北师大版锐角三角函数知识点总结与典型习题

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(完整版)新北师大初三三角函数知识点总结及中考真题汇总有答案

锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 C A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

北师大版九年级数学下册第一章《锐角三角函数》课件

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我们A和cosB有什么关系?
独立
P9习题1.2 1,2,3,4题作业
1. 如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.
α
36
9
2.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.5 求:CD,sinC.
┐
xβ
3.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.
A
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
w结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: wsinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
w如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA 有关吗?
w1.如图,分别根据图(1) 和图(2)求∠A的三个三角函数值.
B
B
3
43
4┌
┌
A
CA
C
(1)
(2)
例题欣赏P85
求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB 有什么关系?
驶向胜利的彼岸
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月17日星期四2022/2/172022/2/172022/2/17 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/172022/2/172022/2/172/17/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/172022/2/17February 17, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/172022/2/172022/2/172022/2/17

30°、45°、60°角的三角函数值知识梳理与同步练习北师大版2024—2025学年九年级下册

1.2 30°、45°、60°角的三角函数值知识梳理与同步练习北师大版2024—2025学年九年级下册例1、计算：（1）01(π4)sin 302---（2）201()2sin 3032--+︒+-（31012sin 45(2)3-⎛⎫-+-π- ⎪⎝⎭（4）2sin45°＋3cos30°－23练习1、计算：．练习2、计算：．练习3、计算：．练习4、计算：（1）2cos 230°﹣2sin60°cos45°；（2）（π﹣3.14）0+（﹣）﹣1+tan60°．练习5、计算：|cos60°﹣1|．练习6、∠B 是Rt△ABC 中的一个内角，且sinB=23，则cos 2B=（）A 、21B 、23C 、22D 、21 练习7、在△ABC 中，a =3，b =4，△C=60°，则△ABC 的面积为________。

练习8、Rt△ABC 中，△C=90°，c =12，tanB=33，则△ABC 的面积为（）A 、363B 、183C 、16D 、18练习9、如图所示，在直角坐标系中，OP=4，OP 与x 轴正半轴的夹角为30°，则点P 的坐标为（） A 、（2、23 ） B 、（23，2） C 、（2，23） D 、（23，－2）练习9、已知PA 是△O 的切线，切点为A ，PA=23，△APO=30°，则△O 的半径长为_______。

练习10、在菱形ABCD 中，已知其周长为16 cm ，较短对角线长为4 cm ，求菱形较小角的正弦值和余弦值。

练习11、如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B的坐标为（3，0），OA=2，△AOB=60°。

（1）求点A坐标；（2）若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积。

考点二：已知一个特殊角的正、余弦值或正切值，求相应的锐角例2、若（tan A﹣）2+（tan B﹣）2＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，试确定三角形的形状．练习1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cos A的值是（）A．B．C．D．练习2、△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．锐角三角形或钝角三角形练习3、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°练习4、在△ABC 中，tan A ＝1，cos B ＝，则△ABC 的形状（） A ．一定是锐角三角形 B ．—定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．无法确定练习5、在△ABC 中，若∠A ，∠B 均为锐角，且|sin A ﹣|+（1﹣tan B ）2＝0，则∠C 的度数是（） A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°练习6、在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足+＝0，则△ABC是（）A ．等腰（非等边）三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形练习7、若α为锐角，且tan （α+15°）＝1，则tan α的值为．练习8、如果，那么锐角α的度数是．练习9、cosA =22，A 为锐角，则A =_____；2cos(α-100) = 1，则锐角α =________。

