垂直平分线的性质课件pptppt
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时线段的垂直平分线的性质与判定课件
如果一条直线上的点到线 段两个端点的距离相等， 那么这条直线是这条线段 的垂直平分线。
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
线段的垂直平分线性质ppt课件
猜想：
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线 段AB 的垂直平分线上呢？
P
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
拓展:
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这点到三个顶点的距离相等.
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P.
求证：(1)PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你
还能得出什么结论？
C
P
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
12.3 角的平分线
A DP C
O
EB
定理1 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
13.1 线段的垂直平分线
M P
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等.
定理2 到一个角的两边的距离相 等的点，在这个角的平分线上.
逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线 段AB 的垂直平分线上呢？
P
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
拓展:
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这点到三个顶点的距离相等.
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P.
求证：(1)PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你
还能得出什么结论？
C
P
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
12.3 角的平分线
A DP C
O
EB
定理1 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
13.1 线段的垂直平分线
M P
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等.
定理2 到一个角的两边的距离相 等的点，在这个角的平分线上.
逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质及判定定理课件
定理2 到一个角的两边的距离相等的 点，在这个角的平分线上。
逆定理 和一条线段两个端点距离相等
的点，在这条线段的垂直平分线上。
角的平分线是到角的两边距离相等 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端
的所有点的集合
点距离相等的所有点的集合
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
第十八页，共19页幻灯片
第十九页，共19页幻灯片
第十六页，共19页幻灯片
今天学习了线段的中垂线的性质、 及逆定理，你能由此联想到前面学过的 什么知识与此类似吗？
第十七页，共19页幻灯片
线段的垂直平分线
M
P
O
E
B
A
B
N
定理1 在角的平分线上的点到这个角的 定 理 线段垂直平分线上的点和这
两边的距离相等。
条线段两个端点的距离相等。
的垂直平分线上.
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线上
,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中
点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否
也可以得证?
驶向胜利的 彼岸
第十一页，共19页幻灯片
∴AE+EC=BE+EC=8cm 有垂直平分线
（等式性质）.
，就有等腰三
又∵ BC=6cm（已知）
角形的产生
∴ C△BEC=BE+EC+BC =8+6=14cm
第十页，共19页幻灯片
思考分析
进步的标志
你能写出定理 “线段垂直平分线上的
线段的垂直平分线课件
定理应用
在几何作图和证明中，垂直平分线是重要的工具之一。通过 垂直平分线，我们可以找到一个点到线段两端点距离相等的 点，从而解决一些几何问题。
在实际生活中，垂直平分线的应用也十分广泛。例如，在建 筑、道路规划、通信等领域中，常常需要用到垂直平分线的 性质来解决问题。
PART 03
线段垂直平分线的作法
垂直平分线的判定
判定1
若一条直线过线段中点且与线段 所在直线垂直，则该直线为线段
的垂直平分线。
判定2
若一条直线与线段上的两点距离相 等，且该直线与线段所在直线垂直 ，则该直线为线段的垂直平分线。
判定3
若一条直线与线段所在直线垂直， 且该直线上的点到线段两端点的连 线形成的角均为直角，则该直线为 线段的垂直平分线。
详细描述
首先，确定已知线段和该线段的垂直 平分线。然后，使用直尺或三角板， 将垂直平分线与线段的两个端点连接 。最后得到的直线即为所求的垂直平 分线。
PART 04
线段垂直平分线的性质在 生活中的应用
REPORTING
三角形中的垂直平分线
总结词
三角形中的垂直平分线有助于确定顶点的位置和三角形的形状。
详细描述
在三角形中，垂直平分线通过顶点将相对边等分，有助于确定顶点的位置和三角形的形状。在几何学中，垂直平 分线的性质常用于解决与三角形相关的问题。
地球上的经纬线
总结词
地球上的经纬线是垂直平分线的应用实例，用于确定地理位置和方向。
详细描述
经纬线是地球表面上的垂直平分线系统，用于确定地球上任意地点的地理位置和方向。经纬线交汇的 点称为经纬度，是地理坐标的基础。
总结词：操作简单，适合快 速作图。
01
第一步，将三角板的一条直
垂直平分线的性质ppt课件
解:
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
北师大版八年级下册 1.3 线段的垂直平分线 课件
课堂小结, 畅谈收获：
一、线段垂直平分线的性质定理． 二、线段垂直平分线的判定定理． 三、用尺规作线段的垂直平分线．
三角形的证明
线段的垂直平分线(2)
用心想一想，马到功成
习题1．7的第1题：利用尺规作三角形三条边的垂 直平分线，当作完此题时你发现了什么?
