苏教版高中数学选修2-1同步课堂精练：2.3.1 双曲线的标准方程 Word版含答案
苏教版2019年高二数学选修2-1同步课堂精练：2.4.1 抛物线的标准方程 Word版含答案
1．抛物线y2＝－8x的焦点到准线的距离为__________．2．以双曲线22143x y-=的右顶点为焦点的抛物线方程为__________．3．在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为__________．4．抛物线y＝ax2的准线方程为12y=-，则a＝__________.5．已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离是5，则p的值为__________．6．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是__________．7．设P是抛物线x2＝2y上的一点，若点P到此抛物线的准线的距离为8.5，则P点的坐标是______．8．圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是__________．9．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，求点A的坐标．10．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直，又抛物线与双曲线交于点32⎛⎝，求抛物线和双曲线的方程．参考答案1. 答案：4 解析：由已知可得p ＝4，∴焦点到准线的距离为4.2. 答案：y 2＝4x 解析：∵双曲线22143x y -=的右顶点为(1,0)，即抛物线的焦点坐标为(1,0)，∴抛物线方程为y 2＝4x .3. 答案：2 解析：显然p ＞0，∴4＋2p＝5，∴p ＝2. 4. 答案：12 解析：把方程y ＝ax 2化为标准方程得x 2＝1a y ，得准线方程为12y =-，∴1142a -=-，12a =. 5. 答案：4 解析：∵抛物线的焦点坐标为F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴202p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋9＝25，∴p ＝4. 6. 答案：2 解析：如图所示，动点P 到l 2：x =－1的距离可转化为PF 的距离，由图可知，距离和的最小值即F 到直线l 1的距离2d ==.7. 答案：(±4,8) 解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，∵抛物线x 2＝2y 的准线为12y =-，∴y 0＋12＝8.5，∴y 0＝8，代入x 2＝2y 得x 02＝16，∴x 0＝±4.∴P 点的坐标为(±4,8). 8. 答案：212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋(y ±1)2＝1 解析：由题设可知，圆与x 轴的切点为抛物线的焦点，∴圆心为1,12⎛⎫±⎪⎝⎭，半径为1. ∴圆的方程为212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋(y ±1)2＝1.9.答案：解：设A(x0，y0)，F(1,0)，OA＝(x0，y0)，AF＝(1－x0，－y0)，OA·AF＝x0(1－x0)－y02＝－4.∵y02＝4x0，∴x0－x02－4x0＋4＝0⇒x02＋3x0－4＝0.∴x0＝1或－4.又x0＞0，∴x0＝1，y0＝±2，即A点坐标为(1，±2).10.答案：解：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，根据点32⎛⎝在抛物线上可得2322p=⋅.解之，得p＝2.故所求抛物线方程为y2＝4x，抛物线的准线方程为x＝－1.又双曲线的左焦点在抛物线的准线上，∴c＝1，即a2＋b2＝1.故双曲线方程为222211x ya a-=-.又点32⎛⎝在双曲线上，∴2296141a a-=-，解得a2＝14.同时b2＝34，因此所求双曲线的方程为2211344x y-=.。
2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程作业 苏教版选修
2.3.1 双曲线的标准方程[基础达标]1.已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．解析：因为b ＝3，所以c 2－a 2＝(c ＋a )(c －a )＝9，所以c －a ＝1，a ＝4，此双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1.答案：x 216－y 29＝12.双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，那么k 的值是________． 解析：焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程是y 2－8k －x 2－1k＝1，k <0，则 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝3，解得k ＝－1. 答案：－13.在双曲线中，c a ＝52，且双曲线与椭圆4x 2＋9y 2＝36有公共焦点，则双曲线方程是________．解析：焦点在x 轴上，由椭圆4x 2＋9y 2＝36知，c ＝5，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝14.过双曲线x 216－y 29＝1左焦点F 1的弦AB 长为6，则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是________．解析：据题意AF 2－AF 1＝2a ，BF 2－BF 1＝2a ， 故AF 2＋BF 2－(AF 1＋BF 1)＝(AF 2＋BF 2)－AB ＝4a ，因此AF 2＋BF 2＝AB ＋4a ＝6＋16＝22，故三角形周长为22＋6＝28. 答案：28 5.如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左，右焦点，且过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意，得B (2，0)，C (2，3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 24a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝16.设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若PF 1∶PF 2＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为________．解析：双曲线的a ＝1，b ＝23，c ＝13.设PF 1＝3r ，PF 2＝2r .∵PF 1－PF 2＝2a ＝2，∴r ＝2.于是PF 1＝6，PF 2＝4.