北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系锐角三角函数(一)课件

对点范例
C
典型例题
【例1】（课本P4随堂练习）如图X1-1-3，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tan C吗？
思路点拨：先.
举一反三
5. 如图X1-1-4，在等腰三角形ABC中，请根据图中所给数据求出tan B.
第一章直角三角形的边角关系
第1课时锐角三角函数（一）
目录
01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例
04 典型例题 05 举一反三 06 创新设计
温故知新（限时3分钟）
1.若一个直角三角形两直角边的比是3∶4，斜边长为20，则这个
三角形的较短直角边的长是( A )
A.12
B.16
C.20
D.15
D
知识重点
知识点一：正切的定义如图X1-1-1，在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tan A,即 tan
A=__________=__________.
对点范例
D
知识重点
知识点二:坡度坡面的____铅__直______高度与____水__平______宽度的比称为坡度(或坡比).
典型例题
思路点拨：先根据直角三角形的边角关系求出AC，再根据勾股定理求出AB.
举一反三
6. 如图X1-1-6，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值.
创新设计
谢谢

九年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)专题三角函数的应用

专题1.8 三角函数的应用（知识讲解）【学习目标】会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC 中，△C ＝90°．（1）互余关系：sin cos A B =，0c sin(9)s n os i A A B ︒=-∠=；（2）平方关系：22sin cos 1A A +=；（3）倒数关系：tan(90)1tan A A ︒⋅-∠=或1t n an a t A B=；（4）商数关系：i t n an s cos A A A=．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、利用同角三角函数关系求值1．计算：（1）2tan452sin30cos 30-+；（2）22tan1tan89sin 1sin 89⋅++．举一反三：【变式1】2．已知△A 为锐角且sinA=12，则4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A 的值是多少。

