01概率论与数理统计(理工)考研真题一
[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷29.doc
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（B）b+1．
（C）
（D）
4设随机变量X1，X2的分布函数、概率密度分别为F1(x)，F2(x)；f1(x)，f2(x)．如果a＞0，b＞0，c＞0，则下列结论中不正确的是( )
（A）aF1(x)+bF2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=1．
（B）cF1(x)F2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1．
2设A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B｜A)= ，则必有( )
（A）P(A｜B)= ．
（B）P(A｜B)≠ ．
（C）P(AB)=P(A)P(B)．
（D）P(AB)≠P(A)P(B)．
3设离散型随机变量X的分布律为P{X=k)=pk=bλk(k=1，2，…)，且b＞0，则λ为( )
26设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1-2X2)2+b(3X34X4)2，其中a，b为非零的常数，则当a=____，b=_____时，统计量X服从χ2分布，其自由度为______．
27设X1，X2，…，Xn为来自总体X～U(θ，θ+1)(θ＞0)的样本，则θ的矩估计量为_______；最大似然估计量为_______．
28设总体X的概率密度为 其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，若 =θ2，则c=_______．
19设随机变量X的概率分布为P{X=k}=Ak(k=1，2，3，4，5)，则常数A=______，概率 =______.
20设随机变量X的概率分布为P{X=k}= ，k=0，1，2，…，则概率P{X＞1}=________．
21已知(X，Y)的概率分布为 设(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则 =______， =________．
概率论与数理统计-精品试卷-华南理工大学 (2)
诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末试卷《概率论与数理统计》试卷A卷（2学分用）（注：此份试卷初认为是07年1月考，2005级）注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.解答就答在试卷上；3.考试形式：闭卷；4.本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。
注：标准正态分布的分布函数值Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.48）=0.9934；Φ（1.67）=0.9525选择题（每题3分，共18分）1.设A 、B 均为非零概率事件，且A ⊂B 成立，则（ C ） A.P(A ⋃B)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(A ︱B)=)()(B P A P D.P(A-B)=P(A)-P(B)2.掷三枚均匀硬币，若A={两个正面，一个反面}，则有P(A)=( )C A.1/2 B.1/4 C.3/8 D.1/83.对于任意两个随机变量ξ和η，若E(ξη)=E ξE η,则有（B ） A.D(ξη)=D ξD η B.D(ξ+η)=D ξ+D η C. ξ和η独立 D. ξ和η不独立4.设P(x)=⎩⎨⎧∉∈],0[,0],0[,sin 2ππA x A x x 。
若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A=（B ）A.1/2B.1/3C.1D.3/25.若ξ1，ξ2，…，ξ6相互独立，分布都服从N(u,2σ),则Z=∑=-6122)(1i iu ξσ的密度函数最可能是（）A.f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1612/2z z e z z B.f(z)=+∞<<-∞z e z ,12112/2π C.f(z)=+∞<<-∞-z ez ,12112/2πD.f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0,00,1612/2z z ez z6.设（ξ，η）服从二维正态分布，则下列说法中错误的是（B ） A.（ξ，η）的边际分布仍然是正态分布B.由（ξ，η）的边际分布可完全确定（ξ，η）的联合分布C. （ξ，η）为二维连续性随机变量D. ξ与η相互独立的充要条件为ξ与η的相关系数为0二、填空题（每空3分，共27分）1.设随机变量X 服从普阿松分布，且P(X=3)=234-e ，则EX= 2 。
概率论与数理统计练习册(理工类) - 第5,6章答案
答；收入至少400元的概率几乎为0.
(2)设出售1.2元的蛋糕数量为Y，则Y ~ B(300, 0.2), E(Y ) = 60, D(Y ) = 48.
P{Y
60}
=
Y P{
− 60
0}
=
(0)
=
0.5
48
答：售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率0.5.