发现：三角形三边的垂直平 分线交于一点．这一点到三角形 三个顶点的距离相等．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
证法二：取AB的中点C，过P,C作直线． A
C
B
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
证明：连接AO，BO，CO．
A
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两
O
个端点的距离相等)．
同理OB=OC．∴OA=OC．
B
C
∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端 点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O
三角形三边的垂直平分线的性质定理
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高 AD=h
作法：1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC 于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交
MN于A点；
4．连接AB、AC
B
∴△ABC就是所求作的三角形
a h AM
DC N
课内拓展延伸
求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段．
线段的垂直平分线PPT课件
把其中的字母去掉，全用文字来表述：
如果_有__一__个__点_为__线__段__垂__直_平__分__线__上__的_任__意__一__点____________， 那么_这__个__点__到_这__条__线__段__的_两__个__端__点__距_离__相__等______________
把如果与那么再去掉，又可简写为：
如果有一个点为线段垂直平分线上的任意一点， 那么这个点到线段的两个端点距离相等。 其中，题设是__有_一__个__点__为__线_段__垂__直__平__分_线__上__的__任__意_一__点_
结论是__这__个__点__到_线__段__的__两__个_端__点__距__离__相_等______ 逆命题是 如果__有__一__个__点_到__线__段__的__两__个_端__点__距__离__相_等____
提出问题
问题:有两个村庄A、B，为了便于两个村庄的人看病，乡 政府计划修建一所医院，使得它到两村庄的距离相等，试 问医院的院址应选在何处？
A
B
图形展示
C P
A
E
D
已知CD是AB的垂直平 分线，P是CD上任意一点， 连接PA和PB,问PA=PB吗？
从图形上来看，随着P点上下 移动，PA=PBB你能用所学过的 Nhomakorabea识来证明吗？
A
C
B P L D
问题2:有三个村庄A、B、C，为了便于三个村庄的人看病，
乡政府计划修建一所医院，使得它到三个村庄的距离相等，
试问医院的院址P应选在何处？
A
F
D
P
B
E
想一想，P点与BC有怎样 的关系？
C
G
三角形三条边的中垂线是交 于一点的，这个点到三个顶 点距离相等
垂直平分线课件
定理2
垂直平分线上的任意点与线段的两个端点的距 离相等。
推论2
垂直平分线与线段的垂直平分线相交于线段中 点。
实例应用
垂直平分线在几何题目求解中有很多应用，比如通过画垂直平分线证明等式。
几何题目求解
通过画垂直平分线，我们可以解决一些需要使用垂 直平分线的几何问题。
画垂直平分线证明等式
在一些几何证明中，我们可以通过画垂直平分线来 证明等式的成立。
如何作图？
以下是作图垂直平分线的步骤： 1. 以线段的两个端点为圆心，任选一个长度超过一半的半径画两个弧。 2. 两个弧交于两点，连接这两点得到的线即为垂直平分线。
接下来，我们通过一个例题分析具体的作图方法。
相关定理
定理1
垂直平分线将一条线段分成两段相等的部分。
推论1
垂直平分线与线段的延长线垂直。
总结
知识点回顾
垂直平分线将一条线段垂直平分，具有一些性质和 相关定理。
拓展思考
如何利用垂直平分线解决其他几何问题？你能发现 什么有趣的应用吗？
参考资料
图片来源
Unsplash、Pexels等网站提供的免费高质量图片。
参考文献
相关几何学教材和学术论文。 Nhomakorabea垂直平分线ppt课件
本课件介绍垂直平分线的概念、作图方法、相关定理以及实例应用。通过图 示和例题分析，帮助学生巩固知识点并提高解题能力。
什么是垂直平分线？
垂直平分线定义为将一条线段垂直平分的线。 它具有以下性质：
• 垂直平分线将一条线段分成两段相等的部分。 • 垂直平分线上的任意点与线段的两个端点的距离相等。
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离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
-
探索并证明线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，
点P 在l 上．求证：PA =PB．
l
证明：∵ l⊥AB，
P
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 ∵ AC =CB，PC =PC，
P
求证：点P 在线段AB
的垂直平分线上．
证明：如图作PC⊥AB
则∠PCA =∠PCB =90°．
A
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
C
B
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平- 分线上
探索并证明线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距
离相等的所有点的集合
-
巩固练习 已知:如图 ABC中,边AB、BC的
A M
垂直平分线相交于点P.
