华东理工大学继续教育学院《高等数学》(下)练习试卷(1)(答案)
华东理工大学继续教育学院成人教育
《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案）
一、单项选择题
1、设xy
e y z 2
=，则=)1,1(dz 答（ A ） （A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e -
（C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e - 解 （知识点：全微分的概念、全微分的计算方法）
因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+，得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==， 所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+
2、设方程0yz z 3y 2x 22
2
2
=-++确定了函数z=z （x ，y ），则
=∂∂x
z
答（ B ）
（A ）
y z x -64 （B ）
z
y x
64- （C ）
y z y +64 （D ）y
z y
-64
解 （知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法） 将方程两边对x 求导得 460z z
x z y x x
∂∂+-=∂∂，解得
46z x x y z ∂=∂-
3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则 答（ C ） （A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=0 解 （知识点：平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系）
由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ⇒=. 平面过原点 0D ⇒=，所以有 0D ,0B ==， 选（C ）.
4、
设u =，则
(0,0)
u x
∂=∂ 答（ A ）
（A ）等于0 （B ）不存在 （C ）等于1- （D ）等于1 解： （知识点：偏导数的定义）
0(0,0)
(0,0)(0,0)0
lim
lim 0x x u f x f x
x
x →→∂+∆-===∂∆∆V V ，所以选（A ）
5、极限 00
sin lim
x y xy
x
→→= 答（ C ）
（A ）不存在 （B ）1 （C ）0 （D ）∞ 解： （知识点：二重极限的概念、极限的四则运算性质、重要极限0sin lim
1x x
x
→=的运用）
000
sin sin lim
lim 011x x y y xy xy
y x xy →→→→=⋅=⋅=， 所以选（C ）
二、填空题
1、设函数)ln(sin 2
2
y x y z +=，则
=∂∂y
z
解：（知识点：偏导数的概念、偏导数的计算方法）
)ln(cos 2sin 2
22
2y x y y x y y y z +++⋅=∂∂ 2、改变积分⎰⎰e
x dy y x f dx
1ln 0
),(的积分次序，⎰⎰e x dy y x f dx 1
ln 0
),( =
解：（知识点：化二重积分为二次积分、交换二次积分积分次序的方法）
因为 ln 10
(,)(,)e
x D
dx
f x y dy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰，其中 {(,)1,0ln }D x y x e y x =≤≤≤≤，
所以有 ln 1
(,)(,)e
x D
dx
f x y dy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰=10
(,)y
e
e dy
f x y dx ⎰⎰
3、设{2,1,3},{2,1,3}a b =-=-r r ，则25a b +=r r
解：（知识点：向量的坐标运算方法）
252{2,1,3}5{2,1,3}{4,2,6}{10,5,15}{6,3,21}a b +=-+-=-+-=-r r
4、函数ln()arcsin
y
z y x x
=-+ 的定义域为 解：（知识点：函数的定义域的概念及确定方法）
为使表达式x
y
arcsin
)x y ln(z +-=有意义 0,
1,y
y x y x y x x
⇒->≤⇒>≤， 所以函数的定义域为 x y x <≤-
5、 设 (,^),3,43
a b a b π=
==r
r r
r
，则 (2)a b -⨯=r
r
解：（知识点：外积的概念及运算性质）
(2)22sin(,^)234sin 3
a b a b a b a b π-⨯=⨯==⋅⋅⋅=r r r r
r r r r
三、解答下列各题 1、求微分方程 y y dx
dy
x
ln = 的通解。
解：（知识点：通解得概念、求解一阶可分离变量方程的方法）
分离变量得
