模糊模式识别法ppt课件
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9模糊识别方法第九章PPT课件
阈值原则：
计 A 1 ( x 0 ) 算 A 2 ,( x 0 ) , ,A n ( x 0 )给 ; 定 阈 （ 0 值 ， 1]，
若 Ai1(x0), A i2(x0), ,Aik(x0),
称 x0相对隶 Ai1,A 属 i2, ,于 Aik.
例如 :在2例 中 , 若 x 0 (A ,B ,C ) ( 8 ,5 5 ,4 0 )5 R ( x 0 ) 0 . 9 ,I ( x 0 5 ) 0 . 9 ,E ( x 1 0 ) 0 . 87 T ( x 0 ) ( 1 R ( x 0 ) ( 1 ) I ( x 0 ) ( 1 ) E ( x 0 ) 0 . 0 ) 5
非典型三角形： TR cIcE c
x 0 (A ,B ,C ) ( 8 ,5 0 ,4 5 )5
R ( x 0 ) 0 . 8 ,I ( x 7 0 ) 0 . 8 ,E ( x 3 ) 0 . 81 T ( x 0 ) ( 1 R ( x 0 ) ( 1 ) I ( x 0 ) ( 1 ) E ( x 0 ) 0 . 1 ) 3 x0应为近似直角三角形
求：
1.不小 Ac 2.不大 Bc 3.不小也不大 Ac Bc
A c ( 1 ) 1 A ( 1 ) 0 , A c ( 2 ) 0 . 2 , A c ( 3 ) 0 . 4 , A c ( 4 ) 0 . 6 A c ( 5 ) 0 . 8 ,A c ( 6 ) A c ( 7 ) A c ( 8 ) A c ( 9 ) A c ( 1 ) 1 0
s p ( A u ) { 1 , 2 , 3 p , 4 , 5 } h ( A , ) g 1 , k A ) t e { 3 , 4 } r(
模糊模式识别
样本或待识别的事物具有模糊性时，利用模糊 数学方法处理模式识别问题。 1.个体模糊模式识别 2.群体模糊模式识别
模糊模式识别的方法PPT课件
Cx A1x1 A2 x2 A3 x3 .
采用阈值原则，取阈值 =0.8，测定当年气候因
子 x = (x1，x2，x3)，计算 C~(x) ，若C~(x) 0.8，则预报当 年冬季“多雪”，否则预报“少雪”。
用这一方法对丰镇 1959-1970 年间的 12 年作了预报， 除 1965 年以外均报对，历史拟合率达 11/12。
50.0 ±8.6
89.0 ±6.2
3866±800
166.9
55.3
88.3
A3
±3.6
±9.4
±7.0
4128±526
A4
172.6 ±4.6
57.7 ±8.2
89.2 ±6.4
4349±402
178.4
61.9
90.9
A5
±4.2
±8.6
±8.0
4536±756
第12页/共26页
现有一名待识别的大学生x = {x1, x2, x3, x4 } = {167.8, 55.1, 86, 4120}，他应属于哪种类型？
1 ,
270
x3 360
,
A3
x3
sin x3 0 , 90
, 180 x3 x3 180
,
270
,
cos x3 , 0 x3 90 .
第24页/共26页
取论域 X={ x| x = (x1，x2，x3)}, “冬雪大” 可以表示为论 域 X 上的模糊集C~ ，其隶属函数为
当 x0 = 40 时，即物价上涨率为40 %，我们有： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003 A4(40) = 0.1299， A5 (40) = 0.6412。
采用阈值原则，取阈值 =0.8，测定当年气候因
子 x = (x1，x2，x3)，计算 C~(x) ，若C~(x) 0.8，则预报当 年冬季“多雪”，否则预报“少雪”。
用这一方法对丰镇 1959-1970 年间的 12 年作了预报， 除 1965 年以外均报对，历史拟合率达 11/12。
50.0 ±8.6
89.0 ±6.2
3866±800
166.9
55.3
88.3
A3
±3.6
±9.4
±7.0
4128±526
A4
172.6 ±4.6
57.7 ±8.2
89.2 ±6.4
4349±402
178.4
61.9
90.9
A5
±4.2
±8.6
±8.0
4536±756
第12页/共26页
现有一名待识别的大学生x = {x1, x2, x3, x4 } = {167.8, 55.1, 86, 4120}，他应属于哪种类型？
1 ,
270
x3 360
,
A3
x3
sin x3 0 , 90
, 180 x3 x3 180
,
270
,
cos x3 , 0 x3 90 .
