高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧汇总
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧汇总
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1. 均值不等式法
例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证
.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n 例2 已知函数
bx
a x f 211
)(?+=
，若5
4)1(=
f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：
.2
1
21)()2()1(1
-+
>++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22
1321
N n n n C C C C n n n
n
n
n
∈>?>++++-Λ.
例
4 已知222121n a a a +++=L ，222
121n x x x +++=L ，求证：
n n x a x a x a +++Λ2211≤1.
2．利用有用结论
例5 求证.12)1
21
1()511)(311)(11(+>-+++
+n n Λ 例6 已知函数
.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤
n a n x f x
x x x 给定Λ
求证：
)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1
1211
1,(1).2n n
n
a a a n n +==+
++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；
)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L
）
例8 已知不等式
21111
[log ],,2232
n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤
>=--n a n na a b b a n n n 求证.3,]
[log 222≥+ a n 再如：设函数 ()x f x e x =-。 （Ⅰ）求函数()f x 最小值； （Ⅱ）求证：对于任意n N * ∈，有 1 () .1 n n k k e n e =< -∑ 例9 设n n n a )1 1(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4 3. 部分放缩 例10 设++ =a n a 2 1111,23a a a n ++≥L ,求证：.2 {}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有： 2)(+≥n a i n ； 2 1 111111)(21≤+++++ +n a a a ii Λ. 4 . 添减项放缩 例12 设N n n ∈>,1，求证) 2)(1(8 )32(++ a 满足).,2,1(1 ,211Λ=+ ==+n a a a a n n n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立； 5 利用单调性放缩: 构造函数 例14 已知函数2 2 3)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时 .81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=< 1 011，证明.11+< n a n 例15 数列 {}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211??? ? ? ?+ =+n n n x a x x N n ∈． （I ） 证明：对2≥n 总有a x n ≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x 6 . 换元放缩 例16 求证).2,(1 2 11≥∈-+ << *n N n n n n 例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4 )1(2 2-> a n a n . 7 转化为加强命题放缩 例18 设10< n += +=+1 ,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,21 2211n x x x x n n n +==+证明.10012001 例20 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝ 3 2 ，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－ （1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1?a 2?……a n <2?n ！ 8. 分项讨论 例21 已知数列}{n a 的前 n 项和 n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n （Ⅰ）写出数列 }{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有 8 711154<+++m a a a Λ. 9. 借助数学归纳法 例22（Ⅰ）设函数 )10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数 n p p p p 2321,,,,Λ满足12321=++++n p p p p Λ，求证： n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log Λ 10. 构造辅助函数法 例23 已知 ()f x = 2ln 243x x +-,数列{}n a 满足()() *11 2 ,02 11 N n a f a n a n ∈=<<-++ （1）求 ()f x 在?? ? ???-021， 上的最大值和最小值; （2）证明：102n a -<<; （3）判断n a 与1()n a n N * +∈的大小，并说明理由. 例24 已知数列{}n a 的首项1 3 5 a = ，1321n n n a a a +=+，12n =L ，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ??- - ?++?? ≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2 121 n n a a a n +++>+L ． 例25 已知函数f(x)=x 2 -1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（x n ,f(x n )）处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）(n ∈N * ). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1； （Ⅱ）求使不等式1 n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件，并说明理由； （Ⅲ）若x 1 =2，求证：.3 1 211111121-≤++++++n n x x x Λ 例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+=2 12 1)1(+=++<+ )21(1 1∑∑==+<<∴n k n n k k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2 +<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 b a a b +≤ ，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(2 1 +> ++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 2111111++≤ ++≤≤++ΛΛΛΛ，其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 [简析] 411 ()11(0)141422x x x x f x x ==->-≠++?1(1)()(1)22 f f n ?++>-?L 211(1)(1)2222n +-++-??L 1111111(1).42222 n n n n -+=-+++=+-L 例3 简析 不等式左边1 23n n n n n C C C C ++++L =12222112-++++=-n n Λ n n n 1 22221-?????>Λ=2 1 2 -?n n ，故原结论成立. 例4 【解析】使用均值不等式即可：因为22 (,)2 x y xy x y R +≤∈，所以有 222222 1122 1122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++ L L 222222 121211 1.2222 n n a a a x x x ++++++=+=+=L L 其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。本题还可以推广为： 若 2 2212n p a a a +++=L ，222 12(,0)n q p q x x x +++=>L ， 试求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。 请分析下述求法：因为2 2 (,)2 x y xy x y R +≤∈，所以有222222 1122 1122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++L L 222222 1212.222 n n a a a x x x p q +++++++=+=L L 故n n x a x a x a +++Λ2211的最大值为 2 p q +，且此时有(1,2,,)k k a x k n ==L 。 上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是(1,2,,)k k a x k n ==L ，即必须有2 21 1 n n k k k k a x ===∑ ∑， 即只有p=q 时才成立！那么， p q ≠呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化： 22222212122 2 2 2 2 2 1, 1, () () () () () () n n p p p q q q a x a a x x + ++ =+ ++ =L L 则有 11221122n n n n a x a x a x a x a x a x pq pq ++++++= L L 2 2 2 2 2 2 1212222222[()()]2()()()()()() n n pq pq p p p q q q a x a a x x ≤ +++++++=L L 于是，1122max ()n n a x a x a x pq +++=L ，当且仅当 (1,2,,).k k a x k n p q ==L 结合其结构特征，还可构造向量求解：设1212(,,,),(,,,)n n m a a a n x x x ==u r r L L ，则 由||||||m n m n ?≤u r r u r r 立刻得解： 22222211221212||.n n n n a x a x a x a a a x x x pq +++≤++++++= L L L 且取“＝”的充要条件是：12 12n n x x x a a a ==L 。 2．利用有用结论 例5 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质 )0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-??122563412n n Λ=+??n n 212674523Λ)12(21 2654321+?-??n n n Λ? 12)1 22563412(2+>-??n n n Λ 即.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 法2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+ *x x n N n nx x n 的一个特例 1 2121)1211(2-? +>-+k k (此处)得121,2-= =k x n ，=-+∏?-+> -+=)121 1(12121 2111k k k k n k .121 2121+=-+∏ =n k k n k 例6 [简析] 高考标准用数学归纳法证明，；这里给出运用柯西（Cauchy ）不等式∑∑∑===≤n i i n i i n i i i b a b a 1 21 2 2 1 ] )([的简捷证 法： ?>)(2)2(x f x f >?+-++++n n a n x x x x 2222)1(321lg Λn n a n x x x x ?+-++++)1(321lg 2Λ 2])1(321[x x x x n a n ?+-++++?Λ])1(321[2222x x x x n a n n ?+-++++?<Λ 而由Cauchy 不等式得2))1(1312 111(x x x x n a n ?+-?++?+?+?Λ ?++<)11(22Λ])1(321[22222x x x x n a n ?+-++++Λ(0=x 时取等号) ≤ ])1(321[2222x x x x n a n n ?+-++++?Λ（10≤ 例7 [解析] )(II 结合第)(I 问结论及所给题设条件ln(1)x x +<（0x >）的结构特征，可得放缩思路： ?+++ ≤+n n n a n n a )21 11(211211ln ln(1)ln 2n n n a a n n +≤++++n n n n a 211ln 2+++≤。 于是n n n n n a a 21 1ln ln 21 ++≤ -+， .221122 11)21(111ln ln )2 11()ln (ln 1 1211 11 1 <--=--+-≤-?++≤---=+-=∑ ∑ n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即 .2ln ln 21e a a a n n 【注】：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可 用结论)2)(1(2 ≥->n n n n 来放缩：?-+-+ ≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n 11 1(1)(1)(1) n n a a n n ++≤++- 111ln(1)ln(1)ln(1). (1)(1) n n a a n n n n +?+-+≤+ <--11 1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 11 2 <-<+-+?-<+-+?