28
一、选择题：
概率论与数理统计练习题
x} = (x)
n→
n
n
Xi −n
(C) lim P{ i=1
x} = (x)
n→
n
n
Xi −
(D) lim P{ i=1
x} = (x)
n→
n
二、填空题：
224
1．对于随机变量 X，仅知其 E( X ) = 3，D( X ) = 1 ，则可知 P{| X − 3 | 3} 225
一、选择题：
概率论与数理统计练习题
系
专业
班 姓名
学号
第五章 大数定律与中心极限定理
1．设 n 是 n 次重复试验中事件 A 出现的次数，p 是事件 A 在每次试验中出现的概率，则对任意
的
0
均有
lim
P
n
−
p
n→ n
[A ]
(A) = 0
(B) = 1
(C) 0
(D) 不存在
系
专业
班 姓名
学号
第六章 数理统计的基本知识
§6.1 总体、样本与统计量、§6.2 抽样分布
1．设 X1, X 2 , X 3 是取自总 X 体的样本，a 是一个未知参数，下述哪个样本函数是统计量[ B ]
概率论与数理统计复习题目_徐雅静_河南理工大学
(θ + 1) x θ 27、设总体 X 的概率密度为 f ( x) = 0
其中， θ
0 < x <1 其他
> −1 是未知参数.
设X 1 ，X2，…，X n 是来自于总体X的简单随机
样本，试求出 θ 的极大似然估计量。 29、甲、乙、丙 3 人进行独立射击, 每人的命中率分别为 0.3, 0.4, 0.6, 设每人射 击一次, 试求 3 人命中总数之概率分布律及其分布函数。 30、设随机变量(X, Y)具有联合概率密度 1 | x | + | y |≤1 , f ( x, y) = 2 0 其他 试求(1) E(X),E(Y)； （2）Cov(X,Y) ，问 X 与 Y 是否不相关？(3)X 与 Y 是否 相互独立？ 33、设每门高射炮击中飞机的概率均为 0.6. 三门高射炮同时向一架入侵飞机射 击. 若飞机被一门炮击中，则飞机被击落的概率为 0.6. 若飞机被两门炮击中， 则飞机被击落的概率为 0.9. 若飞机被三门炮击中， 则飞机一定被击落. 求飞机 被击落的概率. 34、设随机变量 X 具有概率密度 x f X ( x) = 8 0 求随机变量 Y = 2 X + 8 的概率密度。 0< x<4 其他
{
}
≤ 0)= ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ______。
34、设 X～t（10） ，Y=1/ X 2 ，则 Y～_____________。 44、设总体X，均值E (X) =µ存在，样本（X 1 ，X 2 ，…，X n ） ，则样本均值 X = 是总体均值E (X) =µ的 估计。 5、设样本（X 1 ，X 2 ，…，X n ）来自于总体X~N（µ，σ2） ， X 是样本均值，S2是 (n − 1) s 2 X −µ 样本方差，则 ~ ， ~ σ2 σ/ n 35、正态总体X～ N ( µ , σ 2 ) （ σ 未知） ，X 1 ，X 2 ，…，X n 为来自总体X的简单随机 样本，对假设检验 H 0 :µ =µ0 ,H1:µ ≠ µ0 ,µ0为已知常数 ，当 σ 已知时应选取检验 统计量是 是 ；则当 σ 未知时应选取检验统计量 。
[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷8.doc
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[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷8一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y10分别是来自正态总体N(-1，4)和N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，分别为这两个样本的方差，则服从F(7，9)分布的统计量是( )2 设总体X～N(a，σ2)，Y～N(b，σ2)相互独立．分别从X和Y中各抽取容量为9和10的简单随机样本，记它们的方差为，则这四个统计量中，方差最小者是( )3 设x1，x2，…，x n是来自总体X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的简单随机样本的观察值，则σ2的最大似然估计值为( )4 设总体X～P(λ)(λ为未知参数)，X1，X4，…，X n是来自总体X的简单随机样本，其均值与方差分别+(2-3a)S2是λ的无偏估计量，常数a应为 ( )（A）-1（B）0（C）（D）1二、填空题5 设总体X～P(λ)，X1，X2，…，X n是来自X的简单随机样本，它的均值和方差分别为和S2，则和E(S2)分别为_______6 设总体X和Y相互独立，且分别服从正态分布N(0，4)和N(0，7)，X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y14分别来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量的数学期望和方差分别为________7 设X1，X2，X3是来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，记U=X1+X2与V=X2+X3，则(U，V)的概率密度为_______8 设X1，X2是来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，则查表得概率等于________9 设总体X的概率密度为X1，X2，…，X n是来自X的样本，则未知参数θ的最大似然估计值为_______10 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体X～N(μ，σ2)的样本，则统计量服从的分布是_________11 设总体X～N(a，2)，Y～N(b，2)，且独立，由分别来自总体X和y的容量分别为m和n的简单随机样本得样本方差服从的分布是_________12 设总体X的密度函数为f(x；θ)=其中θ＞0为未知参数，又设x1，x2，…，x n是X的一组样本值，则参数θ的最大似然估计值为________13 设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为________14 设总体X～N(μ，8)，X1，X2，…，X36是来自X的简单随机样本，是它的均值．