垂直平分线的证明.ppt
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线段的垂直平分线性质ppt课件
猜想：
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线 段AB 的垂直平分线上呢？
P
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
拓展:
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这点到三个顶点的距离相等.
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P.
求证：(1)PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你
还能得出什么结论？
C
P
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
12.3 角的平分线
A DP C
O
EB
定理1 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
13.1 线段的垂直平分线
M P
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等.
定理2 到一个角的两边的距离相 等的点，在这个角的平分线上.
逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线 段AB 的垂直平分线上呢？
P
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A
B
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小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
拓展:
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这点到三个顶点的距离相等.
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P.
求证：(1)PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你
还能得出什么结论？
C
P
A
B
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12.3 角的平分线
A DP C
O
EB
定理1 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
13.1 线段的垂直平分线
M P
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等.
定理2 到一个角的两边的距离相 等的点，在这个角的平分线上.
逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线课件
定理应用
在几何作图和证明中，垂直平分线是重要的工具之一。通过 垂直平分线，我们可以找到一个点到线段两端点距离相等的 点，从而解决一些几何问题。
在实际生活中，垂直平分线的应用也十分广泛。例如，在建 筑、道路规划、通信等领域中，常常需要用到垂直平分线的 性质来解决问题。
PART 03
线段垂直平分线的作法
垂直平分线的判定
判定1
若一条直线过线段中点且与线段 所在直线垂直，则该直线为线段
的垂直平分线。
判定2
若一条直线与线段上的两点距离相 等，且该直线与线段所在直线垂直 ，则该直线为线段的垂直平分线。
判定3
若一条直线与线段所在直线垂直， 且该直线上的点到线段两端点的连 线形成的角均为直角，则该直线为 线段的垂直平分线。
详细描述
首先，确定已知线段和该线段的垂直 平分线。然后，使用直尺或三角板， 将垂直平分线与线段的两个端点连接 。最后得到的直线即为所求的垂直平 分线。
PART 04
线段垂直平分线的性质在 生活中的应用
REPORTING
三角形中的垂直平分线
总结词
三角形中的垂直平分线有助于确定顶点的位置和三角形的形状。
详细描述
在三角形中，垂直平分线通过顶点将相对边等分，有助于确定顶点的位置和三角形的形状。在几何学中，垂直平 分线的性质常用于解决与三角形相关的问题。
地球上的经纬线
总结词
地球上的经纬线是垂直平分线的应用实例，用于确定地理位置和方向。
详细描述
经纬线是地球表面上的垂直平分线系统，用于确定地球上任意地点的地理位置和方向。经纬线交汇的 点称为经纬度，是地理坐标的基础。
总结词：操作简单，适合快 速作图。
01
第一步，将三角板的一条直
垂直平分线的性质ppt课件
解:
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
线段的垂直平分线的性质PPT课件
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多 少个到线段AB 两端点距离相等的点？
这些点能组成什么几何图形？
l
与A，B 的距离相等的点
都在直线l上，所以直线l 可
以看成与A、B两点 的距离
A
相等的所有点的集合.
P
C
B
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
C
求作：AB的垂线，使它经过点C .
作法：（1）任意取一点K，使点K和
点C在AB的两旁.