第24页/共26页
取论域 X={ x| x = (x1，x2，x3)}, “冬雪大” 可以表示为论 域 X 上的模糊集C~ ，其隶属函数为
当 x0 = 40 时，即物价上涨率为40 %，我们有： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003 A4(40) = 0.1299， A5 (40) = 0.6412。
《模糊模式识》课件
大数据技术的快速发展为模糊模式识 别提供了海量的数据资源，有助于提 高识别算法的泛化能力和鲁棒性。
大数据与模糊模式识别的结合，可以 实现大规模数据的快速处理和准确分 类，为各个领域的智能化决策提供支 持。
多模态信息融合的模糊模式识别
随着多模态信息融合技术的发展，将 不同类型的信息进行融合，可以提高 模糊模式识别的精度和鲁棒性。
后处理
对分类结果进行必要的后处理，如去 模糊化、决策融合等，以得到最终的 分类结果。
05
04
模糊分类决策
根据模糊逻辑规则进行分类决策，得 出分类结果。
PART 03
模糊模式识别的应用场景
图像识别
总结词
利用模糊模式识别技术，对图像进行分类、识别和特征提取，实现图像内容的智能分析和处理。
详细描述
在图像识别领域，模糊模式识别技术被广泛应用于人脸识别、车牌识别、物体识别等方面。通过提取 图像中的特征信息，建立模糊模型，实现对图像的自动分类和识别，提高图像处理的准确性和效率。
模糊推理
模糊推理是模糊逻辑的应用，它基于模糊规则进行推理，适用于处理不确定性和模糊性 。
模糊模式识别的基本步骤
数据预处理
对原始数据进行必要的预处理，包括 数据清洗、归一化等操作，以便更好 地进行后续处理。
01
02
特征提取
从预处理后的数据中提取出与目标分 类相关的特征。
03
模糊化
将提取出的特征值转换为模糊集合的 隶属度，以便进行模糊逻辑运算。
VS
详细描述
自然语言处理是模糊模式识别的另一个重 要应用领域。通过分析文本中的语义、句 法、上下文等信息，建立模糊模型，实现 对文本的自动分类、摘要、情感分析等任 务，提高自然语言处理的智能化水平。
大数据与模糊模式识别的结合，可以 实现大规模数据的快速处理和准确分 类，为各个领域的智能化决策提供支 持。
多模态信息融合的模糊模式识别
随着多模态信息融合技术的发展，将 不同类型的信息进行融合，可以提高 模糊模式识别的精度和鲁棒性。
后处理
对分类结果进行必要的后处理，如去 模糊化、决策融合等，以得到最终的 分类结果。
05
04
模糊分类决策
根据模糊逻辑规则进行分类决策，得 出分类结果。
PART 03
模糊模式识别的应用场景
图像识别
总结词
利用模糊模式识别技术，对图像进行分类、识别和特征提取，实现图像内容的智能分析和处理。
详细描述
在图像识别领域，模糊模式识别技术被广泛应用于人脸识别、车牌识别、物体识别等方面。通过提取 图像中的特征信息，建立模糊模型，实现对图像的自动分类和识别，提高图像处理的准确性和效率。
模糊推理
模糊推理是模糊逻辑的应用，它基于模糊规则进行推理，适用于处理不确定性和模糊性 。
模糊模式识别的基本步骤
数据预处理
对原始数据进行必要的预处理，包括 数据清洗、归一化等操作，以便更好 地进行后续处理。
01
02
特征提取
从预处理后的数据中提取出与目标分 类相关的特征。
03
模糊化
将提取出的特征值转换为模糊集合的 隶属度，以便进行模糊逻辑运算。
VS
详细描述
自然语言处理是模糊模式识别的另一个重 要应用领域。通过分析文本中的语义、句 法、上下文等信息，建立模糊模型，实现 对文本的自动分类、摘要、情感分析等任 务，提高自然语言处理的智能化水平。
模糊模式识别PPT课件
2）序偶表示法： ~A {(1, a), (0.9, b), (0.5, c), (0.2, d)}