如果是未知参数μ的置信区间，则置信水平为________三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一概率与数理统计-试卷12_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（概率与数理统计）-试卷12(总分54, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.若，则必有：( )SSS_SINGLE_SELA P(C)≤P(A)+P(B)-1B P(C)≥P(A)+P(B)-1C P(C)=P(AB)D P(C)=P(A∪B)该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：由1≥P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，∴P(C)≥P(AB)≥P(A)+P(B)-1，可见应选(B)．2.对事件A，B，已知P(A)=1，则必有：( )SSS_SINGLE_SELA A=ΩBC A与B独立D P(B)＜P(A)该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：“概率为0或1的事件与任一事件独立”，可见应选(C)．注意由“P(A)=1”推不出“A=Ω”，而有可能B=Ω呢!故另3个选项不行。
3.设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1 (x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( ) SSS_SINGLE_SELAf1 (x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度Bf1 (x)．f2(x)必为某一随机变量的概率密度CF1 (x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数DF1 (x)．F2(x)必为某一随机变量的分布函数该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：由已知，∫-∞+∞ f1(x)dx=∫-∞+∞ f2(x)dx=1，故∫-∞+∞ [f1(x)+f2(x)]dx=∫-∞+∞ f1(x)dx+∫-∞+∞ f2(x)dx=2≠1，所以不选(A)，若设f1 (x)=f2(x)= 则即∫-∞+∞ f1(x)f2(x)dx有可能非1，故不选(B)．又由分布函数的性质和F1(+∞)=F2(+∞)=1，故[F1 (x)+F2(x)]=2，故不选(C)。
若令g(x)=F2(x)．F2(x)，由F1(-∞)=F2 (-∞)=0、F1(+∞)=F2(+∞)=1，可得g(-∞)=0，g(+∞)=1；又由F1(x)和F2 (x)均非降，可得g(x)非降(设x1＜x2，由0≤F1(x1)≤F1(x2 )，0≤F2(x1)≤F2(x2)，可得g(x2)≤g(x2))；再由F1(x)和F2(x)右连续(本题由于X1和X2为连续型随机变量，所以F1(x)和F2(x)是连续的)，可见g(x)也是右连续的(本题中g(x)是连续的)，故证得g(x)=F1 (x)．F2(x)是分布函数，故选(D)。
天津理工大学概率论与数理统计第一章习题答案详解.pdf
第一章 随机变量 习题一系 班 姓名 学号1、写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和Ω= {}1843,,, (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数Ω= {} ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
用“0”表示次品，用“1”表示正品。
Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,}(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标Ω= }|),{(122<+y x y x(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度(6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U =“在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U =解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。
}其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。
i = 3、 4、 …、 10( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… }其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。
