z变换的定义和收敛域PPT课件
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信号与系统课件ch10 z变换-lec[10-2]
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上讲回顾Z变换定义z = e jω时zT就是FT一般情况下zT是x[n]r -n的FTZ变换收敛域* 表达式相同，收敛域不同对应的时域序列不同* 四种情况[全z域(有限长序列)、圆内(左边序列)、圆外(右边序列) 、环状(双边序列)]* 9大性质（与LT对应）Z逆变换的求法（部分分式法+幂级数展开法）信号与系统课程组2大纲310.1 Z 变换定义10.2 Z 变换的收敛域10.3 Z 逆变换10.4 由零极点图对傅里叶变换进行几何求值10.5 Z 变换的性质10.6 常用Z 变换对10.7 用Z 变换分析与表征LTI 系统10.8 系统函数的代数属性与方框图表示10.9 单边z 变换10.4 由零极点图对傅里叶变换进行几何求值•原理–沿单位圆的Z 变换就是傅里叶变换！–评估方法与LT 类似[][])()()()(n x FT e X n x ZT z X j e z e z j j =====ωωωzRe zIm j Oω1+)e (j ω=z 单位圆4信号与系统课程组()()()k Nk r Mr p z z z z H −∏−∏===11()()()()()ωωkωN k rωMr H p z e H ϕωj j j 1j 1j e e ee =−Π−Π===kr k k ωr r ωB p A z θψj j j j ee e e =−=−令()kNk rMr ωB A H 11j e==∏∏=幅频响应 ()∑∑==−=Nk kMr r 11θψωϕ相位响应 []z Re []z Im j 1+1p 2p 1z 2z O1A 2A 1B 2B ω1θ2θ1ψ2ψωD j e CEUnit circle10.4 由零极点图对傅里叶变换进行几何求值5信号与系统课程组•一阶系统)()(n u a n h n =单位脉冲响应系统函数()az az z az z H >−=−=−111如果|a|<1，那么单位圆在其ROC 内()ae e ae e H j j j j −=−=−ωωωω11a 1V 2Vj e ωRe[]z jIm[]z 1()21V V e H j =ω()11V Ve H j ∠−∠=∠ω10.4 由零极点图对傅里叶变换进行几何求值7信号与系统课程组有最小值。
第一节z变换及收敛域
m 1
m 0
m 0
z m 1 z 1 1 lim 1 m a m 0 a
m
z 1 a
z 当 1，即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z az za 1 a
拉氏变换z变换带状取决于极点的实部环状取决于极点模值1414页页z平面与s平面的映射关系自s平面z平面左半平面虚轴右半平面从左向右单位圆内单位圆上单位圆外半径扩大stre1515页页其收敛域应包括整个z平面
第 1 页
第六章 离散系统的Z域分析
主要内容: z变换的定义及其收敛域 z变换的性质 Z反变换 差分方程的z变换分析法 系统框图的z变换分析法 系统函数与系统特性
离散系统的Z变换分析
3 页
连续系统的拉氏变换分析
X
第
第一节
连续信号
等间隔采样
Z 变 换
抽样信号
k
4 页
一.Z变换的提出—由拉氏变换引出
xs (t ) x(t ) T (t ) x(t ) (t kT )
k
x(kT ) (t kT )
e j0k e j0k cos 0 k 2
19 页
Ze
j 0 k
z k z e j 0 k
z 1
z z cos 0 1 z z Z cos0 k k 2 j0 k j0 k 2ze ze z 2 z cos 0 1
X
第
二.序列Z变换及其收敛域
1.定义
6 页
第3章Z变换-PPT精选
n
n
n 0
3.1.5 双边序列的Z变换
双边序列的Z变换收敛域 ROC：Rx<|z|<Rx+，
这是一个简单的环状区域，如图3-4所示。
3.1.5 双边序列的Z变换
图3-4 双边序列及其收敛域
例题3-1
求序列x(n)＝(n)的Z变换X(z)及其ROC。
解：这是n1＝n2=0时的有限长序列，且
第三章 Z变换
Chapter 3 The Z-Transform
§ 3.1 z 变换 § 3.2 z 反变换 § 3.3 z 变换的性质
本章的主要内容
1、掌握z变换及其收敛域 2、会运用任意方法求z反变换 3、理解z变换的主要性质
第三章作业 习题3-1 （1）（2）（4） 习题3-2 （1） 采用长除法、围线积分法与部分分式法 求取 习题3-4
有z值的集合称为X(z)的收敛域 （ROC,Region of
Convergence）。根据级数理论，式(3-1)中级数收 敛的充要条件是
x(n)zn M
n
（3-3）
3.1 Z 变换
如果X(z)在收敛域内是一个有理函数，
X (z) P(z) （3-4） Q( z )
