常数项级数的概念和性质.
合集下载
常数项级数的概念和性质
∞
lim u n = lim ( S n − S n −1 )
n →∞ n →∞
= lim S n − lim S n −1
n →∞ n →∞
= S −S =0
例4. 判别 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
n 的敛散性. n +1
(−1) n −1 n = 1, 解：由于 lim | u n |= lim n →∞ n →∞ n +1
一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 + a 2
n 正 3 × 2 形的面积 a1 + a 2 + L + a n
R
即 A ≈ a1 + a2 +L+ an 1 3 3 3 3 2. = + + +L+ n +L 3 10 100 1000 10
二、常数项级数的概念
n =1 ∞
S n = ∑ u k = u1 + u 2 + L + u n ,
k =1
n
称为常数项级数的部分和. 若 lim S n = S 存在，则称级数 ∑ u n 收敛， n →∞
n =1 ∞
∑ S称为级数的和： u n = S .
n =1
∞
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 = 3, 3 ; 面积为 A1 = 4 第一次分叉： 第一次分叉：
1.常数项级数的定义 1.常数项级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达式
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u 2 + L + u n + L
常数项级数的概念和
n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3
定 义 如 果 级un数 的 部 分{和 sn}有 数极 列 s， 限
n1
则 称 级 un数 收 敛 ， 并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习 判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn
级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,
并且
4
n
n0 5
1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1
证 设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的 部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,
(un vn)收敛，且其和s为 ．
n1
11
性质2 如果级 数 un、 vn分别收敛s、 于 , 和
例3 讨 论 等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0
7.1常数项级数的概念和性质
| an – a |
3. 有关性质： (1) 单调有界数列必收敛.
(2) 如果一数列收敛于S，那么其任一子数列 均收敛于S.
lim s2 n1 = S， 则 (3) 若 lim s2 n = S， n
n n n
1
lim sn = S
n
2
(4) 设 lim sn = S1， lim sn = S2， 若S1≠S2， 则数列Sn发散； 若 S 1= S 2， 则数列Sn 可能收敛也可能发散.
二、级数的基本性质
性质 1 级数 an 与任一余项级数
n 1
an ( k 1) n k 1
有相同的敛散性.
证明
a n a k 1 a k 2 a k n n k 1
n ak 1 ak 2 ak n sn k sk ,
性质 3
设两收敛级数 a n s , bn ,则级数
n 1 n 1
(an bn ) 收敛,其和为 s . n 1
结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.
思考:
1. 若级数 an 与 bn 一个收敛一个发散 , 级数
n 1 n 1
(an bn ) 敛散性如何? n 1
级数发散.
综上
当 | q | 1 时 , 收敛 aq 当 | q | 1 时 , 发散 n 0
n
例4 一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距
离h后碰到地平面再弹起的距离为rh,其中r是小于1的正
数.求这个球上下的总距离.
2ar a(1 r ) . s a 2ar 2ar 2ar a 1 r 1 r
常数项级数的概念与性质
性质1
如果级数
un
n1
收敛于和S，则它的各项同乘以一
个常数k所得的级数 kun 也收敛，且其和为kS。
n1
性质2 如果级数 un、 vn 收敛于和S1, S2 ，则级数 n1 n1
un vn 也收敛，且其和为S1 ± S2 。
n1
性质3 若级数 un收敛，则对该级数的项任意加（或去）
4
3 5
0
所以，由级数收敛的必要条件知，该级数发散。
高等数学
性质4 在一个级数中任意去掉、增加或改变有限项后，级 数的收敛性不会改变，但对于无穷级数收敛级数，其和将受 到影响。
性质5
如果
lim
n
un
0
（包括极限不存在），则级数
un
n1
必发散。
例4 判定级数
3n 的敛散性。
n1 5n 4
解 级数的一般项
un
3n 5n
4
因为
lim
n
un
lim
n
3n 5n
3 103
，
可以得到如下的表达式
33 3
3
0.33 3 10 102 103 10n
显然，如果n →∞，那么我们就得到
0.3
1 3
3 10
13 3 3
3
3 10 102 103 10n
二、常数项级数的概念
定义1 如果给定一个数列u1, u2, u3, …, un, …，则由这数列 构成的表达式
定义2 如果级数 un 的部分和数列{Sn} 的极限存在，即 n 1
lim
n
Sn
S
则称级数un 收敛，S为级数的和，记为 n 1
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
常数项级数的概念和..
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
§9.1常数项级数的概念与性质
un 2
L
)
0.
