数学期望的计算方法及其应用概要
期望与方差公式解析揭秘随机变量的核心指标
期望与方差公式解析揭秘随机变量的核心指标随机变量是概率论与数理统计中的核心主题之一，通过量化事件的不确定性及其概率分布，能够帮助我们理解和分析各种实际问题。
在随机变量的研究中，期望与方差是两个重要的指标，被广泛运用于统计分析与决策模型中。
本文将对期望与方差的定义、性质、计算公式和应用进行详尽解析。
一、期望的含义与计算公式期望是随机变量的平均值，反映了随机变量的平均水平或中心位置。
对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)，其中x表示随机变量X的可能取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
对于连续型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∫x f(x)dx，其中f(x)为X的概率密度函数。
期望具有可加性和线性性质，即若有随机变量X和Y，则E(X+Y)= E(X) + E(Y)，E(aX) = aE(X)。
这些性质使得期望成为了进行数理统计与决策模型推导的重要数学工具。
二、方差的含义与计算公式方差是随机变量离其期望的距离的平均值，代表了随机变量的波动性或分散程度。
对于离散型随机变量X，其方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))²P(X=x)，对于连续型随机变量X，其方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))²f(x)dx。
方差具有非负性和平方量纲性质。
非负性表明方差是一个非负数，当且仅当随机变量为常数时方差为0。
平方量纲性质使得方差的单位与随机变量具有平方量纲，这一特性在实际应用中需要注意。
三、期望与方差的应用1. 随机过程与随机模型期望与方差是建立随机过程与随机模型的重要工具。
通过研究随机变量的期望与方差，可以衡量与分析随机过程和随机模型的中心位置、波动性及稳定性。
2. 统计推断与假设检验在统计推断与假设检验中，期望与方差是重要的统计量。
通过对样本数据的期望与方差的估计，可以进行总体参数的推断和统计假设的判断。
3. 风险管理与金融衍生品定价在风险管理与金融衍生品定价中，期望与方差发挥着关键作用。
数学期望的原理及应用
数学期望的原理及应用数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。
具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。
数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn)其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。
具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = ∫x*f(x)dx数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。
例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。
2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。
通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。
3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。
例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。
4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。
游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。
5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。
通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。
6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。
通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。
总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。
数学期望的计算及应用
数学期望的计算及应用数学与应用数学111 第四小组引言：我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。
因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。
在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即E(X)x k p k；2.应用随机变量函数的期望公式k 1E(q(x))q( x k ) p k 3. 利用期望的有关性质。
但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将k 1介绍一些解决这些难题的简单方法。
在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。
如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。
就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。
下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。
1.变量分解法[1]如果可以把不易求得的随机变量 X 分解成若干个随机变量之和,应用E( X 1E2... E n ) E( X 1 ) E ( X 2 )...E ( X n ) 再进行求解得值，这种方法就叫做变量分解法。
这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。
例题 1 ：从甲地到乙地的旅游车上载有达一个车站没有旅客下车，就不停车，以20 位旅客，自甲地开出，沿途有10 个车站，如到X 表示停车次数，求E(X).( 设每位旅客在各个车站下车是等可能的)分析：汽车沿途10 站的停车次数X 所以可能取值为0，1，.，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X) ，则需要分别计算{X=0} ，{X=1}，，{X=10} 等事件的概率，计算相当麻烦。
