =--的解是 ， 2、若x =2是关于x 的分式方程2372a x x +=的解，则a 的值为 3、解方程①2373226x x +=++ ②2512552x x x +=+-③3233x x x =--- ④ 2211566x x x x =+-++4.如果关于x 的方程7766x m x x --=--有增根，则增根为 ， 5.分式方程()2933x x x x x =+--出现增根，那么增根一定是( ) A ．0 B ．3 C ．0或3 D ．1通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑呢？。
15.3.1分式方程(第2课时) 说课稿 2022-2023学年人教版八年级数学上册
15.3.1 分式方程（第2课时）说课稿一、课程背景本节课是2022-2023学年人教版八年级数学上册的第15章第3节的第1课时，主要内容是分式方程的解法。
在之前的学习中，学生已经学习了分式的相关知识和要点，本节课通过引入分式方程，帮助学生进一步理解和应用分式的概念。
二、教学目标1.知识与能力：–掌握分式方程的基本概念和解法；–能够独立解决简单的分式方程问题。
2.过程与方法：–培养学生的分析和解决问题的能力；–培养学生合作学习的精神。
3.情感态度与价值观：–培养学生良好的数学学习态度，提高学生的数学兴趣；–培养学生的合作意识和团队精神。
三、教学重难点1.教学重点：–理解分式方程的概念和性质；–掌握分式方程的解答方法和技巧。
2.教学难点：–能够独立分析和解决复杂的分式方程问题。
四、学情分析学生已经学习了分式的基本知识和运算技巧，对分式有一定的理解和应用能力。
但在分式方程的解法上，还存在一定的困惑和不熟练的情况。
因此，本节课需要通过一些练习和实例来帮助学生巩固和扩展他们在分式方程解法上的能力。
五、教学过程1. 导入新知识通过一个简单的例子引入分式方程的概念，比如：小明和小红一起做作业，已知小明做作业的速度是小红的两倍，如果小明一个小时完成了1/3的作业量，问小红一个小时能完成多少作业量？2. 讲解与展示•介绍分式方程的定义和表示方法；•讲解分式方程的解答方法；•展示一些例子，引导学生理解和应用分式方程的解法。
3. 练习与讨论分成小组进行以下练习并进行讨论： 1. 一个人的速度是另一个人的3倍，两个人一起工作2小时能完成的工作量是1/4，问两个人各自独立工作3小时能完成的工作量分别是多少？ 2. 甲、乙两个水果摊位上午各摆出苹果30个，下午各摆出橙子20个，已知苹果的单价是橙子的2倍，当日销售额为120元，问苹果和橙子各自的单价分别是多少？4. 拓展应用给学生提供一些拓展应用的问题，鼓励他们自主思考和解决，比如：通过分式方程解决实际生活中的问题。
15.3.1分式方程
【分式方程的解】
60 100 上面两个分式方程中，为什么 20+V = 20-V 去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而 10 去分母后得到的整式方程的解却不 1 x-5 = x2-25 是原分式方程的解呢？ 我们来观察去分母的过程 60 两边同乘(20+v)(20-v)100(20-v)=60(20+v) 100 20+V = 20-V当v=5时,(20+v)(20-v)≠0 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与 分式方程的解相同. 两边同乘(x+5)(x-5) 10 1 x+5=10 = 2 x -25 当x=5时, (x+5)(x-5)=0 x-5 分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使 分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解
解分式分式方程的一般思路 去分母 分式方程 整式方程
两边都乘以最简公分母
【解分式方程】
10 1 解分式方程 x-5 = x2-25 解： 在方程两边都乘以最简公分母(x+5)(x-5)得， x+5=10 解这个整式方程，得x=5 检验:把x = 5 代入原方程中，发现x-5和x2-25的 值都为０，相应的分式无意义，因此x=5虽是方 程x+5=10的解，但不是原分式方程 1 = 10 x-5 x2-25 的解．实际上，这个分式方程无解．
1. 什么叫做一元一次方程? 2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1)3x 5 3
(3)x x 5
2
( 2 )x 2 y 5 x x1 ( 4) 1 2 3
3. 请解上述方程(4).
