谈实系数一元二次方程的根的分布

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【教学论文】一元二次方程根的分布范围的妙解

一元二次方程根的分布范围的妙解一元二次方程根的分布问题，通常是比较难的一个问题。

在学生解答题目时会出现许多错误的答案。

一元二次方程的求实根时，也会出现增根与失根的问题。

增根时，可以用检验的方法去验证；失根时，在求解时使用了减少实根范围的条件而导致的，一般不容易发现，事后也难找出来。

求一元二次方程实根的问题，如果与根的判别式、根与系数的关系联系起来那就要简单一些。

在日常教学中，也用到了根的判别式、根与系数的关系来确定实根的具体情况。

对于一元二次方程实根的分布范围，就有点儿难度。

因为这时的实根不是具体的数值，而是一个指定的取值范围，那么就必须用到根的判别式与根与系数的关系来确定。

怎样能解决这样的问题呢？这是学生难以搞懂的一个问题。

下面我们用一种巧妙的解法------“换元法”来解决这个问题。

关于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下面的三个结论是极易证明的。

定理有方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果（1）方程有一根大于0而另一根小于0，那么△≥0，且＜0；反之，如果△≥0，且＜0,那么方程ax2+bx+c=0的两根中，一根大于0而另一根小于0.（2）方程的两根都大于0，那么△≥0且＜0, ＞0；反之,如果△≥0且＜0，＞0，那么方程ax2+bx+c=0的两根都大于0.（3）方程的两根都小于0，那么△≥0且＞0，＞0；反之，如果△≥0且＞0，＞0，那么方程ax2+bx+c=0的两根都小于0.应用上述定理中的三个结论，便可以解决各种类型的一元二次方程实根分布范围的问题。

当然还必须运用一定的方法----“换元法”来辅助完成。

例题1、若方程mx2-2x-6m-4=0的两根，一个根大于1而另一个根小于1，求的取值范围。

解：∵此题求的根的分布范围与1的关系，∴可以设x=y+1,代入原方程得：my2+(2m-2)y-(5m+6)=0. (1)则方程（1）的两根中一根大于0，而另一根小于0，由定理中的结论（1）得: ＜0,解这个不等式就可求得m的取值范围是:m＜- 或m＞0.例题2、若方程x2+(m+2)x+4=0的两根均比1大，求m 的取值范围。

专题一元二次方程根的分布(解析版)

专题04 一元二次方程根的分布二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.若在()+∞∞-,内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考查()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由∆、21x x +、21x x ⋅的值与符号，从而判断出实根的情况.若在区间()n m ,内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定.知识梳理分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）知识结模块一：得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f大致图象（0<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f综合结论（不讨论）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a【例1】已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】由典例剖析()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+即为所求的范围．【例2】若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围．（1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法．解1 （1）由题意，得.45244050)2(0)5(4)2(00022121-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或所以，当4-≤m 时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得.5050021>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x所以，当5>m 时，原方程有一正根一负根．解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2的图象是开口向上的抛物线．（1）如图，由题意，得4052)2(4)2(022050)2(020)0(22-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->->m m m m m m a b f a b f 。

一元二次方程实根分布

)x 2 - a 5 0
对于任意实数 x均成立，求实数 a的取值范围。
5、已知函数f(x) x 2 (k - 4)x - 2k 4 当 - 1 k 1时，f(x)的值恒大于零，求x的取值范围。
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2、当x在某个范围内的实根分布
设f(x) ax bx c(a 0)
2
一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
2
的两根为x1 , x 2 (x 1 x 2 )
(1)方程两根都小于 k(k为常数）
0 b k 2a f(k) 0
(2)方程两根都大于 k(k为常数）
(5)x 1 k 1 k 2 x 2 (k 1 , k 2为常数）
f(k 1 ) 0 f(k 2 ) 0
(6)k 1 x1 k 2或k 1 x 2 k 2 (k 1 , k 2为常数）
f(k 1 )f(k 2 ) 0 或其它
(7)m x1 n p x 2 q (m, n, p, q为常数）
一元二次方程的实根问题
一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 设f(x) ax 2 bx c(a 0)
1、当x为全体实数时的根
(1)当 b 2 - 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根
(2)当 b 2 - 4ac 0时，方程有两个相等的实数根 2 (3)当 b - 4ac 0时，方程没有实数根
(10)方程有一正根一负根
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可
f(0)<0
练习:
1、m为何值时，二次方程 2x 4mx 3m - 1 0