3）向量表示法： ~A (1, 0.9, 0.5, 0.2)
4）其他方法，如： ~A 1 a, 0.9 b, 0.5 c, 0.2 d
注：当某一元素的隶属函数为0时，这一项可以不计入。
第17页/共113页
例 3.2：以年龄作为论域，取 X=[0,200]，Zadeh 给出了“年老” 与“年轻”两个模糊集 O~ 和Y~ 的隶属函数如下：
0 ,
0 x 50
①
ox
~
1
(x
50 5
)
2
1
,
50 x 200
1,
0 x 25
Y ~
x
1
(
x
25)2 5
1
,
25 x 200
② X是一个连续的实数区间，模糊集合表示为
用精确数学方法判断“秃头”： 方法：首先给出一个精确的定义，然后推理，最后结论。
定义：头发根数≤n时，判决为秃头；否则判决为不秃。 即头发根数n为判断秃与不秃的界限标准。
问题：当头发根数恰好为n+1，应判决为秃还是不秃？
第2页/共113页
推理：两种选择 (1) 承认精确方法：判定为不秃。
均表现出精确方法在这个 问题上与常理对立的情况
当 x 为多变量，即 x {x1, x2 , , xn}时，隶属函数通常定义为
A x A(1) x1 A(2) x2 A(n) xn
~
~
~
~
其中， A(1) ， A(2) ，…， A(n) ：对应于各变量的模糊子集；
~~
~
A(i) xi ：相应的单变量隶属函数。
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
模糊模式识别方法介绍PPT(51张)
• 如果训练样本中已知的类别标号就以模糊类的隶 属度函数的形式给出，那么我们就需要对原有的 模式识别方法进行改变，以适应这种模糊类别划 分（如后面将要介绍的模糊k近邻法）。
• 本节介绍的结果的模糊化，专门指训练样本和分 类器仍是确定性的，只是根据后续的需要把最终 的输出分类结果进行模糊化。结果的模糊化并没 有固定的方法，通常需要结合有关知识、根据所 用的分类器进行设计，比如可以根据样本离类别 中心的距离、离分类面的距离或与已知样本之间 的某种相似胜度量、神经网络输出的相对大小等 作为模糊化的依据
• 在这样的定义下，可以计算出对应于第j类第q个 特征的模糊度和熵。
• 如果模糊度和熵越小，则表明该类中这一特征的 取值比较集中，因此有利于分类；
• 反之如果模糊度和熵越大，则表明该类中这一特 征取值比较分散，不利于分类。
• 因此，我们可以用这个模糊度和熵作为衡量这个 特征对于该类分类的贡献的指标，模糊度和熵越 小则特征性能分类越好。
• 其中
模糊集合
• 定义在空间 X={x}上的隶属度函数就定义了 一个模糊集合A
• 表示为 •或 •
“开水”这一概念的模糊集与确定集
常见的隶属度函数形式
台阶型 三角形 梯形 高斯函数型
模糊集的运算
•并 •交
• 补：
模糊集合的荃本运算示意图
4.3 模糊特征和模糊分类
• 模糊模式识别就是在解决模式识别问题时 引进模糊逻辑的方法或思想
4.3.2 结果的模糊化
• 模式识别中的分类就是把样本空间（或样 本集）分成若干个子集，当然，我们可以 用模糊子集的概念代替确定子集，从而得 到模糊的分类结果，或者说使分类结果模 糊化。
• 在模糊化的分类结果中，一个样本将不再属于每 个确定的类别，而是以不同的程度属于各个类别， 这种结果与原来明确的分类结果相比有两个显著 的优点：一是在分类结果中可以反映出分类过程 中的不确定性，有利于用户根据结果进行决策乡 二是如果分类是多级的，即本系统的分类结果将 与其他系统分类结果一起作为下一级分类决策的 依据，则模糊化的分类结果通常更有利于下一级 分类，因为模糊化的分类结果比明确的分类结果 中包含更多的信息
模式识别第八章 模糊模式识别PPT课件
– 则xo∈Ai