注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1 对应起来，映入随机变量X i每一种结果的概率较易求得。
期望与方差的计算方法
期望与方差的计算方法概述：期望和方差是概率论和统计学中常用的两个重要概念，用于描述随机变量的特征和分布情况。
本文将介绍期望和方差的计算方法，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、期望的计算方法：期望是对随机变量取值的加权平均，衡量了随机变量的中心趋势。
在离散型随机变量和连续型随机变量的情况下，期望的计算方法有所不同。
1.1 离散型随机变量的期望计算：对于离散型随机变量X，其概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）表示。
离散型随机变量的期望计算公式如下：E(X) = Σ(x * P(X = x))其中，x表示每个可能的取值，P(X = x)表示随机变量X等于x的概率。
示例：假设有一个骰子，其各个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，每个面点数出现的概率都为1/6。
我们可以通过计算来求得该骰子的期望。
E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 3.5因此，该骰子的期望为3.5。
1.2 连续型随机变量的期望计算：对于连续型随机变量X，其概率分布可以用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）表示。
连续型随机变量的期望计算公式如下：E(X) = ∫(x * f(x)) dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
示例：假设X服从标准正态分布，其概率密度函数为f(x) = (1/√(2π)) * e^(-x^2/2)。
我们可以通过积分计算来求得X的期望。
E(X) = ∫(x * (1/√(2π)) * e^(-x^2/2)) dx根据标准正态分布的性质，可知E(X) = 0因此，X的期望为0。
二、方差的计算方法：方差是衡量随机变量离散程度的指标，描述了随机变量取值与期望的偏离程度。
方差的计算方法与期望的计算方法类似，在离散型和连续型随机变量的情况下也有所不同。
数学期望的计算公式
数学期望的计算公式数学期望是概率论中的重要概念，用于描述随机变量在大量试验中的平均值。
数学期望常用于统计分析和决策模型的建立。
本文将介绍数学期望的计算公式，并举例说明其应用。
一、离散型随机变量的数学期望计算公式对于离散型随机变量X，其取值有限且可数，其概率分布可以用概率质量函数P(X=x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = Σ[xP(X=x)]其中，Σ表示求和运算，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如，假设有一个骰子，其有6个面，每个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，且每个面的点数出现的概率相等。
我们可以通过计算骰子的数学期望来获取平均点数的预期值。
设随机变量X表示骰子的点数，则X取值为1、2、3、4、5、6的概率均为1/6，因此骰子的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5因此，通过计算可得，骰子的数学期望为3.5。
二、连续型随机变量的数学期望计算公式对于连续型随机变量X，其取值在某个区间上，其概率分布可以用概率密度函数f(x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = ∫[xf(x)]dx其中，∫表示积分运算，x表示随机变量X的取值，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
例如，假设有一个服从均匀分布的随机变量X，其取值范围在0到1之间。
我们可以通过计算随机变量X的数学期望来预测其取值的平均数。
设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则在0到1之间，f(x)的取值为1。
因此，X的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = ∫[x * 1]dx = ∫xdx = 1/2因此，通过计算可得，随机变量X的数学期望为1/2。
综上所述，对于离散型随机变量和连续型随机变量，其数学期望的计算公式分别为Σ[xP(X=x)]和∫[xf(x)]dx。
期望与方差计算
期望与方差计算在概率论和统计学中，期望与方差是两个重要的概念，用于描述随机变量的特征。
本文将介绍期望与方差的计算方法以及其在实际应用中的意义。
一、期望的计算期望（Expectation）是描述随机变量平均取值的指标。
对于离散型随机变量，期望的计算方法如下：设离散型随机变量X的概率质量函数为f(x)，则X的期望E(X)可表示为：E(X) = Σxf(x)其中，x为X的取值，f(x)为X取值为x的概率。
举例说明：假设某随机变量X的取值为1、2、3，对应的概率为0.2、0.3、0.5。
则X的期望可以计算为：E(X) = 1×0.2 + 2×0.3 + 3×0.5 = 0.2 + 0.6 + 1.5 = 2.3对于连续型随机变量，期望的计算方法也类似。
设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，则X的期望E(X)可表示为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，x为X的取值，f(x)为X取值为x的概率密度。
二、方差的计算方差（Variance）是描述随机变量离散程度的指标。
方差的计算方法如下：设随机变量X的期望为μ，X的方差Var(X)可表示为：Var(X) = E[(X-μ)^2]方差等于随机变量与其期望的差的平方的期望。
举例说明：假设某随机变量X的期望E(X)为2.3，X的取值为1、2、3，对应的概率为0.2、0.3、0.5。
则X的方差可以计算为：Var(X) = [(1-2.3)^2 × 0.2] + [(2-2.3)^2 × 0.3] + [(3-2.3)^2 × 0.5] = 0.93方差的平方根称为标准差，是衡量随机变量离散程度的另一指标。
三、期望与方差的意义期望和方差是概率论与统计学中重要的描述随机变量特征的指标。
它们在实际应用中有着广泛的意义。
1. 期望的意义期望可以看作是随机变量的平均值，是描述随机变量取值的中心位置。