P
求证:PA=PB=PC.
OA，OB，现计划修建一个物资仓库，
希望仓库到两所大学的距离相等，到
两条公路的距离也相等，请你确定该
点。 A
M
O
N
B
-
结束语
同学们，这节课到这里就结束了， 谢谢你们的参与！
-
1.（临沂·中考）正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角
A
来，与A，B 的距离相
•
•C
B
•
等的点都在直线l上，
•
所以直线l 可以看成与
•
两点A、B 的距离相等
的所有点的集合．
-
N
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
（直线CD)
-
试验与探索：条线段的垂直平分线
C
问题2：
直线CD
具有什么 A
M
CD⊥AB MA=MB
B 即：直线
特征或特 性?
CD垂直并 且平分线段
AB. D
定义： 垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段
的 垂直平分线。也称中垂线。
如上图，直线CD就是线段AB的垂直平分线
-
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是
l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距
离之间的数量关系．
相等．
P3
结论：线段垂直平分线上的 点与这条线段两个端点的距
P2
离相等．
P1
A
B
明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
A
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）
C
B
∴ PA =PB．
用几何语言表示为：
线段垂直平分线的性质：
∵ CA =CB，l⊥AB，
线段垂直平分线上的点与这条 ∴ PA =PB．
线段两个端点的距离相等．
-
巩固练习
如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线
交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等
质）
∴ ＯA=ＯC（等量代换） -
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上． P
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A C
B
-
探索并证明线段垂直平分线的判定
已知：如图，PA =PB．
于__8____．
A
B
DE
C
-
巩固练习
如图所示，在ΔABC中，边BC的垂直平分线 MN分别交AB于点M,交BC于点N, ΔBMC的周长 为23,且BM=7,求BC的长。
解:∵ MN是线段BC的垂直平分线
A BM=7
M
∴ CM=BM=7
∵ ΔBMC 的周长=23
B
N
C ∴BM+CM+BC=23
∴BC=23-CM-BM
B
C
证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上N(已知)
∴ PA=PB( ) 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等
同理 PB=PC ∴ PA=PB=PC.
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一 点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
思考：交点在什么位置？-
知识拓展
如图，△OBC中，BC的垂直平分线DP交 ∠BOC的平分线于D，垂足为P．
-
-
-
-
木工手工钻
-
试验与探索：条线段的垂直平分线
请同学们在练习本上画出线段AB及其中点 M,再过点M画出AB的垂线CD,沿直线CD将纸对折，观察线
段MA和MB是否完全重合？ C
A
结论：线段MA
和MB完全重合， 因此，线段AB是轴 对称图形。
M
B
问题1：既然线段AB
D
是轴对称图形。那么它的 对称轴是什么呢？
线段垂直平分线的判定
P
与一条线段两个端点距离相等的点，在
这条线段的垂直平分线上．
用几何符号表示为：
∵ PA =PB，
A
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
C
B
-
巩固练习
如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段
BC 的垂直平分线吗？ A
解：∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线上．
=23-7-7
-
=9
巩固练习 如图所示，直线MN和DE分别是线段
AB、BC的垂直平分线,它们交于点Ｏ,试判断线段Ｏ A和ＯC是否相等？请说明理由？
M D
解：相等，连接ＯB.
∵ MN是线段AB的垂直平分线
Ｏ
（已知）
∴ ＯA=ＯB（线段中垂线的性 C 质）
A N
又∵ DE是线段BC的垂直平分线
B
E
（已知） ∴ ＯB=ＯC（线段中垂线的性
∵ MB =MC，
∵ 点M 在BC 的垂直平分线上∴
M
直线AM 是线段BC 的垂直平分线
．
B
D
C
-
探索并证明线段垂直平分线的判定
M
你能再找一些到线段AB 两端点的 •
距离相等的点吗？能找到多少个到线 •
段AB 两端点距离相等的点？
•
这些点能组成什么几何图形？
•
在线段AB 的垂直
•
平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过
（1）若∠BOC=60゜，求∠BDC的度数； （2）若∠BOC=α，则∠BDC=______（直接写出结果）．
-
思考：生活中的数学
A
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能
使得它到三个小区的距离相等。
·
B
C
-
• 某地有两所大学和两条相交叉的公路
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
-
探索并证明线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，
点P 在l 上．求证：PA =PB．
l
证明：∵ l⊥AB，
P
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 ∵ AC =CB，PC =PC，
P
求证：点P 在线段AB
的垂直平分线上．
证明：如图作PC⊥AB
则∠PCA =∠PCB =90°．
A
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
C
B
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平- 分线上
探索并证明线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距
离相等的所有点的集合
-
巩固练习 已知:如图 ABC中,边AB、BC的
A M
垂直平分线相交于点P.
