2019-2020学年山东省泰安市高二下学期期末考试数学试卷及答案
2019-2020学年山东省泰安市高二下学期期末考试数学试卷及答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4,5S =，{}2,3,4T =，则()U S T =I ð（）A ．{}1,4,5,6B ．{}11,5C ．{}4D ．{}1,2,3,4,52．已知(1)i z i +=，i 为虚数单位，则在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题12:,p x x R ∀∈，()()()()21210f x f x xx -- ，则命题p 的否定是（）A ．12,x x R ∃∈，()()()()21210f x f x xx -- B ．12,x x R ∀∈，()()()()21210f x f x x x -- C ．12,x x R ∀∈，()()()()21210f x f x xx --<D ．12,x x R ∃∈，()()()()21210f x f x xx --<4．已知3log 5a =，0.23b -=， 1.23c =，则（）A ．b c a<<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．a b c<<5．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p ．某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X ．若()8D X =，(20)(30)P X P X =<=，则p =（）A ．0.16B ．0.2C ．0.8D ．0.846．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当24x 时，()21f x x =-，则(2020)f =（）A ．3B ．5C ．7D ．97．命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a - 恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（）A ．9a B ．8a C ．9a D ．10a 8．若存在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22ln 30x x x mx +-+ 成立，则实数m 的最大值为（）A ．132e e+-B ．32e e++C ．4D ．21e -二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列等式正确的是（）A ．11(1)m m n n n A A +++=B ．!(2)!(1)n n n n =--C ．!m m nnA C n =D ．11m mn nA A n m+=-10．设离散型随机变量X 的分布列为X 01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（）A ．0.1q =B ．()2E X =，() 1.4D X =C ．()2E X =，() 1.8D X =D ．()5E Y =，()7.2D Y =11．已知函数1()ln ||f x x x x=-+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 恰有2个零点B ．()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上是增函数C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >，且()()120f x f x +=，则121x x =12．已知甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红1，2，3球，白球，黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，用B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A ．2()5P B =B ．()1511P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()2ln 23y x x =-++的定义域为________．14．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1，2，3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行，每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有________种（用数字作答）．第一列第二列第三列第一行第二行第三行15．已知函数1121,12()log ,1x x f x x x -⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎪⎩ ，则(0)(2)f f +=________；若[()]2f f a =，则实数a =________．（本题第一空2分，第二空3分）16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数5112z i i=+++，i 为虚数单位．（1）求z 和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值．18．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①第5项的系数与第3项的系数之比是14:3②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55③22110n n nC C -+-=已知在n的展开式中，________．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含5x 的项．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访了男性、女性居民各50名，其中每人每天健身时间不少于1小时的称为“健身族”，否则称其为“非健身族”，调查结果如下：健身族非健身族合计男性401050女性302050合计7030100（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”．已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健身时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“健身族”与“性别”有关系？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P K k 0.250.150.100.050.0250.0100k 1.3232.0272.0763.8415.0246.63520．（12分）已知函数2()21xf x a =-+为奇函数．（1）求实数a 的值，并用定义证明函数()f x 的单调性；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()2220f t f t tk ++->恒成立，求实数k 的取值范围．21．（12分）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理，历史这两门科目采用原始分计分；思想政治，地理，化学，生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治，地理，化学，生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：原始分9190898887858382转换分10099979594918886人数11212111现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布(75.8,36)N ．若()2~,Y N μσ，令Y μησ-=，则~(0,1)N η，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分约为多少分？（结果保留整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()P k ξ=取得最大值时k 的值．附：若~(0,1)N η，则(0.8)0.788P η≈ ，( 1.04)0.85P η≈ ．22．（12分）已知函数2()2ln f x x ax x =-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，若()12f x mx >恒成立，求实数m 的取值范围．数学试题参考答案1-8BDDBC CBA 9-12ABD ACD AD BD 13．(1,3)-14．1215．1，116．1ln 2-17、解：（1）5112z i i=+++5(12)1(12)(12)i i i i -=+++-2i =-∴||z =2z i =+（2）由（1）知，2z i=-∵复数z 是方程20x mx n ++=的一个根∴2(2)(2)0i m i n -+-+=即(23)(4)0m n m i ++-+=∴23040m n m ++=⎧⎨+=⎩解得45m n =-⎧⎨=⎩∴4m =-，5n =18．解：方案一：选条件①（1）1rr n r r n T C -+⎛= ⎝356(1)n r r r nC x -=-由题知，4422(1)14(1)3n n C C -=-，∴!2!(2)!144!(4)!!3n n n n -⨯=-整理得(3)(2)56n n --=，即25500n n --=，解得10n =或n=-5（舍去）．∴10n =∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，555566610(1)252T C x x=-=-∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x=-（2）由（1）知，10n =，∴556110(1)r r rr TC x-+=-令5556r-=，解得0r =，51T x =∴展开式中含5x 的项是第1项，51T x =方案二：选条件②（1）由题意得，21212552n nnnnn nC C C C -++=+==整理得21100n n +-=解得10n =或11n =-（舍）∴10n =∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，555566610(1)252T C x x=-=-∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-．（2）同方案一（2）方案三：选条件③（1）222211110n n n n n n C C C C C -++-=-==∴10n =，∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，555566610(1)252T C x x =-=-．∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x=-（2）同方案一（2）19．解：（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为1.2400.810 1.5300.7201.15100⨯+⨯+⨯+⨯=小时由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，∵1.15小时=69分钟<70分钟∴该社区不可称为“健身社区”（2）根据列联表中的数据，得到22()100(40203010) 4.762 3.841()()()()70305050n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“健康族”与“性别”有关系．20．解：（1）函数()f x 的定义域为R122()2121x x xf x a a +--=-=-++∵函数()f x 为奇函数∴()()f x f x -=-恒成立即1222121x x xa a +-=-+++恒成立∴()2212021x xa +-=+恒成立∴1a =∴2()121x f x =-+设12,x x R ∈，且12x x <，则()()121222112121x xf x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()12122222121x x x x -=++∵2x y =是R 上的增函数∴12220x x -<∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <∴函数()f x 是R 上的增函数．（2）∵()f x 是奇函数∴()()2220f t f t tk ++->对任意的t R ∈恒成立等价于()()222f t f tk t +>-对任意的t R ∈恒成立又()f x 在R 上是增函数∴222t tk t +>-对任意的t R ∈恒成立即2220t kt -+>对任意的t R ∈恒成立∴2160k ∆=-<，即44k -<<∴实数k 的取值范围是(4,4)-21．解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，335310101(0)12012C P X C ====，1255310505(1)12012C C P X C ====，2155310505(2)12012C C P X C ====，35310101(3)12012C P X C ====所以，随机变量X 的分布列为X 0123P112512512112∴15513()0123121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）①由~(75.8,36)Y N 得75.8μ=，6σ=令75.86Y Y μησ--==，则675.8Y η=+设该划线分为m ，则()0.85P Y m ≈ ∴75.8(675.8)0.856m P m P ηη-⎛⎫+=≈ ⎪⎝⎭∵当~(0,1)N η时，( 1.04)0.85P η≈ ∴( 1.04)0.85P η-≈ ∴75.81.046m -≈-∴69.56m ≈∴70m =②由①知(71)(675.871)(0.8)(0.8)0.788P Y P P P ηηη=+=-=≈ 即事件“每个学生生物统考成绩不低于71分”的概率约为0.788∴~(800,0.788)B ξ，8008000()0.788(10.788)kk k P k C ξ-==-由()(1)()(1)P k P k P k P k ξξξξ==-⎧⎨==+⎩得80011801800800800117998008000.788(10.788)0.788(10.788)0.788(10.788)0.788(10.788)k k k k k k k k k k k k C C C C -----++-⎧--⎨--⎩ 解得630.188631.188k 又k N ∈，∴631k =∴当631k =时，()P k ξ=取得最大值．