线段的垂直平分线PPT课件
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时线段的垂直平分线的性质与判定课件
如果一条直线上的点到线 段两个端点的距离相等， 那么这条直线是这条线段 的垂直平分线。
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
线段的垂直平分线性质ppt课件
猜想：
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线 段AB 的垂直平分线上呢？
P
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
拓展:
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这点到三个顶点的距离相等.
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P.
求证：(1)PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你
还能得出什么结论？
C
P
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
12.3 角的平分线
A DP C
O
EB
定理1 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
13.1 线段的垂直平分线
M P
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等.
定理2 到一个角的两边的距离相 等的点，在这个角的平分线上.
逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线 段AB 的垂直平分线上呢？
P
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
拓展:
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这点到三个顶点的距离相等.
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P.
求证：(1)PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你
还能得出什么结论？
C
P
A
B
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12.3 角的平分线
A DP C
O
EB
定理1 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
13.1 线段的垂直平分线
M P
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等.
定理2 到一个角的两边的距离相 等的点，在这个角的平分线上.
逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线课件
探究交流
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶 点的距离相等．
①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部
探究交流
②直角三角形三边的垂 ③钝角三角形三边的垂直 直平分线交于三角形斜 平分线交于三角形外部 边中点处
探究交流
议一议
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条
练习巩固
2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分 线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
A
DE
B
C
练习巩固
3.如图，在△ABC中，BC=2，∠BAC＞90°，A的垂直平分线交BC 于点F，请找出图中相等的线段，并求出△AEF的周长.
P ●
离R为半径作圆，交直线l于A，B.
A
B
(2)分别以A、B为圆心，大于R的长为半径作
圆，相交于C、D两点.
(3)过两交点作直线l',此直线为l过P的垂线.
D
练习巩固
1.下列说法错误的是 ( ) A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那 么过这点与顶点的直线必垂直于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
第一章 三角形的证明
3.2 线段的垂直平分线
学习目标
1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解 决实际问题.(重点) 2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.
情境导入
1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距
线段垂直平分线的性质及判定定理ppt课件
今天学习了线段的中垂线的性质、 及逆定理，你能由此联想到前面学过的 什么知识与此类似吗？
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
角的平分线
A
D
C
P
线段的垂直平分线
M P
O
E
B
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线
上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB
的中点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是 否也可以得证?
驶向胜利 的彼岸
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
3、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直 平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？
A
AB=AC=CE
AB+BD=DE B D C
E
4 、已知:如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长A
l
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
P
由此你能得到什么规律？
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
角的平分线
A
D
C
P
线段的垂直平分线
M P
O
E
B
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线
上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB
的中点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是 否也可以得证?
驶向胜利 的彼岸
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
3、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直 平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？
A
AB=AC=CE
AB+BD=DE B D C
E
4 、已知:如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长A
l
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
P
由此你能得到什么规律？
线段的垂直平分线ppt课件
C 3. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线上，且∠ACD=30°， ∠BAD=50°，则∠BCD=
D
A
B
变式 如图，在△ABC中，点D是△ABC三边的垂直平分线 的交点，若∠C=60°，则∠D=
C
D
A
B
能力提升
1. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD=30°， ∠BAD=50°，则∠BCD=
尺子作图 不精准
尺规作图
探究一：三角形三边的垂直平分线的性质
画出以下三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
ADຫໍສະໝຸດ MBCE
N
O
F
猜想：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点 到三个顶点的距离相等.
证明：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点 距离相等。
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的 垂直平分线交于P点.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC
归纳小结
三角形三边的垂直平分线的性质定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点
的距离相等.
A
几何语言： ∵ 点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点 B ∴ PA =PB=PC．
P C
探究二：尺规作图
议一议：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作 出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
的距离相等.
2. 尺规作图
2. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，AB的垂直 平分线EF分别交AB，BD，BC于点E，G，F，连接AG，CG.
(1)求证：BG=CG.
(2)若∠ABC=42°，求∠CGF的大 小.