【变式2】3．如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD ∠=∠=︒．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）当5AB =，3tan 4ABE ∠=，CBE EAF ∠=∠时，求BD 的长．【变式3】4．求值：(1)260453456cos sin tan tan +-⋅； ()2已知2tanA =，求245sinA cosA sinA cosA-+的值．类型二、求证同角三角函数关系式5．已知：1sin15cos15sin302⋅=，1sin20cos20sin402⋅=，1sin30cos30sin602⋅=，请你根据上式写出你发现的规律________．举一反三：【变式1】6．已知：实常数a b c d 、、、同时满足下列两个等式：△sin cos 0a b c θθ+-=；△cos sin 0a b d θθ-+=（其中θ为任意锐角），则a b c d 、、、之间的关系式是：___________【变式2】7．△sin 2A+cos 2A=________，△tanA•cotA=________．类型三、互余两角的三角函数的关系8．在Rt△ABC 中，已知△C ＝90°，sin A ＝35，求cos A 、tan A 以及△B 的三个三角函数值．举一反三：【变式1】9．在Rt △ABC 中，△C ＝90°，sin B ＝35，求cos A 的值．10．在Rt△ABC中，△C=90°，sinA=34，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值．【变式3】11．在Rt△ABC中，△C＝90°，cosB＝35，求tanA的值．类型四、三角函数综合12．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，sin A＝45，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.(1)求线段CD的长；(2)求cos △ABE的值．举一反三：【变式1】13．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile 到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．14．如图，已知四边形ABCD 中，△ABC=90°，△ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ．（1）若△A=60°，求BC 的长；（2）若sinA=45，求AD 的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【变式3】15．如图，在Rt ABC 中，90,30,B A AC ∠=︒∠=︒=（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE 的周长为a ，先化简()()211T a a a =+--，再求T 的值．参考答案：1．（1）34；（2）2. 【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=1tanB，sin 2A+cos 2A=1，sinA=cosB 计算.【详解】()1原式21331211244=-⨯+=-+=； ()2原式()221tan1sin 1cos 1tan1=⨯++ 11=+2=.故答案为（1）34；（2）2. 【点睛】本题考查了三角函数值的计算.2．74【分析】先求出A ∠的度数，再求出cos A 的值，最后代入计算即可.【详解】A ∠为锐角，且1sin 2A = 30A ∴∠=︒cos cos30A ∴=︒=22224117 44()4224sin A sinAcos A A cos ∴-+⨯-⨯== 【点睛】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.3．（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，ABE CDF ∠=∠，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论；（2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到CBE ECF ∠=∠，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．【详解】（1）证明=90AEB CFD ， △//AE CF ，在ABCD 中，//AB CD ，=AB CD ，△ABE CDF ∠=∠，△ABE ≌CDF ()AAS ，△AE CF =，△四边形AECF 是平行四边形．（2）解：△ABE ≌CDF ，△BE =DF ，△四边形AECF 是平行四边形，△EAF FCE ，在Rt ABE 中5AB =，3tan 4ABE ∠=，△AE =3，BE =4．△BE =DF ，AE =CF ，△BE =DF =4，AE =CF =3，EAF FCE ，CBE EAF ∠=∠，△CBE ECF ∠=∠，△tan△CBF =34CF BE EF EF =++，tan△ECF =3EF EF CF =，△343EF EF =+，得到EF 2，或EF =2（舍去），△BD 2=6，即BD =6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．4．（1）0；（2）313. 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．【详解】（1）原式12=+）2﹣11122=+-1=0；（2）△tan A =2，△sin cos A A =2，△sin A =2cos A ，△原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ⨯-⨯+=3cos 13cos A A =313．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．5．1sin cos sin22ααα⋅= 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，规律为：1sin cos sin22ααα⋅=. 故答案为1sin cos sin22ααα⋅=. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系.6．a 2+b 2=c 2+d 2【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可找到这四个数的关系．【详解】由△得asinθ+bcosθ=c ，两边平方，a 2sin 2θ+b 2cos 2θ+2absinθcosθ=c 2△，由△得acosθ-bsinθ=-d ，两边平方，a 2cos 2θ+b 2sin 2θ-2absinθcosθ=d 2△，△+△得a 2（sin 2θ+cos 2θ）+b 2（sin 2θ+cos 2θ）=c 2+d 2，△a 2+b 2=c 2+d 2．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin 2θ+bcos 2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．7． 1 1【详解】如图，设Rt△ABC 中，△C=90°，△A 、△B 、△C 所对的边分别为a b c 、、，则sinA=a c，cosA=b c ，tanA=a b ，cotA=b a ，222+=a b c ， △（1）sin 2A+cos 2A=2222222()()1a b a b c c c c c++===；（2）tanA•cotA=1a b b a ⋅=.点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.8．见解析．【分析】根据已知角A 的正弦设()30BC k k =>，得出5AB k =，由勾股定理求出4AC k =，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】△sin A ＝35＝BC AB ， △设()30BC k k =>，5AB k =，由勾股定理得：4AC k =，则cos A ＝4554AC k AB k ==， tan A ＝3344BC k AC k ==， sin B ＝45AC AB =， cos B ＝35BC AB =， tan B ＝43AC BC =．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟练掌握定义是关键．9．cos A ＝35. 【分析】先根据三角形内角和定理得出△A+△B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．【详解】解：在△ABC 中，△△C ＝90°，△△A ＋△B ＝90°，△cos A ＝sin B ＝35. 故答案为：35. 【点睛】本题考查直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系及三角形内角和定理．解题关键是一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，一个角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形内角和是180°．1034【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k ＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．【详解】解:如图因为Rt △ABC 中，△C=90°，3sin 4A =，所以34BC AB =，设BC ＝3k(k ＞0)，则AB ＝4k ．在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC ．所以cos AC A AB ===，sin AC B AB== 33cos 44BC k B AB k ===，tanBC A AC ==，tan AC B BC === 11．34【分析】在Rt △ABC 中，△C ＝90°，根据，cosB ＝BC AB ＝35，设BC ＝3x ，AB ＝5x ，再根据勾股定理，可得AC 的长再根据正切等于对边比邻边，可得答案．【详解】解由在Rt △ABC 中，△C ＝90°，cosB ＝35，得 cosB ＝BC AB ＝35，设BC ＝3x ，AB ＝5x ，勾股定理得AC 4x ，由正切等于对边比邻边，得tanA ＝BC AB =3x 4x =34. 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，勾股定理，正切函数的定义．熟练掌握相关知识是解题的关键．12．（1）5；（2）2425. 【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB =10，然后由已知D 为斜边AB 上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos△ABE =BE BD，则求余弦值即求BE ，BD 的长，易求得BD =5.再利用等面积法求BE 的长.试题解析：(1)在△ABC 中，△△ACB ＝90°，sin A ＝45BC AB =，而BC ＝8，△AB ＝10.△D 是AB 的中点，△CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt△ABC 中，△AB ＝10，BC ＝8，△AC ＝6.△D 是AB 中点，△BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，△S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，△BE ＝6824255⨯=⨯. 在Rt△BDE 中，cos△DBE ＝BE BD ＝ 2455＝2425，即cos△ABE 的值为2425. 点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.13．渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．【分析】过点C 作CD△AB 于点D ，由题意得：△BCD=30°，设BC=x ，解直角三角形即可得到结论．【详解】过点C 作CD△AB 于点D ，由题意得：△BCD=30°，设BC=x ，则：在Rt △BCD 中，BD=BC•sin30°=12x ，；△AD=30+12 x，△AD2+CD2=AC2，即：（30+12x）2+）2=702，解得：x=50（负值舍去），【点睛】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．14．（1）8；（2）143．【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE﹣CE即可求得BC的长；（2）根据题意求得AE和DE的长，由AD=AE﹣DE即可求得AD的长．【详解】（1）△△A=60°，△ABE=90°，AB=6，tanA=，△△E=30°，BE=tan60°•6=6，又△△CDE=90°，CD=4，sinE=，△E=30°，△CE==8，△BC=BE﹣8；（2））△△ABE=90°，AB=6，sinA==，△设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，△3x=6，得x=2，△BE=8，AE=10，△tanE====，解得，DE=，△AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．考点：解直角三角形．15．（1）作图见解析；（2）10.【分析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度．【详解】解：（1）如图所示：（2）2(1)(1)31T a a a a =+--=+，△1122AE AC ==⨯△2cos cos30AE AE AD A ====︒， △1sin sin 30=212DE AD A AD ==︒⨯=，△123a =+=3110T a ∴=+=．。

