7-7-1 容斥原理之重叠问题(一).教师版
容斥原理之最值问题
7-7-5.容斥原理之最值问题教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B(其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．1．先包含——A+B重叠部分A I B计算了2次，多加了1次；包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，1．先包含：A+B+C重叠部分A I B、B I C、C I A重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A+B+C-A I B-B I C-A I C在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲【例1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
著名机构二年级数学春季讲义第7讲重叠问题提高
1. 有两块木板，一块长 72 厘米，另一块长 56 厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块木板，重叠 部分是 20 厘米.求钉成后的木板长多少厘米？
重叠问题
在一个由 30 人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种 或者几种．其中有 10 个人爱喝红茶，12 人不爱喝红茶却爱喝绿茶．请问： 只爱喝花茶的有多少人？
【答案】只爱喝花茶的有： 30 10 128 （人）．
附加题
某班共有 46 人，参加美术小组的有 12 人，参加音乐小组的有 23 人，有 5 人两个小组都参加了．这 个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？ 【例题分析】本例已知全班总人数，求出参加了美术或音乐小组的人数，那么只需用全班总人数减去
【拓展选讲】
学校乐器队按计划招收了 42 名新学员，会拉小提琴的有 27 人，会弹电子琴又 会拉小提琴的有 16 人，两项都不会的有 1 人．会弹电子琴的有多少人？
【例题分析】学校乐器队按计划招收了 42 名新学员，两项都不会的有 1 人，那么有 41 名同学会一项 或者两项都会．如图，会拉小提琴的有 27 人，这 27 人里面包含了会弹电子琴又会拉小 提琴的 16 人，所以只会拉小提琴的有 27 16 11（人）．那么会拉电子琴的有 41 11 30 （人），这其中包括只会拉电子琴的和两项都会的．
重叠问题
第七讲
第七讲
重叠问题
第四级下 重叠问题
第三级下 排队趣题 （二年级秋季第十二讲）
第八级上 包含与排除 （四年级寒假第六讲）
三年级上册数学重叠问题
三年级上册数学重叠问题一、引言在小学数学学习中，三年级上册数学是一个承上启下的阶段，对于学生后续数学学习具有重要意义。
其中，重叠问题是一个相对较难但非常重要的知识点。
本文将通过具体案例，深入探讨三年级上册数学重叠问题的概念、解题方法和应用场景，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。
二、重叠问题的概念重叠问题是指两个或多个集合元素同时属于两个或多个集合的情况。
在三年级上册数学中，常见的重叠问题包括容斥原理、两堆物体等问题。
这类问题需要学生们能够准确识别元素的重叠情况，并运用适当的数学原理进行求解。
三、解题方法1. 列举法：对于简单的重叠问题，可以通过列举法直接求解。
例如，有两个盒子，其中一个盒子中有3个红球和2个白球，另一个盒子中有2个红球和3个黑球。
求至少有一个红球但颜色未知的球的总数。
通过列举，我们可以得到共有5个球。
2. 容斥原理：容斥原理是一种常用的解题方法，适用于两个集合之间存在重叠的情况。
通过将重叠元素的个数加到两个集合的并集元素个数上，再减去重复计算的部分，可以求出最终结果。
例如，有5个男生和3个女生参加了数学竞赛，问至少有一个男生参加竞赛的学生人数。
根据容斥原理，至少有一个男生参加竞赛的学生人数为5+3-1=7人。
3. 画图法：对于较复杂的问题，可以通过画图来帮助理解。
通过将重叠部分用阴影标出，可以直观地看到元素的分布情况，从而快速找到答案。
四、应用场景重叠问题在日常生活和工作中也经常出现，如运动会报名、志愿者招募等。
学生们可以通过解决重叠问题培养逻辑思维和判断能力，为未来的学习和工作打下基础。
例如，在志愿者招募中，如果有两个志愿者团队同时申请了一些职位，就需要用到重叠问题的知识来计算最终的招募结果。
又如，在超市购物时，需要计算会员卡同时属于两种会员类型的人数，从而决定是否给予优惠。
五、总结三年级上册数学重叠问题是一个相对较难但非常重要的知识点，需要学生们认真理解和掌握。
通过列举法、容斥原理等解题方法，我们可以解决各种类型的重叠问题。
2020年部编版小学奥数容斥原理之最值问题
小学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．知识要点教学目标7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
六年级奥数-重叠问题
第十二讲重叠问题姓名容斥原理就是：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
公式法：运用容斥原理一：C＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题（C表示两个集合的并集，A、B表示两个集合，AB表示两个集合的交集）。
运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合的有关问题。
（D表示三个集合的并集，A、B、C表示三个不同的集合，AB、AC、BC表示两个不同集合的交集，ABC表示三个集合的交集）图象法：根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题。
例1：某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？例2：某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛。
那么（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）参加竞赛的一共有多少人？（3）没有参加竞赛的一共有多少人？例3：某校有三个兴趣小组，体育、书法和美术。
已知参加这三个兴趣小组的学生人数分别是25人、24人和30人。
同时参加体育、书法兴趣小组的有5人，同时参加体育、美术兴趣小组的有2人，同时参加书法、美术兴趣小组的有4人，有1人同时参加了这三个兴趣小组，问：共有多少人参加兴趣小组？例4：某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。