线段的垂直平分线课件
定理应用
在几何作图和证明中，垂直平分线是重要的工具之一。通过 垂直平分线，我们可以找到一个点到线段两端点距离相等的 点，从而解决一些几何问题。
在实际生活中，垂直平分线的应用也十分广泛。例如，在建 筑、道路规划、通信等领域中，常常需要用到垂直平分线的 性质来解决问题。
PART 03
线段垂直平分线的作法
垂直平分线的判定
判定1
若一条直线过线段中点且与线段 所在直线垂直，则该直线为线段
的垂直平分线。
判定2
若一条直线与线段上的两点距离相 等，且该直线与线段所在直线垂直 ，则该直线为线段的垂直平分线。
判定3
若一条直线与线段所在直线垂直， 且该直线上的点到线段两端点的连 线形成的角均为直角，则该直线为 线段的垂直平分线。
详细描述
首先，确定已知线段和该线段的垂直 平分线。然后，使用直尺或三角板， 将垂直平分线与线段的两个端点连接 。最后得到的直线即为所求的垂直平 分线。
PART 04
线段垂直平分线的性质在 生活中的应用
REPORTING
三角形中的垂直平分线
总结词
三角形中的垂直平分线有助于确定顶点的位置和三角形的形状。
详细描述
在三角形中，垂直平分线通过顶点将相对边等分，有助于确定顶点的位置和三角形的形状。在几何学中，垂直平 分线的性质常用于解决与三角形相关的问题。
地球上的经纬线
总结词
地球上的经纬线是垂直平分线的应用实例，用于确定地理位置和方向。
详细描述
经纬线是地球表面上的垂直平分线系统，用于确定地球上任意地点的地理位置和方向。经纬线交汇的 点称为经纬度，是地理坐标的基础。
总结词：操作简单，适合快 速作图。
01
第一步，将三角板的一条直
尺规作图(画线段的垂直平分线)课件
如桥梁、建筑等。
应用2
解决几何问题：通过构造垂直平分 线，可以将复杂的几何问题转化为 简单的几何问题，从而方便求解。
应用3
设计图纸：在工程设计和建筑图纸 中，常常需要画出各种垂直平分线 ，以确保结构的稳定性和对称性。
03
尺规作线段垂直平分线的方法
确定线段的两个端点
总结词
确定线段两个端点是尺规作图的基础 ，需要使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。
详细描述
首先，使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。确保这两个端点位于 同一直线上，并且距离适中，以便于 后续作图。
以线段中点为圆心，半长为半径画圆
总结词
以线段中点为圆心，半长为半径画圆是垂直平分线作图的关键步骤，需要使用 直尺和圆规进行操作。
详细描述
使用直尺和圆规，以线段的中点为圆心，线段长度的一半为半径画圆。这个圆 将通过线段的两个端点，并且与线段相切于中点。
在思考过程中，可以尝试使用其他工具或方法来作线段的垂 直平分线。例如，可以使用折纸法、三角形法等不同的方法 。通过比较不同方法的优缺点，可以更好地理解作图的本质 和原理。
总结与归纳作图过程中的注意事项
总结
总结归纳作图过程中的注意事项，有助于提高作图的准确性和效率。
在作图过程中，需要注意以下几点
首先，要确保使用的工具是准确和可靠的；其次，要遵循尺规作图的规则和步骤；最后，要认真检查和修正作图 结果。通过总结归纳这些注意事项，可以更好地掌握尺规作图的技巧和方法。
线段垂直平分线的性质
01
02
03
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
性质2
线段垂直平分线上的点到 线段两端点的连线与垂直 平分线垂直。
应用2
解决几何问题：通过构造垂直平分 线，可以将复杂的几何问题转化为 简单的几何问题，从而方便求解。
应用3
设计图纸：在工程设计和建筑图纸 中，常常需要画出各种垂直平分线 ，以确保结构的稳定性和对称性。
03
尺规作线段垂直平分线的方法
确定线段的两个端点
总结词
确定线段两个端点是尺规作图的基础 ，需要使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。
详细描述
首先，使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。确保这两个端点位于 同一直线上，并且距离适中，以便于 后续作图。
以线段中点为圆心，半长为半径画圆
总结词
以线段中点为圆心，半长为半径画圆是垂直平分线作图的关键步骤，需要使用 直尺和圆规进行操作。
详细描述
使用直尺和圆规，以线段的中点为圆心，线段长度的一半为半径画圆。这个圆 将通过线段的两个端点，并且与线段相切于中点。
在思考过程中，可以尝试使用其他工具或方法来作线段的垂 直平分线。例如，可以使用折纸法、三角形法等不同的方法 。通过比较不同方法的优缺点，可以更好地理解作图的本质 和原理。
总结与归纳作图过程中的注意事项
总结
总结归纳作图过程中的注意事项，有助于提高作图的准确性和效率。
在作图过程中，需要注意以下几点
首先，要确保使用的工具是准确和可靠的；其次，要遵循尺规作图的规则和步骤；最后，要认真检查和修正作图 结果。通过总结归纳这些注意事项，可以更好地掌握尺规作图的技巧和方法。
线段垂直平分线的性质
01
02
03
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
性质2
线段垂直平分线上的点到 线段两端点的连线与垂直 平分线垂直。
线段的垂直平分线PPT课件
把其中的字母去掉，全用文字来表述：
如果_有__一__个__点_为__线__段__垂__直_平__分__线__上__的_任__意__一__点____________， 那么_这__个__点__到_这__条__线__段__的_两__个__端__点__距_离__相__等______________
把如果与那么再去掉，又可简写为：
如果有一个点为线段垂直平分线上的任意一点， 那么这个点到线段的两个端点距离相等。 其中，题设是__有_一__个__点__为__线_段__垂__直__平__分_线__上__的__任__意_一__点_
结论是__这__个__点__到_线__段__的__两__个_端__点__距__离__相_等______ 逆命题是 如果__有__一__个__点_到__线__段__的__两__个_端__点__距__离__相_等____
提出问题
问题:有两个村庄A、B，为了便于两个村庄的人看病，乡 政府计划修建一所医院，使得它到两村庄的距离相等，试 问医院的院址应选在何处？
A
B
图形展示
C P
A
E
D
已知CD是AB的垂直平 分线，P是CD上任意一点， 连接PA和PB,问PA=PB吗？
从图形上来看，随着P点上下 移动，PA=PBB你能用所学过的 Nhomakorabea识来证明吗？
A
C
B P L D
问题2:有三个村庄A、B、C，为了便于三个村庄的人看病，
乡政府计划修建一所医院，使得它到三个村庄的距离相等，
试问医院的院址P应选在何处？
A
F
D
P
B
E
想一想，P点与BC有怎样 的关系？
C
G
三角形三条边的中垂线是交 于一点的，这个点到三个顶 点距离相等
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4,如图，某市三个城镇中心A,B,C恰好分别位于 一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心 之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了三 种连接方案： （1）AB+BC （2）AD+BC(D为BC的中点) （3）OA+OB+OC(O 为△ABC三边的垂直平分线的交点) 要使铺设的光缆长度最短应选哪种方案？
A
作法：1、以点P为圆心，以任意长为半
径作弧，与直线l 相交于点A和B．
C 2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求的垂线．
l
B
21
四 学以致用
.