22．解：（1）由题知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞222()(0)x ax f x x x-+'=>令2()22g x x ax =-+，则216a ∆=-当0∆ 即44a - 时，()0g x ，即()0f x ' ∴函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞当0>V 即4a <-或4a >时，令()0g x =解得164a x =或164a x +=若4a <-，则161644a a +<<∵0x >∴()0g x >，即()0f x '>∴函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞若4a >，则1616044a a >>，令()0f x '>，即()0g x >，解得04a x -<<或4a x +>；令()0f x '<，即()0g x <，解得161644a a x +<<．∴函数()f x 的单调递增区间为160,4a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，16,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调递减区间为,44a a ⎛+ ⎝⎭．综上，当4a 时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当4a >时，函数()f x的单调递增区间为0,4a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭．单调递减区间为,44a a ⎛+ ⎝⎭（2）222()(0)x ax f x x x-+'=>若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，则1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两不等正实根由（1）知，4a >，∴1222a x x +=>，121x x =∴1201x x <<<()12f x mx >恒成立，即()12f x m x >恒成立()2221311111111112212ln 222ln 22ln 1f x x ax x x x x x x x x x x x -+--+===--+令3()22ln h t t t t t =--+，则2()32ln h t t t'=-+当01t <<时，()0h t '<∴()h t 在(0,1)上为减函数∴当01t <<时，()(1)3h t h >=-∴()123f x x >-∴3m - ∴实数m 的取值范围(,3]-∞-。
2019-2020学年山东省泰安市数学高二下期末经典试题含解析
2019-2020学年山东省泰安市数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x 种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有y 种不同的方案，其中x y +的值为（ ） A ．543 B ．425 C ．393 D ．275【答案】C 【解析】分析：根据题意，易得5名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．第二种先分组再排列，问题得以解决．详解：5名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步计数原理，x=53=243种，当每项比赛至少要安排一人时，先分组有（11354322C C C A ⋅⋅+22153122C C C A ⋅⋅）=25种，再排列有33A =6种，所以y=25×6=150种， 所以x+y= 1． 故选：C ．点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏． 2．已知函数log (8)a y ax =-(其中0a >，1a ≠)在区间[1,4]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论a 的范围，根据真数的符号以及单调性，求出a 的范围． 【详解】解：函数y ＝log a （8﹣ax ）（其中a ＞0，a ≠1）在区间[1，4]上单调递减， 当a ＞1时，由函数t ＝8﹣ax 在区间[1，4]上单调递减且t ＞0， 故8﹣4a ＞0，求得1＜a ＜1．当0＜a ＜1时，由函数t ＝8﹣ax 在区间[1，4]上单调递减，可得函数y ＝log a （8﹣ax ）在区间[1，4]上单调递增，这不符合条件． 综上，实数a 的取值范围为（1，1），【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于中档题．3．空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如下表所示：AQI0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300以上空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指AQI数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（）A．整体上看，这个月的空气质量越来越差B．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C．从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D．从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确．故选C．本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.4．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ） A ．5种 B ．6种C ．7种D ．8种【答案】B 【解析】由分步计数原理得，可选方式有2×3＝6种．故选B ． 考点：分步乘法计数原理．5．己知函数()f x =若3(1og )2f a =,则a =( ) A ．13B ．14 C ．12D ．2【答案】D 【解析】分析：首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数a 的等量关系式，即可求得结果.详解：根据题意有3(log )f a ===， 解得2a =，故选D.点睛：该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.6．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的位置关系的判定依次判断各个命题的正误，从而得到结果. 【详解】（1）若一个平面内有无数条互相平行的直线平行于另一个平面，两个平面可能相交，则（1）错误； （2）平面内任意一条直线与另一个平面不相交，即任意一条直线均与另一个平面平行，则两个平面平行，（2）正确；（3）若不共线的三点中的两点和另一个点分别位于平面的两侧，此时虽然三点到平面距离相等，但两平面相交，（3）错误. 本题正确选项：B 【点睛】本题考查面面平行相关命题的辨析，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 7．复数22cos sin 33z i ππ=+在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 因2cos0,sin 033ππ，故复数2cos sin 33z i ππ=+对应的点在第二象限，应选答案B ． 8．函数()24ln x f x x=的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，排除B ，确定01x <<时函数值的正负，排除C ，再由x →+∞时函数值的变化趋势排除D ．从而得正确结论． 【详解】因为()24ln x f x x =是偶函数，排除B ，当01x <<时，ln 0x <，()204ln x f x x=<，排除C ， 当x e =时()214ef e =>，排除D .故选：A. 【点睛】本题考查由解析式选图象，可能通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等排除一些选项，通过特殊的函数值、特殊点如与坐标轴的交点，函数值的正负等排除一些，再可通过函数值的变化趋势又排除一些，最多排除三次，剩下的最后一个选项就是正确选项． 9．设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝a(13)i，i ＝1，2，3，则a 的值为( ) A ．1 B ．913C ．1113D ．2713【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列中所有概率和为1求a 的值. 【详解】 因为P(X ＝i)＝a(13)i ，i ＝1，2，3，所以11127()1392713a a ++=∴=，选D.【点睛】本题考查分布列的性质，考查基本求解能力.10．某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（ ） A ．0.5 B ．0.48C ．0.4D ．0.32【答案】B 【解析】 【分析】事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率. 【详解】设“第一次投进球”为事件A ，“第二次投进球”为事件B ，则得2分的概率为()()0.4p P AB P AB =+=⨯0.60.60.40.48+⨯=.故选B .【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.11．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则UA（ ）A ．∅B ．{}1,3C ．{}2,4,5D ．{}1,2,3,4,5【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义可得结果. 【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5UA =，故选C.【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．12．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．60°C ．45°D ．120°【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】324y x x =-+求导得：2'32y x =-在点(1,3)处的切线斜率即为导数值1. 所以倾斜角为45°. 故选C.二、填空题：本题共4小题13．曲线21y x =-与坐标轴及2x =所围成封闭图形的面积是__________． 【答案】83【解析】分析：首先利用定积分表示曲边梯形的面积，然后计算定积分． 详解：曲线21y x =-与两坐标轴及2x =所围成的图形的面积为2122331121118(1)(1)()().11333x dx x dx x x x x --------⎰⎰＝＝ 即答案为83． 点睛：本题考查了定积分的运用求曲边梯形的面积；正确利用定积分表示是关键． 14．已知角()0απα-＜＜的终边与单位圆交点的横坐标是13，则cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ．【答案】3【解析】试题分析：由题意得1cos ,0,sin cos()sin 3323παπαααα=-<<∴=-∴+=-=. 考点：三角函数的定义；同角三角函数的基本关系式；诱导公式.15．已知'()f x 是函数f(x)的导函数，()()22ln 1(0)xf x x f '=++⋅,则(1)f '=________.【答案】ln 2 【解析】分析：先求导，再求()0f '，再求()1f '. 详解：由题得2()2ln 2(0),1xf x f x =+'+' 令x=0得02(0)2ln 2(0),(0)ln 201f f f '''=+∴=-+， 所以12(1)2ln 2(2)211f ln ln =+-=+'. 故答案为：ln2.点睛：(1)本题主要考查求导和导数值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力，属于基础题.(2)解答本题的关键是求(0)f '.16．已知函数2aln(2)()2x x f x +-=在[1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,2]-∞- 【解析】 【分析】2ln(2)()2+-=x x f x a 在[1,)-+∞上是减函数的等价条件是1()022'=-≤+a f x x x 在[1,)-+∞恒成立，然后分离参数求最值即可. 【详解】2ln(2)()2+-=x x a x f 在[1,)-+∞上是减函数， 1()022∴'=-≤+a f x x x 在[1,)-+∞恒成立，即2(2)≤+a x x ，()2(2)=+g x x x 在[1,)-+∞的最小值为(1)2-=-g ， 2∴≤-a【点睛】本题主要考查利用导函数研究含参函数的单调性问题，把()f x 在[1,)-+∞上是减函数转化为()0f x '≤在[1,)-+∞恒成立是解决本题的关键.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【KS5U解析】山东省泰安市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析
D. ，故正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查组合数和排列数公式的应用，属于基础题.
10.设离散型随机变量 的分布列为
0
1
2
3
4
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量 满足 ，则下列结果正确的有（）
A. B. ，
C. ， D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先计算 的值，然后考虑 、 的值，最后再计算 、 的值.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出复数z，写出 ，即得 对应的点所在的象限.
【详解】 ，
复数z的共轭复数 对应的点是 ，在第四象限.
故选： .
【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.