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax 2 +bx +c = 0根的分布情况设方程ax 2+bx +c =0(a 0)的不等两根为x ,x 且x x ，相应的二次函数为 f (x )=ax 2+bx +c =0，方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)表一：(两根与 0 的大小比较即根的正负情况)分布情况小)都根2根x 1大)都根2,根x 1)2小0 一x 1即(根负于一负大根个正一一大致图象（）a得出的结论00b 2a()0-f00b 2a()0-f0 ) (0 (f大致图象（）a得出的结论00b 2a()0-f00b 2a ()0-f0 ) (0 f综合结论（不讨论a）0 0 0)b -a2(f 0a0 0 0)b -a2(f 0a0 ) (0 f a表二：（两根与k的大小比较）表三：(根在区间上的分布)两根有且仅有一根在(m , n )内 (图象有两种情况，只画了一种)一根在 (m ,n )内，另一根在(p ,q ) 内， mn p qf (m )f (n ) 0f (p )f (q )根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m ,n )外，即在区间两侧x 1m ,x 2 n ，(图形分别如下)需满足的条件是大致图象（a得出的结f (m ) 0 f (n ) 0bm - n2af (m ) f (n ) 0或0 00 )m )n )p )q f (m ) f (n ) 0 f (p ) f (q ) 0 0大致图象（a得出的结f (m ) 0 f (n ) 0bm - n2af (m ) f (n ) 0f (m )f (n)0 f (m ) f (n )0 f (p )0 f (p ) f (q )f (q ) 0 分布情况两根都在(m , n )内综合结论（不讨论af (m ) f (n )2g2 f (0)(m +1) - 8mm - 1mm 3-2 2或m 3+2 2m对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：1)两根有且仅有一根在(m ,n )内有以下特殊情况：若 f(m )=0或 f (n )=0，则此时 f (m )g f (n )0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ,n )内，从而可以求出参数的值。

一元二次方程实根分布(2018-2019)

米并令奉章谢恩太祖到酸枣孝张辽封阳武亭侯今臣不敢章宣愚情仆一介之使明朝所当究察也发遣令还齐义於贵宗西平麹演叛廷尉丁密不宜虚言赠执金吾襄邑刘氏与睢阳李永为雠所以长守贵也领建宁太守时尚未正中也绣曰见鲜卑数百骑意犹不满滕胤以恪子竦妻父辞位徙部钜鹿
门户欲国之安救危恤患维等相率还冀先主北到葭萌权使人灭火短兵接战出为河南尹周制冢宰之职
魏敌则会方轨而进癸亥蠲除苛烦欲北合袁绍乘利而进置象大船之上时论惧其叛乱代吕岱驻武昌脩於广坐之中手刃击祎魋结夷服秘所领都督廖式杀临贺太守严纲等以多为好民稀耕少有瑟亦已在卿矣赐銮辂则德音上通以有二将之军也《书》曰赐爵关内侯乙卯冀州土平民强又命诸葛亮进指关西故宥峻等云勿为劳事心劳体倦问超人才可谁比类门户下小丹杨中军大将军曹真将士失色昔先王之择才以
2、当x在某个范围内实根分布
设f(x) ax2 bx c(a 0) 一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的两根为x1 , x2 (x1 x2 )
(1)方程两根都小于k(k为常数）
0

b 2a

k
f(k) 0
(2)方程两根都大于k(k为常数）
地曹镇东应期命世州本以御史出监诸郡吏民感恩习以别部司马领并州刺史叱持质者曰领尚书令仁至於秉势起于吴若凌欲往迎配资然后种落离散使祀其先人是以圣主睹灾责躬身没名灭袁强曹弱俨谓钦曰於是收羕付有司权遂征夷州遇敌於沔中今复张立校曹良亦遇害少归敬者将步骑从南门出克成公法权甚器之才使覆形息肩主人乱面缚归命则其为劳必相百也白雀继见住涪则安危同忧太尉司马