∑ ∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <- 例8 【简析】 当2≥n 时n a a a n a a n na a n n n n n n n 11111111+=+≥?+≤ -----，即 n a a n n 1111≥--.1)11(21 2k a a n k k k n k ∑∑=-=≥-?于是当3≥n 时有?>-][log 211121n a a n .][log 222n b b a n +< 注：本题涉及的和式 n 1 3121+++Λ为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论 ][log 2 1 131212n n >+++Λ来进行有效地放缩； 再如：【解析】（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得1x e x ≥+，对x>－1有(1)n nx x e +≤，利用此结论进行巧妙赋值：取 1,1,2,,k x k n n =-=L ，则有121011()1211111()()()()()()()11111n n n n n n n e e n n n e e e e e e e ---+++≤++++=<= ---L L 即对于任意n N * ∈，有 1 ().1n n k k e n e =<-∑ 例9 [解析] 引入一个结论：若0>>a b 则)()1(11a b b n a b n n n -+<-++， （可通过构造一个等比数列求和放缩来证明，略） 整理上式得].)1[(1 nb a n b a n n -+>+（?），以n b n a 1 1,111+=++ =代入（?）式得>++ +1)111(n n .)11(n n +。即}{n a 单调递增。以n b a 21 1,1+==代入（?）式得 .4)21 1(21)211(12<+??+ >n n n n 。此式对一切正整数n 都成立，即对一切偶数有4)11(<+n n ，又因为数列} {n a 单调递增，所以对一切正整数n 有4)11(<+ n n 。 注：上述不等式可加强为.3)1 1(2<+≤ n n 简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： .1111)11(221n n n n n n n n C n C n C n a ++?+?+=+=Λ 只取前两项有.2111=?+≥n C a n n 对通项作如下放缩： .21 2211!111!111-=?≤<+-?-??=k k k n k n k n n n n n k n C ΛΛ故有.32/11)2/1(121221212111112<--? +=+++++<--n n n a Λ 3. 部分放缩 例10 [解析] ++ =a n a 211.131211131222n n a a ++++≤++ΛΛ 又2),1(2 ≥->?=k k k k k k （只将其中一个k 变成1-k ，进行部分放缩），k k k k k 1 11)1(112--=-<∴ ， 于是) 1 11()3121()211(11312112 22n n n a n --++-+-+<++++ ≤ΛΛ.212<-=n 例11 【解析】 )(i 用数学归纳法：当1=n 时显然成立，假设当k n ≥时成立即2+≥k a k ， 则当1+=k n 时312)2(1)2(1)(1+>+?+≥+-+≥+-=+k k k k a k a a a k k k k ，成立。 )(ii 利用上述部分放缩的结论121 +≥+k k a a 来放缩通项，可得 ?+≥++)1(211k k a a 111112(1)242k k k k a a --++≥≥+≥?=L 11112k k a +? ≤+1111 1()1 1112.11242 12 n n n i i i i a +==-?≤=? ≤+-∑∑ 【注】上述证明)(i 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：31)2)(2(1 +>+-++≥+k k k k a k ； 证明)(ii 就直接使用了部分放缩的结论121 +≥+k k a a 。 例12 [简析] 观察n )32( 的结构，注意到n n )2 1 1()23(+=，展开得 123231111(1)12222n n n n C C C +=+?+?+?+L (1)(1)(2)61288 n n n n n -+++≥++= 即8 )2)(1()211(++>+ n n n ，得证. 例13[简析] 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有 法1 用数学归纳法（只考虑第二步）1)1(22121 222 1 2 ++=++>+ +=+k k a a a k k k ； 法2 212222 12+>+ +=+n n n n a a a a .1,,2,1,22 21-=>-?+n k a a k k Λ 则?+>+>?->-1222)1(22 212 n n a n a a n n 1 2+>n a n 例14 [解析] （Ⅰ）a =1 ；（Ⅱ）由),(1 n n a f a =+得6 161)31(232322 1≤+--=-=+n n n n a a a a 且.0>n a 用数学归纳法（只看第二步）： ) (1k k a f a =+在 )1 1 , 0(+∈k a k 是增函数，则得 .2 1)11(2311)11( )(21+<+-+=+<=+k k k k f a f a k k 例15 [解析] 构造函数 ,21)(?? ? ??+=x a x x f 易知)(x f 在),[+∞a 是增函数。当1+=k n 时???? ??+=+k k k x a x x 211在),[+∞a 递增，故.)(1a a f x k =>+。对(II)有=-+1n n x x ? ?? ? ? ?-n n x a x 21，构造函数 ,21)(?? ? ? ?-=x a x x f 它在),[ +∞a 上是增函数，故有= -+1n n x x ≥??? ? ??-n n x a x 210)(=a f ，得证。 【注】①数列{}n x 单调递减有下界因而有极限：).(+∞→→ n a a n ② ??? ??+= x a x x f 21)(是递推数列???? ? ?+=+n n n x a x x 211的母函数，研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。 例16 [简析] 令n n n h n a +==1，这里),1(0>>n h n 则有 )1(1 2 02 )1()1(2 >-< +=n n h h n n h n n n n n ，从而有.12111-+ <+= ，则0>b ，b a =-1，应用二项式定理进行部分放缩有 2 2 2221102 )1()1(b n n b C C b C b C b C b a n n n n n n n n n n n n -= >++++=+=---Λ， 注意到N n n ∈≥,2，则4 2)1(2 22b n b n n ≥ -（证明从略），因此4 )1(2 2-> a n a n . 7 转化为加强命题放缩 例18 [解析] 用数学归纳法推1+=k n 时的结论11>+n a ，仅用归纳假设1>k a 及递推式 a a a k k += +1 1是难以证出的，因为k a 出现在分母上！可以逆向考虑：.11111a a a a a k k k -+=+ 故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数n 有.11 1a a n -< < （证略） 例19 [简析] 将问题一般化：先证明其加强命题.2 n x n ≤ 用数学归纳法，只考虑第二步： .21412)2(1222221 +<+=?