北师大版九年级数学锐角三角函数(2)

锐角三角函数（2）教学目标熟练掌握三角函数值的计算，会根据实际问题构建直角三角形解决问题。

重难点分析重点：1、掌握特殊角的锐角三角函数值；2、会利用直角三角形计算三角函数值；3、实际问题中直角三角形的构造。

难点：1、方程思想在锐角三角函数中的应用；2、实际问题模型应用。

知识点梳理1、掌握o30、o45、o60的各个三角函数值；2、熟悉几个基本的无理数的近似值：2、3、5、7、10；3、利用三角函数解决实际问题的基本方法⎧⎪⎨⎪⎩根据题意把实际问题转化为数学问题运用三角函数解直角三角形找出图中线段、角所表示的实际意义建立直角三角形或添加辅助线，运用三角函数解决问题4、仰角与俯角、方位角的概念5、实际问题常见模型归纳知识点1：航行问题【例1】如图，甲船在港口P的南偏东60°方向，距港口30海里的A处，沿AP方向以每小时5海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发，沿南偏西45°方向驶离港口P．现两船同时出发，2小时后甲船到≈，达B处，乙船到达C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向，求乙船的航行速度与距离。

(2 1.41≈，结果保留整数)．3 1.73【例2】如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进30海里到达B 点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离CD的长（结果保留根号）【随堂练习】1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为【】 A．302海里 B．303海里 C．60海里 D．306海里2、如图所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，自A处经半小时到达B处，在A处看见小岛C在船的北偏东60°的方向上，在B处看见小岛C在船的北偏东30°的方向上，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，则这艘船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能?3、如图所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A处向北偏西60°的AC方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响：（1）B处是否会受到台风的影响?清说明理由；（2）为避免卸货过程受到台风影响，船上人员应在多少小时内卸完货物?(精确到0.1小时，≈1.732)知识点2：测量两点距离【例1】某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A，B 相距3米,探测线与地面的夹角分别是和(如图),试确定生命所在点C的深度. (结果精确到米,参考数据:,)3C30600.12 1.41≈3 1.73≈【例2】如图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经C地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1 km,参考数据：≈1.41，≈1.73)【例3】如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行3000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度？（保留根号）【随堂练习】1、如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．已知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的深度是多少米？232、如图，小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，求小岛B到公路AD的距离。