i = 3、 4、 …2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系(1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件(3)20>x 与18<x 互不相容 (4)20>x 与22≤x 相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件解: 互不相容:φ=AB ; 对立事件 : φ=AB )1( 且 Ω=⋃B A3、设A,B,C 为三事件，用A,B,C 的运算关系表示下列各事件(1)A 发生，B 与C 不发生 - C B A (2)A 与B 都发生，而C 不发生 - C AB(3)A,B,C 中至少有一个发生 -C B A ⋃⋃ (4)A,B,C 都发生 -ABC(5)A,B,C 都不发生 - C B A (6)A,B,C 中不多于一个发生 -C B C A B A ⋃⋃(7)A,B,C 中不多于两个发生-C B A ⋃⋃(8)A,B,C 中至少有两个发生-BC AC AB ⋃⋃4、盒内装有10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件A 表示“取到的球的号码为偶数”，事件B 表示“取到的球的号码为奇数”，事件C 表示“取到的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.(1)B A 必然事件 (2)AB 不可能事件 (3)C 取到的球的号码不小于5 (4)C A 1或2或3或4或6或8或10(5)AC 2或4 (6)C A 5或7或9 (7)C B 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或105、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立. (1)B B A B A = 成立 (2)B A B A = 不成立 (3)C B A C B A = 不成立 (4)φ=))((B A AB 成立(5)若B A ⊂，则AB A = 成立 (6)若φ=AB ，且A C ⊂，则φ=BC 成立(7)若B A ⊂，则A B ⊂ 成立(8)若A B ⊂，则A B A = 成立 7、设一个工人生产了四个零件，i A 表示事件“他生产的第i 个零件是正品”),,,(4321=i ，用1A ,2A ,3A ,4A 的运算关系表达下列事件.(1)没有一个产品是次品； (1) 43211A A A A B =(2)至少有一个产品是次品；(2) 432143212A A A A A A A A B =⋃⋃⋃=(3)只有一个产品是次品；(3) 43214321432143213A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃=(4)至少有三个产品不是次品 4)432143214321432143214A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃⋃=8. 设 E 、F 、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ： (1)()()F E F E (2) ()()()F E F E F E （3）()()G F F E 解 :(1) 原式 ()()()()E F F F E F E E E ==(2) 原式 ()()()()E F F E F F E F E F E ===(3) 原式 ()()()()()G E F G F F F G E F E ==9、设B A ,是两事件且7060.)(,.)(==B P A P ，问(1)在什么条件下)(AB P 取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？ 解: (1)6.0)(,=⊂AB P B A (2)3.0)(,==⋃AB P S B A 10. 设 事 件 A ， B ， C 分 别 表 示 开 关 a ， b ， c 闭 合 ， D 表 示 灯 亮 ， 则可用事件A ，B ，C 表示：(1) D = AB C ；(2) D = ()C B A 。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设X1，…，Xn为相互独立的随机变量，Sn=X1+…+Xn，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，…XnA．有相同的数学期望；B．有相同的方差；C．服从同一指数分布；D．服从同一离散型分布．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．设总体X～N(μ，σ2)．从中抽得简单样本X1，X2，…，Xn．记则Y1～χ2(n)，Y2～χ2(n-1)且A．Y1、Y2均与独立．B．Y1、Y2均与不独立．C．Y1与独立，而Y2未必．D．Y2与独立，而Y1未必．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计填空题3．对随机变量X，Y，已知3X+5Y=11，则X和Y的相关系数为_____．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计4．设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得容量为16的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)=________．正确答案：χ涉及知识点：概率论与数理统计5．设X～F(n，n)，且P(|X|＜A)=0．3，则=______．(其中A为一常数)．正确答案：0.7 涉及知识点：概率论与数理统计6．设X1，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)的简单样本，其中μ、σ2均未知．