而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人，喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。
问有多少同学只喜欢语文？例5：分母是1001的最简真分数有多少个？它们的和是多少？例6：某商店调查该商店出售的A、B两种商品销售情况，在被调查的家庭对象中，有1/3不用A商品，有4/7不用B商品，另外有22家既用A商品也用B商品，有1/6的家庭则两种产品都没有用，问该商店共调查了多少户家庭？例7：某班学生中78%喜欢游泳，80%喜欢玩游戏机，84%喜欢下棋，88%喜欢看小说。
(最新整理)专题八：容斥原理
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学生姓年级四年级名专题八：容斥问题称教学目1、了解容斥原理；2、会求两个量和三个量的容斥问题标教学重容斥问题点教学过程专题八：容斥问题一、两量重叠问题容斥问题涉及到一个重要原理-—包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复的计数,应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对 n 个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），Na Nab Nb那么具有性质a的事物的个数 = Na；具有性质b的事物的个数 = Nb;具有性质a或性质b的事物的个数 = Na + Nb－Nab。
具有性质a不具有性质b的事物的个数 = Na－Nab；具有性质b不具有性质a的事物的个数 = Nb－Nab；例题学习【例1】一个旅行社,每人至少会一种外语，其中会英语的有24人，会俄语的有18人,两种都会的有4人，旅行社总共有多少人？举一反三1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人,有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？2、某班上体育课,全班排成4列（每列人数相等)，小芳排的位置是：从前面数第6个，从后面数第7个，这个班共有多少名学生？3、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？例题学习【例2】四（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人,做完数学作业的有40人。
两种作业都做完的有多少人？举一反三1、五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人?2、某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？3、博达一天中，四、六年级有95人参加学习，上午学习的有45人，上午和下午都学习的有24人，下午有多少人在博达学习?例题学习【例3】某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。
小学奥数7-7-5 容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析
1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
小学奥数 容斥原理之数论问题 精选例题练习习题(含知识点拨)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．7-7-4 容斥原理之数论问题在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．【答案】53【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=(个)．【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．【答案】67【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个；B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】43例题精讲【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n 与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a ）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
4尖子 第12章 容斥原理1
第12章容斥原理1知识装备生活中计算事物数目时常常会遇到重复的数目，那么直接相加的结果比实际数目大了，要把重复计算过的数目减去才是实际数目，这样的数学问题被称为重叠问题（或容斥问题），解决重叠问题需要用到容斥原理。
解答容斥问题首先要确定采用怎样的分类标准，找到重复的事物及重复的次数，再运用容斥原理进行解题，解题时可根据题意画出示意图帮助思考。
容斥原理一：当两个计数事物数目有重复时，为了不重复地计数，应从他们的和中减去重复部分。
如果用A和B分别表示两个计数事物的数目，用AB表示他们重复的数目，则有：总数＝A＋B－AB。
容斥原理二：如果采用三种不同的分类标准，用A、B、C分别表示三种分类事物的数目，用AB、BC、AC和ABC分别表示他们重复的数目，则有总数＝A＋B ＋C－（AB＋BC＋AC）＋ABC。
初级挑战1学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有25人，会弹电子琴的有19人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？思路引领：根据题意，画出图如下：手风琴电子琴都会的由图可知：文艺组的总人数＝（）＋（）－（）。
答案：共有：25＋19－8＝36（人）。
能力探索11、四（1）班学生每人至少参加体育队或者文艺队中的一个队，参加体育队的有32人，参加文艺队的有27人，两个队都参加的有8人，四（1）班共有多少人？答案：32＋27－8＝51（人）。
2、某班有44人，参加美术组的有30人，参加故事组的有25人，每人至少参加一个小组，这个班两个兴趣小组都参加的有多少人？答案：30＋25－44＝11（人）初级挑战2如图所示，两个长方形部分重叠在一起，根据图中数据，计算非阴影部分的面积。
思路引领：要求非阴影部分的面积，可分别求出每个图形空白部分的面积，再加起来。
答案：非阴影部分的面积：3×5＋2×3－1×2－1×2＝17。
能力探索2 如下图，两个边长分别是5厘米和2边长为1厘米的小正方形，求：（1）此图形所能覆盖的面积。
2014年暑假 三年级 精英班 第12讲 重叠问题 教师版
第十二讲 重叠问题知识要点：重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。