– 若有了隶属函数μ (x)，我们把隶属函数作为判别函数 使用即可。
– 此法的关键是求隶属函数
11
二、择近原则识别法
– 1、定义：两个模糊子集间的贴近度 – 设：A，B为E上的两个模糊集。则它的贴近度为：
(A•B)1[AB （ 1A⊙ B)]
2 ~ ~
~~
~~
式中 ,AB(A(x)B(x))A ,⊙B(A(x)B(x))
~~
~
~
R 2 为模糊关系。 ~
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
17
矩阵内,的 称 R具 元有 素传 . 递性
具有自反性、对称性、传递性的模糊关系称为
等价关系。
10
8.3模糊识别方法
－、隶属原则识别法
– 设： A1, A2,…. ,An是E中的n个模糊子集， x0为E中
的一个元素，若有隶属函数
μi(xo)
=max(μ1(xo), μ2(xo),….. μn(xo)),则xo∈ μi。
它满R足自反性、对称性，即：μij＝1，μij＝ μji 此模
糊关~系为相似关系。
– ㈡把相似关系（相似矩阵）R变成等价关系方法为： ~
取 R的乘幂为 ~ 若在某R~一2,步 R~R~4k有 ,＝R~R~82.k＝ ...R~...
则R就是模糊等价关系R2。 ＝R且R
~
~
~~
R4＝R2R2,R8＝R4R4
模糊模式识别课件学习PPT
11:44
24页
例：U＝{张三，李四，王五}， V＝{数学，英语，政治} 则关系R（选课）可表示为：
张三 李四 王五 数学 1 英语 1 政治 0
11:44
0 1 1
1 0 1
25页
（3）模糊关系 如关系R是U×V的一个模糊子集，则称R为 U×V的一个模糊关系，其隶属度函数为μR(x,y) 隶属度函数μR(x,y)表示x,y具有关系R的程度 模糊关系是笛卡儿乘积集的一个子集，是有约束 的 例： u为身高， v为体重 u= (1.4,1.5,1.6,1.7,1.8 ) （单位m） v = (40, 50, 60, 70, 80) （单位kg）
11:44
8页
Fuzzy set (figure from Earl Cox)
11:44
9页
（2）隶属度函数： 如果一个集合的特征函数μA(x)不是{0,1}二值 取值，而是在闭区间[0，1]中取值，则μA(x)是 表示一个对象x隶属于集合A的程度的函数， 称为隶属度函数。
当 xA 1, A x 0 A x 1, 当x在 一 定 程 度 上 属 于 A 0, 当 xA
11:44
26页
模糊关系“合乎标准”表示为：（具有关系R的程
度）
v 40
u R(u, v)
1.4 1.5 1.6 1.7 1 0.8 0.2 0
50 0.8 1 0.8 0.2
60 0.2 0.8 1 0.8
70 0 0.2 0.8 1
80 0 0 0.2 0.8
1.8
0
0
0.2
0.8
1
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特征函数表达了元素x对集合A的隶属程度 可以用集合来表达各种概念的精确数学定义和各 种事物的性质
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研究方法： * 针对一些模糊识别问题设计相应的模糊模式识别系统。 *用模糊数学对传统模式识别中的一些方法进行改进。
7.2
7.2.1 模糊集合定义 1. 经典集合论中几个概念
模糊集合
传统经典集合论中的集合称为： 经典集合、普通集合、确定集合、脆集合。
1）论域 讨论集合前给出的所研究对象的范围。选取一般不唯一，
(1) 明确：经典集合+隶属函数 模糊集合，隶属函数、隶
属度的概念很重要。一般用字母表示经典集合，如 A；用大 写字母下加“~”号表示模糊集合，如 ~A 。
(2)