记，则假设H0：μ=0的t检验使用的统计量t=______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7．对随机变量X和Y，已知EX=3，EY=一2，DX=9，DY=2，E(XY)=一5．设U=2X—Y一4，求EU，DU．正确答案：EU=2EX—EY-4=2×3+2—4=4，DU=D(2X—Y一4)=4DX+DY一4cov(X，Y)=4×9+2—4EE(XY)一EX.EY]=36+2—4(一5+3×2)=34．涉及知识点：概率论与数理统计8．对随机变量X，Y，已知EX2和EY2存在，证明：[E(XY)]2≤E(X2).E(Y2)．正确答案：t∈R1，有0≤E(X+tY)2=E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)，故此二次型(变量为t)无实根或有重根，所以其判别式△≤0，而△=4[E(XY)]2一4EX2.EY2，即得[E(XY)]2≤E(X2)．E(Y2)．涉及知识点：概率论与数理统计9．设X1，X2，…，Xn是同分布的随机变量，且EX1=0，DX1=1．不失一般性地设X1为连续型随机变量．证明：对任意的常数λ＞0，有．(不熟者可对n=2证明)正确答案：由已知可知：E(Xi2)=DXi+(EXi)2=1，i=1，…，n．设(X1，…，Xn)的概率密度为f(x1，x2，…，xn) 涉及知识点：概率论与数理统计10．两家影院竞争1 000名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响．试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1％?(φ(2．328)=0．990 0)正确答案：设甲影院(乙影院完全同理)应设N个座位才符合要求，而这1 000名观众中有X名选择甲影院，则X～B由题意有：P(X≤N)≥0．99．而由中心极限定理知：涉及知识点：概率论与数理统计11．(1)设系统由100个相互独立的部件组成．运行期间每个部件损坏的概率为0．1．至少有85个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率．=0．952 2．(2)如果上述系统由n个部件组成，至少有80%的部件完好时系统才能正常工作．问n至少多大才能使系统正常工作的概率不小于0．95?φ(1．645)=0．95．正确答案：(1)设有X个部件完好，则X～B(100，0．9)∴EX=90，DX=9，∴P{系统正常工作}=P{X≥85}=(2)设有Y个部件完好，则Y～B(n，0．9)，∴EX=0．9n，DX=0．09n∴P{X≥0．8n}=得n≥24．35即n≥25．涉及知识点：概率论与数理统计12．对随机变量X，已知EekX存在(k＞0常数)，证明：正确答案：不失一般性，设X为连续型随机变量，概率密度为f(x)，则EekX=∫-∞+∞ekx.f(x)dx，而P{x≥ε}= 涉及知识点：概率论与数理统计13．当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在0.4至0．6之间的概率不小于0．9?试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解．正确答案：没抛掷n次硬币，正面出现X次，则X～B(n，0．5)．现要求．即P(0．4n＜X＜0．6n)≥0．9．(1)用切比雪夫不等式：P(0．4n＜X＜0．6n)=P(|X 一0．5n|＜0．1n)≥得n≥250；(2)用中心极限定理：P(0．4n＜X＜0．6n)=∴n ≥67．65即n≥68．涉及知识点：概率论与数理统计14．利用中心极限定理证明：正确答案：引随机变量Xk～π(1)(参数为1的泊松分布)，k=1，2，…，且{Xk}相互独立．由泊松分布的再生性知涉及知识点：概率论与数理统计15．设总体X具有概率密度：f(x)=从此总体中抽得简单样本X1，X2，X3，X4，求T=正确答案：T的分布函数为FT(t)=P(T≤t)==P(X1≤t，…，X4≤t)=[P(X1≤t)]4= 涉及知识点：概率论与数理统计16．设总体X～N(μ，σ2)，X1，…，Xn为取自X的简单样本，记|Xi一μ|，求E(d)，D(d)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．设总体X～N(72，100)，为使样本均值大于70的概率不小于0．95，样本容量n至少应取多大?φ(1．645)=0．95正确答案：由题意知：∴n≥67．65，即n≥68 涉及知识点：概率论与数理统计18．从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0．02，求总体的标准差(φ(2．33)=0．99)．正确答案：设总体X～N(μ，σ2)，则，由题意得：涉及知识点：概率论与数理统计19．设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得样本X1，…，Xn，Xn+1，记试求的分布．正确答案：相互独立，故涉及知识点：概率论与数理统计20．设k个总体N(μi，σ2)(i=1，…，k)相互独立，从第i个总体中抽得简单样本：Xi1,Xi2…，Xin，记正确答案：由～χ2(ni一1)，i=1，2，…，k．且χ12，…，χk2相互独立，∴即T～χ2(n一k) 涉及知识点：概率论与数理统计21．从总体X～N(0，σ2)中抽得简单样本X1，…，Xn+m，求正确答案：，i=1，…，n+m，且诸Xi相互独立，故：又∵相互独立，故涉及知识点：概率论与数理统计22．设总体的密度为：其中θ＞0，而θ和μ为未知参数．从X中抽得简单样本X1，X2，…，Xn．试求θ和μ的矩估计和最大似然估计．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计23．