∵PF 21＋PF 22＝52＝F 1F 22，故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1PF 2＝90°.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12×6×4＝12.答案：127.已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝PF 21＋PF 22，又因为PF 1－PF 2＝2，所以(PF 1－PF 2)2＝4，可得2PF 1·PF 2＝4，则(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22 ＋2PF 1·PF 2＝12，所以PF 1＋PF 2＝2 3.答案：2 3 8.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则PF ＋PA的最小值为________．解析：设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知PF ＝2a ＋PF 1＝4＋PF 1， ∴PF ＋PA ＝4＋PF 1＋PA .∴当PF ＋PA 最小时需满足PF 1＋PA 最小．由双曲线的图象可知当点A 、P 、F 1共线时，满足PF 1＋PA 最小，易求得最小值为AF 1＝5，故所求最小值为9.答案：99.在△ABC 中，已知AB ＝42，且2sin A ＋sin C ＝2sin B ，求顶点C 的轨迹方程． 解：如图，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)，由正弦定理得sin A ＝a ′2R ，sin B ＝b ′2R ，sin C ＝c ′2R(a ′，b ′，c ′分别为A ，B ，C所对的边)，∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ′＋c ′＝2b ′，即b ′－a ′＝c ′2，从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，顶点C 的轨迹是双曲线的右支， a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6. ∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．10.已知P 为椭圆x 225＋4y 275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△ F 1PF 2的面积．解：在△PF 1F 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°，即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2， 由椭圆的定义得10＝PF 1＋PF 2，即100＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2， 所以PF 1·PF 2＝25，所以S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝2534.[能力提升]1.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值是________．解析：PF 1＋PF 2＝2m ，|PF 1－PF 2|＝2a ，所以PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4m ，PF 21－2PF 1·PF 2＋PF 22＝4a 2，两式相减得：4PF 1·PF 2＝4m －4a 2，∴PF 1·PF 2＝m －a 2.答案：m －a 22.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，另一个焦点为F 2，点N 是PF 1的中点，则ON 的大小(O 为坐标原点)为________．解析：连结ON (图略)，ON 是三角形PF 1F 2的中位线，所以ON ＝12PF 2，因为|PF 1－PF 2|＝8，PF 1＝10，所以PF 2＝2或18，所以ON ＝12PF 2＝1或9.答案：1或93.已知在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线的标准方程．解：由Rt △MPN 的周长为48，且tan ∠PMN ＝34，设PN ＝3k ，PM ＝4k ，则MN ＝5k ，3k＋4k ＋5k ＝48，得k ＝4，则PN ＝12，PM ＝16，MN ＝20.以MN 所在直线为x 轴，以线段MN 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，由PM －PN ＝4＝2a ，得a ＝2，a 2＝4，由MN ＝20得2c ＝20，c ＝10，则b 2＝c 2－a 2＝96，所以所求双曲线方程为x 24－y 296＝1.4.在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路PA ，PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．解：灾民区ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路PA 送药较近，第二类沿道路PB 送药较近，第三类沿道路PA ，PB 送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任意一点，则有PA ＋MA ＝PB ＋MB ，即MA －MB ＝PB －PA ＝50(定值)．界线为以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示．以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵a ＝25，2c ＝AB ＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507，∴c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3 750，∴双曲线方程为x 2625－y 23 750＝1，因为C 的坐标为(257，60)，所以y 的最大值为60，此时x ＝35.因此界线的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35，y >0)．。
2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程 苏教版选修1-1
当堂训练
1.已知双曲线中的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为 _2x_52_－__2y_42_＝__1__或__2y_52_－__2x_42_＝__1___. 答案
程可
设为
a2x－2 k－b2y＋2 k＝1(－b2＜k＜a2).
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值. (4)结论：写出双曲线的标准方程.