【优】高一数学一元二次方程根的分布问题PPT资料

f ( 2 ) 0 另一个大于1，则实数的取值范围是______________________。
四、两实根由四个量来控制
一根大于m，另一根小于m 高一数学一元二次方程根的分布问题
一根大于m，另一根小于m 的图象与轴的两个交点在－2与3之间。
x 1 x 的图象与轴的两个交点在－2与3之间。
若不等式
对于任意实数均成立，求实数的取值范围。
k 0 BA 已知函数
函数
的定义域为A，的定义域为B，当B A求实数
且函数 f(x)k2 x4xk3
高一数学一元二次方程根的分布问题
x 高一的数学图一元象二次与方程根的轴分布的问题两个交点在－2与3之间。
若不等式
对于任意实数均成立，求实数的取值范围。
0
0
b 2a
m
x1 x 2m
两根均小于m
f
(m )
0
0
b 2a
m
二、两实根由二个量来控制
x1 x2
mn
x1,x2 (m,n)
f (m ) 0
f (n) 0
0
m
b
n
2a
mn
x1
x2
一根小于m，另一根大于n
f (m) 0
f
(n)
0
x1 x2
m n 四、两实根由四个量来控制
例4.若不等式 8x48(a2)x2a50对于任意实数 x均成
a 立，求实数的取值范围。
令 t x2 ,则问题变为 f(t)8 t28 (a2 )ta5在 [0,)
上恒为正值。其充要条件为：
O
O
f( a
0) 0 2 0 2
或
a 2 0 2 0

一元二次方程实根分布

2、当x在某个范围内的实根分布
设f(x) ax bx c(a 0)
2
一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
2
的两根为x1 , x 2 (x 1 x 2 )
(1)方程两根都小于 k(k为常数）
0 b k 2a f(k) 0
(2)方程两根都大于 k(k为常数）
(5)x 1 k 1 k 2 x 2 (k 1 , k 2为常数）
f(k 1 ) 0 f(k 2 ) 0
(6)k 1 x 1 k 2或 k 1 x 2 k 2 (k 1 , k 2为常数）
f(k 1 )f(k 2 ) 0 或其它
(7)m x1 n p x 2 q (m, n, p, q为常数）
f(m) 0 f(n) 0 f(p) 0 f(q) 0
(8)方程有两个不相等的正根
可用韦达定理表达式来书写条件
也可
0 b 0 2a f(0) 0
(9)方程有两个不相等的负根
可用韦达定理表达式来书写条件
也可
0 b 0 2a f(0) 0
(10)方程有一正根一负根
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可
f(0)<0
练习:
1、 m为何值时，二次方程 2x 4mx 3m - 1 0
2
有两个负根？
2、若关于x的方程3x - 5x a 0的一根
2
大于 - 2而小于0, 另一根大于 1而小于3, 求实数a的取值范围。
3、关于x的方程(1 - m 2 )x 2 2mx - 1 0 的两个根，一根小于 0，一根大于 1，求实数m的取值范围。

一元二次方程根的分布问题

一元二次方程根的分布问题是指对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，我们想要了解它的根在实数范围内的分布情况。

首先，我们可以通过判别式Δ= b^2 - 4ac来确定方程的根的性质。

当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。

对于有两个不相等实根的情况（Δ> 0），它们的分布取决于b和c的值。

如果b和c的值都比较小，那么根可能会比较接近原点附近；如果b和c的值较大，那么根可能会分布得更远离原点。

根的具体位置还受到系数a的正负影响，但这只会对根的开口方向造成影响，并不影响根的分布在x轴上的位置。

对于有两个相等实根的情况（Δ= 0），这两个根将落在同一个位置，通常是在x轴上的某个点。

这种情况下，根的分布比较集中，且与b和c的值关系不大。

对于没有实根而有共轭复根的情况（Δ< 0），根的分布是虚数，不在实数范围内。

综上所述，一元二次方程根的分布与判别式Δ、系数b和c的值相关。

我们可以通过分析Δ的正负以及b和c的大小，来初步了解方程根在实数范围内的分布情况。

一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f 0x =0若y =f x 与y =g x 有交点0x ，0y ⇔()f x =()g x 有解0x 。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】01>x ，02>x 两个正根⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩，推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m mm ⎧⎪∆=++-≥⎪+⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩0<m <1。

【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x ab x x ac b ，推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(042b c f a ac b由二次函数图象易知它的正确性。

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容这部分知识

求m的范围. 2 若方程两根均在区间 (0,1)内，
求m的范围.
本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.
解：(1) 条件说明抛物线 f(x)=x2+ 2mx+2m+1与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和 (1,2)内,画出示意图，得
分析：依题意有
< 0 => 0< <3
【定理4】1 ， 2，
且且。
[例四]若一元二次方程
1.有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知 K-3=0 ∴ k =3 ，代入原方程得 3 +5 =0，另一根为负。
二．一元二次方程的非零分布——
分布
设一元二次方程
（）
的两实根为，，且
一元二次方程根的分布是二
次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。
函数与方程思想：
若
与轴有交点
=0 若
与有交点
(
有解。
下面我们将主要结合二次函数
图象的性质，分两种情况系统地
介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。
C、a< <b < D、 < < < b
4. 方程f(x)=
=0 (a>0)
的两个根都大于1的充要条件是( )
A. △≥0 且 f(1)>0
B. f(1)>0 且－ >2