3.已知命题p： x1,x2 R,(f(x2) f(x1))(x2 x1)≥0,则 p是
A. x1,x2 R,(f(x2) f(x1))(x2 x1)≤0
高二年级考试
数学试题
一､单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，则S∩（∁UT）等于（ ）
A.{1，4，5，6}B.{1，5}C.{4}D.{1，2，3，4，5}
【答案】B
根据选项满足是 的必要不充分条件只有 ，故答案选B．
【点睛】本题主要考查了简单的不等式恒成立问题以及求一个命题的必要不充分条件．
8.若存在 ，使得不等式 成立，则实数 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设 ，则
2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案考生注意：1、本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面2、在本试题君上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题3、可使用符合规定的计算器答题一、填空题（本大题满分56分，共14个小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1、已知向量，且，则2、双曲线的右焦点的坐标为3、与向量垂直的一个单位向量4、若（是复数单位），则5、若()(1)(2)()f n n n n n =++++++L ，则6、已知无穷等比数列的前n 项和，则7、一个方程组的增广矩阵为，则该方程组的解为8、若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为，则另外两个角的读书分别 为9、已知圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为，半径，则该圆锥的体积为10、过球的一条半径的中心，作垂直于半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为11、汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口直径是26厘米，灯深11厘米，则灯泡与反射镜的顶点的距离为 厘米（精确到0.1厘米）12、若，且，则向量与的夹角为13、将全体正整数排成一个三角形的数阵：按照以上排量的规律，第n 行（），从左向右的第3个数为14、在中，已知:1:3,:1:4AM AB AN AC ==BN 与CM 交于点E ，，则（用表示）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题知且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15、两个非零向量垂直的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．16、某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据，其中，收入记为正数，支出记为负数，该店用右边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V 那么，在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）A ．B ．C ．D ．17、设椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点，若，则的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．18、若数列满足当成立时，总可以推出成立，研究下列四个命题：（1）若，则 (2) 若，则(2) 若，则 (4) 若，则其中错误的命题是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题满分74分）共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、（本题满分12分）已知点，（1）求直线AB 的方程（2）若点P 满足，求P 点的轨迹方程．20、（本题满分14分）如图，在直平行六面体中，底面ABCD 是边长为2的菱形，，与底面ABCD 所成角的大小为，M 为的中点．（1） 求四棱锥M-ABCD 的体积；（2） 求异面直线BM 和所成角的大小（结果用反三角函数表示）21、（本题满分14分）已知，命题实系数一元二次方程的两根都是虚数；命题存在复数同时满足且．（1）若命题中根的虚部为整数，求实数的值；（2）若命题同为真命题，求实数的取值范围．22、（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M 、N 分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，连接AQ ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率k.(1)当直线PA 平分线断MN 时，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k0，求证PAPB ．23、（本题满分18分）已知数列，满足：（1）若，求数列的通项公式；（2）若121,,341n a a a a b n λ=-==⋅=-且是递增数列，求a 的取值范围；（3）若，且，记，求证：数列为等差数列．。
山东省泰安市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题含解析
山东省泰安市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设()()2,01,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．[]2,1- B ．[]0,1C ．[]1,2D ．[]0,2【答案】B 【解析】 【分析】当0x >时，可求得此时()()min 12f x f a ==-；当0x ≤时，根据二次函数性质可知，若0a <不合题意；若0a ≥，此时()()2min 0f x f a ==；根据()0f 是()f x 在R 上的最小值可知()()01f f ≤，从而构造不等式求得结果. 【详解】当0x >时，()12f x x a a a x =+-≥=-（当且仅当1x =时取等号） 当0x ≤时，()()2f x x a =-当0a <时，()f x 在(),0-∞上的最小值为()f a ，不合题意 当0a ≥时，()f x 在(),0-∞上单调递减 ()()2min 0f x f a ∴==()0f 是()f x 在R 上的最小值 22a a ∴≤-且0a ≥ []0,1a ∴∈本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据分段函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够确定每一段区间内最值取得的点，从而确定最小值，通过每段最小值之间的大小关系可构造不等式求得结果. 2．设随机变量~(,)X B n p ，且Ex 1.6=，Dx 0.96=，则（ ） A ．n 4,p 0.4== B ．n 8,p 0.2== C ．n 5,p 0.32== D ．n 7,p 0.45==【答案】A 【解析】 【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于n ，p 的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出P 的值，再求出n 的值，得到结果． 【详解】 解：随机变量~(,)X B n p ，() 1.6E X =，()0.96D X =， 1.6np ∴=，① (1)0.96np p -=②把①代入②得60.9610.1.6p -==， 0.4p ∴= 1.6np =4n ∴=，故选：A ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二项分布的期望和方差公式，属于基础题． 3．已知函数()cos()0,||2f x A wx w πφφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中N ，P 的坐标分别为5,A 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数f （x ）的单调递减区间不可能为（ ）A ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．921,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．933,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，根据周期选出正确答案． 【详解】根据题意，设函数()cos()f x A wx φ=+的周期为T ，则311534884T πππ=-=,所以 T π=.因为在选项D 中，区间长度为339388πππ-= ∴()f x 在区间933,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调减函数．所以选择D【点睛】本题考查了余弦函数()cos()f x A wx φ=+的图象与性质的应用问题，解决此类问题需要结合单调性、周期等．属于中等题．4．若函数()()3log (0,1)af x x ax a a =->≠在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，则a 的取值范围是 A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．91,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】设()()3,0g x x ax g x =->,得())x ∈⋃+∞，且：()23g x x a '=-,x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,函数()g x 递减，x ⎛∈ ⎝或)x ∈+∞时,()g x 递增．结合复合函数的单调性：当a>1时,减区间为⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，不合题意，当0<a<1时, ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为增区间.∴12-≥3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选：B. 【点睛】复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f[g(x)]，若t ＝g(x)在区间(a ，b)上是单调函数，且y ＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t ＝g(x)与y ＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f[g(x)]为增函数；若t ＝g(x)与y ＝f(t)的单调性相反，则y ＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．5．如图是一个算法的程序框图，当输入的x 的值为7时，输出的y 值恰好是1-，则“？”处应填的关系式可能是（）A ．21y x =+B ．3x y -=C ．y x =D ．13log y x =【答案】A 【解析】试题分析：依题意，输入的x 的值为7，执行4次循环体，x 的值变为1-，这时，如果输出的y 值恰好是1-，则函数关系式可能为21y x =+,故应填A.考点：程序框图中的循环结构.6．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（ ） x 0 1 2 3 y1357A ．(1.5，4)点B ．(1.5，0）点C ．（1，2）点D ．（2，2）点【答案】A 【解析】 由题意：012313571.5,444x y ++++++==== ，回归方程过样本中心点，即回归方程过点()1.5,4 .本题选择A 选项.7．设离散型随机变量X 的分布列如右图，则()2E X =的充要条件是（ ）X1 2 3P1p 2p 3pA ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p == 【答案】B 【解析】【分析】 【详解】由题设及数学期望的公式可得123131231232p p p p p p p p ++=⎧⇔=⎨++=⎩，则2EX =的充要条件是13p p =．应选答案B ．8．已知命题()0:0,p x ∃∈+∞，00122019xx +=；命题:q 在ABC ∆中，若sin sin A B >，则cos cos A B <．下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∨⌝D ．()p q ∧⌝【答案】C 【解析】 【分析】判断出命题p 、q 的真假，即可判断出各选项中命题的真假，进而可得出结论. 【详解】函数()2xf x x =+在()0,+∞上单调递增，()()1012019f x f ∴>=>，即命题p 是假命题； 又sin sin A B >，根据正弦定理知a b >，可得A B >，余弦函数cos y x =在()0,π上单调递减，cos cos A B ∴<，即命题q 是真命题． 综上，可知()()p q ⌝∨⌝为真命题，p q ∧、()p q ∨⌝、()p q ∧⌝为假命题. 故选：C. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题. 9．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{|x x x ∀∈是无理数｝，2x 是无理数；②命题“∃0x ∈R，20013x x +>”的否定是“∀x∈R，2x ＋1≤3x”；③命题“若220x y +=,x R y R ∈∈,则0x y ==”的逆否命题为真命题；④ (2xx e e --'）=2。
山东省泰安市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析