跟踪训练1 根据条件求双曲线的标准方程： (1)c＝ 6，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上； 解答 设双曲线标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， ∵c＝ 6，∴b2＝c2－a2＝6－a2. 由题意知2a52 －b42＝1，∴2a52 －6－4 a2＝1，
又由F1F2＝10，可得△PF1F2是直角三角形， 则 S PF1F2 ＝12PF1×PF2＝24.
12345
5.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上； 解答
由题设知，a＝3，c＝4. 由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x92－y72＝1.
本课结束
跟踪训练 2 已知曲线16x－2 m－ym2＝1. (1)当曲线为椭圆时，求 m 的取值范围，并写出焦点坐标； 解答
16－m>0， 当曲线为椭圆时，依题意得－m>0，
16－m≠－m，
解得m<0，即m的取值范围为(－∞，0). 此时，椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为(±4,0).
(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标. 解答
高中数学选修2-1 2.3.1双曲线的标准方程(一)
3.求解方程
（1）建系 （2）设点 M(x,y) （3）限制条件 （4）代入等式 （5）化简整理
y M
O
x
MF1 MF2 2a 0 2a 2c
同学们亲手 练习！
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2
2
4.双曲线的标准方程
2 2 x y y x 2 1(a 0, b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 在双曲线方程中, 总有
2 2 2
双曲线 | MF1 | | MF2 | 2a x2 y2 2 1 2 a b 2 2 y x 2 1 2 a b ( c , 0) (0, c ) c a b
2 2 2
方程
焦点 a , b, c 的关系
四、讲练结合
例1.课本P 47, 例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1 5, 0 , F2 5, 0 , 双曲线上一点P到F1 , F2 距离之差的绝 对值等于6.求双曲线的标准方程. 变式1.已知两点F1 5, 0 , F2 5, 0 , 求与这两点
(1)m ;
( 2)m ; (3)m 1; ( 4) 1 m 2
例3.求根据下列条件, 求双曲线的标准方程 (1)经过点P 3，10 ，Q 6， 2 的双曲线方程; ( 2)c 6 , 经过点( 5, 2), 焦点在x轴上. x y (3)已知双曲线与椭圆 1有共同的 27 36 焦点, 且过点
三、新知讲解
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1 , F2的距离之差的绝对值等 于常数2a (小于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.这两 个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫双曲线 的焦距.
2018年优课系列高中数学苏教版选修2-1： 2.3.1 双曲线的标准方程 (17张)1
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一、地位和作用 二、重点与难点 三、学情分析 四、教学过程
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2
1、地位和作用
双曲线的学习是对圆锥曲线内容的研究 进一步深化和提高。本节课的作用就是承接 椭圆定义和标准方程的研究，也为双曲线简 单性质的学习打下基础 。
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例题
例1：已知两定点 F1 (-5,0),F2 (5,0)求到这两点的距
离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。
例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）a 3,b 4 ，焦点在 x 轴上；
（2） a 2 5 ，经过点 A(2,5)，焦点在 y 轴上.