dx x
y y dy 1
ln =， 两边积分有 c x y ln ln )ln(ln +=， 所以方程的通解为： cx
e y =。
2、计算二重积分：⎰⎰+D
d y x σ)23(， 其中D 是由曲线2
x y =及直线y=1所围成的区域。
解：（知识点：二重积分对称性、奇偶性性质在计算二重积分中的应用，直角坐标系下化二
重积分为二次积分的计算方法）
58)51(2)1(2422)23(12
1011
01054
=-=-===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D x D x x dx x ydy dx yd d y x σσ
3、设) ,
(2z
y y x f u =，其中f 为可微函数 ，求,u u y x ∂∂∂∂。
解：（知识点：多元复合函数求偏导数的链式法则的运用）
11233'
1.''f u y f f x x z y
y ∂∂⎛⎫=⋅+= ⎪∂∂⎝⎭， )1(')2('.231z f y x f y u +-=∂∂'1
'2213f z f y
x +-=。
4、设 =+xy
u x y
，计算 22
u y ∂∂ 解：（知识点：二阶偏导数的概念、计算方法）
222()()∂+-=⋅=∂++u x y y x x y x y x y ， 222
233
22()()∂-=⋅=-∂++u x x y x y x y
5、求过点(0,1,2)M -且平行于直线
113
211
x y z -+-==-的直线方程。
解：（知识点：直线方程的概念、直线的点向式方程） 因为所求直线与已知直线
113211
x y z -+-==-平行，所以所求直线的方向为{2,1,1}l =-r 。
又直线过点(0,1,2)M -，根据直线的点向式方程，所求直线为
12
211
x y z -+==-
6、设23,sin ,x y u e x t y t -===，求
du dt。
解：（知识点：全导数的概念、多元复合函数求偏导数公式）
3
2222sin 2cos (2)3(cos 6)x y x y t t du u dx u dy e t e t t t e
dt x dt y dt
---∂∂=⋅+⋅=+⋅-⋅=-∂∂
四、求函数22
(2)x z e x y y =++的极值。
解：（知识点：极值的概念、极值点的必要条件、极值的充分条件）
令222(,)(2241)0,(,)2(1)0x
x x
y f x y x y y e f x y y e ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩
解得函数的驻点 1(,1)2-。
又由 2222(,)4(21),(,)2,(,)(,)4(1)x x x
xx yy xy xy f x y x y y e f x y e f x y f x y y e =+++===+
得黑塞行列式 21(,1)2
201
(,1)40022xx xy
yx yy
f f e H e f f e
--=
==>。
又由1(,1)202
xx f e -=>，根据极值点的充分条件，函数在点1(,1)2
-处取得极小值1(,1)2
2
e f -=-。
成考高等数学(二)成人高考(专升本)试卷与参考答案(2025年)
2025年成人高考成考高等数学(二)(专升本)自测试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、下列关于定积分的性质，说法正确的是：A. 定积分是函数在某个区间上的面积B. 定积分的值与被积函数的图形有关C. 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫[a,b]f(x)dx存在D. 定积分的值一定是非负的2.已知函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b)，则下列哪个命题是正确的？A. 函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点B. 函数f(x)在区间(a, b)内至多有一个零点C. 函数f(x)在区间(a, b)内一定有零点D. 函数f(x)在区间(a, b)内不一定有零点3、若函数f(x)满足f’(x)=2x，且f(0)=1，则（）A. f(x)=x^2+1B. f(x)=x^2+2x+1C. f(x)=x^2+1/2D. f(x)=x^24.已知函数f(x)=x3−3x2+2x，则f′(x)=A.3x2−6x+2B.3x2−6xC.3x2−6x−2D.3x2−6x+15.设函数f(x) 在闭区间[a，b] 上连续，且f’(x) 存在。
若对于任意两个不同的点x₁ 和x₂ 在该区间内，都有f’(x₁) ≤ f’(x₂)，则下列说法正确的是：A. 函数f(x) 在区间[a，b] 上是单调递增的。
B. 函数 f(x) 在区间 [a，b] 上是单调递减的。
C. 函数 f(x) 在区间 [a，b] 上的增减性无法确定。
D. 上述三种情况都有可能。