当X(z)=0，即P(z)=0的z称为X(z)的零点； 当X(z)为无穷大，即Q(z)=0的z称为X(z)的极点， 另外，零、极点也可能出现在 z =0 或 z =。
|z|>1 |z|>1
z2z 22 zzcco o 00s s112 1z1 zc 1co 0 o s 0zs2
(easi n0)z1 12(eacos0)z1e2az2
|z|>1
z ea
第三章--Z变换(数字信号处理)
R
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一旳原序 列x(n)， 必须先拟定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这么 收敛域有三种选法， 它们是
n n1
设x(n)为有界序列， 因为是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 假如n1<0， 则收敛域不涉及∞点； 如n2>0， 则 收敛域不涉及z=0点； 假如是因果序列， 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一旳原序 列x(n)， 必须先拟定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这么 收敛域有三种选法， 它们是
n n1
设x(n)为有界序列， 因为是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 假如n1<0， 则收敛域不涉及∞点； 如n2>0， 则 收敛域不涉及z=0点； 假如是因果序列， 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列
z变换的收敛域
X (z) X1(z) X2(z) zz a Nhomakorabea
z
z
b
2z(z a (z a)(z
b) 2 b)
a z b
2z(z a b)
X(z)
2
(z a)(z b)
a z b
jIm(z)
a
b
Re(z)
思考题
• 1. 不同的序列可以得到相同的z变换式吗？ • 2. 判别正项级数的收敛性的方法有哪些？ • 3. 序列的形式与双边z变换收敛域的关系？
知识回顾 Knowledge Review
3、左边序列：只在 n n2区间内，有非零的有限值
的序列 x(n) n2
X (z) x(n)zn n n2
n
mn
nm
X (z) x(m)zm x(n)zn
m n2
nn2
lim n x(n)zn 1 lim n x(n) z 1
零的有限值的序列 x(n)
X (z) x(n)zn
n
n
1
X (z) x(n)z n x(n)z n
n
n0
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1
j Im[ z]
Rx2 Rx1
Rx2 Rx1
有环状收敛域 没有收敛域
Re[ z]
例2：求序列x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]的z变 换,并确定收敛域（b>a, b>0, a>0）。
lim an1
a n n
1,级数收敛。 1,级数发散。 1,不能肯定。
2) 根值判定法
z
z
b
2z(z a (z a)(z
b) 2 b)
a z b
2z(z a b)
X(z)
2
(z a)(z b)
a z b
jIm(z)
a
b
Re(z)
思考题
• 1. 不同的序列可以得到相同的z变换式吗？ • 2. 判别正项级数的收敛性的方法有哪些？ • 3. 序列的形式与双边z变换收敛域的关系？
知识回顾 Knowledge Review
3、左边序列：只在 n n2区间内，有非零的有限值
的序列 x(n) n2
X (z) x(n)zn n n2
n
mn
nm
X (z) x(m)zm x(n)zn
m n2
nn2
lim n x(n)zn 1 lim n x(n) z 1
零的有限值的序列 x(n)
X (z) x(n)zn
n
n
1
X (z) x(n)z n x(n)z n
n
n0
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1
j Im[ z]
Rx2 Rx1
Rx2 Rx1
有环状收敛域 没有收敛域
Re[ z]
例2：求序列x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]的z变 换,并确定收敛域（b>a, b>0, a>0）。
lim an1
a n n
1,级数收敛。 1,级数发散。 1,不能肯定。
2) 根值判定法
第2章Z变换v3
a u n z
n 1
n
a z
n 0
n n
az
n 0
1 n
1 az az
当
1 2
az
1 n
z a 时，这是无穷递缩等比级数。
1
a1 1 z q az , S 。 1 1 q 1 az za z a为极点，在圆 z a 外， X z 为解析函数，故收敛。
综上述所， 有
n<0
x n a u n
n
实际上，由ROC可知，本序列一定是因果序列， 所以： 当n<0时，一定有x(n)=0.