问题2：若去掉这几个关键字，曲线会是什么样子？
（设计说明：去掉绝对值——双曲线中的一支；
| PF1 PF2 | F1F2 ——两条射线； | PF1 PF2 | F1F2 ——不存在。）
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双曲线标准方程的推导
1.回顾椭圆标准方程的推导步骤：建系、设点、列式、化 简，推导双曲线的标准方程。
2.换元的方式与椭圆是否一样？
3.猜想焦点在 y轴上的双曲线的标准方程并证明。
（设计说明：虽然可以类比椭圆标准方程的推导，但
双曲线标准方程的推导依然是教学的难点，应由小 组合作探究完成。）
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椭圆与双曲线的比较
定义
a,b,c关系
方 焦点在x轴上 程
焦点在y轴上
椭圆
（设计说明：例1是双曲线定义的直接应用，巩固
2018版高中数学苏教版选修1-1学案：第二章+2.3.1+双曲线的标准方程+Word版含答案
2.3.1 双曲线的标准方程[学习目标] 1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.知识点二 双曲线的标准方程[121212其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案 (1)当距离之差等于F 1F 2时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F 1、F 2，当距离之差大于F 1F 2时，动点的轨迹不存在. (2)a ，b 的值及焦点所在的位置.题型一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上. 解 (1)方法一 若焦点在x 轴上， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，∴⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9，(舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0).∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6).∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.反思与感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，从而简化求解过程. 跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22). 解 (1)由双曲线的定义知，2a ＝8，所以a ＝4， 又知焦点在x 轴上，且c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， 所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)因为焦点在x 轴上，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得⎩⎨⎧16a 2－4b 2＝1， ①24a 2－8b 2＝1， ②解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1.题型二 双曲线定义的应用例2 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积. 解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1) 由双曲线的定义得|MF 1－MF 2|＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ， 则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2－PF 1|＝2a ＝6两边平方得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2 ＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝2222121122.PF PF F F PF PF +-＝100－1002×32＝0，且∠F 1PF 2∈(0°，180°)，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S 12F PF ∆＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16. 反思与感悟 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF 1－PF 2|＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a ).(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF 1－PF 2|＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.跟踪训练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积. 解 由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得PF 1－PF 2＝±6，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°， 所以102＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2， 所以PF 1·PF 2＝64，所以S 12F PF ∆＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 题型三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知AB ＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝ 2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0).由正弦定理得sin A ＝BC 2R ，sin B ＝AC 2R ，sin C ＝AB2R (R 为△ABC 的外接圆半径).∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2BC ＋AB ＝2AC ，从而有AC －BC ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点). ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6， 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2).反思与感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ， 则有MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3<10＝F 1F 2.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32).数形结合思想的应用例4已知F1，F2是双曲线x216－y29＝1的左，右焦点，A是双曲线右支上的动点.(1)若点M(5,1)，求AM＋AF2的最小值；(2)若点M(5，n)，求AM＋AF2的最小值.分析画出草图，结合焦点三角形进行考虑.解(1)草图如图所示.由双曲线的定义，知AM＋AF2＝AM＋AF1－2a.由于点M在双曲线右支的右边，故由图知当点A在线段MF1上时，AM＋AF1最小，即AM＋AF2最小.故所求的最小值为MF1－2a＝101－8.(2)类似(1)可知，当点M在双曲线右支的右边，即|n|＜94时，AM＋AF2＝AM＋AF1－2a≥MF1－2a＝100＋n2－8.当M在双曲线右支的外边或其上，即|n|≥94时，AM＋AF2≥MF2＝|n|.故当|n|＜94时，AM＋AF2的最小值为100＋n2－8；当|n|≥94时，AM＋AF2的最小值为|n|.解后反思解决这类综合性较强的双曲线问题时，应利用图形的形象直观的特点画图分析，并注意运用双曲线的定义，对所求解的问题进行恰当转化，使问题顺利地得到解决.1.已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足PF1－PF2＝4，则P点的轨迹是________________. 答案双曲线的一支解析因为PF1－PF2＝4，且4<F1F2，由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.2.