6、已知二次函数f(x) = ax² + bx + c 经过点 (k, 0)，下列哪个选项能正确表示该函数在点 k 的取值情况？（）选项：A. f(k) = 0 B. f(k) > 0 C. f(k) < 0 D. 不能确定7、下列关于函数极限的叙述中，正确的是（）A. 函数在某点的极限一定等于该点的函数值。
华理高数答案(下)
第 9 章（之 1） （总第 44 次）
教学内容:§9.1 微分方程基本概念 *1． 微分方程 2( y ) 9 y y 5xy 的阶数是
3 7
（ （D）7．
0．
解： 方程变形为
y
2 1 1 y 2 ，是一阶线性非齐次方程，其通解为 x x x
ye
2 2 1 1 x dx x dx c ( ) e dx 2 x x
1 x2
c 1 1 1 1 1 1 c ( 2 ) x 2 dx 2 c x 2 x 2 2 x x x 2 x x
y C cos 2 x 1 C sin 2 x ，实质上只有一个任意常数；
（D）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 y c1e c2 e 中，求出与直线 y x 相切于坐标原点的曲线．
x x
2
解
根据题意条件可归结出条件 y(0) 0, y (0) 1，
2
解：分离变量 2 ye y dy xe 2 x dx ，两边积分就得到了通解
ey
2
1 1 1 ( xe 2 x e 2 x dx) ( xe 2 x e 2 x ) c ． 2 2 2
（3） (2 x 1)e y y 2e y 4 0 ．
ey d y dx 解： ， y 2x 1 2e 4
2
为 y y (2 x yy ) ．
2
华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答
华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：华东理工大学2013–2014学年第二学期《高等数学（下）11学分》课程期中考试试卷 2014.4开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师题序 一二三四五六总分得分 阅卷人注 意：试 卷 共 两 页 六 大 题一．填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）：1、微分方程222'y x e yx y -=的通解为 。
答：C e xe e xx y +-=22412122、微分方程0''9)4(=+y y 的通解为 。
答：x C x C x C C y 3sin 3cos 4321+++=3、函数 zxy u )(= 对变量x 的偏导数 =x u 。
答：12)(--=z x xy x yz u 4、设 ))arctan(,,(xyz e y xze f u zy+=，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数， 则=∂∂yu。
答：3222211f zy x xz f f xze y u y +++=∂∂ 5、设函数z z x y =(,)由方程 ),(yzxz f z = 所确定，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数，则∂∂zy= 。
答：21222yf f xy y zf ---6、设1)(-=⋅⨯c b a ρρρ，则=+⨯+⋅)]()[(c b b a b ρρρρϖ 。
答： 17、函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(处最大的方向导数等于 。
答：228、微分方程 0'2''=+y xy 的通解=y 。
答： 21C xC y +-= 9、设平面π过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05:z x z y x L 则原点到平面π距离d 的范围是 。
华工高数(下)作业答案 第KT章
2
y
2
,
x
2
y2
A(1,1,1)
.
B(3,2, 1)
u
ln 3 xy 2 z 3
A
AB
AB
2,1, 2 , AB
2 1 2 , , 3 3 3
gradu A 3,3, 6
gradu
3y 3x 6z2 , , 3 xy 2 z 3 3 xy 2 z 3 3 xy 2 z 3
5
0, 0 a
3
x x a x 0 an 0
2
.
f ( x)
H
0
H , a
bn
2
0
f x sin nxdx
2
a
H sin nxdx
0
2H cos nx n 0
a
2 H 1 cos na n
f x
n
2 H 1 cos na sin nx, x n 1
a
6
3 1
15
z
y x y f( ) x
A C
f (u )
u AB
8
2 1 2 , , 3 3 3
3,3, 6
2 1 4 7
1 y e dy y
x
2 1
dx
x 1
4 2
dx
x x 2
1 y e dy y
x
.
D
D1
D2 , D1 :1 x
2,1 y
D :1
x ; D2 : 2
y 2, y 2
x
4,
x
x 2
2y
y
x.