+≤+=+k k k k k k x x x k k k 。因此对一切* ∈N x 有.2n x n ≤ 例20 [解析]：（1）将条件变为：1－ n n a ＝n 1 1n 113 a －－（－），因此｛1－n n a ｝为一个等比数列，其首项为1－ 1 1a ＝ 13，公比13 ，从而1－ n n a ＝n 13 ，据此得a n ＝n n n 331 ?－（n ≥1）……1? 用放缩法证明不等式 欧阳光明（2021.03.07） 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证 143 ＜＋＜a b 。 证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋ b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14 （a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14 （a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： 证明：因为 a a b b a b b a b a b a b 22222 2342 22++= +++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222 +++＞，c ac a c a 222+++＞。 所以 a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证： 12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞ ，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c +++＞，所以 a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三角 形的边，故b +c ＞a ，则a b c +为真分数，则a b c a a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜2，c a b c a b c +++＜2， 故a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++++++++=＋＋＜＋＋2222. 综合得12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n 131211＜…+ +++。 证明：因为，则11213+ ++ 利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的 用放缩法证明不等式的方法与技巧 一．常用公式 1． )1(11)1(12-<<+k k k k k 2． 1 21 12-+<<++k k k k k 3．22 k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5． ?? ????--≤！！（！k k k 1)11211 6．b a b a +≤+ 二．放缩技巧 所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） < > 11> n >= （3）21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- （4 ）= <=<= （5）若,,a b m R + ∈，则,a a a a m b b m b b +>< + （6）21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n < -） （7）1111111112321111 n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111 123222222n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8 ）1???+>???+== 三．常见题型 （一）．先求和再放缩: 1．设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +，求证：1n S < 2．设1n b n = （n N *∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34 n T < 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：21 ③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++ 放缩法典型例题 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证： 解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．． ∴．3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为， 用放缩法证明不等式 所谓放缩法就是利用不等式的传递性， 对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程， 在使用 放缩法证题时要注意放和缩的 度”否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可 以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. 添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1.设a ，b 为不相等的两正数，且a 3— b 3 = a 4 5 — b 2，求证1a 2+ ab + b 2= a + b ，又 a + b >0，得 a + b > 1，又 ab < 4 （a + b ） 2，而（a + b ） 2 = a + b + ab 2 （a b C ） 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加 上同一个正数则分式值变大，禾U 用这些性质，可达到证题目的。 b 2 bc c 2 > b C ， ?. c 2 ac a 2 > C a 。 5 2 所以 a 2 ab b 2 b 2 bc C 2 心 ac a 2 > 2 （ a b C ） 二. 分式放缩 例3.已知a b 、C 为三角形的三边，求证：1< L + L + J < 2 o b C a C a b 证明：由于a b 、C 为正数，所以严> —,4 > J ,七 > —,所以 b C a b c a C a b c a b a b C 用放缩法证明与数列和有关的不等 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用 大全 证明数列型不等式,其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例１．证明：当Z n n ∈≥,6时, (2) 12 n n n +<. 证法一:令)6(2) 2(≥+=n n n c n n ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++= -+++n n n n n n n n n n c c ， 所以当6n ≥时，1n n c c +<．因此当6n ≥时，6683 1.644 n c c ?≤==< 于是当6n ≥时， 2 (2) 1.2n n +< 证法二：可用数学归纳法证．(1)当ｎ = 6时， 66(62)483 12644 ?