若椭圆x234＋y2n2＝1和双曲线x2n2－y216＝1有相同的焦点，则实数n的值是________.答案±3解析由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.3.双曲线x210－y22＝1的焦距为________.答案4 3解析由标准方程得a2＝10，b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝12，c＝23，所以焦距2c＝4 3.4.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________.答案x225－y224＝1或y225－x224＝1解析当焦点在x轴上时，方程为x225－y224＝1，当焦点在y轴上时，方程为y225－x224＝1.5.P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则PF1－PF2＝________. 答案－8解析将x2－y2＝16化为标准形式为x216－y216＝1，所以a2＝16,2a＝8，因为P点在双曲线左支上，所以PF1－PF2＝－8.1.双曲线定义中|PF1－PF2|＝2a (2a<F1F2)不要漏了绝对值符号，当2a＝F1F2时表示两条射线.2.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1 (mn<0)的形式求解.。
苏教版高中数学选修2-1：2.3《双曲线》测试(选修2—1).docx
高中苏教选修（2-1）2.3双曲线水平测试题一、选择题1．到两定点12(30)(30)F F -，，，的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线答案：Ｄ2．双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ） A ．23y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =±答案：Ｃ3．已知双曲线2244x y -=上一点P 到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么P 点到另一焦点的距离等于（ ） A ．10 B ．10或2C ．625+D ．625±答案：Ｂ4．方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11k -<< B ．0k >C ．0k ≥D ．1k >或1k <-答案：Ｄ5．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（ ） A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关答案：Ｃ6．已知平面内有一条线段AB ，其长度为4，动点P 满足3PA PB -=，O 为AB 的中点，则PO 的最小值为（ ） A ．32B ．1C ．2D ．3答案：Ａ 二、填空题7．若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则这个双曲线的离心率为 ． 答案：538．与椭圆2214924x y +=有相同的焦点且以43y x =±为渐近线的双曲线方程为 ． 答案：221916x y -= 9．已知双曲线221(0)9x y m m-=>的离心率为2，则m 的值为 ． 答案：2710．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(02)，，则双曲线的标准方程为 ．答案：22144y x -= 11．设中心在原点的椭圆与双曲线22221x y -=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ．答案：2212x y += 12．对于曲线22:141x y C k k +=--，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当14k <<时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则1k <或4k >； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512k <<．其中所有正确命题的序号为 ． 答案：③④ 三、解答题13．求中心在原点，对称轴为坐标轴，一个焦点是(40)-，，一条渐近线是320x y -=的双曲线方程及离心率． 解：双曲线的一条渐近线是320x y -=，∴可设双曲线方程为22(0)49x y λλ-=≠． 焦点是(40)-，，∴由22149x y λλ-=，得4916λλ+=． 1613λ∴=． ∴双曲线方程为221313164144x y -=，离心率132c e a ==．14．已知12F F ，是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右两焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，若1245PF F ∠=时，求双曲线的渐近线方程．解：由2(0)F c ，，设0()P c y ，，则220221y c a b-=， 那么222021c b y b a a⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为1245PF F ∠=，所以120F F y =，即22b c a=． 也就是22244()a a b b +=，得22(222)b a =+．故渐近线方程为222y x =±+．15．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点所到的时间比其他两个观测点晚期4s ．已知各观测点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上）．解：以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴的正向建立平面直角坐标系． 设A B C ，，分别是西、东、北观测点， 则(10200)(10200)(01020)A B C -，，，，，．设()P x y ，为巨响发生点，由A C ，同时听到巨响，得PA PC =，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y x =-． 因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故34041360PB PA -=⨯=．由双曲线定义知P 点在以A B ，为焦点的双曲线22221x y a b-=上，依题意得680a =，1020c =，22222210206805340b c a =-=-=⨯，故双曲线方程为222216805340x y -=⨯． 用y x =-代入上式，得6805x =±， 由PB PA >，得6805x =-，6805y =，即(68056805)P -，，所以68010PO =． 故巨响发生在接报中心的西偏北45，距中心68010m 处．高中苏教选修（2-1）2.3双曲线水平测试题一、选择题1．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF =（ ） A ．1或5B ．6C ．7D ．9答案：C2．焦点为(06)，，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．2211224x y -= B ．2211224y x -= C ．2212412y x -= D ．2212412x y -= 答案：B3．过双曲线221169x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF △（2F 为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22C ．14D ．12答案：Ａ4．已知m n ，为两个不相等的非零实数，则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是（ ）答案：Ｃ5．已知双曲线方程为2214y x -=，过点(10)P ，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：Ｂ6．已知双曲线22221x y a b -=(00)a b >>，的左、右焦点分别为12F F ，，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73答案：Ｂ 二、填空题7．直线1y x =+与双曲线22123x y -=相交于A B ，两点，则AB = ．答案：468．已知定点A B ，，且6AB =，动点P 满足4PA PB -=，则PA 的最小值是 ． 答案：59．