【问题】
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它
沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间, 与以最
15.3.1 分式方程 人教版八年级学上册课后习题(含答案)
第1课时 分式方程一、能力提升1.若关于x 的分式方程x x +2=m +1x +2无解,则m 的值为( )A.-3B.-2C.0D.32.方程2x +3=1x -1的解为( )A.x=3B.x=4C.x=5D.x=-53.已知关于x 的分式方程m x -5=1,则下列说法正确的是( )A.方程的解是x=m+5B.m>-5时,方程的解是正数C.m<-5时,方程的解是负数D.无法确定4.若关于x 的方程2x +a x -1=1的解是正数,则a 的取值范围是( )A.a>-1B.a>-1,且a ≠0C.a<-1D.a<-1,且a ≠-25.已知x=1是关于x 的分式方程1x +1=3k x 的解,则实数k 的值是 . 6.分式方程2x +13-x =32的解是 .7.当x= 时,分式x x -5与另一个分式x -6x -2的倒数相等.8.已知使分式3x +5x -1无意义的x 的取值是关于x 的方程53m -2x ―12m -x =0的解,则m 的值是 . 9.解关于x 的分式方程:(1)2x +2x ―x +2x -2=x 2-2x 2-2x ;(2)x -2x +2-1=16x 2-4.10.已知关于x 的分式方程k x +1+x +k x -1=1的解为负数,求k 的取值范围.★11.已知关于x 的方程ax a +1―2x -1=1的解与方程x +4x =3的解相同,求a 的值.二、创新应用★12.阅读:对于两个不相等的非零实数a ,b ,若分式(x -a )(x -b )x 的值为零,则x=a 或x=b.又因为(x -a )(x -b )x =x 2-(a +b )x +ab x=x+ab x -(a+b ),所以关于x 的方程x+ab x =a+b 有两个解,分别为x 1=a ,x 2=b.应用上面的结论解答下列问题:(1)关于x 的方程x+p x =q 的两个解分别为x 1=-2,x 2=3,则p= ,q= ;(2)关于x 的方程x+-2x =3的两个解分别为x 1=a ,x 2=b ,求a 4+b 4的值;(3)关于x 的方程2x+n 2+n -22x +1=2n 的两个解分别为x 1,x 2(x 1<x 2),求2x 1+12x 2-2的值.一、能力提升1.A 去分母,得x=m+1.由已知分式方程无解,得x+2=0,解得x=-2.把x=-2代入x=m+1,解得m=-3.2.C 2(x-1)=x+3,2x-2=x+3,x=5,将x=5代入(x+3)(x-1),得(x+3)(x-1)≠0,故选C .3.C 当m=0时,x=m+5不是方程的根;m=0>-5,但此时方程无解;当m<-5时,x=m+5<0为方程的解.4.D 解方程2x +a x -1=1,得x=-a-1.∵方程的解是正数,且分母不为0,∴-a -1>0,-a -1≠1,解得a<-1,且a ≠-2.5.166.x=1 去分母得4x+2=9-3x ,解得x=1,经检验,x=1是分式方程的解,故答案为x=1.7.10 由题意,得x x -5=x -2x -6,解得x=10.经检验,x=10是原方程的解.8.37 由分式3x +5x -1无意义,知x=1.代入方程,得53m -2―12m -1=0,解得m=37.9.解(1)去分母,得(2x+2)·(x-2)-x (x+2)=x 2-2,解得x=-12.经检验,x=-12是原方程的解.所以原方程的解是x=-12.(2)去分母,得(x-2)2-(x 2-4)=16,去括号,得x 2-4x+4-x 2+4=16,移项、合并同类项,得-4x=8,系数化为1,得x=-2.检验:当x=-2时,(x+2)(x-2)=0.所以x=-2不是原方程的解.所以原方程无解.10.解去分母,得k (x-1)+(x+k )(x+1)=(x+1)(x-1),整理,得(2k+1)x=-1.因为已知方程的解为负数,所以2k+1>0,且x ≠±1,即2k+1>0,且2k+1≠1,且2k+1≠-1,解得k>-12,且k ≠0,故k 的取值范围为k>-12,且k ≠0.11.解方程x +4x =3的解为x=2,将x=2代入ax a +1―2x -1=1中,得2a a +1―22-1=1,解得a=-3.经检验,a=-3满足题意.二、创新应用12.解(1)依题意,p=-2×3=-6,q=-2+3=1.(2)依题意,ab=-2,a+b=3,所以a 4+b 4=(a 2+b 2)2-2a 2b 2=[(a+b )2-2ab ]2-2(ab )2=[32-2×(-2)]2-2×(-2)2=161.(3)2x+n 2+n -22x +1=2n 可变形为2x+1+(n -1)(n +2)2x +1=n-1+n+2,则2x+1=n-1或2x+1=n+2,即x=n -22或x=n +12.因为x 1<x 2,所以x 1=n -22,x 2=n +12,所以2x 1+12x 2-2=n -2+1n +1-2=1.。
