春七年级数学下册2.1.2幂的乘方与积的乘方第1课时幂的乘方习题(新版)湘教版【含解析】
七年级下册数学第二课幂的乘方与积的乘方
一、概述乘方是数学中常见的概念，它在代数运算中起着重要作用。
在本文中，我们将讨论乘方的概念及其相关性质。
首先我们将介绍乘方的定义，然后我们将讨论幂的乘方以及积的乘方的运算规律。
二、乘方的定义乘方是指将一个数称为“底数”，另一个数称为“指数”，并将底数连乘指数次得到的结果。
其数学表示为a^n，其中a为底数，n为指数，n表示连乘的次数。
2^3=2*2*2=8。
三、幂的乘方幂的乘方指的是将同一底数的幂连乘起来。
其数学表示为(a^m)^n，其中a为底数，m和n为指数，表示连乘的次数。
幂的乘方的运算规律为(a^m)^n=a^(m*n)。
(3^2)^3=3^(2*3)=3^6=729。
四、积的乘方积的乘方指的是将多个不同底数的积连乘起来。
其数学表示为(a*b)^n，其中a和b为不同底数，n为指数，表示连乘的次数。
积的乘方的运算规律为(a*b)^n=a^n*b^n。
(2*3)^4=2^4*3^4=16*81=1296。
五、乘方的性质1. 乘方的分配律：对于任意底数a和b，以及任意指数m和n，都有(a*b)^n=a^n*b^n。
2. 乘方的乘法法则：对于任意底数a，b和指数n，有(a^n)*(b^n)=(a*b)^n。
3. 乘方的幂法则：对于任意底数a和指数m，n和k，有(a^m)^n=a^(m*n)，(a^m)^n=a^(m/n)。
4. 乘方的0次幂：对于任意非零数a，a^0=1。
5. 乘方的负指数：对于任意非零数a和负整数n，a^(-n)=1/(a^n)。
六、习题1. 计算以下乘方：a) 2^5b) (3^2)^4c) (4*5)^32. 按照乘方的性质，计算以下乘方：a) 2^3 * 2^4b) (3*4)^53. 证明乘方的乘法法则。
七、结论乘方是代数运算中常见的概念，它具有一系列的运算规律和性质。
通过学习乘方的概念及其运算规律，我们可以更加灵活地进行数学运算，并解决实际问题中的计算需求。
八、参考资料1. 《数学七年级下册》，人民教育出版社。
幂的乘方与积的乘方(第1课时)教学课件北师大版中学数学七年级(下)
533 =（53）11 = 12511
∴ 444 ＞355 ＞ 533
比较底数大于1的幂的大小的方法有两种： (1)
底数相同，指数越大，幂就越大；
(2)指数相同，底数越大，幂就越大.
课堂小结
1、幂的乘方的法则
语言叙述： 幂的乘方，底数不变，指数相乘
符号叙述：( a m ) n a mn (、都是正整数）
6.若3=3，求（3）4的值.
解：（ )4 =34 =81
+ 3
2
7.已知 =2, =3,求
的值.
+
解：
=
（）2 ·（）3 = 22× 33 =4×27=108
随堂训练
拓展练习
比较 355，444，533 的大小。
解： ∵ 355 =（35）11 = 24311
(1)13·7=（ 20）=( 4 )5=( 5 )4=( 2 )10
(2) =( )2 =( 2) （为正整数）
知识讲授
例3
已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m； (2)102n； (3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27.