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线的倾斜角为π(0)2αα<<，其离心率为 ．答案：sec α10．直线y x b =+与双曲线2222x y -=相交于A B ，两点，若以AB 为直径的圆过原点，则b = ． 答案：2±11．若直线y x m =+与曲线24y x =--有且仅有一个公共点，则m 的取值范围为 ． 答案：(](]202--∞，，12．双曲线221169x y -=上有点12P F F ，，是双曲线的焦点，且12π3F PF ∠=，则12F PF △的面积是 ． 答案：93 三、解答题13．已知动点P 与双曲线221x y -=的两个焦点12F F ，的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为13-，求动点P 的轨迹方程． 解：221x y -=，2c ∴=．设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=（常数0a >），所以点P 是以12F F ，为焦点，2a 为长轴的椭圆，2222a c >=，2a ∴>．由余弦定理，有2221212cos 2m n F F F PF mn+-∠=2212()22m n mn F F mn+--=2241a mn-=-．222m n mn a +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，∴当且仅当m n =时，mn 取得最大值2a ．此时12cos F PF ∠取得最小值22241a a --， 由题意2224113a a --=-，解得23a =， 222321b a c ∴=-=-=． P ∴点的轨迹方程为2213x y +=．14．求过点(32)-，，离心率为52e =的双曲线的标准方程． 解：（1）若焦点在x 轴上，设方程为22221x y a b -=，则22921a b-=，又2222252c c a b e a a a +====， 得224a b =．由①、②，得21a =，214b =，得方程为2241x y -=． （2）若焦点在y 轴上，同理可得2172b =-不合题意．故所求双曲线标准方程为2241x y -=．15．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴的正半轴上，且满足OA ，OB ，OF 成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ． （1）求证：PA OP PA FP =；（2）若直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D E ，，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．（1）证明：直线l 为()ay x c b =--， ① 在第一、三象限的渐近线by x a=， ②解①、②得垂足2a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，．因为OA ，OB ，OF 成等比数列，所以可得点20a A c ⎛⎫⎪⎝⎭，．所以0ab PA c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，2a ab OP c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2b ab FP c c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，． 所以222a b PA OP c =，222a b PA FP c=-．因此PA OP PA FP =；（2）解：由222222()a y x c bb x a y a b ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩，，得4442222222220a a a c b x cx a b b b b ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D E ，，所以42222124220a c a b b x x a b b⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=<-，所以4220a b b->，即44b a >，22b a >，222c a a ->，222c a >，22e >，因此2e >．。
苏教版高中数学选修(1-1)-2.3同步练习：双曲线的标准方程1
双曲线的标准方程一、选择题：1．θ是第三象限角，方程x 2+y 2sin θ=cos θ表示的曲线是 （ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线2．“a b<0”是“方程ax 2+b y 2 =c 表示双曲线”的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切，则动圆心的轨迹为 （ ）A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆4．双曲线虚半轴长为5，焦距为6，则双曲线离心率是 （ ）A ．35 B ．53 C ．23 D ．32 5．设双曲线12222=-by ax （0<a <b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．332 二、填空题：6．若11422=-+-t y t x 表示双曲线，则实数t 的取值范围是 ． 7．以椭圆的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程为 ．三、解答题：8．已知双曲线与椭圆1244922=+y x 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线方程．9．F 1、F 2是116922=-x y 双曲线的两个焦点，M 是双曲线上一点，且3221=⋅MF MF ，求三角形△F 1MF 2的面积．（12分）10．某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A 、A′是双曲线的顶点，C 、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B 、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m ，CC′=18m ，BB′=22m ，塔高20m ．建立坐标系并写出该双曲线方程．参考答案：1、答案：D 解析：曲线方程化成等号右边是1的形式：，A A'BB'C'C 20m14m18m 22m。
苏教版高中数学选修2-12.3双曲线同步练测(选修2-1).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.3 双曲线（苏教版选修2-1）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、填空题(每小题5分，共55分)1.已知方程的图象是双曲线，那么的取值范围是 .2.与双曲线有共同的焦点，且过点（4， )的双曲线的标准方程为 .3. 若双曲线=1(a 0，b 0)的离心率是2， 则 的最小值为 .4. 若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线 的离心率是 .5.若直线过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有 条.6.设双曲线的半焦距为，直线过两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 .7.已知双曲线=1(a ＞0，b ＞0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OM ⊥ON ，则双曲线的离心率为 .8.过原点的直线，如果它与双曲线22134y x -=相交，则直线的斜率的取值范围是 .9. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为(7,0)F ，直线1y x =-与其交于M N 、两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 ． 10.过双曲线x y a b a b，22221(00)-=>>的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .11. 已知过点P (-3，0)的直线l 与双曲线 =1交于A 、B 两点，设直线l 的斜率为≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为为坐标原点)，则·= . 二、解答题（共45分）12.