山东省泰安市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知(2,)M m 是抛物线24y x =上一点，则M 到抛物线焦点的距离是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】B 【解析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点M 到抛物线焦点的距离2p =+ ．详解：由抛物线方程可得抛物线24y x =中1p = ，则利用抛物线的定义可得点M 到抛物线焦点的距离221 3.p =+=+=．故选B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．设,,(0,)a b c ∈+∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式a b +≥a ，b 都是正数可解得． 【详解】由题a ，b ，c 都是正数，根据基本不等式可得1112226a b c b c a+++++≥++=， 若1a b +，1b c +，1c a +都小于2，则与不等式矛盾，因此，至少有一个不小于2； 当1a b +，1b c +，1c a+都等于2时，选项A ，B 错误，都等于3时，选项D 错误．选C.【点睛】本题考查了基本不等式，此类题干中有多个互为倒数的项，一般都可以先用不等式求式子范围，再根据题目要求解题．3．已知函数f （x ）对任意的实数x 均有f （x+2）+f （x ）＝0，f （0）＝3，则f （2022）等于（ ） A ．﹣6 B ．﹣3C ．0D ．3【答案】B 【解析】分析可得()4(2)()f x f x f x +=-+=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得(2022)(24505)(2)(0)f f f f =+⨯==-，即可求解，得到答案．【详解】根据题意，函数()f x 对任意的实数x 均有(2)()0f x f x ++=，即(2)()f x f x +=-， 则有()4(2)()f x f x f x +=-+=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数， 则(2022)(24505)(2)(0)3f f f f =+⨯==-=-，故选B ． 【点睛】本题主要考查了函数的周期的判定及其应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为A ．1BC ．2D【答案】C 【解析】 试题分析：,,,60,0,0AC l BD l AC BD AC BA AB BD ⊥⊥∴=⋅=⋅=CD CA AB BD ∴=++()212CD CA AB BD ∴=++==考点：点、线、面间的距离计算5．若()()()6620126111112x a a x a x a x ⎛⎫= ++-+⎭-+⎪⎝+-，i a ∈R ，i =0，1，2，3，…，6，则()0166a a a a +++的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，采用赋值法，令2x =得0123664a a a a a +++++=，再将原式化为()613122x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦根据二项式定理的相关运算，求得6164a =，从而求解出正确答案． 【详解】令2x =得0123664a a a a a +++++=，由()6611311222x x ⎛⎫⎡⎤+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得6164a =，故()01661a a a a +++=．故答案选C ． 【点睛】本题考查二项式定理的知识及其相关运算，考查考生的灵活转化能力、分析问题和解决问题的能力． 6．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C 【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和．详解：设小正方形的边长为12，高为22；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以21222322P 82222+⨯⨯==⨯， 故选C ．点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型． 7．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C -- B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -【答案】D详解：()()()()()()829999!181920...9917!k k k k k k A k ------==-.故选：D.点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.8．设随机变量()X B n, p ～，若EX 3,DX 2==，则n= A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量()X B n, p ～，EX 3,DX 2==得到方程组，解得答案. 【详解】随机变量()X B n, p ～，EX 3,DX (1)2np np p ===-= 解得1,93p n == 故答案选D 【点睛】本题考查了二项分布的期望和方差，属于常考基础题型. 9．点、在以为直径的球的表面上，且，，，若球的表面积是，则异面直线和所成角余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先作出图形，计算出球的半径，通过几何图形，找出异面直线和所成角，通过余弦定理即可得到答案. 【详解】设球的半径为,则，故，如图所示：分别取PA,PB,BC 的中点M,N,E ，连接MN,NE,ME,AE ，易知，平面，由于，所以，所以，因为E 为BC 的中点，则，由于M,N 分别为PA,AB 的中点，则，且，同理，且，所以，异面直线和所成角为或其补角，且,在中，，由余弦定理得： ，因此异面直线和所成角余弦值为，故选C.【点睛】本题主要考查外接球的相关计算，异面直线所成角的计算.意在考查学生的空间想象能力，计算能力和转化能力，难度较大.10．已知将函数21()3sin cos cos 2f x x x x =+-的图象向左平移512π个单位长度后得到()y g x =的图象，则()g x 在[,]123ππ-上的值域为（ ）A ．1[,1]2-B ．1[1,]2-C ．31[]22-D ．13[,]22- 【答案】B 【解析】 解析：因31()2cos2sin(2)26f x x x x π=+=+，故5()sin[2()]sin(2)sin 2126g x x x x πππ=++=+=-，因123x ππ-≤≤，故2263x ππ-≤≤，则1sin 212x -≤≤，所以11()2g x -≤≤，应选答案B ． 11．将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的点3(0)4M πθθ⎛<< ⎝⎭向右平移(0)t t >个单位长度得到点M '，若M '位于函数sin2y x =的图象上，则（ ）A ．12πθ=， t 的最小值为12πB ．12πθ=， t 的最小值为6πC ．6πθ=， t 的最小值为6π D ．6πθ=， t 的最小值为12π【答案】A由题意得3πππsin(2),02,6246312ππθθθθ+=<<∴+==由题意得33π2πsin(2()),sin(2),22π2π(k )6633t t t k k ππθ-=+=+=++∈Z 或 所以ππππ(k )124t k k =++∈Z 或，因此当时，t 的最小值为π12，选A. 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 12．在复平面内，复数321i i--对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 试题分析：,对应的点，因此是第一象限．考点：复数的四则运算. 二、填空题：本题共4小题13．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F ⋂=，11BC B C E =，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为______．【答案】322【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h ，求出,AE BF 的坐标，由数量积为0求得h ，则棱柱的体积可求． 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设1DD h =，又4AB BC ==， 则()4,0,0A ，2,4,2h E ⎛⎫⎪⎝⎭，()4,4,0B ，()2,2,F h ， 2,4,2h AE ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，()2,2,BF h =--，AE BF ⊥，24802h ∴-+=，即22h = ∴此棱柱的体积为4422322⨯⨯=．故答案为322． 【点睛】本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量解决线线垂直问题，是中档题．14．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线2222x y 1a b-=的离心率e 5>______．【答案】16【解析】 【分析】基本事件总数n 6636=⨯=，由双曲线2222x y 1a b -=的离心率e 5>b 2a >，利用列举法求出双曲线2222x y 1a b -=的离心率e 5>()a,b 有6个，由此能求出双曲线2222x y 1a b -=的离心率e 5>【详解】某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >，ca a∴=>，解得b 2a >，∴双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >()a,b 有：()1,3，()1,4，()1,5，()2,5，(1，6)，()2,6，共6个，则双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >的概率是61p 366==． 故答案为16． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、双曲线性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可. 15．函数()ln x f x x=在(20,e ⎤⎦上的最大值是____． 【答案】1e【解析】 【分析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可． 【详解】 函数()ln x f x x =，()21ln 'xf x x-=，令()'0f x =，解得x e =． 因为20e e <<，函数()f x 在(]0,x e ∈上单调递增，在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦单调递减；x e =时，()f x 取得最大值，()1f e e=．故答案为1e．【点睛】本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键． 16．某超市国庆大酬宾，购物满100元可参加一次游戏抽奖活动，游戏抽奖规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球自由落下过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，落入A 袋得奖金4元，落入B 袋得奖金8元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右为_____元.【答案】5 【解析】 【分析】先记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，分别求出其对应概率，再由题意得到抽取活动奖金的可能取值，进而可求出结果. 【详解】记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，由题意可得()33111224⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P B ，所以3()1()4=-=P A P B . 因为李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士可参加一次抽奖， 抽取活动奖金的可能取值为4,8=X ， 所以期望为()4()8()325=+=+=E X P A P B . 故答案为5 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记概念即可，属于常考题型. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省泰安市2019-2020学年高二第二学期期末数学经典试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则1z -=A ．3B ．2C ．32D ．23 2．设123log 2,ln 2,5a b c -===则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．已知集合{|3}M y y x ==-，{|6}N x x =<，则M N =( ) A ．ϕ B ．(0,6)C ．[0,6)D ．[3,6) 4．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14）内的频数为（ ）A ．780B ．680C ．648D ．4605．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（ ）①若a α⊥，b β⊥，且α∥β，则a ∥b ；②若a α⊥，b ∥β，且α∥β，则a b ⊥；③若a ∥α，b β⊥，且αβ⊥，则a ∥b ；④若a α⊥，b β⊥，且αβ⊥，则a b ⊥.其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心、OF 为半径的圆与x 轴交于,O A 两点，与双曲线C 的一条渐近线交于点B ，若4AB a =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B ．2y x =± C ．3y x =± D ．4y x =±7．正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC 26，则该正方体外接球的表面积为( ) A ．2π B ．8π C ．12π D ．16π8．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立B ．1A 、2A 、3A 是两两互斥的事件C ．17(|)11P B A = D ．3()5P B = 10．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为1102264264230C C C C C +的事件是( ). A ．没有白球B ．至少有一个白球C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球 11．设M 为曲线上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为，则点M 横坐标的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()f x 与'()f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．(0,4)B ．(,1)-∞，4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,1)，(4,)+∞二、填空题：本题共4小题13．已知函数()21ln 2f x a x x bx =-+存在极小值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极小值恒大于0，则a 的最小值为__________．14．已知X 的分布列为设23Y X =+，则E (Y )的值为________15．已知纯虚数z 满足122z i z+=-+(其中i 是虚数单位)，则z =__________. 16．设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年山东省泰安市数学高二第二学期期末经典试题含解析