九年级数学下册1.1锐角三角函数知识解读素材北师大版(new)

锐角三角函数知识解读一、重点知识在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边之比也就确定．正弦定义：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA,即:sinA=A ∠的对边斜边余弦定义：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA，即：cosA=A∠的邻边斜边正切定义：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA，即：tanA=的临边角的对边角AA 锐角∠A的正弦、余斜、正切，统称为锐角∠A的三角函数，这些函数值都是正实数，而且0〈sinA〈1，0〈cosA〈1．定义拓展:sin2A+cos2A=1；tanA·cotA=1．二、典型例题例1 下图是两个不同商场的自动扶梯，依据图形数据探讨下列问题：（1）哪一个自动扶梯陡？为什么？(2）甲、乙两个自动扶梯的倾斜程度是通过什么数学公式计算的?(3）如图（甲)，当Rt△ABC中的锐角∠ABC确定时，∠ABC•的对边与邻边的比便随之确定，此时其他边之间的比确定吗？思路点拨：问题（1）的解决方法是通过计算∠ABC和∠DEF的正切值来比较,tan∠斜边∠A的邻边∠A的对边BAABC>tan∠DEF,因此,甲梯较乙梯陡．这道题复习了正切的概念．问题（2）实际上是在问题（1）的基础上进一步明确倾斜程度是正切定义来确定的，即斜面的铅直高度与水平宽度的比．问题(3），在锐角∠ABC的三角函数概念中，如图甲∠ABC是自变量，其取值范围是0°〈∠ABC〈90°，三个比值是因变量,当∠ABC确定时，三个比值分别唯一确定，当∠ABC变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．解:思路1：甲梯中，sin∠ABC===乙梯中,sin∠．由于sin∠ABC〉sin∠DEF，因此，甲梯较乙校更陡．规律：sinA的值越大，梯子越陡．思路2：甲梯中，cos∠ABC=5=；乙梯中，cos∠DEF=710．由于cos∠ABC〈cos∠DEF，因此甲梯较乙梯更陡．规律：cosA的值越小，梯子越陡．点评：从理论上来讲，正弦和余弦都可以用来刻画梯子的倾斜程度，但是，一般情况下还是使用正切最好．例2 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=200，sinA=0.6,求BC的长．思路点拨：可以从sinA=0。

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锐角三角函数知识点总结与复习
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