P
求证:PA=PB=PC.
OA，OB，现计划修建一个物资仓库，
希望仓库到两所大学的距离相等，到
两条公路的距离也相等，请你确定该
点。 A
M
O
N
B
-
结束语
同学们，这节课到这里就结束了， 谢谢你们的参与！
-
1.（临沂·中考）正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角
A
来，与A，B 的距离相
•
•C
B
•
等的点都在直线l上，
•
所以直线l 可以看成与
•
两点A、B 的距离相等
的所有点的集合．
-
N
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
（直线CD)
-
试验与探索：条线段的垂直平分线
C
问题2：
直线CD
具有什么 A
M
CD⊥AB MA=MB
B 即：直线
特征或特 性?
CD垂直并 且平分线段
AB. D
定义： 垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段
的 垂直平分线。也称中垂线。
如上图，直线CD就是线段AB的垂直平分线
-
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是
l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距
离之间的数量关系．
相等．
P3
结论：线段垂直平分线上的 点与这条线段两个端点的距
P2
离相等．
P1
A
B
明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
A
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）
C
B
∴ PA =PB．
用几何语言表示为：
线段垂直平分线的性质：
∵ CA =CB，l⊥AB，
线段垂直平分线上的点与这条 ∴ PA =PB．
线段两个端点的距离相等．
-
巩固练习
如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线
交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等
质）
∴ ＯA=ＯC（等量代换） -
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上． P
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A C
B
-
探索并证明线段垂直平分线的判定
已知：如图，PA =PB．
于__8____．
A
B
DE
C
-
巩固练习
如图所示，在ΔABC中，边BC的垂直平分线 MN分别交AB于点M,交BC于点N, ΔBMC的周长 为23,且BM=7,求BC的长。
解:∵ MN是线段BC的垂直平分线
A BM=7
M
∴ CM=BM=7
∵ ΔBMC 的周长=23
B
N
C ∴BM+CM+BC=23
∴BC=23-CM-BM
B
C
证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上N(已知)
∴ PA=PB( ) 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等
同理 PB=PC ∴ PA=PB=PC.
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一 点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
思考：交点在什么位置？-
知识拓展
如图，△OBC中，BC的垂直平分线DP交 ∠BOC的平分线于D，垂足为P．
-
-
-
-
木工手工钻
-
试验与探索：条线段的垂直平分线
请同学们在练习本上画出线段AB及其中点 M,再过点M画出AB的垂线CD,沿直线CD将纸对折，观察线
段MA和MB是否完全重合？ C
A
结论：线段MA
和MB完全重合， 因此，线段AB是轴 对称图形。
M
B
问题1：既然线段AB
D
是轴对称图形。那么它的 对称轴是什么呢？
线段垂直平分线的判定
P
与一条线段两个端点距离相等的点，在
这条线段的垂直平分线上．
用几何符号表示为：
∵ PA =PB，
A
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
C
B
-
巩固练习
如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段
BC 的垂直平分线吗？ A
解：∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线上．
=23-7-7
-
=9
巩固练习 如图所示，直线MN和DE分别是线段
AB、BC的垂直平分线,它们交于点Ｏ,试判断线段Ｏ A和ＯC是否相等？请说明理由？
M D
解：相等，连接ＯB.
∵ MN是线段AB的垂直平分线
Ｏ
（已知）
∴ ＯA=ＯB（线段中垂线的性 C 质）
A N
又∵ DE是线段BC的垂直平分线
B
E
（已知） ∴ ＯB=ＯC（线段中垂线的性
∵ MB =MC，
∵ 点M 在BC 的垂直平分线上∴
M
直线AM 是线段BC 的垂直平分线
．
B
D
C
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探索并证明线段垂直平分线的判定
M
你能再找一些到线段AB 两端点的 •
距离相等的点吗？能找到多少个到线 •
段AB 两端点距离相等的点？
•
这些点能组成什么几何图形？
•
在线段AB 的垂直
•
平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过
（1）若∠BOC=60゜，求∠BDC的度数； （2）若∠BOC=α，则∠BDC=______（直接写出结果）．
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思考：生活中的数学
A
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能
使得它到三个小区的距离相等。
·
B
C
-
• 某地有两所大学和两条相交叉的公路