（14分）求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为54（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．13.（15分）直线与双曲线的右支交于不同的两点，求实数的取值范围．14.（16分）已知双曲线222210,0)x ya ba b-=>>（的离心率233e=，原点到过(,0),(0,)A aB b-的直线的距离是3 . 2（1）求双曲线的方程（2）已知直线5(0)y kx k=+?交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求出的值.一、填空题1. 解析：由方程的图象是双曲线知，,即2. 解析：可设与已知双曲线有共同焦点的双曲线的方程为 =1(-9＜k ＜16)，再将已知点(4，3 )代入上面的方程可得到 - =1，解得k =12或k =-84(舍去).故双曲线的标准方程为.3. 解析：由离心率e =2，得 =2，从而b = a ＞0，所以 =a + ≥2 =2 = ， 当且仅当a = ，即a = 时，“＝”成立.4. 或 解析：由题意，=2×8=16，∴ m =±4.当m =4时，=1表示椭圆，e = = ；当m =-4时， =1表示双曲线，e = = .5.3 解析：双曲线方程化为标准方程为，则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与x 轴垂直的直线满足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的2条直线满足题意，因此这样的直线共有3条.6.2 解析：由已知，直线的方程为.原点到直线的距离为34，则有2234ab c a b=+.又，所以，两边平方，得.两边同除以，并整理，得，所以或43.由，得222221a b b a a+=+＞2，所以.故．7. 解析：MN 为双曲线的通径，其长度为 ，又因为OM ⊥ON 且OM ＝ON ，∴ 在等腰Rt △MON中，有 =c ，∴=ac ，∴=ac ，∴=0，∴ e = （负值舍去） . 8. 解析：双曲线的渐近线方程为若直线l 与双曲线相交，则9.22125x y -= 解析：设双曲线方程为．将代入， 整理得．由根与系数的关系得，则． 又，解得，，所以双曲线的方程是10.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN 为圆的直径且点A 在圆上，所以F 为圆的圆心，且所以，即由11. 解析：设，，，，则线段AB 的中点M 的坐标是 ， )，直线AB 的斜率 ，直线OM 的斜率 ，故·，又双曲线的方程为，故，故= .二、解答题12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>．由题意，得 解得8a =，6b =．所以焦点在轴上的双曲线的方程为2216436x y -=． （2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的方程为()=222210,0.x y a b ab->>由题意，得解得所以焦点在轴上的双曲线的方程为2219814x y -=．同理可求得焦点在轴上的双曲线的方程为22194y x -=． 方法二：设以32y x =?为渐近线的双曲线的方程为22(0).49x y λλ-=? 当λ＞时，246λ=，解得λ94．此时，所求的双曲线的方程为2219814x y -=． 当λ＜时，296λ-=，解得λ．此时，所求的双曲线的方程为22194y x -=． 13.解：将直线的方程代入双曲线的方程后，整理得．依题意，直线与双曲线的右支交于不同两点，故 解得的取值范围是．14.解：（1）因为23,3c a=原点到直线：的距离ab ab d c a b 2232===+，所以1, 3.b a == 故所求双曲线方程为22 1.3x y -=（2）把5y kx =+代入2233x y -=中,消去，整理得22(13)30780k x kx ---=. 设1122(,),(,),C x y D x y CD 的中点是00(,)E x y ，则120215213x x k x k+==-，y kx k 00255.13=+=-BE y k x k0011+==-，所以000,x ky k ++=即.又,所以,即。
高二数学苏教版选修2-1课时跟踪训练：(十)_双曲线的标准方程
课时跟踪训练(十) 双曲线的标准方程1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________． 2．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________. 3．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________． 4．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________. 5．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF ·2MF ＝0，|1MF |·|2MF |＝2，则该双曲线的方程是__________．6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)； (2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．8．如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．答 案1．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF1F 2⇒12×PF 2×r ＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45. 答案：453．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3.答案：－3<k <34．解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF .∴|1MF |2＋|2MF |2＝40.∴(|1MF |－|2MF |)2＝|1MF |2－2|1MF |·|2MF |＋|2MF |2＝40－2×2＝36.∴||1MF |－|2MF ||＝6＝2a ，a ＝3.又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1，∴双曲线方程为x 29－y 2＝1. 答案：x 29－y 2＝1 6．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2|＝⎪⎪⎪⎪(5＋5)2＋(94－0)2－ (5－5)2＋(94－0)2＝⎪⎪⎪⎪ (414)2－ (94)2＝8，即2a ＝8，则a ＝4. 又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9.故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. (2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧ A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. 7．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝a 2＋b 2＝5， 由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120° 即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43. ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33. 8．解：以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 外接圆的半径)． ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c 2. 从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |. 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。
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1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中是双曲线
的为__________．(填序号)
①|PF1－PF2|＝4；②|PF1－PF2|＝3；③PF1－PF2＝3；④PF1－PF2＝±1.