3、任意锐
角的正弦值等
于它的余
角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切的增减性：当
0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大
一、知识性专题
专题1：锐角三角函数的定义
例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A ．sin A B ．tan A ＝1
2
C ．cos B
D ．tan B 例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝3
5
,则tan A 等于；．
例3在Rt △ABC 中，∠C=900
，AC=4，AB=5，则sinB 的值是；
直角三角形中的边角关系
解直角三角形
例4（2012内江）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为；
例5R t △ABC,∠C=900
,AB=6,cosB=23
,则BC 的长为；
例6如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α, 即ctan α=
BC
AC
=
的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30◦= ；
例7把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（）A ．不变B ．缩小为原来的
1
3
C ．扩大为原来的3倍
D ．不能确定例11. （2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD 中，
E 、
F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，
BC=5，CD=3，则tanC 等于．
例12（2011山东日照）在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA=
a
b
．则下列关系式中不成立的是（） A ．tanA•cotA=1 B ．sinA=tanA•cosA C ．cosA=cotA•sinA D ．tan 2A+cot 2A=1 点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=B
A
cos sin 或sinA=tanA•cosA ．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．
例13（2011•贵港）如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=2
，
则tan ∠CAD 的值是．
例14如果△ABC 中，sin A =cos B =
2
，则下列最确切的结论是（）A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形C. △ABC 是等腰直角三角形D. △ABC 是锐角三角形
A 、
3
30sin 602
sin x ︒︒<< B 、3
cos302
x ︒︒<<
cos45 C B
A
图4
D
C B A
图4
22题图
C 、
3
tan 302
x ︒︒<<tan45 D 、
3
cot 4502
x ︒︒<<cot3 同步练习1如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋
转得到△AC ’B ’，则tanB ’的值为．
2点M （－sin60°，cos60°）关于x 轴对称的点的坐标是． 3已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是（） A 、sinA =cosA B 、sinA ＞cosA C 、sinA ＞tanA D 、sinA ＜cosA 4、（2011•宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=
3
3
，则边BC 的长为．cm
5、（2011福建莆田）如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB =4，BC=5，则tan ∠AFE 的值为．
7、（2012福州）如图15，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是，cosA 的值是 .（结果保留根号）
8、（2012南京）如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合.OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读书恰为2厘米，若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为厘米.（结果精确到0.1厘米，参考数据sin370≈0.60,cos370≈0.80,tan370≈0.75）解析：由于∠AOB=45°，B 点读书为2厘米，则直尺的宽为2厘米，解直角三角形得点C 的读数为2÷tan370≈2
÷0.75≈2.7厘米.答案：2.7
9、（2012·湖南张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A =∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=23千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据2≈1.414 73.13≈ 45.26≈）（2）求∠ACD 的余弦值.
A
C
A
B
C
C ’ B ’
C
B A O 4
321
（2）cos ∠ACD=5
1
21523==AC CD . 专题
2 特殊角的三角函数值
例1（2012，湖北孝感）计算：cos 245°+tan30°·sin60°=________．
例2（2012陕西）计算：(0
2cos 45-38+1-2=︒　
．
例3(2012广安)计算：
---)3
2
(218cos45o +13- ；例4 计算|－3|＋2cos 45°－31)0．
例5 计算－12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
9(－1)2007－cos 60°．
例6 计算|2＋(cos 60°－tan 30°)0＋8
例7 计算3
12-⎛⎫
⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|32
-.
例8计算：
11
|122sin 45---+︒
【解析】三角函数、绝对值、乘方【答案】
11
|122sin 45--+︒
例9计算：si n 230°+tan 44°tan 46°+si n 260°= ．分析：根据特殊角的三角函数值计算．tanA •tan （90°﹣A ）=1．
例10（2011•莱芜）若a=3﹣tan60°，则1
9
6)121(2-+-÷--a a a a = 。

练习1、（2011浙江）计算：|－1|1
82
5－π）0+4cos45°. 练习2、（2011浙江衢州）（1）计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2c os45°；
练习3、计算：20110
＋8－2sin45°；
练习3、观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cos α＜1(α是锐角)；③tan 30°＋tan
60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个练习4、计算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝．
练习5、如图28－146所示，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝1
3
，BC 10
则AB 的长为．
练习8、若∠A ，∠B 互余，且tan A －tan B ＝2，则tan 2A ＋tan 2B ＝．
练习9、如图28－147所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，cos B＝
5
13
，则这
个菱形的面积是.
10．已知正方形ABCD的边长为1，若将线段BD绕着点B旋转后，点D落在DC延长线上的点D′处，则∠BAD′的正弦值为.
11．如图28－148所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等
于．
12．在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝2，AB＝2，则BC＝．
13．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝05．则θ＝．
14．如图28－149所示，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，BD＝4，AD＝BC，
cos∠ADC＝3
5
．(1)求DC的长；(2)求sin B的值．
★专题三：题型一俯角与仰角仰角：视线在水平线上方的角；
★俯角：视线在水平线下方的角。

仰角水平线
视线
视线俯角。