第 一 章整式的乘除
第一章 整式的乘除
1.2
幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
学习目标
1.经历探索幂的乘方运算性质的过程，进一步体
会幂的运算的意义.（重点）
2.掌握幂的乘方的运算性质.（难点）
新课导入
地球、木星、太阳可以近似地看作是球体，木星、太阳的半径分
别约是地球的10倍和102 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
七年级下册数学幂的乘方、积的乘方
幂的乘方、积的乘方知识点：幂的乘方法则细节剖析（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.知识点：积的乘方法则通过上述计算结果，你有什么发现？.(())=m n p mnp a a 0≠a ,,m n p ()()nmmnm n aaa ==细节剖析（1）公式的推广： (为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 知识点：注意事项（1）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（2）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （3）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （4）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】【考点 幂的乘方运算】例题：计算：()322a a --⋅=___________．【变式训练】计算：（1）23523()()x x x x ⋅+--． （2）()()322323a a a a a ⋅⋅++【考点 幂的乘方的逆用】例题：若3m a =，5n a =，则2m n a +=______． 【变式训练】1．若23m =，325n =，则532n m +=___________ 2．若104x =，103y =，则210x y +=___________．【考点 积的乘方运算】例题：计算：4342··2a a a a -+-（）（）．【变式训练】1．计算：273342x x x x x．()=⋅⋅n n n n abc a b c n ()nn n a b ab =1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．计算：(1)26243(2)(3)xy x y -+-； (2)4574482()5()()x x x x x -+-；【考点 积的乘方的逆用】例题：计算：(1)已知2528322n n ⋅⋅=，求 n 的值；(2)已知 n 是正整数，且32n x =，求3223(3)(2)n n x x +-的值．【变式训练】1．（1）算一算，再选“<、>或=”填空：①2(35)⨯_________2235⨯；②[]2(2)3-⨯_________22(2)3-⨯．（2）想一想：()n ab =____________． （3）利用上述结论，求20222021(8)0.125-⨯．2．若(0,1,m n a a a a m n =>≠、都是正整数），则m n =，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果32232x ⋅=，求x 的值； (2)如果212216x x ++-=，求x 的值；(3)若53,25m m x y =-=-，用含x 的代数式表示y ．【当堂检测】1．在下列运算中，计算正确的是（ ） A ．（﹣a ）2•（﹣a ）3＝﹣a 6 B ．（ab 2）2＝a 2b 4C ．a 2+a 2＝2a 4D ．（a 2）3＝a 52. 下列运算中，正确的有（ ）（1）210.2()15⨯-=；（2）445222+=（3）2(3)9--= （4）200720081()101010-⨯=-． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．计算（﹣0.2）2021×52021的结果是（ ） A ．﹣0.2B ．﹣1C ．1D ．﹣54．已知4n ＝3，8m ＝5，则22n +3m ＝（ ） A ．1B ．2C ．8D ．155．已知3m +2n ﹣3＝0，则23m ×4n 的值是（ ）A ．−18B ．18C ．﹣8D ．86．计算﹣（3x 3）2的结果是（ ） A ．9x 5B ．9x 6C ．﹣9x 5D ．﹣9x 67．若（x a y b ）3＝x 6y 15，则a ，b 的值分别为（ ） A ．2，5B ．3，12C ．5，2D ．12，38．已知443a =，552b =，334c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >>二、填空题9．﹣x •（﹣x ）4＝ ，（﹣3a 2b 3）3＝ ． 10．若k 为正整数，则(k +k +⋯+k ︸k 个k)k = ．11．已知x ＝2n +3，y ＝4n +5，用含字母x 的代数式表示y ，则y ＝ ． 12．已知2m ＝a ，32n ＝b ，m ，n 为正整数，则25m +10n ＝ ． 13．已知3x ＝m ，3y ＝n ，用m 、n 表示33x +4y ﹣5×81x +2y 为 ． 14. 已知3x﹣3•9x ＝272，则x 的值是 ___．15. 