在实际应用中，期望可以用于评估风险和收益。
数学期望的计算方法及其应用
可得
由于上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，鼓起积分为0，第二个积分恰为，故得．
2.3 利用特征函数
特征函数的定义：设是一个随机变量，称 , ，为的特征函数，设连续随机变量有密度函数，则的特征函数为
根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：求出数学期望，即．
关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法
ABSTRACT：
离散型随机变量数学期望的计算方法及应用
利用数学期望的定义，即定义法
定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为
则随机变量Ｘ的数学期望 QUOTE E(ξ)=np E(X)=
注意：这里要求级数绝对收敛，若级数不收敛，则随机变量Ｘ的数学期望不存在
例11 设随机变量，求．
解 因为随机变量，则的特征函数为
其一阶导数为
则
由特征函数的性质得
注：此题关键是球正态分布的特征函数，我们可以先求出标准正态分布的特征函数，在利用特征函数的性质求出正态分布的特征函数。
2.4 逐项微分法
这种方法同样适用于密度函数中含有参数的连续型随机变量分布，也是对两边对参数求导数来解出数学期望。
例14 设电力公司每月可以供应某工厂的电力服从上的均匀分布，而该工厂每月实际需要的电力服从上的均匀分布。如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则每电可以创造30万元的利润，若工厂得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其他途径解决，由其他途径得到的电力每获利10万元，失球该厂每个月的平均利润。
解 从题意知，每月供应电力,而工厂实际需要电力。若设工厂每月的利润为万元，则按题意可得
例19 若正的独立随机变量，服从相同的发布，是证明
证明 由分布的对称性知 同分布，故
数学期望的计算方法
数学期望的计算方法
数学期望的公式：
（1）期望的“线性”性质。
对于所有满足条件的离散型的随机变量X，Y和常量a，b，有：E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)；
类似的，我们还有E(XY)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)+E(Y)。
（2）全概率公式假设{Bn∣n=1,2,3,...Bn∣n=1,2,3,...}是一个“概率空间有限或可数无限”的分割，且集合BnBn是一个“可数集合”，则对于任意事件A有：
P(A)=∑nP(A∣Bn)P(Bn)P(A)=∑nP(A∣Bn)P(Bn)
（3）全期望公式 E(Y)=E(E(Y∣X))=∑iP(X=xi)E(Y∣X=xi)
数学期望亦称期望、期望值等。
在概率论和统计学中，一个离散型随机变量的期望值是试验中每一次可能出现的结果的概率乘以其结果的总和。
拓展资料：
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
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数学期望的计算方法及其应用摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。
本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。
本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。
关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ：第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1]则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)(1ini ix p x ∑=学期望不存在[]2例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。
推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。
试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？按数学期望定义，该推销人每箱期望可得=)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2 公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。
（1） 二点分布：X ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p p 101，则()p X E =（2） 二项分布：),(~p n B X ，10 p ，则np X E =)(（3） 几何分布：)(~p G X ,则有pX E 1)(=（4） 泊松分布：)(~λP X ，有λ=)(X E （5） 超几何分布：),,(~M N n h X ,有NM nX E=)( 例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望.解 设参赛者甲正确完成的题数为X ,则X 服从超几何分布,其中6,4,3N M n ===,设参赛者乙正确完成的题数为Y ,则)32,3(~B Y ,2323)(=⨯==np Y E1.3 性质法利用数学期望的性质求期望，主要性质有：c c E =)( )()(X aE aX E = b X aE b aX E +=+)()(其中X 为随机变量，c b a ,,为常数。
（2）社该工程队所获利润为)13(50X Y -=,单位为万元。
试求工程队的平均利润。
解（1）根据题意，我们可求平均月数为：111.0132.0123.0114.010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 月（2）由（1）知11)(=X E ，则可得))13(50()(X E Y E -=1001150650)(50650)50650(=⨯==-=-=X E X E1.5 利用逐项微分法这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质11=∑∞=i ip两边关于参数进行求导，从而解出数学期望。
例5 设随机变量)(~p G X ，求)(X E 。