人教版八年级上册数学15.3.1《探究分式方程的解法》教学设计
人教版八年级上册数学15.3.1《探究分式方程的解法》教学设计一. 教材分析人教版八年级上册数学15.3.1《探究分式方程的解法》是分式方程部分的第一节内容。
本节内容主要让学生掌握分式方程的解法，并且能够运用解法解决实际问题。
教材通过引入分式方程的概念，引导学生探究分式方程的解法，从而培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了分式的相关知识，对分式的概念、性质和运算有一定的了解。
但学生对分式方程的理解和应用能力还较弱，需要通过本节课的学习，进一步巩固分式的知识，提高解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法。
2.能够运用解法解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的概念，分式方程的解法。
2.难点：运用解法解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究分式方程的解法。
2.使用案例分析法，让学生通过解决实际问题，巩固分式方程的解法。
3.采用小组合作交流法，培养学生的团队合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题，用于引导学生探究和解决问题。
2.准备多媒体教学设备，用于展示和分析案例。
3.准备学生的学习资料，包括教材和相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生进入本节课的主题。
2.呈现（15分钟）展示分式方程的概念和性质，引导学生理解分式方程的意义。
3.操练（20分钟）让学生通过解决实际问题，运用分式方程的解法，培养学生的解决问题的能力。
4.巩固（10分钟）对学生在操练过程中遇到的问题进行讲解和解答，帮助学生巩固分式方程的解法。
5.拓展（10分钟）引导学生思考分式方程在实际问题中的应用，提高学生解决问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调分式方程的概念和解法。
7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，巩固学生对分式方程的掌握。
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例题解析
பைடு நூலகம்
100 60 例1、解方程： 20 v 20 v
例题解析
例2、解方程：
2 4 2 x 1 x 1
归纳
解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘最简公分 母，约去分母，化成整式方程；――化整 （2）解这个整式方程；――解整 （3）把整式方程的根代入最简公分母，看 结果是不是零，使最简公分母为零的根是原 方程的增根，必须舍去。——验根
15.3.1 分式方程
导入
【1】解方程：
x 2 2x 3 1 4 6
【2】问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时， 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以 最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流 速为多少？
100 60 20 v 20 v
自研
课堂练习
（2）
x 1 2x (2) 0 x 1 1 2x
7 1 6 (3) 2 2 2 x x x x x 1
x 1 (4) 1 2 x2 x 4
知识拓展
3 2 x 2 mx （5）若关于x的方程 1(m 1) x 3 3 x
有增根，求m的值。
课堂小结
（1）什么是分式方程？ （2）解分式方程的一般步骤； （3）什么是增根？
作业：《乐学》
方程 是我们以前学过 的一元一次方程吗？ 阅读课本P149 ～ 151页，思考下 列问题： （1）什么是分式方程？解分式方程的 基本思想是什么？ （2）解分式方程为什么必须检验？
100 60 20 v 20 v
演练
1、什么是分式方程？
2、下列各式是分式方程的有（ x 7 x 15 (1) 8 ; 3 2 1 1 ( 2)x ( x 1) ； 3 6 8 x 8 (3) 2 ; x 1 x 1 2 ( 4) 3． x 1 ）