高三数学《第06课数列》基础教案

第06课：数列一、课前预习1、 已知数列{}n a 的前n 项和22+⨯=n n p S ，{}n a 是等比数列的充要条件是2、 已知等差数列{}n a 的公差为2-，且245,,a a a 成等比数列，则2a 等于3、 在等差数列}{n a 中，69327a a a -=+，n S 表示数列}{n a 的前n 项和，则=11S4、 n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若11=S ，42=S ，则=n a5、在由正数组成的等比数列{}n a 中,12341,4,a a a a +=+=则56a a +=6、等差数列{}n a 的公差不为零， 12a = 若124,,a a a 成等比数列，则n a =7、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 若272k S =，且118k k a a +=-，则正整数k = 8、已知等差数列*{}()n a n N ∈的首项10a >，设n S 为{}n a 的前n 项和，且611S S =，则当n S 取得最大值时，n =9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=10、 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =11、已知576*,)}({S S S n N n a d S n n >>∈且项和的前的等差数列是公差为，则下列四个命题：①0<d ；②011>S ；③012<S ；④013>S 中为真命题的序号为 12、在实数数列{}n a 中，已知01=a ，|1|||12-=a a ，|1|||23-=a a ，…，|1|||1-=-n n a a ，则4321a a a a +++的最大值为13、设1a ，2a ，…，n a 是各项不为零的n （4≥n ）项等差数列，且公差0≠d ．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对⎪⎭⎫⎝⎛d a n 1,所组成的集合为 14、设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b =二、例题例1、已知数列{}n a 是公差大于0的等差数列，2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S .例2、已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （2n ≥）（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少?例3、已知数列{}n a 和{}n b 满足： 1a λ=,124,(1)(321),3n n n n n a a n b a n +=+-=--+ 其中λ为实数，n 为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）对于给定的实数λ，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设0a b <<，是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<成立? 若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．例4、在直角坐标平面上有一点列111222(,),(,),(,)n n n P x y P x y P x y ，对一切正整数n ，点n P 位于函数1334y x =+的图象上，且n P 的横坐标构成以52-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ．⑴求点n P 的坐标；⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点2(0,1)n D n +，设与抛物线n c 相切于n D 的直线斜率为n k ，求：12231111n nk k k k k k -+++ ； ⑶设{}|2,n S x x x n ==∈*N ，{}*|4,n T y y y n N ==∈，等差数列{n a 错误！未找到引用源。

}的任一项T S a n ⋂∈，其中1a 是S T ⋂中的最大数，10265125a -<<-，求{n a 错误！未找到引用源。

}的通项公式。

第06课作业：数列班级____________ 姓名_____________ 学号__________ 成绩________ 课后作业1、 在等差数列}{n a 中，2365-==a a ，，则=+++843a a a ▲2、数列{}n a 中，111,32,n n a a a +==+则通项n a = ▲3、已知数列{}n a 的通项公式为*13()2n a n n N =-∈，设n S 为{}n a 的前n 项和，则30S = ▲4、在等比数列{}n a 中，28a =，164a =，则公比q 为 ▲5、等差数列}{n a 中，公差1=d ，143=+a a ，则2042a a a +++ = ▲6、已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是 ▲7、设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ▲ 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = ▲Read x If x >0 Then1y x ←+Else1y x ←-End If Print y9、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则 ▲ 成等比数列．10、正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中元素有 ▲ 个. 11、数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为 ▲ 12、已知数列{}n a 是以2-为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若7S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 ▲13、右边是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序, 若x 依次 取数列1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈中的前200项，则所得y 值中的最 小值为 ▲14、若函数式()f n 表示2*1()n n N +∈的各位上的数字之和，如2141197,19717+=++=，所以(14)17f =，记*1211()(),()[()],,()[()],k k f n f n f n f f n f n f f n k N +===∈ ，则=)17(2009f ▲1. __ ;2. __ ;3. __ ;4. __ ;5. __ ;6. __ ;7. __ ;8. __ ;9. __ ; 10. __ ; 11. __ ;12. __ ; 13. __ ; 14. __15、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+nn n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由.16、设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。

17、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记 ++++=n a a a S 21.若对任意正整数n ，n S kS ≤恒成立，求实数k 的最大值.18、设数x x x f S n N n S n a n n n +=∈2*)(),(,,}{在函数点对一切项和为的前的图象上。