A
D
（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，
K
交AB于点D和点E.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 1 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F. 2
E B
F
（4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
二 线段垂直平分线的判定
合作探究
想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂 直平分线上呢？
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直
平分线上．
A
P B
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
作 用 见垂直平分线，得线段相等
内容
到线段的两个端点距离相等 的点在线段的垂直平分线上
作 用 判断一个点是否在线段的垂 直平分线上
这是判断一条直
u应用格式：
线段的垂直平分线PPT课件
把其中的字母去掉，全用文字来表述：
如果_有__一__个__点_为__线__段__垂__直_平__分__线__上__的_任__意__一__点____________， 那么_这__个__点__到_这__条__线__段__的_两__个__端__点__距_离__相__等______________
把如果与那么再去掉，又可简写为：
如果有一个点为线段垂直平分线上的任意一点， 那么这个点到线段的两个端点距离相等。 其中，题设是__有_一__个__点__为__线_段__垂__直__平__分_线__上__的__任__意_一__点_
结论是__这__个__点__到_线__段__的__两__个_端__点__距__离__相_等______ 逆命题是 如果__有__一__个__点_到__线__段__的__两__个_端__点__距__离__相_等____
提出问题
问题:有两个村庄A、B，为了便于两个村庄的人看病，乡 政府计划修建一所医院，使得它到两村庄的距离相等，试 问医院的院址应选在何处？
A
B
图形展示
C P
A
E
D
已知CD是AB的垂直平 分线，P是CD上任意一点， 连接PA和PB,问PA=PB吗？
从图形上来看，随着P点上下 移动，PA=PBB你能用所学过的 Nhomakorabea识来证明吗？
A
C
B P L D
问题2:有三个村庄A、B、C，为了便于三个村庄的人看病，
乡政府计划修建一所医院，使得它到三个村庄的距离相等，
试问医院的院址P应选在何处？
A
F
D
P
B
E
想一想，P点与BC有怎样 的关系？
C
G
三角形三条边的中垂线是交 于一点的，这个点到三个顶 点距离相等
垂直平分线ppt课件
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
猜想得到结论： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点距离_相__等___.
你能证明这一结论吗?
M
P
已知:如图，P点在线段
我能行
判断：如图PA=PB， 则直线MN是线段AB的 垂直平分线。
精讲例2 已知:如 图,AC=AD，BC=BD。 A 求证：AB垂直平分CD。
C
O
B
D
两点确定一条直线。怎样的两点可以确定一条线段 的垂直平分线呢？
注意： 由“两点确定一条直线”可知， 到同一条线段两个端点距离相等的两点， 可确定这条线段的垂直平分线。
∴△APC≌△BPC(SSS)
∵∠PCA+∠PCB=180° ∴∠PCA=∠PCB=90°即 PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线 上
精学
2
判定定理 到一条线段两个端点距离
相等的点,在这条线段的垂直平分线
上.
几何语言
M P
∵PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
A
C
B
作用:仅用来证明一点在线段的垂
N
直平分线上。
∴ ∠ PMA=∠PMB=90°
在RtΔPAC和RtΔPBC中，
AP = BP
A
PM = PM
M
B
∴ RtΔPAC ≌ RtΔPBC(HL) ∴ MA=MB ∴ P点在线段AB的垂直平分线上
P
证法二：
证明：取AB的中点C， 连接PC。
A
C
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
猜想得到结论： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点距离_相__等___.
你能证明这一结论吗?
M
P
已知:如图，P点在线段
我能行
判断：如图PA=PB， 则直线MN是线段AB的 垂直平分线。
精讲例2 已知:如 图,AC=AD，BC=BD。 A 求证：AB垂直平分CD。
C
O
B
D
两点确定一条直线。怎样的两点可以确定一条线段 的垂直平分线呢？
注意： 由“两点确定一条直线”可知， 到同一条线段两个端点距离相等的两点， 可确定这条线段的垂直平分线。
∴△APC≌△BPC(SSS)
∵∠PCA+∠PCB=180° ∴∠PCA=∠PCB=90°即 PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线 上
精学
2
判定定理 到一条线段两个端点距离
相等的点,在这条线段的垂直平分线
上.