隶属函数
A ~
x
用于刻画集合
~A
中的元素对
~A
的隶属程度
——隶属度，
1．精确数学方法及其局限性
1) 精确数学方法 忽略对象的一般特性，着重注意对象的数量、空间形式
和几何形状的数学方法。 如：牛顿力学、牛顿和莱布尼茨创立的微积分学等。
2) 近代科学的特点 (1) 理论研究方面：用精确定义的概念和严格证明的定理，
描述现实事物的数量关系和空间形式。
(2) 工程技术方面：用精确的实验方法和精确的测量计算， 探索客观世界的规律，建立严密的理论体系。
1965年查德（zadeh）发表了“模糊集合”论文后，在科学界引 起了爆炸性的反映，他准确地阐述了模糊性的含义，制定了刻画 模糊性的数学方法（隶属度、隶属函数、模糊集合等），为模糊 数学作为一门独立的学科建立了必要的基础。
7.1.2 模糊性
1．模糊性的基本概念 人们在认识事物时，总是根据一定的标准对事物进行分类，
也是一个模糊性命题。
总之，模糊性：由本质决定。 其 它：由外界条件带来的不确定性引起。
7.1.3 模糊数学在模式识别领域的应用
模式识别从模糊数学诞生开始就是模糊技术应用研究 的一个活跃领域，研究内容涉及：计算机图像识别、手书 文字自动识别、癌细胞识别、白血球的识别与分类、疾病 预报、各类信息的分类等。
根据具体研究的需要而定。
2）子集
对于任意两个集合A、B，若A的每一个元素都是B的元素，
则称A是B的“子集”，记为
A B或；B若B中A存在不属于
A的元素，则称A是B的“真子集”，记为
A 。B或B A
3）幂集
对于一个集合A，由其所有子集作为元素构成的集合称
为A的“幂集”。
例：论域X={ 1, 2 }，其幂集为
X ,1,2,1,2
2．模糊集合的定义
给定论域X上的一个模糊子集 ，是指：对~A于任意 x∈X ，
都确定了一个数 。
A x0,1
，A称x ~
为 x对A ~
x 的隶属度，且~A
~ 映射 A x： X 0, 1
~
x μAx
~
叫做 ~A的隶属函数，或从属函数。模糊子集常称为模糊集合
或模糊集。
说明：
例：
类属
实
例
界限分明 行星、整数、鸡蛋
模 糊 高山、优秀、胖子
2．与模糊性容易混淆的几个概念 1) 模糊性与近似性
① 共同点：描述上的不精确性。 ② 区别：不精确性的根源和表现形式不同。
a) 近似性：问题本身有精确解，描述它时的不精确性源于认 识条件的局限性和认识过程发展的不充分性。 例：薄雾中观远山。
b) 模糊性：问题本身无精确解，描述的不精确性来源于对象 自身固有的性态上的不确定性。 例：观察一片秋叶。
2) 模糊性与随机性 ① 共同点：不确定性。 ② 区别：不确定性的性质不同。 a) 模糊性：表现在质的不确定性。是由于概念外延的模糊性
而呈现出的不确定性。
b) 随机性：是外在的不确定性。是由于条件不充分，导致 条件与事件之间不能出现确定的因果关系，而事物本身 的性态和类属是确定的。 例：降雨量：大雨、中雨或小雨，典型的模糊性。 投掷硬币：随机性。
头发为n根者为秃头， 头发为n+1根者为秃头， 头发为n+2根者为秃头，
…… 头发为n+k根者为秃头。
其中，k是一个有限整数，显然k完全可以取得很大。
结论：头发很多者为秃头。
类似地：没有头发不是秃头
2．模糊数学的诞生 模糊数学：有关描述和处理模糊性问题的理论和方法的学科。 模糊数学的基本概念：模糊性。
推理：两种选择 (1) 承认精确方法：判定为不秃。
均表现出精确方法在这个 问题上与常理对立的情况
结论：有n根头发的是秃头，有n+1根头发的不是秃头。
——显然不合理 (2) 承认生活常识：认为仅一根头发之差不会改变秃与不秃的
结果，即有n+1根头发者也应是秃头。
那么采用传统的逻辑推理，会得到下面的一些命题：
第7章 模糊模式识别法
