最新定积分在几何中的应用(公开课一等奖)

解法2
将所求平面图形的面积分割成左右 两个部分。
y x
S2
S1
S S1 S2
2
4
0 xdx 2 [ x (x 2)]dx
y x2
23 x2
2 23 x2
4 (1 x2 2x)
4
10
3 03 2 2
23
分割图形求面积
例题精讲
例题 计算由曲线 y ，x直线
解法3
以y 及x x2轴围成图形的面积.
作业
数y=x-2变形为 x y 2 ,
函数 y x 变形为 x y2
x y2
S 2 [( y 2) y2 ]dy 1
B
( y2
2y
y3 )
2
9
2
3 -1 2
A
x y2
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
1. 作图象; 2. 求交点,定出积分上、下限; 3. 用定积分表示所求的面积; 4. 用微积分基本定理求定积分.
定积分在几何中的应用
——求平面图形的面积
情境引入
___________________________ _______________________
“废井田，开阡陌” ——承认土地私有，允许土地买卖。
___________________________ _______________________
S 2 ( y 2 y2 )dy 0 x y2
x y2
(1 y2 2 y 1 y3 ) 2 10
2
3 03
变更积分元、化繁为简
变式训练
将曲线绕x轴旋转，与直线相交 于两点，求曲线与直线围成的 面积。
y x
y x2
变式训练
A
将曲线绕x轴旋转，与直线相交
y x
于两点，求曲线与直线围成的
解法1 作出y=x-2, y x 的图象如图所示:
解方程组：
y
x
y x2
wenku.baidu.com
所以直线y=x-2与 y x 交点为(4，2)
直线y=x-4与x轴的交点为(2，0)
因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：
S
4
xdx
4
(x 2)dx
10
0
2
3
例题精讲
例题 计算由曲线 y ，x直线 y以 及x x2轴围成图形的面积.
y x2
1
1
S 1 (x2 1)dx 1
( x3 x) 1 = 4
3
3
1
S 2 1(x2 1)dx= 4
0
3
___________________________ _______________________
题3 求抛物线 g(x) x2与直线f (x) 4 所围成的
图形的面积。
题1 求抛物线y=x2，直线x=2，y=0所围成的 图形的面积。
y x2
S 2 x2dx 0 x3 2 8 30 3
利用定积分几何意义求图形面积
___________________________ _______________________
题2 求抛物线 y x2 1 与 x 轴所围成的图形的面积
g(x) x2
S
2
4dx
2 x2dx
-2
-2
f (x) 4
32 3
___________________________ _______________________
题4 求抛物线 g(x) x2与直线 f (x) x 2 所围成的
图形的面积。
S
2
(x 2)dx
2 x2dx
g
(
x)dx
b
a [ f (x) g(x)]dx
S
b a
g
(
x)dx
b a
f
(
x)dx
b
a [ f (x) g(x)]dx
___________________________
_______________________
例题精讲
例题 计算由曲线 y ，x直线
面积.
y以及x 2轴围成图x 形的
当堂检测
1、求由曲线y＝x3，直线x=2以及x轴所围成图形的面积．
2、求抛物线y x2 -1和y 3围成的图形面积.
3、求由y sin x, y cos x, x 0, x 所围成的图形面积.
2
小结
1．本节课我们做了什么探究活动呢？ 2．定积分解决曲边形面积的步骤有哪些？ 3．这一过程中体会到哪些研究思路及方法呢？
1
1
9 2
b
b
S a f (x)dx a g(x)dx
b
a [ f (x) g(x)]dx
请用定积分表示下列不同情形的图形面积
b
S a [ f (x) g(x)]dx
y oa
y f (x)
S1
S2
bx
y g(x)
y
oa
bx
y f (x)
y g(x)
S
b a
f
( x)dx
b a
S1
面积。
S2 y x 2
B
交点B 1, 1
S S1 S2
10
[
1
(
x )dx]
2
(x 2)dx
3
0
1
9 2
变式训练
A
y x
交点B1,1和A4,2
S2 S1
S1 y x 2
B
S 2S1 S2
1
4
20 xdx 1 ( x x 2)dx
9 2
拓展训练
思考：将取y为积分变量，把函