注：rn un1 un2 L 称为级数 un的余项。 n1
例 7 判定下列级数的敛散性：
n
(1) n ln
n1n11 2(2)[ n1 n
3n
]
定理 2(Cauchy收敛准则)
级数 un收敛的充分要条件为： n1
对于任给的 0,存在正整数N，使当n>N时，对任
意正整数p，总有
（2） 一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组 成的级数一定发散。
性质 3 在级数中去掉或加上有限多项，不改变级数的 敛散性。
如 a1 1,
q1 2
的等比级数1 1 1 1 248
是收敛的，
其和
S
1 1 1
2
，
2
减去它的前五项得到的级数 1 1 1 仍收敛 ， 32 64 128
1
其和
n1
推论1 乘以非零常数不改变级数的敛散性。
性质 2 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与 T ，
n1 n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为S T 。
n1
即：两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
例 6．试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。 （1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。
n
n1
称 S 为级数的和，记为 un S 。若部分和 数列Sn
n1
极限不存在，则称级数 un 发散。
n1
例 1.判别级数
1 的敛散性，若收敛，求其和。
n1n(n 1)
例 2. 讨论等比级数（几何级数） aqn (a 0) 的敛散性。
n0
注：
aq
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个 变量的函数un = un(x), 则称级数 u n ( x) 为函数项
n 1
级数.
例1. 下列各式均为常数项级数
1 1 1 1 n ； n 2 4 2 n 1 2
n 1 2 n ;
n 1
a 即S . 1 r
a (1 r n ) S n lim . 当公比 | r |>1时，lim n n 1 r
S n lim na 当公比 r =1时， lim n n
a, n为奇数 当公比 r = 1时，Sn= 0, n为偶数
S n不存在. , 故 lim n
n
发散.
n 1 ar 例3. 讨论等比级数 的敛散性. n 1
解：等比级数的部分和为：
S n ar k 1
k 1 n
a ar n1 r a(1 r n ) . 1 r 1 r
n
a (1 r ) a , 当公比 | r |<1时， lim S n lim n n 1 r 1 r
综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
1 例4. 讨论级数 的敛散性. n 1 (2n 1)(2n 1)
1 1 1 1 解： (2n 1)(2n 1) 2 2 n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S n 1 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n 1 2n 1
n 1 n 1
证
u
n 1 n 1
n
的部分和为 S n u k，
k 1
n
n
n
cu
故
的部分和为 S n cuk c u k cS n ,
k=0, 1, 2,
而
k
lim S 2k
k lim 1 k 2
故 lim S n 不存在，即调和级数发散. n
三、无穷级数的基本性质
1. 性质1 若c0为常数，则
n 1
un 与 cu n
n 1
有相同的敛散性，
且 cun c u n .
1 1 1 2 2n 1
1 1 1 而 lim S n lim 1 n n 2 2n 1 2
1 1 ，即该级数收敛. 故 2 n 1 ( 2n 1)(2n 1)
3. 收敛级数的余项 收敛级数 u n 的和S与其部分和Sn的差SSn
lim u n lim( S n S n 1 )
n n
lim S n lim S n 1
n n
S S 0
例5. 判别 (1)
n 1
n 1
n 的敛散性. n 1
(1) n 1 n 解：由于 lim | u n | lim 1, n n n 1
n 2 n a x a a x a x a x , | x | 1. n 0 1 2 n n 0
sin nx sin x sin 2 x sin nx ,
n 1
x R.
2. 级数的敛散性定义 无穷级数 u n 的前n项之和：
n 1
称为收敛级数的余项，记为
rn S S n
rn 0. 显然 lim n
m n 1
u
m
二、级数收敛的必要条件
u n 0. 定理：若级数 u n 收敛，则必有 lim n
n 1
证 设 u n S , 则 lim S n S
n 1 n
S 8 S 23
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 2
3 1 2
由数学归纳法，得
S 2k k 1 ， 2
n 1
S n u k u1 u 2 u n ,
k 1
n
称为级数的部分和.
S n S 存在，则称级数 u n 收敛， 若 lim n
n 1
un S. S称为级数Fra bibliotek和：n 1
S n 不存在(包括为)，则称级数 若 lim n
u
n 1
故 lim u n 0, 该级数发散. n
1 例6. 证明调和级数 是发散的. n 1 n
证 调和级数的部分和有：
S1 1，
S 2 S 21 1 1 ， 2
S 4 S 22
2 1 1 1 1 1 1 1 1 ， 2 2 3 4 2 2
n 1 n 1 ( 1 ) 1 1 1 1 ( 1 ) ; n 1
cosn cos1 cos2 cosn .
n 1
例2. 下列各式均为函数项级数
n 1 n 1 2 n 1 n 1 ( 1 ) x 1 x x ( 1 ) x , x R. n 1
§11-1 常数项级数的概念和性质
一、无穷级数的概念
1. 无穷级数的定义
设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示
u
n 1
n
u1 u 2 u n
为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级 数的一般项或通项.
若级数
u
n 1
n
的每一个项un均为常数，则称该