几何语言
M P
∵PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
A
C
B
作用:仅用来证明一点在线段的垂
N
直平分线上。
∴ ∠ PMA=∠PMB=90°
在RtΔPAC和RtΔPBC中，
AP = BP
A
PM = PM
M
B
∴ RtΔPAC ≌ RtΔPBC(HL) ∴ MA=MB ∴ P点在线段AB的垂直平分线上
P
证法二：
证明：取AB的中点C， 连接PC。
A
C
垂直平分线课件
定理2
垂直平分线上的任意点与线段的两个端点的距 离相等。
推论2
垂直平分线与线段的垂直平分线相交于线段中 点。
实例应用
垂直平分线在几何题目求解中有很多应用，比如通过画垂直平分线证明等式。
几何题目求解
通过画垂直平分线，我们可以解决一些需要使用垂 直平分线的几何问题。
画垂直平分线证明等式
在一些几何证明中，我们可以通过画垂直平分线来 证明等式的成立。
如何作图？
以下是作图垂直平分线的步骤： 1. 以线段的两个端点为圆心，任选一个长度超过一半的半径画两个弧。 2. 两个弧交于两点，连接这两点得到的线即为垂直平分线。
接下来，我们通过一个例题分析具体的作图方法。
相关定理
定理1
垂直平分线将一条线段分成两段相等的部分。
推论1
垂直平分线与线段的延长线垂直。
总结
知识点回顾
垂直平分线将一条线段垂直平分，具有一些性质和 相关定理。
拓展思考
如何利用垂直平分线解决其他几何问题？你能发现 什么有趣的应用吗？
参考资料
图片来源
Unsplash、Pexels等网站提供的免费高质量图片。
参考文献
相关几何学教材和学术论文。 Nhomakorabea垂直平分线ppt课件
本课件介绍垂直平分线的概念、作图方法、相关定理以及实例应用。通过图 示和例题分析，帮助学生巩固知识点并提高解题能力。
什么是垂直平分线？
垂直平分线定义为将一条线段垂直平分的线。 它具有以下性质：
• 垂直平分线将一条线段分成两段相等的部分。 • 垂直平分线上的任意点与线段的两个端点的距离相等。
人教版八年级上册数学垂直平分线的证明课件PPT
B
人教版八年级上册数学13.1.2垂直平 分线的 证明课 件(共36 张PPT)
N
人教版八年级上册数学13.1.2垂直平 分线的 证明课 件(共36 张PPT)
证明: ∵MNAB（已知） M ∴PCA=PCB(垂直的定义)
P
在PCA和PCB中,
AC=CB(已知),
PCA=PCB(已证)
A C B PC=PC(公共边)
∵ PA=PB(已知)
∴ PAB是等腰三角形(等腰三角
形的定义)
AC
∴AC=BC(等腰三角形底边上
B 的高是底边上的中线)
∴PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直 平分线MN上.
人教版八年级上册数学13.1.2垂直平 分线的 证明课 件(共36 张PPT)
逆定理
和一条线段两个端 点距离相等的点,在 这条线段的垂直平 分线上.
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
人教版八年级上册数学13.1.2垂直平 分线的 证明课 件(共36 张PPT)
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已知： 直线MNAB，垂足是C， 且AC=CB.点P在MN上.
M P
求证： PA=PB
AC
C
.Q
N
B
人教版八年级上册数学13.1.2垂直平 分线的 证明课 件(共36 张PPT)
定理(线段垂直平分线的性质定理) 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
人教版八年级上册数学13.1.2垂直平 分线的 证明课 件(共36 张PPT)
人教版八年级上册数学13.1.2垂直平 分线的 证明课 件(共36 张PPT)
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∴ 1= B 即 CAF= B.
35
如图,已知:AOB,点M、N. 求作:一点P,使点P到AOB两边的 距离相等,并且满足PM=PN.
∴ 2= 3(等量代换)
∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)
D 30
证明题:3.已知:如图,在ABC中, AB=AC,A=120o, AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.
A
E
300
300
B
60O F
30O C
CF=2AF AF=BF CF=2BF
31
线段垂直平分线上的点和这条线 段
求证:D点在AB的垂直平分线上. A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知)
∴ ABC=60o(三角形内角和定理) ∵BD平分A BC(已知)
30o
∴ ABD=30o(角平分线的定义)
∴ A= ABD (等量代换)
D
∴ AD=BD(等角对等边)
30o
∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 条线段两个端点距离相等的点,在这
两 和一个条端线点段的两距个离端相点等距. 离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合.