定义：三角形＝ab •ac ，五角星＝z •（xm •yn ），若＝4，则的值＝三、解答题 16．计算：（1）（﹣x ）9•x 5•（﹣x ）5•（﹣x ）3． （2）()()()332222223x x x x -+-+⋅ （3）()()423424()()2a a a a a -⋅⋅--+-17．根据已知求值：（1）已知a m ＝2，a n ＝5，求a 3m +2n 的值； （2）已知3×9m ×27m ＝321，求m 的值．18．（1）若10x ＝3，10y ＝2，求代数式103x +4y 的值． （2）已知：3m +2n ﹣6＝0，求8m •4n 的值．【思维拓展】 阅读材料，解决问题． 材料一：比较223和114的大小． 解：因为()1111222422==，而32>，所以222232>，即122134>．小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较82和28的大小．解：因为()2236822==，而86>，所以8622>，即8228>．小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． （1）比较443，334，225的大小： （2）比较3181，4127，619的大小．2. 探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（）23﹣22＝ ＝2（）， 24﹣23＝ ＝2（）， ……（1）请仔细观察，写出第4个等式； （2）请你找规律，写出第n 个等式； （3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．【课后巩固】1.若53x =，32y =，则156用,x y 表示为（ ） A ．xyB ．1515x yC ．53x yD ．35x y2. 计算（0.5×105）3×（4×103）2的结果是（ ） A ．13210⨯ B ．140.510⨯C ．21210⨯D ．21810⨯3. 20192019×(−12019)2020= ． 4. 若a m ＝6，a n ＝2，则a m +2n 的值为 ． 5. 若()23310a b +++=，则20212020a b ⋅=______．6. 已知2,32,,m n a b m n ==为正整数，则4102=m n +_____ 7．计算：（1）（﹣2x 2）3+（﹣3x 3）2+（x 2）2•x 2 （2）（m ﹣1）3•（1﹣m ）4+（1﹣m ）5•（m ﹣1）28. ①若2m a =，3n a =，求2m n a +的值． ②已知22n x =，求3222(3)4()n n x x -的值．9.（1）已知430m n +-=，求216m n 的值．（2）已知n 为正整数，且24n x =，求3222()2()n n x x -的值．10. 某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据a m =b ，知道a 、m 可以求b 的值.如果知道a 、b 可以求m 的值吗？他们为此进行了研究，规定：若a m =b ，那么T (a,b )=m.例如34=81，那么T (3,81)=4． (1)填空：T (2,64)= ； (2)计算：T (13,27)+T (−2,16)；(3)探索T (2,3)+T (2,7)与T (2,21)的大小关系，并说明理由．11. 规定两数a ，b 之间的一种运算，记作（a ，b ）：如果a c＝b ，那么（a ，b ）＝c ． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（﹣2，﹣8）＝ ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x ，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n ∴3x ＝4，即（3，4）＝x ， ∴（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． （4，5）+（4，6）＝（4，30）。
七年级下数学《幂的乘方与积的乘方》典型例题及习题
例 1 计算：（1） ； （2）
；（5）
；（6）
例 2 计算
； （3）
例 3 计算： (1) (2)
(用两种方法计算) ； (用两种方法计算) 。
例 4 用简便方法计算：
（1）
；（2）
；（3）
。
例 5 已知
，求
的值。
；（4） 。
参考答案 例 1 分析：看清题意，分清步骤，注意运用幂的运算性质。
）
A．1
B.-1
C.0
D.1 或-1
5，已知 P=（-ab ） ，那么-P 的正确结果是（
）
A.a b
B.-a b
C.-a b
D.- a b
6，计算（-4×10 ） ×（-2×10 ） 的正确结果是（
）
A．1.08×10
B.-1.28×10
C.4.8×10
D.-1.4×10
7，下列各式中计算正确的是（
解：（1）
=
；
（2）
；
（3）
。
例 5 分析：直接比较 ， 和 无法实现，可设法把它们的指数变成
相同的数字，∵
，所以把原来三个幂变成
，
，
进而比较底数的大小。
解：∵
，
，
，
显然
∴
。
说明：当指数较大时，无法计算幂的数值时，可借助学过的幂的性质把原式 化简。
1.4 幂的乘方与积的乘方
1，下列各式中，填入 a 能使式子成立的是（ ）
5.
=__________.
6.
=_________,
=_____.
