数学期望理论及其应用

目录

1.摘要 (2)

2.数学期望理论简述 (3)

3.数学期望理论的应用 (5)

3.1在证明等式和不等式中的应用 (5)

3.2在投资理财问题中的应用 (7)

3.3在天气预测问题中的应用 (8)

3.4在求职决策问题中的应用 (8)

3.5在委托代理问题中的应用 (9)

3.6在法律纠纷问题中的应用 (10)

4.结语 (11)

5.参考文献 (12)

数学期望理论及其应用

吴庆安，合肥师范学院

摘要：数学期望是数学概率统计中一个重要的数字特征，在研究理论和解决实际问题方面有着广泛的应用。本文通过列举一些理论上和现今实际生活中相关的问题，同时利用数学期望的相关理论进行解决，从而达到理论联系实际的目的。关键词：概率统计；数学期望；决策

The Mathematic Expectation Theory and its Application

Wu Qing An,He Fei Teacher’s College

Abstract:The mathematic expectation is an important digital characteristic in the probability statistics, which has the widespread application in the fundamental research and the actual problem solution aspect. This article through enumerates some theoretically the question which is related with the nowadays practical life, simultaneously carries on the solution using mathematic expectation's correlation theories, thus achieves the apply theory to reality the goal.

Key words:Probability statistics；Mathematic expectation；Decision-making

一、 数学期望理论简述

数学期望是概率论发展早期就形成的一个数字特征,也是其他诸如方差、高阶矩等数字特征的基础。它反映的是随机变量的平均取值，而随机变量又分为离散型随机变量和连续型随机变量，下面先简单介绍这两种随机变量的数学期望定义及相关性质。

1. 离散型随机变量的数学期望

1.1一维随机变量的数学期望

设X 是离散型随机变量，它的概率函数是

,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k

如果 1

k k k |x |p ∞=∑收敛，定义X 的数学期望为

∑∞==1)(k k

k p x X E

可以看出，离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。

1.2二维（n 维）随机变量的数学期望

若(ξ,η)是一个二维离散型随机变量,其联合分布列为

i j ij p(ξ=a ,η=b )=p ,i,j =1,2L

又),(y x g 是实变量x,y 的单值函数,如果

11i

j ij i j |g(a ,b )|p ∞∞==<∞∑∑

则有二维随机变量(ξ,η)数学期望

11(,)i j ij

i j Eg g(a ,b )p ξη∞∞===∑∑

上述是二维随机变量的数学期望，对一般的n 维随变量可以进行推广也有相应的定理成立，在这里就不再多述了。

2. 连续型随机变量的数学期望

2.1一维连续型随机变量的数学期望

设x 是连续型随机变量，其密度函数为)(x f .如果|x |f(x)dx ∞

-∞⎰ 收敛，定义连续随机变量x 的数学期望为

()E X x f(x)dx ∞

-∞=⎰ 可以看出，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.

2.2二维（n 维）连续型随机变量的数学期望

若(ξ,η)是一个二维连续型随机变量，其密度函数为(,)p x y ，又(,)f x y 是二元函数，则随机变量ζ=(ξ,η)数学期望为

E ζ=Ef(ξ,η)f(x,y)p(x,y)dxdy ∞∞

-∞-∞=

⎰⎰

这里也要求上述积分绝对收敛.

如同1.2中所述，上述仅对二维的情况进行了叙述，对于n 维的情况也同样可以推广得到相应的结论，在这里也不再多述.

3. 随机变量函数的数学期望

设已知随机变量x 的分布， 那么x 的某个函数g(X)的数学期望基本公式如下：

设x 是一个随机变量，)(X g Y =，则

k=1

,X ,X k k g(x )p E(Y)=E[g(X)]g(x)f(x)dx ∞

∞-∞

⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰离散

连续 其中，当x 是离散时, x 的概率函数为()(), 1, 2, k K K P x P x x P k ====；

当x 是连续时x 的密度函数为f(x).

4. 条件数学期望

设随机变量X 在Y=yj 条件下的条件分布列为i j P ，又 ∞<∑∞=j i i i p x

1

则称

i=1i

i j x p ∞∑

为X 在Y=yj 条件下的数学期望，简称条件期望，记为j E(X Y =y ).

5. 数学期望的性质

对于随机变量的数学期望有如下几点性质，这些性质在解决一些问题或是证明相关定理中有重要应用.

(1)若a ξb ≤≤,则ξE 存在,且有b E a ≤≤ξ.特别,若C 是一个常数,则EC=C .

(2)对于一二维离散型随机变量(ξ,η),若ξE ,ηE 存在,则对任意的实数

),(,,2121ηξk k E k k 存在且

ξξηξE k E k k k E 2121)(+=+

(3)又若ξ,η是相互独立的,则ξηE 存在且