人教版22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图像性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
2+bx+c(a>0) y=ax b 4ac b
2a , 4 a b 直线 x 2a
2
2+bx+c(a<0) y=ax b 4ac b
4ac b 4a
2 2 2
直线 x 2
b 2a
y轴 .
y
y
O x
O
（1）
x
（2）
开口向上
开口向下
对称轴在y轴左侧
【左同右异】 对称轴是y轴
对称轴在y轴右侧
图象过原点
y
2
1
–1
O
–1
1
2
x
C
B
A
B
–1
y
O
1
2
x
B
y x
y
C
y O x
y O x
A C
y O
B
x
C
D
y
y
y
x
A
x
B
O
x
C
O
O
x
D
8.画出下列函数的草图
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
2a , 4 a b 直线 x 2a
2
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 . 2
当x b 4ac b 时, 最小值为 2a大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 . 2
y o x
1.
二次函数
开口方向
向上 向下 向上 向下
对称轴
顶点坐标
（－3，5） （0，0） （0，7 ） （2，0）
5
3
5
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
抛物线 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标
向下
向上
y
2 1 –1
O
–1 –2 –3 –4 –5 –6
1
2
3
4
5
x
1. 快速画出下列二次函数的图像（草图）.
直线x=h
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
驶向胜利 的彼岸
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上, 在对称轴左侧,y都随x的增大而减小, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,
b 4ac b 时, 最大值为 2a 4a
（五）、学习回顾：
填写表格：
抛物线 y=ax2(a>0) y=ax2+k(a>0)
y=a(x-h)2(a>0)
y=a(x-h)2 +k(a>0) y= ax2 +bx+c(a>0)
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上 向上 向上 向上 向上
直线x=0 直线x=0 直线x=h
回味无穷 小结 拓展 驶向胜利 2 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)与=ax²的关系 的彼岸
1.相同点： 形状相同，开口方向相同. b 4ac b 2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 2a , 4a 和
2
(3)对称轴不同:分别是 0和 (4)最值不同 :分别是 和 ²+k(a≠0) 的图象可以看成 y=ax² 的图象 3.联系: y=a(x-h) b b 2a b 先沿x轴整体左 (右)平移| |个单位(当 2a >0时,向右 2a 4ac b 4ac b 4ac b 平移; 当 <0 时 , 向左平移 ), 再沿对称轴整体上 (下 ) 平 4a 4a 4a 移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(教案)
-当a>0时，函数图象开口向上，如y=x^2，图象在x轴上方；
-当a<0时，函数图象开口向下，如y=-x^2，图象在x轴下方；
- b、c的取值会影响图象的平移，如y=x^2+3，图象沿y轴向上平移3个单位；
-通过具体函数如y=x^2-4x+3，演示如何使用顶点公式(-b/2a, c-b^2/4a)求顶点坐标和判别式Δ=b^2-4ac判断与x轴的交点情况。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，它描述了许多自然现象和工程技术问题中的抛物线变化规律。它是数学中的一个重要部分，因为它可以帮助我们解决最值问题、预测物体运动轨迹等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次函数在物理学中的应用，比如计算抛物线运动的最高点和落点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二次函数y=ax^2+bx+c的标准形式及其图象特征，特别是a、b、c的符号对图象形状和位置的影响。
-掌握二次函数的对称性、最值性、顶点坐标和与x轴的交点的判定方法。
-学会运用顶点公式和判别式进行二次函数的图象分析和性质判断。
-能够将实际问题抽象为二次函数模型，并运用二次函数的性质解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象特征和性质这两个重点。对于难点部分，如顶点公式的推导和应用，我会通过图象示例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如物体抛射的最大高度计算。
人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c=0的图象和性质(共22张PPT)
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
九年级数学人教版(上册)22.1.4第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如
图所示，则下列结论：
y
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是（2）.
–1 O
–2
x 3
直线x=1
侵权必究
5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) y 2x2 12x 13; 直线x=3 3, 5
(2) y 5x2 80x 319; 直线x=8 8, 1
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线x=1.25
5 4
,
9 8
(4) y x 12 x.
直线x= 0.5
1 2
,
9 4
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
最小值-6
侵权必究
2.将抛物线y＝x2－2x＋3向上平移2个单位长度，再向右
平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( B )
A．y＝(x－1)2＋4
B．y＝(x－4)2＋4
C．y＝(x＋2)2＋6
D．y＝(x－4)2＋6
3.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x= 1 ，x=2对 应的函数值y= -8 ．
2
问题 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的
2
形式？
侵权必究
配方可得 y 1 x2 6x 21 2
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》ppt课件
5 2 3 x 2 x 1 1 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
2 2 3x 1 配方后的表达 3
式通常称为配 方式或顶点式
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x 1 2.