2
2 1
dx
华理高数下期末试卷语文
一、现代文阅读（30分）阅读下面的文章，完成下列小题。
在我国，数学教育历史悠久，源远流长。
从古代的算术到现代的数学，无数数学家为数学的发展做出了巨大的贡献。
本试卷以华理高数下期末试卷为背景，探讨数学教育的传承与发展。
（一）阅读下面的文字，完成1-3题。
华理高数下期末试卷，是华理数学学院为了检验学生对高等数学下学期学习成果而设置的考试。
该试卷旨在考查学生对高等数学知识的掌握程度，提高学生的数学思维能力。
1. 下列关于华理高数下期末试卷的说法，正确的是（）A. 华理高数下期末试卷只考查学生对数学知识的掌握程度B. 华理高数下期末试卷的目的是提高学生的数学思维能力C. 华理高数下期末试卷的内容与平时学习无关D. 华理高数下期末试卷的设置不合理2. 从文章中我们可以了解到，华理高数下期末试卷的主要作用是（）A. 检验学生对高等数学知识的掌握程度B. 培养学生的数学思维能力C. 了解学生的学习进度D. 促进学生之间的竞争3. 文章开头提到“我国数学教育历史悠久，源远流长”，这句话在文中的作用是（）A. 引出本文主题B. 强调我国数学教育的悠久历史C. 说明数学教育的重要性D. 表达作者对我国数学教育的自豪感（二）阅读下面的文字，完成4-6题。
在我国，数学教育的传承与发展离不开数学家的努力。
以下是几位著名数学家的故事，让我们一起了解他们的贡献。
4. 下列关于华罗庚的故事，正确的是（）A. 华罗庚是华理高数下期末试卷的出题人B. 华罗庚是我国著名的数学家，对数学教育做出了巨大贡献C. 华罗庚曾获得诺贝尔物理学奖D. 华罗庚的数学成就主要集中在几何学领域5. 从华罗庚的故事中，我们可以看出（）A. 数学家要具备扎实的数学基础B. 数学家要具备丰富的想象力C. 数学家要具备敏锐的观察力D. 数学家要具备坚持不懈的精神6. 文章中提到的几位数学家，他们的共同特点是（）A. 都是我国著名的数学家B. 都对数学教育做出了巨大贡献C. 都具有丰富的数学知识D. 都拥有坚定的信念二、古诗文阅读（20分）阅读下面的文言文，完成7-9题。
第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
高等数学下考试题库(附答案)
高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。
习题册下册(2009参考解答)
+
cos 2x 8
。■
注： y1* 也容易由观察法获得。
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∫ 3、设曲线积分 [ f ′(x) + 2 f (x) + ex ]ydx + f ′(x)dy 在全平面内与积分路径无关，其中 f (x) L
二阶可导，且 f (0) = 0 ， f ′(0) = 1 ，求 f (x) 。
z
。
【解】∵αr // βr ⇔ x = 5 = − 1 ，∴ x = 15, z = − 1 。■
31 z
5
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习题 8－2 向量的乘积
ex 。 =1
⑵求微分方程通解：
∵特征方程为 r 2 − r − 2 = 0 ，特征值为 r = −1,2 ，
∴对应齐次微分方程通解为
F (x) = C1e−x + C2e2x 。
由观察法（也可用待定系数法确定）易知原微分方程有特解 f *(x) = − 1 ex 。 2
于是，原方程通解为
f
(x)
=
=
1
，即
C1
=
−
1 6
,
C2
=
2 3
，故所求特解为
f (x) = − 1 e−x + 2 e2x − 1 ex 。■ 632
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4、一根长度为 a 米的均匀链条放置在一个水平面光滑的桌面上，假定滑动开始时链条在桌边
东华理工大学高等数学A练习册答案(下)(学生用)
第7章 微分方程§7.5 可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. 2121ln arctan C x C x x x y +++-= 2.22121C x x e C y x +--= 3．121C x y C e =+二、 y =C 1ln x +C 2 . 三、 22x x y -=.§7.6 高阶线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ √ ）二、选择题 答：1.C 2.C 3.C 4.B§7.7 常系数齐次线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ ╳ ）二、填空题1、y =C 1e x +C 2e-2x2、 tte C e C x 252251t +=, 3、 y =e -3x (C 1cos2x +C 2sin2x ).4、 y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x5、y =e 2x sin3x三、选择题答：1.B 2.B 3.A 4.C 5.B四、求下列微分方程(1) y =C 1+C 2e 4x . (2) y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ). (3) y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x . (4) )2(21x e y x+=-.§7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题 答：1、x x xe e C e C y++=-2211，2、 x xe x C x C e y xx 2cos 41)2sin 2cos (21-+=. 3、x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-= 4、x x x y cos 2sin 21+=二、选择题答：1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D三、)323(2221x x e e C e C y x x x -++=---四、 2527521++-=x x e e y .第12章 无穷级数§12.1 常数项级数的概念与性质一、判断题答：1. √2. √ 3. ×4. ×5. √ 6. √ 二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3. [x^(n/2)]*(1/2*n!) 4. 