2．双曲线2x2－3y2＝12的右焦点坐标为__________．
3．若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k＝__________.
4．已知双曲线C：221916xy的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上的一点，且
PF
2
＝F1F2，则△PF1F2的面积等于__________．
5．在平面直角坐标系中，双曲线221412xy上一点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦
点的距离是______．
6．下列说法正确的个数为__________．
①双曲线221169xy的焦点为(－5,0)和(5,0)；
②方程22132xymm表示焦点在x轴上的双曲线；
③若双曲线2212xya与椭圆22163xy的焦点相同，则a＝1.
7．设F1，F2分别是双曲线x2－29y＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且1PF·
2
PF
＝0，则|1PF＋2PF|等于__________．
8．如果221||21xykk表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围
是__________．
9．设双曲线与椭圆2212736xy有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的
纵坐标为4，求此双曲线的方程．
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．
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参考答案
1. 答案：②④ 解析：①中轨迹是两条射线；②④由双曲线定义得轨迹是双曲线；③中
轨迹是双曲线的一支.
2. 答案：(10，0) 解析：方程2x2－3y2＝12化为标准方程为22164xy.
∴a2＝6，b2＝4.
∴c2＝a2＋b2＝10，解得10c.
∴右焦点坐标为(10，0).
3. 答案：18 解析：方程化为标准方程为x2－21yk＝1.由焦点为(3,0)，得1＋1k＝9.∴
18k，∴1
8
k
.
4. 答案：48 解析：依题意得PF2＝F1F2＝10，由双曲线的定义，得PF1－PF2＝6，
∴PF1＝16.
∴122211616104822PFFS.
5. 答案：4 解析：把x＝3代入221412xy，得y2＝15，∴M点坐标为(3，15).而
右焦点F的坐标为(4,0)，∴2(34)154MF.
6. 答案：1 解析：①中双曲线方程化为221916yx，焦点在y轴上，故①错误；
②中当m＝4时，方程为22y－x2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故②错误；
③由已知得a＋2＝6－3，∴a＝1.故③正确.
7. 答案：210 解析：∵1PF·2PF＝0，
∴△F1PF2为直角三角形.
∴|PO|＝12|12FF|＝10.
∴|1PF＋2PF|＝2|PO|＝210.
8. 答案：c＞1 解析：根据题意，双曲线的标准形式为2211||2yxkk.
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∴10||20kkk＞2.
又c2＝k－1＋|k|－2＝2k－3＞1，∴c＞1.
9. 答案：解法一：由椭圆方程2212736xy，得椭圆的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3).
因为椭圆与双曲线在第一象限的交点A的纵坐标为4，所以这个交点为A(15，4).
设双曲线方程为22221yxab(a＞0，b＞0)，由题意得22222224(15)1,3.abab解得224,5.ab
故所求双曲线方程为22145yx.
解法二：由椭圆方程得F1(0，－3)，F2(0,3)，A(15，4).
∴2a＝|PF1－PF2|
＝2222(15)(43)(15)(43)
＝4.
∴a＝2，b2＝c2－a2＝5.
故所求双曲线方程为22145yx.
10. 答案：解：(1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程变为22144yxk，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程变为22144xyk，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程变为22144xyk，表示焦点在y轴上的椭圆.
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