2019-2020学年山东省泰安市数学高二第二学期期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在复数列{}n z 中，1816z i =+，()12n n iz z n *+=⋅∈N ，设n z 在复平面上对应的点为n Z ，则（ ） A ．存在点M ，对任意的正整数n ，都满足10n MZ ≤B ．不存在点M ，对任意的正整数n ，都满足n MZ ≤C ．存在无数个点M ，对任意的正整数n ，都满足n MZ ≤D ．存在唯一的点M ，对任意的正整数n ，都满足n MZ ≤ 【答案】D 【解析】 【分析】 由()12n n i z z n N *+=⋅∈，由复数模的性质可得出112n n z z +=，可得出数列{}n z 是等比数列，且得出1n z z ≤=n n n MZ OZ OM OZ OM =-≤+uuuu r uuur uuu r uuur uuu r，结合向量的三角不等式可得出正确选项.【详解】1816z i =+Q ，1z ∴==()12n n iz z n *+=⋅∈N Q ，1122n n n i z z z +∴==，所以数列{}n z 是以为首项，以12为公比的等比数列，且n n OZ z =≤uuur O 为坐标原点），由向量模的三角不等式可得n n n MZ OZ OM OZ OM OM =-≤+≤uuuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r，当点M 与坐标原点O 重合时，n MZ ≤uuuu r因此，存在唯一的点M ，对任意的正整数n ，都满足n MZ ≤， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数模的性质和等比数列的综合应用，解题的关键就是利用向量模的三角不等式构建不等关系进行验证，考查推理能力，属于难题.2．在等比数列{}n a 中，“412a ,a 是方程2x 3x 10++=的两根”是“8a 1=±”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由韦达定理可得a 4+a 12＝﹣3，a 4•a 12＝1，得a 4和a 12均为负值，由等比数列的性质可得． 【详解】∵a 4，a 12是方程x 2+3x+1＝0的两根，∴a 4+a 12＝﹣3，a 4•a 12＝1，∴a 4和a 12均为负值， 由等比数列的性质可知a 8为负值，且a 82＝a 4•a 12＝1，∴a 8＝﹣1， 故“a 4，a 12是方程x 2+3x+1＝0的两根”是“a 8＝±1”的充分不必要条件. 故选A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题．3．已知集合{1,1}A =-，{1,0,1}B =-，则集合{|,}C a b a A b B =+∈∈中元素的个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】由题意得，根据{|,}C a b a A b B =+∈∈，可得+a b 的值可以是：2,1,0,1,2--，共有5个值，所以集合{|,}C a b a A b B =+∈∈中共有5个元素，故选D. 考点：集合的概念及集合的表示.4．设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P M N =U ；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1 ，结合相互独立事件,M N 的概率满足()()()P MN P M P N =⋅，可判断（2）、（3）、（4）、（5 ）的正误. 【详解】若,M N 为互斥事件，且()()11,54P M P N ==， 则()1195420P M N =+=U ， 故（1）正确；若()()()111,,236P M P N P MN === 则由相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件， 故（2）正确；若()()()111,,236P M P N P MN ===， 则()()()()()11,2P M P M P MN P M P N =-==⋅由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件， 故（3）正确； 若()()()111,,236P M P N P MN === ， 当,M N 为相互独立事件时，()()()11211,=2233P N P N P MN =-==⨯ 故（4）错误；若()()()115,,236P M P N P MN === 则()()()()()1,16P MN P M P N P MN P MN =⋅==-由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件， 故（5）正确. 故选D. 【点睛】本题考查互斥事件、对立事件和独立事件的概率，属于基础题.5．若,a b ∈R ，且0ab ≠，则“11()()22a b >”是“方程221x y a b+=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的单调性可得a b <；由椭圆方程可得0a b <<，再由充分必要条件的定义，即可得到所求结论． 【详解】解：若1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b <，若方程221x y a b+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则0b a >>，即“1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程221x y a b +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：B 【点睛】本题考查指数函数的单调性以及椭圆方程，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题． 6．已知函数()ln f x x =，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ） A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +< D12+> 【答案】A 【解析】 【分析】1211x x -=12=116≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞1． 【详解】 由f （x）=-lnx ，得f ′（x）1x=（x ＞0），1211x x -=，2112x x x x -=12=，∴12=≥，则116≤， ∴x 1x 2≥2，∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞2．∴2212x x +＞2x 1x 2＝1．故选：A ．【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．7．已知空间向量(3,1,0),(,3,1)a b x ==-v v ，且a b ⊥r r ，则x =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积等于0，列出方程，即可求解. 【详解】由空间向量(3,1,0),(,3,1)a b x ==-vv，又由a b ⊥r r ，即31(3)01330a b x x ⋅=+⨯-+⨯=-=r r ，解得1x =，故选C.【点睛】本题主要考查了空间向量中垂直关系的应用，其中解答中根据a b ⊥r r ，利用向量的数量积等于0，列出方程即可求解，着重考查了推理与运算能力. 8．己知函数()2sin 20191x f x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．0【答案】A 【解析】 【分析】设()12019in 12019xxg x s x -=++，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值． 【详解】解：函数()212019sin sin 12019112019xx xf x x x -=+=++++设()12019sin 12019xxg x x -=++，则()()()1201912019sin sin 1201912019x x x x g x x x g x --⎛⎫---=-+=-+=- ⎪++⎝⎭即()()0g x g x -+=，即()()2f x f x -+=，则()()()()2018201820181201812f f g g +-=++-+=， 又()()''f x g x =，()()()()2,''0f x f x f x f x -+=∴--+=Q ，可得()()'2019'20190f f --=，即有()()()()20182018'2019'20192f f f f +-+--=，故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题． 9．已知i 是虚数单位，m,n ∈R ，且m+i=1+ni ，则m nim ni+-＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数相等得到mn 、的值，再利用复数的四则混合运算计算m nim ni+-.【详解】因为1m i ni +=+，所以1m n ==，则21(1)1(1)(1)i i i i i i ++==-+-. 故选A. 【点睛】本题考查复数相等以及复数的四则混合运算，难度较易. 对于复数的四则混合运算，分式类型的复数式子，采用分母实数化计算更加方便.10．某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为12，且彼此相互独立，若X 为4名同学通过测试的人数，则D （X ）的值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由题意知X ～B （4，12），根据二项分布的方差公式进行求解即可． 【详解】∵每位同学能通过该测试的概率都是12，且各人能否通过测试是相互独立的， ∴X ～B （4，12）， 则X 的方差D （X ）＝412⨯⨯（112-）＝1， 故选A ． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，根据题意得到X ～B （4，12）是解决本题的关键． 11．已知曲线C ：()221,0x y a b a b+=>经过点()1,2A ，则+a b 的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．6D ．4【答案】B 【解析】 【分析】曲线C 过点()1,2A 得141a b +=，所以()14a b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭a b =a b 展开利用均值不等式可求最小值. 【详解】由曲线C ：()221,0x y a b a b+=>经过点()1,2A得141a b+=.所以()144559b aa b a b⎛⎫+++=++≥=⎪⎝⎭a b =a b当且仅当2b a =，即36a b =⎧⎨=⎩时取等号. 故选：B 【点睛】本题考查利用均值不等式求满足条件的最值问题，特殊数值1的特殊处理方法，属于中档题.12．已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆Q 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆Q 为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，34466338V R ∴=π=π⨯=π，故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．不等式46n n C C >的解为n =______． 【答案】6或7或8或9 【解析】 【分析】利用组合数公式得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出正整数n 的取值. 【详解】46n n C C >Q ，由组合数公式得()()!4!4!6!6!n n n n >--！，得()()4!6!6!4!n n -<-，整理得()()4530n n --<，即29100n n --<，解得110n -<<， 由题意可知6n ≥且n *∈N ，因此，不等式46n n C C >的解为6n =或7或8或9. 故答案为：6或7或8或9. 【点睛】本题考查组合不等式的求解，解题的关键就是利用组合数公式列出不等式，考查运算求解能力，属于中等题.14．若二项式6x⎛+ ⎝展开式的常数项为15，则实数m 的值为__________．【答案】±1 【解析】 【分析】先求出二项式6x⎛+ ⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项，结合常数项为15列方程求解即可. 