设总体X在区间(μ一ρ，μ+ρ)上服从均匀分布，从X中抽得简单样本X1，…，Xn，求μ和ρ(均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计24．设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，其中θ＞0为未知参数，而X1，…，Xn为从X中抽得的简单样本，试求θ的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是θ的无偏估计?正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计25．设Y=lnX～N(μ，σ2)，而X1，…，Xn为取自总体的X的简单样本，试求EX的最大似然估计．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计26．从均值为μ，方差为σ2＞0的总体中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本，样本均值分别记为X1和X2．试证：对任意满足a+b=1的常数a、b，都是μ的无偏估计．并确定a、b，使D(T)达到最小．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计27．总体X～N(2，σ2)，从X中抽得简单样本X1，…，Xn．试推导σ2的置信度为1一α的置信区间．若样本值为：1．8，2．1，2．0，1．9，2．2，1．8．求出σ2的置信度为0．95的置信区间．(χ0.9752(6)=14．449，χ0.0252(6)=1．237．下侧分位数．)正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计28．为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响独立地，选了13个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表：设小区的农作物产量均服从正态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为0．95的置信区间(t0.975(11)=2．201，下侧分位数)．正确答案：设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体X与Y，X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，本题中n=6,=4，1一α=0．95，故μ1一μ2的置信下限为涉及知识点：概率论与数理统计29．某种清漆的9个样品的干燥时间(小时)为：6．5，5．8，7，6．5，7，6．3，5．6，6．1，5．设干燥时间X～N(μ，σ2)，求μ的置信度为0．95的置信区间．在(1)σ=0．6(小时)；(2)σ未知．两种情况下作．(u0.975=1．96，t0.975(8)=2．306 0，下侧分位数)正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计30．随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11．设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0．95的置信区间．正确答案：设炮口速度为总体X，X～N(μ，σ2)，而n=9，α=0．05．∴α的置信下限为，σ的置信上限为涉及知识点：概率论与数理统计31．一个罐子里装有黑球和白球．黑、白球数之比为R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记X为所抽的白球数．这样做了n次以后，我们获得一组样本：X1，X2，…，Xn．基于此，求R的最大似然估计．正确答案：由题意，总体X的分布律为：P{X=k}=，k=0，1，2，…似然函数为L= 涉及知识点：概率论与数理统计32．用过去的铸造方法，零件强度的标准差是1．6 kg／mm2．为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52．设零件强度服从正态分布，取显著性水平α=0．05，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?(χ0.9752(8)=17．535，χ0.0252(8)=2．180，下侧分位数)正确答案：设零件强度为总体X，则X～N(μ，σ2)，检验H0：σ2=1．62．拒绝域为．故接受H0．涉及知识点：概率论与数理统计33．一批矿砂的4个样品中镍含量测定为(％)：3．25，3．26，3．24，3．25．设测定值总体服从正态分布，问在α=0．01下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值为3．26．(t0.99(3)=5．840 9，下侧分位数)．正确答案：设这批矿砂的镍含量为总体X，则X～N(μ，σ2)．检验H0：μ=μ0．这儿μ0=3．26，n=4，拒绝域为：涉及知识点：概率论与数理统计34．测得两批电子器材的部分电阻值为：A批：140，138，143，142，144，139；B批：135，140，142，136，135，140．设两批电子器材的电阻均服从正态分布，试在α=0．05下检验这两批电子器材的平均电阻有无显著差异．(t0.975(10)=2．2281，F0.975(5，5)=7．15，下侧分位数．提示：先检验方差相等)正确答案：设A、B批电子器材的电阻值分别为总体X和Y，则X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)．①先检验H0：σ12= 涉及知识点：概率论与数理统计。