（1）求n a 的表达式； （2）设,,}1{a n a a A nn n 是否存在实数项积的前为数列-使得不等式*1N n a a A n n ∈<+对一切都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）将数列{n a }依次按1项，2项循环地分为)(),,(),(),,(),(),,(),(10987654321a a a a a a a a a a ，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为100},{b b n 求的值；（4）（选做）如果将数列{n a }依次按1项，2项，3项，…，)3(≥m m 项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为}{n b ，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？第06课：数列课前预习1. 已知数列{}n a 的前n 项和22+⨯=n n p S ，{}n a 是等比数列的充要条件是2-=p2. 已知等差数列{}n a 的公差为2-，且245,,a a a 成等比数列，则2a 等于83. 在等差数列}{n a 中，69327a a a -=+，n S 表示数列}{n a 的前n 项和，则=11S 994. n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若11=S ，42=S ，则=n a 12-n5. 在由正数组成的等比数列{}n a 中,12341,4,a a a a +=+=则56a a +=___166. 等差数列{}n a 的公差不为零，12=a . 若124、、a a a 成等比数列，则n a =2n7. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 若272k S =，且118k k a a +=-，则正整数k =4 8. 已知等差数列*{}()n a n N ∈的首项10a >，设n S 为{}n a 的前n 项和，且611S S =，则当n S 取得最大值时，n =89n n ==或9. 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++= 2n10. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =1011. 已知576*,)}({S S S n N n a d S n n >>∈且项和的前的等差数列是公差为，则下列四个命题：①0<d ；②011>S ；③012<S ；④013>S 中为真命题的序号为①②12. 在实数数列{}n a 中，已知01=a ，|1|||12-=a a ，|1|||23-=a a ，…，|1|||1-=-n n a a ，则4321a a a a +++的最大值为213. 设1a ，2a ，…，n a 是各项不为零的n （4≥n ）项等差数列，且公差0≠d ．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对⎪⎭⎫⎝⎛d a n 1,所组成的集合为)}1,4(,)4,4{(-14. 设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b =2n+1例题讲解例1. 2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S .解：(1)由27,125252==+a a a a .且0>d 得9,352==a a 2分2325=-=∴a a d ,11=a ()*∈-=∴N n n a n 12 4分 在n n b T 211-=中,令,1=n 得.321=b 当2≥n 时,T n =,211n b -11211---=n n b T , 两式相减得n n n b b b 21211-=-,()2311≥=∴-n b b n n 6分()*-∈=⎪⎭⎫⎝⎛=∴N n b nn n 3231321. 8分 (2)()nn n n n c 3243212-=⋅-=, 9分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=∴n n n S 312353331232 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+++=+132312332333123n nn n n S , 10分⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∴+132312313131231232n n n n S =2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫⎝⎛-⨯++-1131231131191231n n n=11344343123131312+++-=⎪⎭⎫⎝⎛---+n n n n n , 13分 nn n S 3222+-=∴ 14分例2. 已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少? 【解析】（1）()113f a ==Q ,()13xf x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦29=-, ()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 又数列{}n a 成等比数列，22134218123327a a c a ===-=-- ，所以 1c =；又公比2113a q a ==，所以12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭*n N ∈ ；1n n S S --=+=Q ()2n ≥又0n b >0>, 1=；数列构成一个首相为1公差为1()111n n =+-⨯= ， 2n S n =当2n ≥， ()221121n n n b S S n n n -=-=--=- ；21n b n ∴=-(*n N ∈)；（2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K 1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭； 由1000212009n n T n =>+得10009n >，满足10002009n T >的最小正整数为112.例3. 在直角坐标平面上有一点列111222(,),(,),(,)n n n P x y P x y P x y ，对一切正整数n ，点n P 位于函数1334y x =+的图象上，且n P 的横坐标构成以52-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ．⑴求点n P 的坐标；⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点2(0,1)n D n +，设与抛物线n c 相切于n D 的直线斜率为n k ，求：12231111n nk k k k k k -+++ ； ⑶设{}|2,n S x x x n ==∈*N ，{}*|4,n T y y y n N ==∈，等差数列{n a 错误！未找到引用源。