0 三、选择题 答：1.C 2.A 3.C 4.C四、判定下列级数的收敛性(1)级数收敛. (2) 该级数发散. (3) 级数发散.§12.2 常数项级数的审敛法一、判断题答：1. √ 2. × 3. √4.√ 5√6. ×7. √8. √9.√二、填空题答：1.P>1 2. {}n s 有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.1lim 0n nn u u u +=⎧⎨>⎩三、选择题答：1. D 2.C 3.D 4.A 5.C四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (4) 级数收敛.五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (2) 级数收敛.六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性:(1) 级数收敛； (2) 当b <a 时级数收敛, 当b >a 时级数发散. 七、 (1) 此级数是收敛的. 条件收敛的. (2) 级数收敛, 并且绝对收敛.§12.3 幂级数一、判断题答：1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. × 二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) ,11ln 21x x+- 4. 绝对收敛三、选择题答：1.D 2.B 3 D四、求下列幂级数的收敛域:(1) 收敛域为(-1, 1). （2） 收敛域为[-1, 1]. 五、利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数: (1) ()S x 21 (11)(1)x x =-<<-.(2) ()S x 11ln(11)21x x x+=-<<- .提示: 由)0()()(0S x S dx x S x-='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.§12.4 函数展开成幂级数一、判断题答：1. √2. × 3. × 二、填空题1. 答：1.11ln 2(1)2n n nn xn ∞-=+-∑ ，（-2，2 ] 2.1111()(4)23nn n n x ∞++=-+∑ ，（-6，-2） 3.)( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-+∞=∑x x n x n n n nnππ三、选择题答：1.B 2.C 3.C四、(1) 21sh (21)!n n xx n -∞==-∑, x ∈(-∞, +∞). (2) 212212sin(1)(2)!n nnn xx n -∞=⋅=-∑ x ∈(-∞, +∞).五、∑=<<--=n n nn x x x 0)60( )33()1(311. §12.5 函数的幂级数展开式的应用一、填空题答：1.3. ； 2、)( !4cos 2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n nx π.§12.7 傅立叶级数一、判断题 答：1. × 2. √3.√4.√二、填空题 1.5 2. ,n n a b - 3. nx nx f n sin 1)(1∑∞==(0<x ≤π), 级数在x =0处收敛于0.三、选择题答：1.A 2.C 3.B 4A 5.B 四、∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ(-π≤x ≤π).五、正弦级数为nx nn n x f n nsin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ(0≤x <π),级数在x =0处收敛于0.余弦级数为 nx n x f n ncos )1(832)(122∑∞=-+=π(0≤x ≤π). §12.8 一般周期函数的傅里叶级数一、 ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).二、正弦级数13218(1)2[(1)1]{}sin2n nn n x nn πππ+∞=---+∑, x ∈[0, 2).余弦级数:221416(1)cos32nn n x nππ∞=-+∑, x ∈[0, 2].第8章 空间解析几何与向量代数§8.1 向量及其线性运算一、判断题。
高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1〔下〕一.选择题〔3分⨯10〕1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M 〔 〕.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2,则有〔 〕.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是〔 〕.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是〔 〕.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是〔 〕. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =,则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝〔 〕.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛,则〔 〕. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为〔 〕.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是〔 〕.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为〔 〕.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题〔4分⨯5〕1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ,则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题〔5分⨯6〕1.设v e z usin =,而y x v xy u +==,,求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积〔R 为半径〕.四.