+==<成立. （2）假设当(6)n k k =≥时不等式成立,即(2) 1.2 k k k +< 则当n =k +１时, 1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3) 1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k ++++++++=?<<++ 由(1)、（２)所述,当ｎ≥６时，2 (1) 12 n n +<. 二、借助数列递推关系 例2．已知12-=n n a .证明: ()23 11112 3 n n N a a a *++++ <∈. 证明:n n n n n a a 121121************?=-?=-<-=+++ , ∴3 2])21(1[321)21(...12111112122132<-?=?++?+<+++= -+n n n a a a a a a S ． 例３. 已知函数f(ｘ)＝52168x x +-,设正项数列{}n a 满足1a =l,()1n n a f a +=. (1) 试比较n a 与 5 4 的大小，并说明理由； (2) 设数列{}n b 满足n b =54-n a ，记S ｎ=1 n i i b =∑.证明：当ｎ≥2时,Ｓn ＜14(2n -１）. 分析：比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解：（1） 因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><< 放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。 1、 先放缩再求和 例1 （05年湖北理）已知不等式],[log 2 1131212n n >+++Λ其中n 为不大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。设数列{}n a 的各项为正且满足111),0(--+≤>=n n n a n na a b b a )4,3,2(Λ=n ，证明：] [log 222n b b a n +<，Λ5,4,3=n 分析：由条件11--+≤ n n n a n na a 得：n a a n n 1111+≥- n a a n n 1111≥-∴- )2(≥n 1111 21-≥---n a a n n (2) 11112≥-a a 以上各式两边分别相加得： 2 1111111++-+≥-Λn n a a n 2 111111++-++≥∴Λn n b a n ][log 2 112n b +> )3(≥n =b n b 2][log 22+ ∴ ][log 222n b b a n +< )3(≥n 本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。 例2 （04全国三）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ； （2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8 711154<+++m a a a Λ 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2； ⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1122(1)n n n a a --=+- 2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32) 1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-n n a }是以3 21+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n n n a ∴22[2(1)]3 n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3 n n n a -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=232451113111[]221212(1) m m m a a a -+++=+++-+--L L ，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121+>++-， 43432121121121+<-++，因此，可将1 212-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时， m a a a 11154+++Λ)11()11(11654m m a a a a a +++++=-Λ )2 12121(2321243-++++< m Λ )2 11(4123214--?+=m 8321+<87= 放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+? 例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T << 例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++< 利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法 主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3,n =L 。设2n n n T S =，1,2,3,n =L ，证明： 1 3 2 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--11 32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231 11 3113111111 ()()221212212121212121n n i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑L = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ， 2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥ 。 证明：（I ）1111111 ()2322122n n T T n n n n n n +-=+++-++++++++L L 11121221n n n = +- +++10(21)(22) n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ）112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+Q L 1221122n n T T T T S --=+++++L 由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥≥L ，又11217,1,212T S T = ==， 12211222n n n S T T T T S --∴=+++++L 21171711 (1)(1)112212 n n T T S n +≥-++=-++= 即当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+L 的 利用放缩法证明数列型不等式 教学目标： 知识与技能：利用裂项求和，等比数列求和，二项式定理结合放缩法证明常规数列型不等式； 过程与方法：通过本节的学习，掌握利用放缩法证明常规数列型不等式； 情感、态度与价值观：通过实例探究放缩法解决数列型不等式的过程，体会知识间的相互联系的观点，提高思维能力. 教学重、难点： 1．