7.1 模糊数学概述 7.2 模糊集合 7.3 模糊关系与模糊矩阵 7.4 模糊模式分类的直接方法
和间接方法 7.5 模糊聚类分析法
7.1 模糊数学概述
7.1.1 模糊数学的产生背景 模糊数学诞生的标志：1965年美国加利福尼亚大学控制
论专家L.A.Zadeh（查德）发表的文章“Fuzzy sets” 。 模糊数学（Fuzzy sets）又称模糊集合论。
有些事物可以依据某种精确的标准对它们进行界线明确的认识， 有些事物根本无法找出精确的分类标准，例如 “秃头悖论”中的 头发根数的界线n，实际是不存在的。
1) 清晰性：事物具有的明确的类属特性(或是或非)。 2) 模糊性：事物具有的不明确类属特性(只能区别程度、等级)。
3) 模糊性的本质：是事物类属的不确定性和对象资格程度的渐 变性。
3) 精确数学方法的局限性 现实世界中的许多现象，用精确数学方法难以解决。 例如：著名的问题之一——秃头悖论
用精确数学方法判断“秃头”： 方法：首先给出一个精确的定义，然后推理，最后结论。
定义：头发根数≤n时，判决为秃头；否则判决为不秃。 即头发根数n为判断秃与不秃的界限标准。
问题：当头发根数恰好为n+1，应判决为秃还是不秃？
c) 排中律：即事件的发生和不发生必居且仅居其一，不存在 第三种现象。随机性遵守排中律，模糊性不遵守，它存在 着多种，甚至无数种中间现象。
3、模糊性与含混性 ① 共同点：不确定性。 ② 区别：
a) 含混性：由信息不充分（二义性）引起，一个含混的命题 即是模糊的，又是二义的。一个命题是否带有含混性与其应 用对象或上下文有关。 b) 模糊性：是质的不确定性。 例：命题“张三很高” ：对给张三购买什么型号的衣服这个应用对象是含混的。
7.2
7.2.1 模糊集合定义 1. 经典集合论中几个概念
模糊集合
传统经典集合论中的集合称为： 经典集合、普通集合、确定集合、脆集合。
1）论域 讨论集合前给出的所研究对象的范围。选取一般不唯一，
(1) 明确：经典集合+隶属函数 模糊集合，隶属函数、隶
属度的概念很重要。一般用字母表示经典集合，如 A；用大 写字母下加“~”号表示模糊集合，如 ~A 。
(2)
隶属函数
A ~
x
用于刻画集合
~A
中的元素对
~A
的隶属程度
——隶属度，
1．精确数学方法及其局限性
1) 精确数学方法 忽略对象的一般特性，着重注意对象的数量、空间形式
和几何形状的数学方法。 如：牛顿力学、牛顿和莱布尼茨创立的微积分学等。
2) 近代科学的特点 (1) 理论研究方面：用精确定义的概念和严格证明的定理，
描述现实事物的数量关系和空间形式。
(2) 工程技术方面：用精确的实验方法和精确的测量计算， 探索客观世界的规律，建立严密的理论体系。
1965年查德（zadeh）发表了“模糊集合”论文后，在科学界引 起了爆炸性的反映，他准确地阐述了模糊性的含义，制定了刻画 模糊性的数学方法（隶属度、隶属函数、模糊集合等），为模糊 数学作为一门独立的学科建立了必要的基础。
7.1.2 模糊性
1．模糊性的基本概念 人们在认识事物时，总是根据一定的标准对事物进行分类，
也是一个模糊性命题。
总之，模糊性：由本质决定。 其 它：由外界条件带来的不确定性引起。
7.1.3 模糊数学在模式识别领域的应用
模式识别从模糊数学诞生开始就是模糊技术应用研究 的一个活跃领域，研究内容涉及：计算机图像识别、手书 文字自动识别、癌细胞识别、白血球的识别与分类、疾病 预报、各类信息的分类等。
根据具体研究的需要而定。
2）子集
对于任意两个集合A、B，若A的每一个元素都是B的元素，
则称A是B的“子集”，记为
A B或；B若B中A存在不属于
A的元素，则称A是B的“真子集”，记为
A 。B或B A
3）幂集
对于一个集合A，由其所有子集作为元素构成的集合称
为A的“幂集”。
例：论域X={ 1, 2 }，其幂集为