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷45(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷45(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)＝EXEY，则X与YA．相关．B．不相关．C．独立．D．不独立．正确答案：B解析：因E(XY)＝EXEY，故Cov(X，Y)＝E(XY)一EXEY＝0，X与Y不相关，应选(B)．知识模块：概率论与数理统计2．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．一1．B．0．C．．D．1．正确答案：A解析：依题意，Y＝n—X，故ρXY＝一1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足｜ρXY｜≤1．若Y＝aX＋b，则当a>0时，ρXY＝1，当a－arxcosX，即U＝一V＋，由于U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ＝－1.应选(A)．知识模块：概率论与数理统计5．设随机变量X1，X2，…，Xn(n>1)独立同分布，且方差σ2>0，记，则X1一的相关系数为A．一1．B．0．C．．D．1．正确答案：B解析：由于Xi独立同分布，故DXi＝σ2，，Cov(X1，Xi)＝0(i≠1)，故应选(B)．(注：容易计算D(X1一) 知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{｜X—EX｜≥3｜≤，则一定有A．DX＝2．B．P｛｜X—EX｜＜3｝．C．DX≠2．D．P｛｜X—EX｜＜3｝≥．正确答案：D解析：因事件{｜X—EX｜，即选项(D)正确．进一步分析，满足不等式P{l｜X—EX｜≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此结论(A)与(C)都不能选．比如：X服从参数为P的0—1分布，DX＝pq}＝0．因此(A)不成立．若X服从参数n＝8，P＝0．5的二项分布，则有EX＝4，DX＝2．但是P{｜X—EX｜≥3}＝P{｜X一4｜≥3}P{X＝0}＋P{X＝1}＋P{X＝7}＋P{X ＝8}＝．因比(B)也不成立．知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的期望．B．有相同的方差．C．有相同的分布．D．服从同参数p的0－1分布．正确答案：D解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立的条件之外，还要求X1，X2，…，Xn，…同分布与期望存在，只有选项(D)同时满足后面的两个条件，应选(D)．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X1，…，Xn，…相互独立，记Yn＝X2n一X2n－1(n≥1)，根据大数定律，当n→∞时依概率收敛到零，只要{Xn，n≥1 }A．数学期望存在．B．有相同的数学期望与方差．C．服从同一离散型分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：B解析：由于Xn相互独立，所以Yn相互独立．选项(A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B)．事实上，若EXn＝μ，DXn＝σ2存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意ε>0有即依概率收敛到零．知识模块：概率论与数理统计填空题9．两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击．如果第i名射手每次命中的概率为pi(0解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验．每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数一1：未击中的次数．以Xi表示第i 名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi＋1服从参数为pi的几何分布，因此P{Xi＝k}}＝(1一pi)kpi＝1，2，且E(Xi＋1)＝，i＝1，2，于是EXi ＝E(Xi＋1)一1＝—1，两射手脱靶总数X＝X1＋X2的期望为EX＝EX1＋EX2＝. 知识模块：概率论与数理统计10．将长度为L的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为______．正确答案：解析：设X为折点到左端点的距离，Y为较短段的长，则X～U(0，L)，且于是E(Y)＝E[g(X)]＝g(x)f(x)dx 知识模块：概率论与数理统计11．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝2X一1，则Y与Z的相关系数为______．正确答案：0.9解析：Cov(Y，Z)＝Cov(Y，2X一1)＝2Cov(X，Y)，DZ＝D(2X一1)＝4DX．Y 与Z的相关系数ρYZ为知识模块：概率论与数理统计12．设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX＝EY＝0，EX2＝EY2＝2，则E(X＋Y)2＝______ ．正确答案：6解析：DX＝EX2一(Ex)2＝2，DY＝2，Cov(X，Y)＝ρXY＝1，E(X＋Y)＝EX＋EY＝0，E(X＋Y)2＝D(X＋Y)＋[E(X＋y)]2＝D(X＋Y)＝DX＋2Cov(X，Y)＋DY＝2＋2＋2＝6．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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