应用题〔10分⨯2〕1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省？ .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xex C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ,()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时,用料最省.2..312x y =《高数》试卷2〔下〕一.选择题〔3分⨯10〕1.点()1,3,41M ,()2,1,72M 的距离=21M M 〔 〕. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ,则两平面的夹角为〔 〕. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为〔 〕.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为〔 〕. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为〔 〕. A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=,则()=∂∂2,1xz 〔 〕.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的,则〔 〕.A.1≤rB.1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为〔 〕.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是〔 〕. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题〔4分⨯5〕1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行,则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题〔5分⨯6〕1.设k j b k j i a32,2+=-+=,求.b a ⨯2.设22uv v u z -=,而y x v y x u sin ,cos ==,求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定,求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图,求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+〔0>a 〕所围的几何体的体积. 四.应用题〔10分⨯2〕 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=. 《高等数学》试卷3〔下〕一、选择题〔本题共10小题,每题3分,共30分〕 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k,则a 与b 的向量积为〔 〕 A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P 〔-1、-2、1〕到平面x+2y-2z-5=0的距离为〔 〕 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点〔1,4π〕处的两个偏导数分别为〔 〕 A 、,22,22 B 、,2222- C 、22-22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx,则yzx z ∂∂∂∂,分别为〔 〕 A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点,半径为R,面密度为22y x +=μ的薄板的质量为〔 〕〔面积A=2R π〕A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为〔 〕A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为〔 〕A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题〔本题共5小题,每题4分,共20分〕 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________. 直线L 3：之间的夹角为与平面062321221=-+=-+=-z y x zy x ____________. 2、〔0.98〕2.03的近似值为________,sin100的近似值为___________. 3、二重积分⎰⎰≤+Dy x D d 的值为1:,22σ___________. 4、幂级数的收敛半径为∑∞=0!n nx n __________,∑∞=0!n nn x 的收敛半径为__________. 三、计算题〔本题共6小题,每小题5分,共30分〕2、求曲线x=t,y=t 2,z=t 3在点〔1,1,1〕处的切线与法平面方程.3、计算⎰⎰===Dx y x y D ，xyd 围成及由直线其中2,1σ.4、问级数∑∞=-11sin )1(n n？，？n 收敛则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗 5、将函数f<x>=e 3x 展成麦克劳林级数四、应用题〔本题共2小题,每题10分,共20分〕 1、求表面积为a 2而体积最大的长方体体积.参考答案一、选择题1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B 10,A 二、填空题 1、218arcsin,182cosar 2、0.96,0.17365 3、л 4、0,+∞ 5、ycx cey x 11,22-== 三、计算题2、解：因为x=t,y=t 2,z=t 3, 所以x t =1,y t =2t,z t =3t 2, 所以x t |t=1=1, y t |t=1=2, z t |t=1=3 故切线方程为：312111-=-=-z y x 法平面方程为：〔x-1〕+2<y-1>+3<z-1>=0 即x+2y+3z=63、解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成, 所以 D ：1≤y ≤2y ≤x ≤2 故：⎰⎰⎰⎰⎰=-==212132811)22(][dy y y dy xydx xyd yDσ4、解：这是交错级数,因为。