32
作业: P95 2. 3. 4
33
证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分 AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B.
P
在PCA和PCB中,
AC=CB(已知),
PCA=PCB(已证)
A C B PC=PC(公共边)
N ∴ PCA ≌ PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
12
M
当点P与点C重合时,上述证 明有什么缺陷?
P
PCA与PCB将不存在.
AC
N
PA与PB还相等吗?
B 相等! 此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB
点,在这条线段的垂直平分线上.
17
M
• •
• • •
A
•
•C
B
•
•
•
N
18
M
• •
• • •
A
•
•C
B
•
•
•
N
19
线段的垂直平分线可以看作是
和线段两个端点距离相等 的所有点的集合.
20
例 已知:如图ABC中,边AB、BC的
垂直平分线相交于点P.
A
求证:PA=PB=PC.
M
证明: ∵ 点A在线段
哈五中
1
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址.
C•
A•
•B
2
M
P•
A
C
B
N
3
M
A
C
B
N •Q
4
M
P.
A
B
C
.Q
N
5
定理(线段垂直平分线的性质定理) 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
6
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
A
3 21 E
4
B
D
C
F
34
A
E3 2 1
4
B
DC
F
证明:∵ EF垂直平分AD(已知) ∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理) ∴ 1+ 2= 4(等边对等角)
又∵ 4= B+ 3(三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和)
∴ 1+ 2= B+ 3 ∵ AD平分BAC(已知)
∴ 2= 3(角平分线的定义)
形的定义)
AC
∴AC=BC(等腰三角形底边上
B 的高是底边上的中线)
∴PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直 平分线MN上.
15
逆定理
和一条线段两个端 点距离相等的点,在 这条线段的垂直平 分线上.
16
小结: 1.线段的垂直平分线上的点,和这条
线段两个端点的距离相等. 2.和一条线段两个端点距离相等的
7
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
8
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
9
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
10
已知： 直线MNAB，垂足是C， 且AC=CB.点P在MN上.
M P
求证： PA=PB
AC
B
N
11
证明: ∵MNAB（已知） M ∴PCA=PCB(垂直的定义)
13
M
P•
P• /
已知线段AB,有一 点P,并且PA=PB. 那么,点P是否一定 在AB的垂直平分 线上?
这样的点P /不存在
A
C
B
N 14
已知: 线段AB,且PA=PB 求证: 点P在线段AB的垂直
平分线MN上.
P 证明: 过点P作PCAB垂足为C.
∵ PA=PB(已知)
∴ PAB是等腰三角形(等腰三角
A
E
13cm
B
D
C
27
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直
平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?
D
AD =BD AC = BC
3
CF = BF CE = BE F CF =DF
2
即:BF=CF=DF
1
A
CE B
28
证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD
平分ABC交AC于D.
•A
•B l
P 点P为所求作的点
23
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
A
1题图
E
B
D
C
24
填空：
1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,
AB的垂直平分线上
(已知)
B
M/ P N C
N/
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点
和这条线段两个端点距离相等)
同理 PB=PC
∴ PA=PB=PC.
21
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址.
C•
P• A•
•B
点P为校址
22
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号)
A
A
1题图
E
B
D
C
2题图
E
B
D
C
25
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o ,
2= 45o . A
30o
M
D
1N
30o
B 2 75o C
26
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm
条线段的垂直平分线上.)
C
B
29
证明题:
2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD.
求证:AD∥BC.
C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知)
∴ CA=CB(线段垂直平分线的
性质定理)
∴ 1= 3(等边对等角)ALeabharlann 1 2O3
又∵ AB平分CAD(已知) B∴ 1= 2(角平分线的定义)