1.已知线段a,求作以a为底,以a/2为高的 等腰三角形.这个等腰三角形有什么特征?
老师提示:先分析,作出示意图形,再按要
求去作图.
2.如图，已知△ABC，求作： （1）AC边上的高；（2）BC边上的高. A
P● Q●
(1) R●
P● Q●
R● (2)
老师期望:养成用数学解释生活的习惯.
P● Q●
(1) R●
P● Q●
R● (2)
(1).根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心 G的位置;
(2).如果这三个城镇的位置如图(2)所示,∠RPQ 是一个钝角,那么根据上述建议,体育中心G应在 什么位置? (3).你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议?
结论:三角形三条边的垂 直平分线相交于一点.
你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗?
利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.
再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么? 与同伴交流.
结论:三角形三条边的垂 直平分线相交于一点.
你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗?
如何证三条直线交于一点？
命题:三角形三条边的垂直平分线相 交于一点.
MNAB
学习目标
PCAPCB90 1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点且这一 点到三个顶点的距离相等；
ACBC,PCPC 2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知底 边及底边上的高作出等腰三角形.
7
二 学习新知
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条 边的垂直平分线. 观察这三条垂直平分线,你发现了什么?
线段的垂直平分线(2)
一 回顾与思考
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等 如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一
M P
点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点距离相等). A
C
B
老师提示:这个结论是经常用来证明两条N
线段相等的根据之一.
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这
基本想法是这样的:我们知道,两条直 线相交只有一个交点。要想证明三条直线 相交于一点只要能证明两条直线的交点在 第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚 刚学到的逆定理.
如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交
于点P,连接AP,BP,CP.
A
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB .
同理,PB=PC.
作法:
A
B
1.分别以点A和B为圆心,以大AB/2
长为半径作弧,两弧交于点C和D.
D
2. 作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
想一想：请你说明CD为什么是AB的
垂直平分线,并与同伴进行交流.
特别提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的 中点,所以以后我们经常也会用这种方法
作线段的中点.
∴PA=PC.
B
∴点P在线段AC的垂直平分线上,
P C
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一
点.
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于 一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
想一想：仿照我们上节课讲的线段垂直 平分线的定理以及逆定理的几何语言的表 示方法，你能把这个定理也用几何语言表 示出来吗？
试一试：你能独立完成这个写作过程吗？
请你写出作法.
老师期望:你能独立写出作法.
作法: （1）作线段BC=a(如图) （2）作线段BC的垂直平分线m，
交BC于点D （3）在m上作线段DA，使DA=h （4）连接AB,AC
△ABC为所求的等腰三角形
A h
a
BD C
m
做一做
已知直线 l 和 l 上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过
点P．
（1）AB+BC
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边
的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶
点的距离相等).
aA
c
b
P
B
C
老师提示:这是证明三条直线交于一点的根据.
三 挑战自我
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高, 你能作出三角形吗?
如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等 吗?
（2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能 用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
老师期望:你能亲自探索出结果并能用尺规
作出图形.
例题
已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形.
已知:线段a,h(如图).
a
h
求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.
B
C
老师提示:钝角三角形中三边的高的情况.
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1. 分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的 垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三 角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直 平分线交点在三角形外．
3.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一 个大型体育中心.在选址过程中,有人建议该体育 中心所在位置应当与该城市的三个城镇中心(如 图中P,Q,R表示)的距离相等.
C
已知：直线l和l上一点P．
求作：PC⊥ l ．
P A
作法：1、以点P为圆心，以任意长为半
径作弧，与直线l 相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求的垂线．
l
B
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议一议
如果点P是直线l外一点，那么怎样利用尺规作l的垂线， 使它经过点P呢？
已知：直线l和l上一点P．
P
求作：PC⊥ l ．
条线段的垂直平分线上.
P
几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
A
B
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上).
老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线
上(或直线经过某一点)的根据之一.
回顾思考：
用尺规作线段的垂直平分线.
C
已知:线段AB,（如图）.
求作:线段AB的垂直平分线.