解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图（韦恩图），借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
1、当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。
2、当三个计数部分重叠时，可以从单项和中减去双项重叠部分，再加上三项重叠部分，得出总数。
一、基础应用：【例1】 学校组织三年级(4)同学去听报告，小虎的座位从左向右数是第18个，从右向左数是第13个。
请问这一排座位共有多少个？【解析】 由于从左向右数与从右向左数,小虎被算了两次，去掉一次即可。
故这一排座位共有 1813130+-=（个）。
【例2】 三(3)班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，王华的位置从前数是第4个，从后数是第6个；从左数、从右数都是第3个。
三(3)班共有学生多少人？【解析】 每列有人 4619+-=（人），每行有人3315+-=（人），因此三(3)班共有学生9545⨯=（人）。
【例3】 按要求回答下列问题，每两段中间重叠部分都是6厘米。
（1）若两张一样的纸条粘合成更长的纸条长30厘米，两张纸条原来各有多长？（2）若7张一样的纸条粘合成更长的纸条长118厘米，7张纸条原来各有多长？【解析】 （1）两张纸条原来各长 (306)218+÷=（厘米）；（2）7张纸条的总长度为118(71)6154+-⨯=（厘米），每张纸条长154722÷=（厘米）。
【例4】 为了迎接六一儿童节，学校组织了长跑和游泳两项比赛，每个人至少参加一个项目。
已知三年级(2)班的同学参加运动会的情况是：有28人参加长跑比赛，有25人参加游泳比赛，两项都报名的有10人，请问三年级(2)班共有多少同学参加运动会？【解析】 我们可画下列的韦恩图：通过图不难得出，三(2)班参加运动会的同学有 28251043+-=（人）。
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教学目标
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
A
B
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 3 题 【解析】 阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐 【答案】数学、音乐
【例 2】 四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报： 13.那么该班有学生______________名。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】 已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，
就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组 的总人数为12 23 5 30 (人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是 46 30 16 (人)．
30 20 42 8 (人)． ⑵ 只写完语文作业的人数 写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即 30 8 22 (人)．
【答案】 22 人
【巩固】四（1）班有 46 人，其中会弹钢琴的有 30 人，会拉小提琴的有 28 人，则这个班既会弹钢琴又会拉
小提琴的至少有
人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空
来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C A B (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类 的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A 类、 B 类、 C 类的元 素个数．用符号表示为： A B C A B C A B B C A C A B C ．图示如下：
则阴影部分表示的数是
。
7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库
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A
B
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 4 题 【解析】阴影部分是 A 和 B 共有的，即 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3×5＝15 整除的数，即 15，30，45 【答案】15 ， 30 ， 45
7-7-1 容斥原理之重叠问题（一）.题库
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图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数， 大圆表示 C 的元素的个数．
1．先包含： A B C
重叠部分 A B 、 B C 、 C A 重叠了 2 次，多加了1 次．
2．再排除： A B C A B B C A C 在解答有关包含排除问题时，我们常常利重用叠圆部圈分图A(韦 恩B 图C)来重帮叠助了分3析次思，考但．是在进行 A B C
【关键词】希望杯，四年级，二试，第 6 题
【解析】至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有 46-34=12 人
【答案】12 人
【例 4】 如图，圆 A 表示 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3 整除的数，圆 B 表示这 50 个数中能被 5 整除的数，
部分表示两项都不会的人数． 由图中可以看出，全班人数 至少会一项的人数 两项都不会的人数，至少会一项的人数为： 20 25 10 35 (人)，全班人数为： 35 9 44 (人)．
【答案】 44 人
【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有 32 人，参加军棋比赛的有 28 人，有18 人两项比赛都 参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？
【答案】16 人