电子工程学院
1 , z 4，求z反变换。 例. 已知 X ( z ) 1 4 (4 z )( z ) 4
第二章 序列的Z变换
电子工程学院
2.5.1 Z变换的定义及收敛域
模拟信号傅里叶变换拉普拉斯变换 时域离散信号傅里叶变换Z变换 时域 频域 复频域
电子工程学院
2.5.1 Z变换的定义及收敛域
z为复变量
一.Z变换定义：
序列x(n)的Z变换定义如下：
X z Z x n
z zk
(2.5.7)
Res X z z n 1 , zk 1 d z zk N X z z n 1 N 1! dz N 1 zz
N 1
(2.5.8)
k
电子工程学院
根据留数辅助定理，有：
2 j
k
1
c
X z z n 1dz
j Im[ z ]
a
第三章 Z变换(数字信号处理)
(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
1 )
z a 1
an an
最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列， 无须计算n≥0情况， 当n≥0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n<0 时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极 点留数之和
n0
(3.2)
第三章 序列的Z变换
这种单边Z变换的求和限是从零到无限大， 因此对于因 果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。 本书中如不另外说明， 均用双边Z变换对信号进行分 析和变换。
(3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要 求级数绝对可和， 即
x(n)zn
第三章 序列的Z变换
例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域
解：
X (z)
n
anu(n)zn
n0
anzn
1 1 azn
在收敛域中必须满足|az-1|<1， 因此收敛域为|z|>|a|。
3. 左序列
左序列是在n≤n2时， 序列值不全为零， 而在n>n2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为
nn1
nn1
nn1
第三章 序列的Z变换
1
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
nn1
nn1
数字信号处理基础Z变换PPT课件
j
1
0
1 0
0
t
1
0
双边信号
左边信号
j j
1
a
0
1 0
t
a b
b
1 (1 est0 ) s
1 s 1
1 s 1
第28页/共36页
11 sa sb
3.离散序列四种典型信号时域与z域特性
(n)
anu(n)
anu(n 1) anu(n) bnu(n 1)
n
n
0
0
时限序列
右边序列
jIm z
第26页/共36页
j
12
j Imz
1
Re z
2
j
s平面
0
iim [z]
z平面
r0
Re z
单位圆
s平面与z平面的映射
第27页/共36页
2.拉氏变换四种典型信号时域与s域特性
u(t) u(t t0)
1
etu(t)
1
etu(t)
eatu(t) ebtu(t)
1
t
0
0
t
时限信号
右边信号
j s全平面
X (Z ) F[x(n)] x(n)zn n
X (Z ) F[x(n)] x(n)zn n0 第3页/共36页
借助抽样信号的拉氏变换引出Z变换
抽样信号的拉氏变换：
xs (t) x(t).T (t) x(nT)(t nT) n0
对上式取拉氏变换：
xs
(t)
0
xs
(t)estdt
若则不n包2括z=00点
mn2
nn2
j Im[z]
lim n x(n)zn 1
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——电子信息工程
第二章 离散系统的变换域分析
——电子信息工程
u( t ) 0
f
t
——电子信息工程
主要内容： • z变换及其收敛域 • 部分分式展开法求z反变换 • z变换的主要性质 • 离散系统的系统函数和频率响应 • 系统函数与差分方程的关系 • 线性时不变系统的基本结构
——电子信息工程
2.1 z变换与z逆变换
n0
n
若有 | a || b |