【详解】二项式6x⎛⎝展开式的通项为，661rr r r C x T -+=3626r r r x m C -=，令3602r -=，得4r =， 常数项为44615C m =，41m =，得1m =±，故答案为±1.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15．极坐标系中，曲线4cos ρθ=-上的点到直线()cos 3sin 8ρθθ+=的距离的最大值是 . 【答案】7 【解析】试题分析：由线方程化为：24cos ρρθ=-，即2240x y x ++=，化为：22(2)4x y ++=，圆心坐标为（－2,0），半径为r ＝2，直线方程化为：3x y +－8＝0，圆心到直线的距离为：282d --=＝5，所以，最大距离为：5＋2＝7.考点：1、极坐标方程化为普通方程；2、点到直线的距离.16．已知三次函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是_______.【答案】32()232f x x x =-+ 【解析】 【分析】待定系数法:设32()f x ax bx cx d =+++，利用图象上点坐标代入，与(0)(1)=0f f ''= 联立求解可得.【详解】设32()f x ax bx cx d =+++，2()32f x ax bx c '=++由题知：(0)2(1)1f f ，== ，由图象知(0)(1)=0f f ''=2++103+20d a b c d c a b c =⎧⎪+=⎪∴⎨=⎪⎪+=⎩ 解得2302a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩32()232f x x x \=-+ 故答案为：32()232f x x x =-+【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法，解题时根据具体条件对应方法求解析式.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知()|2|||f x x x =++. （1）求不等式()4f x x -<的解集；（2）若x R ∀∈，2()f x m m -…恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）(2,2)-（2）12m -≤≤ 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论法解不等式得解集；（2）先求出()|2||||2|2f x x x x x =+++-=…， ，再解不等式22m m -≤得解. 【详解】解：（1）不等式()4f x x -<可化为|2|||4x x x ++<+ 当2x -≤时，224x x --<+，2x >-，所以无解； 当-20x <≤时，24x <+，所以-20x <≤； 当0x >时，224x x +<+，2x <，所以02x <<. 综上，不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集是(2,2)-. （2）()|2||||2|2f x x x x x =+++-=…，若x R ∀∈，2()f x m m -…恒成立，则22m m -≤， 解得：12m -≤≤. 【点睛】本题主要考查分类讨论法解不等式，考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.18．已知1x =-是函数32()310f x x x mx =--+()m R ∈的一个极值点． （1）求m 的值；（2）求函数()f x 在[4, 3]-上的最大值和最小值． 【答案】（1）9m =（2）最大值为15，最小值为66- 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，因为1x =是函数的极值点，所以得到(1)0f '-=求出m 的值；（2）求出()f x 的单调区间．研究函数在特定区间上的最值，比较极值点和端点值的大小即判断最值． 【详解】解：（1）∵32()310f x x x mx =--+，∴2()36f x x x m '=--．∵1x =-是函数32()310f x x x mx =--+()m R ∈的一个极值点，∴(1)0f '-=．∴23(1)6(1)0m ⨯--⨯--=．∴9m =（检验符合）．（2）由（1），知9m =．∴32()3910f x x x x =--+． ∴2()369f x x x '=--．令()0f x '=，得23690x x --=，解之，得11x =-，23x =． 列表如下：∴当1x =-时，()f x 取得极大值(1)f -；当3x =时，()f x 取得极小值(3)f ． 而(4)66f -=-，(1)15f -=，(3)17f =-，且661715-<-<． ∴函数()f x 在[4,3]-上的最大值为15，最小值为66-． 【点睛】本题考查利用导数研究函数极值和单调性的能力，考查构造函数比较大小，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且2223a b c ab +=+. （1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形,且1c =,求3a b -的取值范围. 【答案】（1）6π；（2）()1,3. 【解析】试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角形中，注意隐含条件，（3）注意锐角三角形的各角都是锐角.（4）把边的关系转化成角，对于求边的取值范围很有帮助 试题解析：（1）由2223a b c ab +=，得2223a b c ab +-=，所以2cos 3ab C ab =，则3cos 2C =，由(0,)C π∈，6C π=。
山东省泰安市2020年高二下数学期末综合测试试题含解析
山东省泰安市2020年高二(下)数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．210,e e⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．21e ,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．2211e ,e e e⎛⎤--+ ⎥⎝⎦2．已知()()2sin 1f x x f x π+'=，则()1f =( ) A ．12B ．πC ．2π D ．以上都不正确3．若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（ ） A ．40π B ．36πC ．26πD ．20π4．若函数f(x)＝(a ＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．5．若点(,0)A t 与曲线x y e =上点P 的距离的最小值为3t 的值为（ ） A ．ln 243-B ．ln 242-C ．ln 233+D ．ln 332+6．若集合{}{}|23,|14A x x B x x x =-≤≤=-或，则集合A B ⋂=( ) A ．{}34x x x ≤或 B ．{}|13x x -≤≤ C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤<-7．一物体在力5,02()34,2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩（单位:N ）的作用下沿与力F 相同的方向，从0x =处运动到4x =处（单位:)m ，则力()F x 所做的功为（ ） A ．54焦B ．40焦C ．36焦D ．14焦8．已知直线20mx y --=与直线30++=x ny 垂直，则,m n 的关系为（ ） A ．0m n +=B ．10++=m nC ．0-=m nD ．10-+=m n9．集合{|22},{|13}A x x B x x =-<<=-≤<，那么A B =（ ）A ．{|23}x x -<<B ．{|-12}x x ≤<C ．{|21}x x -<≤D ．{|-23}x x <<10．已知0a ≥，函数()()22xf x x ax e =-，若()f x 在[]1,1-上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则不同的报名种数是（ ） A ．35C B ．35AC ．35D ．5312．设sin a xdx π=⎰，则二项式8(展开式的常数项是（ ） A ．1120B ．140C ．-140D ．-1120二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．计算546101011C C C +-的结果为__________.14．已知点(),P s t ，(),Q u v ，2s t +≤，221u v +=，复数1z 、2z 在复平面内分别对应点P 、Q ，若12z z z =+，则z 的最大值是__________. 15．函数()1ln x f x x+=的图像在1e x =处的切线方程为_______.16．6人并排站成一行，其中甲、乙两人必须相邻，那么不同的排法有__________种.（用数学作答） 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数()()()22xf x x mx m e m m R =--+∈．（1）若函数()f x 在0x =处取得极值，求m 的值和函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()0f x >在()0,∞+上恒成立，求实数m 的取值范围．18．求证 ：<19．（6分）如图，已知在四棱锥P ABCD -中，O 为AB 中点，平面POC ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，2PA PB BC AB ====，3AD =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ； （2）求二面角O PD C --的余弦值． 20．（6分）已知函数f(x)=x e -ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； （2）当m≤2时，证明f(x)>0.21．（6分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122AB AP AE ===，将PBA 沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角．（l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．22．（8分）设不等式()()0x y x y +-<表示的平面区别为D ．区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ．过点()22,0F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（1）求曲线C 的方程；（1）若l 垂直于x 轴，Q 为曲线C 上一点，求QA QB ⋅的取值范围； （3）若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A 【解析】试题分析：函数()g x 定义域是(0,)+∞，2ln ()2x g x x ex m x =-+-，21ln '()22xg x x e x -=--，设221ln ()22x h x x e x x =--+，则3333212ln 232ln '()2x x x h x x x x-+-=++=，设3()232ln q x x x =+-，则32262'()6x q x xx x-=-=，'()0q x x =⇒=，易知()q x =极小值233q =+-0>，即()0q x >也即'()0h x >在(0,)+∞上恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又()0h e =，因此e 是()h x 的唯一零点，当0x e <<时，()0h x <，当x e >时，()0h x >，所以()g x 在(0,)e 上递减，在(,)e +∞上递增，()g x 极小值()g e =，函数()g x 至少有一个零点，则221()20g e e e m e =-+-≤，21m e e≤+．故选B ．考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．【名师点睛】本题考查函数的零点的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数()g x 的最小值不大于0，因此要确定'()g x 的正负与零点，又要对'()g x 求导，得3333212ln 232ln "()2x x xg x x x x-+-=++=，此时再研究其分子3()232ln q x x x =+-，于是又一次求导，最终确定出函数()f x 的最小值，本题解题时多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大． 2．B 【解析】 由题意可得：()()()()()'cos 2'1,'1cos 2'1,'1,f x x f x f f f πππππ=+∴=+=据此有：()()2sin ,1sin f x x x f πππππ=+=+=. 本题选择B 选项. 3．B 【解析】 【分析】根据圆锥的高和底面半径求出母线长，分别求出圆锥侧面积和底面积，加和得到结果. 【详解】5=∴圆锥侧面积为：4520ππ⨯⨯=；底面积为：2416ππ⨯= ∴圆锥表面积为：201636πππ+=本题正确选项：B 【点睛】本题考查圆锥表面积的求解，关键是熟练掌握圆锥侧面积公式，属于基础题. 4．C 【解析】本题考查指数型函数的奇偶性，单调性；对数函数的图像及图像的平移变换. 因为()xxf x ka a-=-是奇函数，所以()(),()xx x x f x f x kaa ka a ---=--=--即恒成立，整理得：(1)()0x x k a a --+=恒成立，所以1;k =则();x x f x a a -=-又函数()x x f x a a -=-在R 上是增函数，所以1;a >于是()log (1),(1);a g x x a =+>函数()g x 的图像是由函数log (1)a y x a =>性质平移1个单位得到.故选C 5．D 【解析】 【分析】设(,)mP m e ，求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，以及两点的距离公式，解方程可得所求值． 