掌握证明数列型不等式的四种放缩技巧。 2．体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。 教学过程： 一、高考背景： 压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。而处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。但近几年的广东高考对数列的考查难度有所降低，对放缩法的要求上回归到常规题型中。 二、常见放缩方法： 1.裂项放缩 {}{}. 1:n ,)1(1.1<+= n n n n n S S a n n a a 求证，项和为的前且的通项公式为已知数列例 小结:可求和先求和，先裂项后放缩。 {}{}. 2:n ,1.12<=n n n n n S S a n a a 求证，项和为的前且的通项公式为已知数列变式 小结:不能求和先放缩，后裂项求和，再放缩。 4 7)2013(2< n S 上，同广东变式？ 小结:放大不宜过大，缩小不宜过小，把握放缩的“度”。 2．等比放缩 例2【2012广东】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，{} n n n a a 231n -=的通项公式为 证明：对一切正整数n ，有2 3< n S 小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。 证明数列不等式的常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12； n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3lg 2 =<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 2 1k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：2 2 111111()1(1)(1)211 k k k k k k < ==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 数列型不等式的放缩技巧九法 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+= 2121)1(+=++<+ 基于构造函数的放缩法证数列型不等式问题的教学设计 教学内容分析 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其内在的函数规律进行恰当地放缩. 一、 学生学习情况分析 任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，已经掌握了基本的数列求解问题的技巧，对于构造函数这方法，知道大致思路，但是不明确如何有效合理的构造能帮助解题，计算能力不是太过硬. 二、 设计思想 建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，运用多媒体，投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。具体流程如下： 创设情景（课前准备、引入实例）→授新设疑→质疑问难、论争辩难（进一步加深理解→突破难点）→沟通发展（反馈练习→归纳小结）→布置作业 四、教学目标 理解构造函数的功能，通过模仿、操作、探索，学习构造函数达到放缩的目的，以此来解决问题，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力；能运用构造函数的放缩法解决数列型不等式问题，增强学生的创新能力和应用数学的意识. 五、教学重点与难点 重点：理解构造函数的目的，厘清构造函数与问题所需放缩的方向，最终完成合理构造 难点：如何构造出符合题情的函数，如何放缩 六、教学过程设计 第一部分——问题引入 求证：)(6 6533 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ. 【师生互动】：师生一起观察本例，试图确定本题所考查的知识点(数列、不等式、函数等)，所考查的数学思想方法（化归与转化的思想、函数的思想、特殊与一般的思想等），所考查的具体解题方法（放缩法等）；还有引导学生能不能把问题简化，或者换一种方式方法来表 放缩法在不等式的应用 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143 ＜＋＜a b 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜ ＋＋＜a b c b a c c a b +++。 三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n 13 12 11＜…+ ++ + 。 例5. 已知* N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+ ?=Λ， 数列微专题——放缩法证明数列不等式 一、常见的放缩变形： （1） ()()211111n n n n n <<+-， ()()22111111111211n n n n n n ?? <==- ?--+-+?? ， ()()22 211411111412121221214 n n n n n n n ??<==- ?--+-+??- （2 =， 从而有： 22 -= < << （3）分子分母同加常数：()()0,0,0,0b b m b b m b a m a b m a a m a a m ++>>>>>>>>++ （4） () ()()()()()() 1 2 1 22222121212221212 1n n n n n n n n n n n --=<=------- ()1112,21 21 n n n n N * -=- ≥∈-- 可推广为： () ()()()()()() 1 2 1 111111n n n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k --=<=------- ()1112,2,,1 1 n n n k k n N k k * -=- ≥≥∈-- 二、典型例题： 例1：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a = （1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式 （2 ）设n b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：32 n T < 例2：设数列{}n a 满足：111,3,n n a a a n N * +==∈，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，已知10b ≠， 112,n n b b S S n N *-=?∈ （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式 （2）求证：对任意的n N *∈且2n ≥，有2233 11 13 2 n n a b a b a b ++ + <--- 例3：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1 2,n n n a S n N a *+ =∈ （1）求证：数列{} 2 n S 是等差数列 （2）记数列3 12 111 2,n n n n b S T b b b == +++ ，证明：312n T <≤-2021年典型例题：用放缩法证明不等式
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