X(z) z z za zb
| a || z || b |
——电子信息工程
3.典型序列z变换
(1) x(n) (n) 1, 任意z
(2)
x(n)
u(n)
1
1 z 1
,
|z|1
(3)
x(n)
u(n
1)
1
1 z 1
,
|z|1
(4)
x(n)
a n u(n)
x(n) 0
——电子信息工程
例： 求序列 x(n) bnu(n 1) 的 z 变换及收敛域
1
解： X (z) x(n)zn bnzn bnzn 1 bnzn
n
n
n1
n0
当 | z |时1，级数 b
收b 敛n z n
n0
X (z)
1
n0
bnzn
1
1 1 b1z
z zb
| z || b |
注意： 左边序列和右边序列具有相同的z变换形式， 但收敛域不同。
——电子信息工程
（4）.双边序列
双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n
n0
第一项为左边序列，其收敛域为 | z | Rx
第二项为右边序列，其收敛域为 Rx | z |
N 1
X(z)
n0
zn
1 zN 1 z1
| z | 0
j Im[z]
Re[z]
故收敛域为除 z 外0 的整个 平z面
0
——电子信息工程
（2）.右边序列
右边序列：当 n 时n1， x有(n值) ，在 时n， n1 x(n) 0
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n n1
1
1 az 1
,
|z||a|
(5)
x( n)
a
nu(n
1)
1
1 az
1
,
|z||a|
1 zN (6) x(n) RN (n) 1 z1 , | z | 0
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
14
谢谢大家
n n1
n0
第一项收敛域为除0点和点以外的 z平面
第二项收敛域为以 Rx为 半径的圆环外部 所以，右边序列的收敛域为 Rx | z |
特殊情况：
当 n1 时0
Rx | z |
j Im[z] Rx
0
Re[z]
收敛域为以 Rx为 半径的圆环外部
——电子信息工程
对因果序列 有 n1 0
其 z 变换 X (z) x(n)zn
n0
收敛域包含无穷远点 Rx | z |
因果序列的另 一个判别依据
例：求序列 x(n) anu(n) 的 z 变换及收敛域
解： X (z) x(n)zn anzn
n
当 | a |时1，级数 z
n0
收a n敛z n
n0 za
| z || a |
——电子信息工程
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
当满足 Rx Rx
j Im[z]
双边序列收敛域为 Rx | z | Rx 介于 R和x R之x间 的环状区域
Rx 0
Rx Re[z]
——电子信息工程
例： 求序列 x(n) anu(n) bnu(n 1) 的 z 变换及收敛域
1
解： X (z) x(n)zn anzn bnzn
n
2.1.1 z变换的定义与收敛域
1.z变换的定义
序列 x(n的) 变z换定义为：
X (z) [ x(n)] x(n)zn n
称为正变换
其中z 是复变量，所在的复平面称为z平面
——电子信息工程 2.z变换的收敛域
z变换是一个无穷级数，级数收敛的充要条件是满足绝对可和
对于任意给定序列 x(n，) 使其 变z换 X收(敛z)的所有 值的 集合称为 X (的z)收敛域（ROC）。
（3）.左边序列
左边序列：当 n 时n2，
n2
X (z) x(n)zn
n
x有(n值) ，在
时n， n2
第一项收敛域为以 Rx为 半径的圆环内部
第二项收敛域为除0点和点以外的 z平面
所以，左边序列的收敛域为 0 | z | Rx
特殊情况：
当 n2 时0
0 | z | Rx
收敛域为以 Rx为 半径的圆环内部
3. 序列类型与收敛域
（1）. 有限长序列
在有限区间n1 n n之2 内，序列具有非零的有限值。
故对
n2
X (z) x(n)zn
n n1
有 ROC 0 | z |
——电子信息工程
当n1, n满2 足一定条件时，收敛域还可以进一步扩大
例：x(n)
1 0
0 n N 1
其它
RN (n)
由于对所有n，均有 n 0
第二章 离散系统的变换域分析
——电子信息工程
u( t ) 0
f
t
——电子信息工程
主要内容： • z变换及其收敛域 • 部分分式展开法求z反变换 • z变换的主要性质 • 离散系统的系统函数和频率响应 • 系统函数与差分方程的关系 • 线性时不变系统的基本结构