【详解】x y e =的导数为x y e '=，设(,)mP m e ，可得过P 的切线的斜率为m e ，当AP 垂直于切线时，AP 取得最小值可得1m m e m t e=--=可得2()()120m t m t ----=，解得3m t -=-或4（舍去）， 即有23m e t m =-=，解得32ln m =， ∴332ln t =+， 故选：D ． 【点睛】本题考查导数几何意义的应用、距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.6．D 【解析】试题分析：解：{}{}{}|23|14=|21A B x x x x x x x ⋂=-≤≤⋂--≤<-或 所以选D ．考点：集合的运算． 7．C 【解析】 【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是[0，4]，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案 【详解】 由题意得：424224020023()5(34)5|(4)|362W F x dx dx x dx x x x ==++=++=⎰⎰⎰． 故选：C ． 【点睛】本题考查定积分的应用，物理中的变力所做的功用定积分求解是定积分在物理中的重要应用，正确解答本题的关键是理解功与定积分的对应． 8．C 【解析】 【分析】根据两直线垂直，列出等量关系，化简即可得出结果. 【详解】因为直线20mx y --=与直线30++=x ny 垂直， 所以110⨯-⨯=m n ， 即0-=m n 选C 【点睛】根据两直线垂直求出参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型. 9．D 【解析】 【分析】把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A 与B 的并集． 【详解】把集合A 和集合B 中的解集表示在数轴上，如图所示，则A ∪B={x|-2＜x ＜3}故选A ．【点睛】本题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，属基础题． 10．C 【解析】 【分析】根据函数的解析式，可求导函数()()2'222xf x exx ax a =+--，根据导函数与单调性的关系，可以得到()2221x x a x +≤+；分离参数a ，根据所得函数()()()111221g x x x =+-+的特征求出a 的取值范围. 【详解】因为()()22xf x x ax e =-所以()()()2'222xxf x x a e x ax e =-+-()2222xexx ax a =+--因为()f x 在[]1,1-上是单调减函数 所以()()2'2220xf x exx ax a =+--≤即22220x x ax a +--≤ 所以()2221x x a x +≤+当1x =-时，10-≤ 恒成立当-1,1]（ 时，2221)x xa x +≥+（()21121)x a x +-≥+（()()111221a x x ≥+-+ 令()()()111221g x x x =+-+ ，可知()()()111221g x x x =+-+双刀函数，在-1,1]（ 上为增函数，所以()()max 314g x g ==即34a ≥所以选C 【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）.. 11．C 【解析】分析：利用分布计数乘法原理解答即可.详解：全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，由乘法原理，可得不同的报名种数是3555 5.⨯⨯= 故选C.点睛：本题考查分布计数乘法原理，属基础题. 12．A 【解析】 【详解】分析：利用微积分基本定理求得2a =，先求出二项式8⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式的常数项. 详解：由题意()00sin cos |2a xdx x ππ==-=⎰，∴二项式为8⎛⎝，设展开式中第r 项为1r T +，(()88418812rrr r r r r r T C C x ---+⎛∴==-⋅⋅ ⎝， 令40-=r ，解得4r =，代入得展开式中可得常数项为()4448121120C -⋅=，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．0. 【解析】 【分析】利用组合数的性质111k k k n n n C C C ++++=来进行计算，可得出结果.【详解】由组合数的性质可得5465655101011111111110C C C C C C C +-=-=-=，故答案为0.【点睛】本题考查组合数的计算，解题的关键就是利用组合数的性质进行计算，考查计算能力，属于中等题. 14．3 【解析】 【分析】由题意可知，点P 在曲线2x y +≤内，点Q 在圆221x y +=上，利用三角不等式得出z =1212z z z z OP OQ +≤+=+，可求出z 的最大值.【详解】由题意知，点P 在曲线2x y +≤内，点Q 在圆221x y +=上，如下图所示：由三角不等式得12121213z z z z z OP OQ OP =+≤+=+=+≤+=， 当点P 为正方形的顶点，且点OP 、OQ 方向相反时，z 取最大值3，故答案为3. 【点睛】本题考查复数模的最值，解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解，能简化计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 15．2e e y x =- 【解析】 【分析】对函数求导，把1ex =分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率，进而求得切线方程。
山东省泰安市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷D卷
山东省泰安市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）(2017·怀化模拟) 已知集合A={x|2x≤1}，B={x|lnx＜1}，则A∪B等于（）A . {x|x＜e}B . {x|0≤x≤e}C . {x|x≤e}D . {x|x＞e}2. （2分） (2019高二下·嘉兴期中) 设，若，则（）A .B .C .D .3. （2分）下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学，如果没有2位同学一起走的情况，则第二位走的是甲同学的概率是（）A .B .C .D .4. （2分）若直线l1 ， l2的方向向量分别为=（2，4，﹣4），=（﹣6，9，6），则（）A . l1∥l2B . l1⊥l2C . l1与l2相交但不垂直D . 以上均不正确5. （2分）若直线y=kx+2与双曲线的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）=（）A .B .C .D .7. （2分）方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A . -1<k<1B . k>0C .D . k>1或k<-18. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 已知关于的不等式存在唯一的整数解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为（）A . 0.72B . 0.89C . 0.8D . 0.7610. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则（）A . n＝8，p＝0.2B . n＝4，p＝0.4C . n＝5，p＝.32D . n＝7，p＝0.4511. （2分）(2017·山东模拟) 在学生身体素质检查中，为了解山东省高中男生的身体发育状况，抽查了1000名男生的体重情况，抽查的结果表明他们的体重X（kg）服从正态分布N（u，22），正态分布密度曲线如图所示，若体重落在区间（58.5，62，5）属于正常情况，则在这1000名男生中不属于正常情况的人数是（）附：若随机变量X服从正态分布N（u，σ2），则P（u﹣σ＜X＜u+σ）=0.683，P（u﹣2σ＜X＜u+2σ）=0.954．A . 954B . 819C . 683D . 317二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分） (2019高二下·葫芦岛月考) 已知复数是纯虚数，则实数 ________.13. （1分） (2017高二上·牡丹江月考) 若方程表示双曲线，则的取值范围为________14. （1分） (2016高三上·成都期中) 若曲线y=1nx的一条切线与直线y=﹣x垂直，则该切线方程为________．15. （1分） (2018高二下·大庆月考) 则 =________三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分） (2018高二上·遵义月考) 钝角ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, .（1）求角C的大小；（2）若ΔABC的BC边上中线AD的长为，求ΔABC的周长.17. （20分） (2016高二下·晋江期中) 有4名男生，3名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？（3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？（4）若3名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？18. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．19. （5分） (2016高三上·红桥期中) 已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x﹣1）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+ （0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0 ， y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值．20. （5分）(2017·南昌模拟) 网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．21. （10分）(2018·黄山模拟) 已知，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若点是第一象限内椭圆上的一点， ,求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.参考答案一、单选题 (共11题；共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共4分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共60分) 16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、17-4、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、。
2019-2020学年山东省泰安市高二数学下学期期末考试数学试题
泰安市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题2020.7注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4,5S =，{}2,3,4T =，则()U ST =（ ）A ．{}1,4,5,6B ．{}11,5C ．{}4D ．{}1,2,3,4,52．已知(1)i z i +=，i 为虚数单位，则在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知命题12:,p x x R ∀∈，()()()()21210f x f x xx --，则命题p 的否定是（ ）A ．12,x x R ∃∈，()()()()21210f x f x xx --B ．12,x x R ∀∈，()()()()21210f x f x x x -- C ．12,x x R ∀∈，()()()()21210f x f x xx --< D ．12,x x R ∃∈，()()()()21210f x f x xx --<4．已知3log 5a =，0.23b -=， 1.23c =，则（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<5．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p ．某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X ．若()8D X =，(20)(30)P X P X =<=，则p =（ ） A ．0.16 B ．0.2 C ．0.8 D ．0.846．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当24x 时，()21f x x =-，则(2020)f =（ ）A ．3B ．5C ．7D ．97．命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．9a B ．8a C ．9a D ．10a8．若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22ln 30x x x mx +-+成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．132e e +- B ．32e e++ C ．4 D ．21e - 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列等式正确的是（ ）A ．11(1)m m n n n A A +++= B ．!(2)!(1)n n n n =--C ．!m mn nA C n = D ．11m mn n A A n m+=-10．设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（ ） A ．0.1q = B ．()2E X =，() 1.4D X = C ．()2E X =，() 1.8D X = D ．()5E Y =，()7.2D Y = 11．