【巩固】四年级一班有 45 人，其中 26 人参加了数学竞赛， 22 人参加了作文比赛， 12 人两项比赛都参加 了．一班有多少人两项比赛都没有参加？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是： 26 22 12 36 (人)，所以，两项比赛都没有参
用式子可表示成： A B A B A B (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”
读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下: A 表示小圆
部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．图示如下: A 表示小圆 部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．
【答案】 6 人
【例 9】 对全班同学调查发现，会游泳的有 20 人，会打篮球的有 25 人．两项都会的有10 人，两项都不会的 有 9 人．这个班一共有多少人？
一一 一一 一一 一一 一一 一一一
一
一一一一一一
【考点】两量重叠问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图，用长方形表示全班人数， A 圆表示会游泳的人数， B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影
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加数学兴趣小组的人，有 28 12 16 (人)；图中 B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参 加语文兴趣小组的人，有 29 12 17 (人)． 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16 12 17 45 (人)． 方法二：根据包含排除法，直接可得：
【答案】 21 人
【例 7】 全班 50 个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28 人有直尺，有三角板的人中，男生是 14 人， 若已知全班共有女生 31 人，那么有直尺的女生有____人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 8 题 【解析】有三角板的学生共 50-28=22（人），其中女生 22-14=8（人），那么有直尺的女生有 31-8=23
加的人数为： 45 36 9 (人)．
【答案】 9 人
【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有 10 人，能表演跳舞的有 18 人，两种都能表演的有 7 人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：10 18 7 21 (人)．
【答案】 21 人
【巩固】四(二)班有 48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有 30 人，写完数学作业的有 20 人，语文 数学都没写完的有 6 人． ⑴ 问语文数学都写完的有多少人？ ⑵ 只写完语文作业的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】⑴ 由题意，有 48 6 42 (人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：
1．先包含—— A B
重叠部分 A B 计算了 2 次，多加了1 次；
2．再排除—— A B A B 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A、B 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合 A、B 的元素个数，然后加把起多来加，了即1 次先的求重A叠部B (分意A思是B把减A去、．B 的一切元素都“包含”进
参加语文或数学兴趣小组的人 参加语文兴趣小组的人 参加数学兴趣小组的人 两个小 组都参加的人，即： 28 29 12 45 (人)． 【答案】 45 人
【巩固】 芳草地小学四年级有 58 人学钢琴， 43 人学画画， 37 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画 的分别有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象
两量重叠问题
例题精讲
A B B C A C 计算时都被减掉了． 3．再包含： A B C A B B C A C A B C ．
【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳 绳。用圆 A、圆 B 分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示________。
与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义． 如图， A 圆表示学画画的人， B 圆表示学钢琴的人， C 表示既学钢琴又学画画的人，图中 A 圆不含 阴影的部分表示只学画画的人，有： 43 37 6 (人)，图中 B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人， 有： 58 37 21(人)．
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 2 题 【解析】该班学生人数为：18 13 1 30 （名）。 【答案】 30 名
【例 3】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，有12 人两个小 组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
【考点】两量重叠问题 【难度】Fra bibliotek 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4 年级，第 5 题
【解析】 321 429 50 23 723 人 【答案】 723 人
【例 6】 某班共有 46 人，参加美术小组的有12 人，参加音乐小组的有 23 人，有 5 人两个小组都参加了．这 个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】如图所示， A 圆表示参加语文兴趣小组的人， B 圆表示参加数学兴趣小组的人， A 与 B 重合的部分
C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中 A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参