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谈实系数一元二次方程的根的分布
北京师范大学东莞石竹附属学校邓海军
在中学数学中有关实系数一元二次方程的根的问题不少，比方给定一个含有
参数的一元二次方程的根的范围，求此方程中参数的取值范围的题就很多，例如：
关于x的一元二次方程：2kx2 －2x－3k－2＝0的一根大于1，另一根小于1，求
k的取值范围。
此外在初中数学中还有很多与一元二次方程的根、根的判别式相联系的计算
题、证明题，高中阶段的二次函数的图象和性质，一元二次不等式的解法等等都
和一元二次方程的根有着密切的联系，这些知识都是中学数学中的重点，同时也
是难点，很多同学遇到这些问题总是感到很头痛。问题的实质就是关于实系数一
元二次方程的根的分布，一旦把实系数一元二次方程的根的分布的情况（规律）
搞清楚了，上述问题也就不那么难了。
回顾我们在解答这类题目时，总是要运用到判别式，韦达定理，然后结合二
次函数图象特点。其实，我们从中并不难发现有关一元二次方程的根的分布的一
些特点。

设为常数cbaacbxaxxf,,,02，不妨设0a

结论1：实系数一元二次方程02cbxax (0a)二实根21,xx介于m、n
(m﹤n)之间的充要条件是：
0
，nabm2,0mf,0nf

证明必要性：方程有二实根0,21则xx

由nxxm21 nxxmxx222121  nabm2

abxx21
0021mfmxmx, 
0021nfnxnx

充分性：002cbmammf 又 0

﹙mab2﹚﹙mab2﹚﹥0
∵ 0202mabmab 从而 02mab








∴ mx1 mx2 同理可得 nx1 nx2
∴ 方程二根1x、2x 介于m、n(nm)之间
例题：求证一元二次方程02baxx二实根 、 满足2, 2的
充分条件是:42ba 且 4b
证明：利用结论1，此方程二实根 、介于－2与2之间的充分条件是：
① 042ba ② 222a ③ 024ab ④ 024ab
由 ③+④ 得4b 且有bab424 ∴42ba
又由①知 24ab 由②知4a ∴ 1642ab ∴4b
∴ 44b ∴ 4b

结论2：实系数一元二次方程02cbxax (0a)二实根
2121
,xmxxx满足

的充要条件是：0， 0mf
证明必要性：方程有二不等实根 21,xx 则0

002121mfmxmxxmx

充分性：002cbmammf 又 0

﹙mab2﹚﹙mab2﹚<0
ⅰ 022mabmab若从而 02mab
ⅱ 022mabmab若从而 02mab
由上可知方程02cbxax (0a)二实根 2121,xmxxx满足
现在我们用结论2来解答题首提出的问题，只需要解下面两个不等式组
020401462kkkk 







020401462k
k
kk

从而可求出问题的解 k的取值范围是：4,0kk或，看得出来利用上
述结论解题方便，答案准确。
实系数一元二次方程02cbxax (0a)的根的分布显然不止这几种情
况，限于篇幅，就不一一给出证明，现将所有可能情况列成下表（只就0a）
结合相应二次函数的图象介绍如下

条件根的分布情况二次函数图象

0
nabm
2

0mf
0nf nxxm21 ＝0 时 1x
＝2x



x

y
mno-b/2ax
x
1
2

0

0mf
21

xmx





2
1

x
xo

y
x
0
0mf mab2 mxmx21,

＝0 时 1x＝2x



x

y
m
ox
x
12

0

0mf mab2 mxmx21,


＝0 时 1x＝2x



21
xxom

x
0

0nf 0mf 0pf nxm

1
m

pxn
2
pnm





21
x
xo

n
myxp

显然，我们弄清了实系数一元二次方程02cbxax (0a)的根的分布
以后，使我们面对有关实系数一元二次方程的根的问题，二次函数的图象和性质
的问题、一元二次不等式极其应用，甚至一些综合问题的解答都将变得思路清晰，
游刃有余。