2
化简:去掉中括号
例7 已知抛物线
和
y x
1
2
(m 4) x 2(m 1)
x 4x 6 2 (1)求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点 总在y2抛物线上;
y
2
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
b 4ac b a x .化简:去掉中括号 2a 4a
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性 质
函数y=ax²+bx+c的图象
人教版九年级数学上册课件：22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质
解析：⑴根据题意 得： 解得 所以抛物线的解析式为
y 3
－1 O
x
⑵令
解得
根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是
6、已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象， 判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
化简
再根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x
… -2 -1 0 1 2
3
4…
… 29 14 5 2 5 14 29 …
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
1.能熟练求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某 一范围内的增减性. 2.能根据条件确定二次函数的关系式及顶点坐标、对称 轴.
学习感知：
同学们：通过这节课的学习，与同 桌分享与交流，学有所获，共同探讨学 有所困。
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。 ①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由 于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 x b ，故
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5） 对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1） 对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）
人教版数学九年级上册说课稿22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册说课稿22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章是关于二次函数的学习，而22.1.4《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》是这一章的重要内容。
这部分教材主要通过分析二次函数的图象和性质，使学生能够理解和掌握二次函数的基本特征，以及如何运用这些特征解决实际问题。
教材通过详细的理论推导和丰富的例题，引导学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等关键性质，并能够运用这些性质对二次函数进行分析和判断。
二. 学情分析在九年级的学生已经具备了一定的函数基础，他们已经学习了线性函数和一些非线性函数的知识，对函数的概念和性质有一定的理解。
但是，对于二次函数的图象和性质，他们可能还存在一些困惑和误解。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的认知基础，通过复习和引导，帮助他们巩固已有的知识，并建立起二次函数图象和性质的知识体系。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次函数的图象和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的图象和性质，培养他们的抽象思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生通过学习二次函数的图象和性质，增强对数学的兴趣和自信心，培养他们的探索精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握二次函数的图象和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.教学难点：学生对于二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，通过引导学生观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的图象和性质。
同时，我将利用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数和二次函数的知识，引导学生进入对二次函数图象和性质的学习。
2.探究：学生分组讨论，观察和分析二次函数的图象，归纳出二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九上
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a
人教版九年级上册学数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性课件
c的正负
y 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 x -1
课堂小结
1. 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
2. 数学思想方法：数形结合． 3. 常用解题方法：赋值法．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
数学思想方法：数形结合．
的图象上的三个点．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
课堂小结
开口方向
y 3
2 1
2a
决定抛物线与y轴的交点位置
巩固落实
类型一：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断各项系数符号．
例1. 若二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，
你可以判断出 a，b，c的符号吗？ a <0
y
3
x
b
2-a
>
0
2
b >0
1
c >0
-2 -1 O -1
1 2 3x
巩固落实
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
-2 -1 O -1
1 2 3x
a的正负
y 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 x -1
对称轴位置
开口方向
y 3
2 1
课堂小结
－
b 2a
的正负
a的正负
b的正负
y 3 2 1
人教版九年级上册数学4二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数 )0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质知识点：1、二次函数c bx ax y ++=2的对称轴为 ，顶点坐标为 ，它的最高（低）点在 点，当=x 时，它有最大（小）值，值为 。
2、在抛物线c bx ax y ++=2中，c 为抛物线与 交点的纵坐标。
当0>a 时，图象开口 ，有最 点，且x 时，y 随x 的增大而增大，x 时，y 随x 的增大而减小；当0<a 时，图象开口 ，有最 点，且x 时，y 随x 的增大而增大，x 时，y 随x 的增大而减小；3、抛物线c bx ax y ++=2可由抛物线2ax y =进行左（右）、上（下）平移得到。
一、选择题：1、抛物线742++-=x x y 的顶点坐标为（ ）A 、（-2,3）B 、（2,11）C 、（-2,7）D 、（2，-3） 2、若抛物线c x x y +-=22与y 轴交于点（0，-3），则下列说法不正确的是（ ）A 、抛物线开口方向向上B 、抛物线的对称轴是直线1=xC 、当1=x 时，y 的最大值为-4D 、抛物线与x 轴的交点为（-1,0），（3,0） 3、要得到二次函数222-+-=x x y 的图象，需将2x y -=的图象（ ）A 、向左平移2个单位，再向下平移2个单位B 、向右平移2个单位，再向上平移2个单位C 、向左平移1个单位，再向上平移1个单位D 、向右平移1个单位，再向下平移1个单位4、在平面直角坐标系中，若将抛物线3422+-=x x y 先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后，所得到的抛物线的顶点坐标为（ ）A 、（-2,3）B 、（-1,4）C 、（1,4）D 、（4,3）5、抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ）A 、2,2==c bB 、0,2==c bC 、1,2-=-=c bD 、2,3=-=c b 6、二次函数y=ax 2+bx+1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是（ ）A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．-1＜t ＜1 7、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为x=12-．下列结论中，正确的是（ ）A ．0>abcB ．0=+b aC ．02>+c bD ．b c a 24<+ 8、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，反比列函数xay =与正比列函数bx y =在同一坐标系内的大致图像是（ ）二、填空题：1、抛物线3842-+-=x x y 的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ，函数值得最大值是 。