已知函数1()ln ||f x x x x=-+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 恰有2个零点B ．()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是增函数C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >，且()()120f x f x +=，则121x x =12．已知甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红1，2，3球，白球，黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，用B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．2()5P B =B ．()1511P B A = C ．事件B 与事件1A 相互独立 D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()2ln 23y x x =-++的定义域为________．14．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1，2，3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行，每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有________种（用数字作答）．第一列 第二列 第三列第一行第二行 第三行 15．已知函数1121,12()log ,1x x f x x x -⎧⎛⎫<⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎪⎩，则(0)(2)f f +=________；若[()]2f f a =，则实数a =________．（本题第一空2分，第二空3分）16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知复数5112z i i=+++，i 为虚数单位． （1）求z 和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值． 18．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①第5项的系数与第3项的系数之比是14:3 ②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55 ③22110n n nC C -+-=已知在n的展开式中，________． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含5x 的项．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（12分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访了男性、女性居民各50名，其中每人每天健身时间不少于1小时的称为“健身族”，否则称其为“非健身族”，调查结果如下：（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”．已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健身时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“健身族”与“性别”有关系？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：)20k 0.251.32320．（12分） 已知函数2()21xf x a =-+为奇函数．（1）求实数a 的值，并用定义证明函数()f x 的单调性；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()2220f t f t tk ++->恒成立，求实数k 的取值范围． 21．（12分）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理，历史这两门科目采用原始分计分；思想政治，地理，化学，生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治，地理，化学，生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布(75.8,36)N ．若()2~,Y N μσ，令Y μησ-=，则~(0,1)N η，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分约为多少分？（结果保留整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()P k ξ=取得最大值时k 的值． 附：若~(0,1)N η，则(0.8)0.788P η≈，( 1.04)0.85P η≈． 22．（12分）已知函数2()2ln f x x ax x =-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，若()12f x mx >恒成立，求实数m 的取值范围．高二年级考试数学▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁及评分标准2020.7一、单项选择题：二、多项选择题：三、填空题：13．(1,3)- 14．12 15．1，1 16．1ln2- 四、解答题： 17．（10分） 解：（1）5112z i i=+++5(12)1(12)(12)i i i i -=+++-2i =- 3分∴||z =2z i =+ 5分 （2）由（1）知，2z i =-∵复数z 是方程20x mx n ++=的一个根∴2(2)(2)0i m i n -+-+=即(23)(4)0m n m i ++-+= 7分∴23040m n m ++=⎧⎨+=⎩8分解得45m n =-⎧⎨=⎩∴4m =-，5n = 10分 18．（12分）解：方案一：选条件①（1）1rr n r r n T C -+⎛= ⎝356(1)n rr r n C x -=- 2分由题知，4422(1)14(1)3n n C C -=-， ∴!2!(2)!144!(4)!!3n n n n -⨯=-整理得(3)(2)56n n --=，即25500n n --=，解得10n =或n =-5（舍去）． 4分 ∴10n =∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，555566610(1)252T C x x =-=-∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =- 6分 （2）由（1）知，10n =， ∴556110(1)r rrr T C x -+=- 9分令5556r-=，解得0r =，51T x = ∴展开式中含5x 的项是第1项，51T x = 12分方案二：选条件② （1）由题意得，21212552n nnnnn nC CC C -++=+==整理得21100n n +-= 解得10n =或11n =-（舍）∴10n = 4分 ∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，555566610(1)252T C x x =-=-∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-． 6分 （2）同方案一（2） 方案三：选条件③（1）222211110n n nn n n C C C C C -++-=-==∴10n =， 4分 ∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，555566610(1)252T C x x =-=-．∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =- 6分 （2）同方案一（2） 19．（12分）解：（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为1.2400.810 1.5300.7201.15100⨯+⨯+⨯+⨯=小时 3分由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时， ∵1.15小时=69分钟<70分钟∴该社区不可称为“健身社区” 6分 （2）根据列联表中的数据，得到22()100(40203010) 4.762 3.841()()()()70305050n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯ 9分∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“健康族”与“性别”有关系． 12分 20．（12分）解：（1）函数()f x 的定义域为R122()2121x x x f x a a +--=-=-++∵函数()f x 为奇函数 ∴()()f x f x -=-恒成立即1222121x x x a a +-=-+++恒成立 ∴()2212021x x a +-=+恒成立∴1a = 2分∴2()121x f x =-+ 设12,x x R ∈，且12x x <，则()()121222112121x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭4分 ()()()12122222121x x x x -=++∵2xy =是R 上的增函数 ∴12220xx -<∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <∴函数()f x 是R 上的增函数． 6分 （2）∵()f x 是奇函数∴()()2220f t f t tk ++->对任意的t R ∈恒成立等价于()()222f t f tk t +>-对任意的t R ∈恒成立 9分又()f x 在R 上是增函数∴222t tk t +>-对任意的t R ∈恒成立即2220t kt -+>对任意的t R ∈恒成立 10分 ∴2160k ∆=-<，即44k -<<∴实数k 的取值范围是(4,4)- 12分 21．（12分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，335310101(0)12012C P X C ====，1255310505(1)12012C C P X C ====，2155310505(2)12012C C P X C ====，35310101(3)12012C P X C ==== 3分所以，随机变量X 的分布列为∴1()0123121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 4分 （2）①由~(75.8,36)Y N 得75.8μ=，6σ= 令75.86Y Y μησ--==，则675.8Y η=+ 设该划线分为m ，则()0.85P Y m ≈ ∴75.8(675.8)0.856m P m P ηη-⎛⎫+=≈ ⎪⎝⎭∵当~(0,1)N η时，( 1.04)0.85P η≈ ∴( 1.04)0.85P η-≈ 6分∴75.81.046m -≈- ∴69.56m ≈∴70m = 7分 ②由①知(71)(675.871)(0.8)(0.8)0.788P Y P P P ηηη=+=-=≈即事件“每个学生生物统考成绩不低于71分”的概率约为0.788∴~(800,0.788)B ξ，8008000()0.788(10.788)kk k P k C ξ-==- 9分由()(1)()(1)P k P k P k P k ξξξξ==-⎧⎨==+⎩得80011801800800800117998008000.788(10.788)0.788(10.788)0.788(10.788)0.788(10.788)k k k k k kk k k k k kC C C C -----++-⎧--⎨--⎩ 10分 解得630.188631.188k 又k N ∈，∴631k =∴当631k =时，()P k ξ=取得最大值． 12分 22．（12分）解：（1）由题知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞222()(0)x ax f x x x-+'=> 令2()22g x x ax =-+，则216a ∆=-当0∆即44a -时，()0g x ，即()0f x '∴函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞ 2分 当0>即4a <-或4a >时，令()0g x =解得x =x =若4a <-，则044a a -+<<∵0x >∴()0g x >，即()0f x '>∴函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞ 4分若4a >，则044a a +->>，令()0f x '>，即()0g x >，解得04a x <<或4a x >；令()0f x '<，即()0g x <x <<．∴函数()f x 的单调递增区间为0,4a ⎛ ⎪⎝⎭，4a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调递减区间为44a a ⎛+ ⎪⎝⎭．综上，当4a 时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当4a >时，函数()f x 的单调递增区间为0,4a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭．单调递减区间为⎝⎭6分 （2）222()(0)x ax f x x x -+'=>若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，则1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两不等正实根由（1）知，4a >， ∴1222ax x +=>，121x x =∴1201x x <<< 8分 ()12f x mx >恒成立，即()12f x m x >恒成立()2221311111111112212ln 222ln 22ln 1f x x ax x xx x x x x xx x x -+--+===--+ 10分 令3()22ln h t t t t t =--+，则2()32ln h t t t '=-+当01t <<时，()0h t '<∴()h t 在(0,1)上为减函数∴当01t <<时，()(1)3h t h >=-∴()123f x x >-∴3m -∴实数m 的取值范围(,3]-∞- 12分。