7.若
,则 =_______,
(湘教版)七年级数学下册：2.1.2《幂的乘方与积的乘方》教学设计
(湘教版)七年级数学下册：2.1.2《幂的乘方与积的乘方》教学设计一. 教材分析《幂的乘方与积的乘方》是湘教版七年级数学下册第2章第1节的内容。
本节课主要让学生掌握幂的乘方与积的乘方的计算法则，并能灵活运用这些法则解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和巩固幂的乘方与积的乘方的概念和运用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘方，对幂的概念和计算方法有一定的了解。
但部分学生可能对幂的乘方与积的乘方的计算法则理解不透彻，运用不够灵活。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导。
三. 教学目标1.理解幂的乘方与积的乘方的概念和计算法则。
2.能够运用幂的乘方与积的乘方的计算法则解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.幂的乘方与积的乘方的计算法则。
2.如何运用幂的乘方与积的乘方的计算法则解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过分析案例，让学生理解和掌握幂的乘方与积的乘方的计算法则；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关例题和练习题。
3.教学素材和教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“如何计算幂的乘方和积的乘方？”引发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现幂的乘方与积的乘方的计算法则，并用简洁的语言进行解释。
3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的例题，并进行讲解和分析。
引导学生运用幂的乘方与积的乘方的计算法则解决问题。
4.巩固（10分钟）让学生分组合作，完成一些类似的练习题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
5.拓展（10分钟）提出一些实际问题，让学生运用幂的乘方与积的乘方的计算法则进行解决。
引导学生将所学知识运用到实际生活中。
6.小结（5分钟）让学生总结幂的乘方与积的乘方的计算法则，以及解题思路和方法。
《2.1.2幂的乘方与积的乘方》作业设计方案-初中数学湘教版12七年级下册
《幂的乘方与积的乘方》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 巩固学生对于幂的基本概念的理解，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则。
2. 提升学生的数学运算能力和逻辑思维能力。
3. 培养学生自主学习的能力和团队合作的精神。
二、作业内容《幂的乘方与积的乘方》的作业内容主要围绕以下三个部分展开：1. 基础练习：布置一系列关于幂的乘方和积的乘方的计算题，题目难度由浅入深，旨在让学生熟练掌握幂的运算法则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方等。
2. 应用题练习：设计一些实际生活中的应用题，让学生运用所学知识解决实际问题，如利用幂的运算法则计算面积、体积等。
3. 探究性学习：引导学生通过小组合作，自主探究幂的乘方与积的乘方的更深层次含义，例如让学生探究不同底数幂的乘方规则，或者探究幂的乘方在日常生活中的应用等。
三、作业要求1. 基础练习部分要求学生独立完成，并保证计算过程和结果的准确性。
2. 应用题练习部分要求学生结合实际生活情境，运用所学知识解决问题，并记录解题过程。
3. 探究性学习部分要求学生以小组为单位进行，鼓励学生在探究过程中互相合作、交流，记录探究过程和结果，并尝试提出自己的见解和疑问。
4. 作业需在规定时间内完成，并按时提交。
四、作业评价1. 对学生的作业进行批改，评价学生在基础练习和应用题练习部分的正确性和解题思路。
2. 对学生在探究性学习部分的合作精神、探究能力和创新思维进行评价。
3. 对学生的作业给予及时反馈，指出学生在作业中存在的问题和不足，并给出改进建议。
五、作业反馈1. 将学生的作业情况进行总结和分析，针对普遍存在的问题进行讲解和指导。
2. 对表现优秀的学生进行表扬和鼓励，激发学生的学习积极性和自信心。
3. 将学生的探究性学习成果进行展示和交流，让学生互相学习和借鉴。
4. 根据学生的作业反馈，及时调整教学策略和教学方法，提高教学效果。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是使学生熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则，能够灵活运用这些法则解决实际问题，并培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
七年级数学下册第一章整式的乘除1、2幂的乘方与积的乘方第1课时幂的乘方习题新版北师大版 (1)
18．根据已知求值： (1)已知 2·4n·16n＝219，求 n 的值．
解：由已知，得 2·4n·16n＝219，故 2·22n·24n＝219， 故 1＋2n＋4n＝19，解得 n＝3.
(3)[(－m)2]4·m3. [(－m)2]4·m3＝(m2)4·m3＝m8·m3＝m11.
8．幂的乘方与同底数幂的乘法的混合运算：先算_幂__的__乘__方_____， 再算__同__底__数__幂__的__乘__法______.