——电子信息工程
2.1 z变换与z逆变换
n0
n
若有 | a || b |
X(z) z z za zb
| a || z || b |
——电子信息工程
3.典型序列z变换
(1) x(n) (n) 1, 任意z
(2)
x(n)
u(n)
1
1 z 1
,
|z|1
(3)
x(n)
u(n
1)
1
1 z 1
,
|z|1
(4)
x(n)
a n u(n)
x(n) 0
——电子信息工程
例： 求序列 x(n) bnu(n 1) 的 z 变换及收敛域
1
解： X (z) x(n)zn bnzn bnzn 1 bnzn
n
n
n1
n0
当 | z |时1，级数 b
收b 敛n z n
n0
X (z)
1
n0
bnzn
1
1 1 b1z
z zb
| z || b |
注意： 左边序列和右边序列具有相同的z变换形式， 但收敛域不同。
——电子信息工程
（4）.双边序列
双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n
n0
第一项为左边序列，其收敛域为 | z | Rx
第二项为右边序列，其收敛域为 Rx | z |
N 1
X(z)
n0
zn
1 zN 1 z1
| z | 0
j Im[z]
Re[z]
故收敛域为除 z 外0 的整个 平z面
0
——电子信息工程
（2）.右边序列
右边序列：当 n 时n1， x有(n值) ，在 时n， n1 x(n) 0
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n n1
1
1 az 1
,
|z||a|
(5)
x( n)
a
nu(n
1)
1
1 az
1
,
|z||a|
1 zN (6) x(n) RN (n) 1 z1 , | z | 0
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
14
谢谢大家
n n1
n0
第一项收敛域为除0点和点以外的 z平面
第二项收敛域为以 Rx为 半径的圆环外部 所以，右边序列的收敛域为 Rx | z |
特殊情况：
当 n1 时0
Rx | z |
j Im[z] Rx
0
Re[z]
收敛域为以 Rx为 半径的圆环外部
——电子信息工程
对因果序列 有 n1 0
其 z 变换 X (z) x(n)zn
n0
收敛域包含无穷远点 Rx | z |
因果序列的另 一个判别依据
例：求序列 x(n) anu(n) 的 z 变换及收敛域
解： X (z) x(n)zn anzn
n
当 | a |时1，级数 z
n0
收a n敛z n
n0 za
| z || a |
——电子信息工程
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
当满足 Rx Rx
j Im[z]
双边序列收敛域为 Rx | z | Rx 介于 R和x R之x间 的环状区域
Rx 0
Rx Re[z]
——电子信息工程
例： 求序列 x(n) anu(n) bnu(n 1) 的 z 变换及收敛域
1
解： X (z) x(n)zn anzn bnzn
n
2.1.1 z变换的定义与收敛域
1.z变换的定义
序列 x(n的) 变z换定义为：
X (z) [ x(n)] x(n)zn n
称为正变换
其中z 是复变量，所在的复平面称为z平面
——电子信息工程 2.z变换的收敛域
z变换是一个无穷级数，级数收敛的充要条件是满足绝对可和
对于任意给定序列 x(n，) 使其 变z换 X收(敛z)的所有 值的 集合称为 X (的z)收敛域（ROC）。
（3）.左边序列
左边序列：当 n 时n2，
n2
X (z) x(n)zn
n
x有(n值) ，在
时n， n2
第一项收敛域为以 Rx为 半径的圆环内部
第二项收敛域为除0点和点以外的 z平面
所以，左边序列的收敛域为 0 | z | Rx
特殊情况：
当 n2 时0
0 | z | Rx
收敛域为以 Rx为 半径的圆环内部
3. 序列类型与收敛域
（1）. 有限长序列
在有限区间n1 n n之2 内，序列具有非零的有限值。
故对
n2
X (z) x(n)zn
n n1
有 ROC 0 | z |
——电子信息工程
当n1, n满2 足一定条件时，收敛域还可以进一步扩大
例：x(n)
1 0
0 n N 1
其它
RN (n)
由于对所有n，均有 n 0