X ,1,2,1,2
2．模糊集合的定义
给定论域X上的一个模糊子集 ，是指：对~A于任意 x∈X ，
都确定了一个数 。
A x0,1
，A称x ~
为 x对A ~
x 的隶属度，且~A
~ 映射 A x： X 0, 1
~
x μAx
~
叫做 ~A的隶属函数，或从属函数。模糊子集常称为模糊集合
或模糊集。
说明：
例：
类属
实
例
界限分明 行星、整数、鸡蛋
模 糊 高山、优秀、胖子
2．与模糊性容易混淆的几个概念 1) 模糊性与近似性
① 共同点：描述上的不精确性。 ② 区别：不精确性的根源和表现形式不同。
a) 近似性：问题本身有精确解，描述它时的不精确性源于认 识条件的局限性和认识过程发展的不充分性。 例：薄雾中观远山。
b) 模糊性：问题本身无精确解，描述的不精确性来源于对象 自身固有的性态上的不确定性。 例：观察一片秋叶。
2) 模糊性与随机性 ① 共同点：不确定性。 ② 区别：不确定性的性质不同。 a) 模糊性：表现在质的不确定性。是由于概念外延的模糊性
而呈现出的不确定性。
b) 随机性：是外在的不确定性。是由于条件不充分，导致 条件与事件之间不能出现确定的因果关系，而事物本身 的性态和类属是确定的。 例：降雨量：大雨、中雨或小雨，典型的模糊性。 投掷硬币：随机性。
头发为n根者为秃头， 头发为n+1根者为秃头， 头发为n+2根者为秃头，
…… 头发为n+k根者为秃头。
其中，k是一个有限整数，显然k完全可以取得很大。
结论：头发很多者为秃头。
类似地：没有头发不是秃头
2．模糊数学的诞生 模糊数学：有关描述和处理模糊性问题的理论和方法的学科。 模糊数学的基本概念：模糊性。
推理：两种选择 (1) 承认精确方法：判定为不秃。
均表现出精确方法在这个 问题上与常理对立的情况
结论：有n根头发的是秃头，有n+1根头发的不是秃头。
——显然不合理 (2) 承认生活常识：认为仅一根头发之差不会改变秃与不秃的
结果，即有n+1根头发者也应是秃头。
那么采用传统的逻辑推理，会得到下面的一些命题：
第7章 模糊模式识别法
7.1 模糊数学概述 7.2 模糊集合 7.3 模糊关系与模糊矩阵 7.4 模糊模式分类的直接方法
和间接方法 7.5 模糊聚类分析法
7.1 模糊数学概述
7.1.1 模糊数学的产生背景 模糊数学诞生的标志：1965年美国加利福尼亚大学控制
论专家L.A.Zadeh（查德）发表的文章“Fuzzy sets” 。 模糊数学（Fuzzy sets）又称模糊集合论。
有些事物可以依据某种精确的标准对它们进行界线明确的认识， 有些事物根本无法找出精确的分类标准，例如 “秃头悖论”中的 头发根数的界线n，实际是不存在的。
1) 清晰性：事物具有的明确的类属特性(或是或非)。 2) 模糊性：事物具有的不明确类属特性(只能区别程度、等级)。
3) 模糊性的本质：是事物类属的不确定性和对象资格程度的渐 变性。
3) 精确数学方法的局限性 现实世界中的许多现象，用精确数学方法难以解决。 例如：著名的问题之一——秃头悖论
用精确数学方法判断“秃头”： 方法：首先给出一个精确的定义，然后推理，最后结论。
定义：头发根数≤n时，判决为秃头；否则判决为不秃。 即头发根数n为判断秃与不秃的界限标准。
问题：当头发根数恰好为n+1，应判决为秃还是不秃？
c) 排中律：即事件的发生和不发生必居且仅居其一，不存在 第三种现象。随机性遵守排中律，模糊性不遵守，它存在 着多种，甚至无数种中间现象。
3、模糊性与含混性 ① 共同点：不确定性。 ② 区别：
a) 含混性：由信息不充分（二义性）引起，一个含混的命题 即是模糊的，又是二义的。一个命题是否带有含混性与其应 用对象或上下文有关。 b) 模糊性：是质的不确定性。 例：命题“张三很高” ：对给张三购买什么型号的衣服这个应用对象是含混的。