9．逆用法则法：amn＝(am)n＝(an)m(m，n 都是正整数)．如 a6 可
写成( A )
A．(a2)3
B．(a4)2
C．(a3)3
D．(a2)4
10．(2020·宜昌)数学讲究记忆方法，如计算(a5)2 时若忘记了法则， 可以借助(a5)2＝a5×a5＝a5＋5＝a10，得到正确答案．你计算(a2)5 －a3×a7 的结果是___0_____．
11．若 m，n 均为正整数，且 2m·2n＝32，(2m)n＝64，则 mn＋m ＋n 的值为( B ) A．10 B．11 C．12 D．13
ห้องสมุดไป่ตู้
D．a2·a3＝a5
5．若(a3)2＝64，则 a 等于( C )
A．2
B．－2
C．±2
D．以上都不对
6．化简 a4·a2＋(a3)2 的结果是( C )
A．a8＋a6
B．a6＋a9
C．2a6
D．a12
7．计算： (1)－1323； 解： －1323＝－132×3＝－136＝7129；
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1
2.1.2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
基础题
知识点 幂的乘方
1．(宿迁中考)计算(－a3)2的结果是(D)
A．－a5 B．a5 C．－a6 D．a6
2．在下列括号中应填入m4的是(B)
A．m12＝( )2 B．m12＝( )3
C．m12＝( )4 D．m12＝( )6
3．下列各式的计算结果是a6的是(C)
A．(x2)4 B．(x4)2
C．(x2)3 D．(－x2)3
4．式子22·(22)3的计算结果用幂的形式表示正确的是(B)
A．27 B．28 C．210 D．212
5．a3m＋1可写成(D)
A．a3m＋a B．a3·am＋a
C．(am)3＋a D．(am)3·a
6．计算2m·4n的结果是(D)
A．(2×4)m＋n B．2·2m＋n
C．2n·2mn D．2m＋2n
7．计算：
(1)(－a5)4·(－a2)3；
解：原式＝a20·(－a6)
＝－a26.
(2)(－x2)5＋(－x5)2；
解：原式＝－x10＋x10
＝0.
(3)a·a2(－a)3＋a2·a(－a)3；
解：原式＝－a6－a6
＝－2a6.
(4)81m×27m－92×9m×35m－4.
解：原式＝34m×33m－34×32m×35m－4
＝37m－37m
＝0.
中档题
8．计算(－a3)2＋(－a2)3的结果为(D)
A．－2a6 B．－2a5 C．2a6 D．0
9．已知a＝－(32)2，b＝(－32)2，c＝(23)4，d＝(22)6，则下列判断正确的是(C)
A．a＝b，c＝d B．a＝b，c≠d
C．a≠b，c＝d D．a≠b，c≠d
10．若ax＝2，ay＝3，则a2x＋y＝12．
11．若x＝3m＋2，y＝27m－8，则用x的代数式表示y为(x－2)3－8．
解析：因为x＝3m＋2，所以3m＝x－2，所以y＝(3m)3－8＝(x－2)3－8.
12．计算：
2
(1)(－a2)3·(－a4)2；
解：原式＝－a6·a8＝－a14.
(2)2(－a3)4＋3(－a2)6；
解：原式＝2a12＋3a12＝5a12.
(3)－22(x3)2·(x2)4－(x2)5·(x2)2；
解：原式＝－4x6·x8－x10·x4
＝－4x14－x14
＝－5x14.
13．根据已知条件求值．
(1)已知3×9m×27m＝316，求m的值；
(2)已知am＝2，an＝5，求a2m＋n的值．
解：(1)因为3×9m×27m＝316，
所以3×(32)m×(33)m＝316，
即3×32m×33m＝316.
即31＋2m＋3m＝316.
所以1＋2m＋3m＝16.
解得m＝3.
(2)因为am＝2，an＝5，
所以a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝4×5＝20.
14．已知272＝a6＝9b，求2a2＋2ab的值．
解：由272＝a6，得36＝a6，所以a＝±3.
由272＝9b，得36＝32b，所以2b＝6.解得b＝3.
①当a＝3，b＝3时，
2a2＋2ab＝2×32＋2×3×3＝36.
②当a＝－3，b＝3时，
2a2＋2ab＝2×(－3)2＋2×(－3)×3＝0.
所以2a2＋2ab的值为36或0.