解 因为)(~p G X ，故1)1()(--==k p p k X P 其中10 p,2,1=k则1)1(11=-∑∞=-k k p p （1）对（1）式两边关于p 求导得 ()[]0)1)(1(1121=----∑∞=--k k k p k p p()()()()()01111111101)1(1111111121211=--+----=-+---∑∑∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=-∞=-∞=-k k k k k k k k k k k k p p p p kp p p p p p p p kp p根据数学期望的定义知：()()∑∞=--=111k k p kp X E 且知1)1(11=-∑∞=-k k p p因此上式可以写成：()011111=-+--P X E p p 从而解得 ()pX E 1=1.6 利用条件数学期望公式法条件分布的数学期望称为条件数学期望，它主要应用于二维随机变量()Y X ,。
在()Y X ,为二维离散随机变量场合下，其计算公式为：()()()∑=====iiiy Y x X P x y Y X E X E或()()()∑=====jjj x X yY P y x X Y E Y E例6 设二维离散随机变量()Y X ,的联合分布列为试求()2=Y X E 和()0=X Y E解 要求()2=Y X E ，首先得求()2=Y X P()25106.005.005.005.003.001.001.020=+++++===Y X P 同理可得()25321===Y X P ()25522===Y X P ()25523===Y X P()25524===Y X P ()25625===Y X P ()()257825652554255325522530225=⨯+⨯+⨯+⨯++====∴∑=i i i Y x X P x Y X E 用同样的方法，我们可得()20==X Y E 1.7 利用重期望公式法重期望是在条件期望的基础之下产生的，()y Y X E =是y 的函数，对y 的不同取值，条件期望()y Y X E =的取值也在变化，因此我们可以把()Y X E 看作一个随机变量。
重期望的公式是()()()Y X E E X E =,此公式的前提是()X E 存在。
如果是Y 一个离散随机变量，则重期望公式可改写成为()()()∑===jjjy Y P y Y X E X E例7 口袋中有编码为n ,,3,2,1 的n 个球，从中任取一球，若取到1号球，则得1分，且停止摸球；若取得i 号球)2(≥i ，则得i 分，且将此球放回，重新摸球。
如此下去，试求得到的平均总分数。
解 记X 为得到的总分数，Y 为第一次取到的球的号码，则()()()nn Y P Y P Y P 121======= 又因为()11==Y X E ，而当2≥i 时，()()X E i i Y X E +== 所以()()()()(){}X E n n ni Y P i Y X E X E ni 12111-++++====∑= 由此解得 ()()21+=n n X E 第二节 连续型随机变量数学期望的计算方法及应用连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散随机变量的，只要在离散随机变量的数学期望定义中用密度函数()x p 代替分布列(){}i x p ，用积分是代替和式，即得到连续场合下数学期望的定义。
2.1 定义法[]4设连续随机变量X 有密度函数()x p ，如果积分()dx x p x ⎰+∞∞- 有限（收敛），则称 ()()dx x p x X E ⎰+∞∞-= 为X 的数学期望。
若()dx x p x ⎰+∞∞- 无限（不收敛），则说X 的数学期望不存在。
例8 设随机变量X 服从均匀分布，求它的数学期望。
解 由于()b a U X ,~，则它的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧-=01a b x p 其他b x a则根据定义它的数学期望为 ()()⎰⎰-⋅==+∞∞-badx ab x dx x p x X E 1()2221222b a a b a b x a b b a+=--=-=可见，均匀分布的数学期望位于区间[]b a ,的中点，即均匀分布具有对称性，下一节中我们将介绍利用分布图像的对称性来求数学期望。
例9 密度函数为()()211xx p +=π +∞∞- x 的分布称为柯西分布。
其数学期望不存在，这是因为积分 ⎰∞+∞-+dx xx211π 无限。
2.2 特殊积分法连续型随机变量X 的数学期望为()()dx x p x X E ⎰+∞∞-=，在计算连续型随机变量X 的数学期望时，常常会用到一些特殊的求积分的性质和方法，如基函数在对称区间的积分值为0，还有第一换元积分等，都会给我们的计算带来简便。
例10 设随机变量()2,~σμN X ，证明()μ=X E ．证 在()X E 的积分表达始终做变换()dz dx dx dz x z ⋅==-=σσσμ即1,可得 ()()⎰∞+∞---=dx xeX E x 22221μμσπ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+⋅=⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞--dz edz ze dzez z z z 2222222121μσπμσπ由于上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，鼓起积分为0，第二个积分恰为π2，故得()μ=X E ． 2.3 利用特征函数特征函数的定义：设X 是一个随机变量，称()()itXeE t =ϕ , +∞∞- t ，为X 的特征函数，设连续随机变量X 有密度函数()x p ，则X 的特征函数为 ()()⎰+∞∞-=dx x p e t itx ϕ +∞∞- t根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：()()()kk kiXE 0ϕ=求出数学期望，即()()iX E 0ϕ'=．例11 设随机变量()2,~σμN X ，求()X E ．解 因为随机变量()2,~σμN X ，则X 的特征函数为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2exp 22t t i t σμϕ其一阶导数为()()22222exp t i t t i t σμσμϕ-⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-='则()μϕi ='0由特征函数的性质得()()μμϕ=='=ii iX E 0 注：此题关键是球正态分布的特征函数，我们可以先求出标准正态分布的特征函数，在利用特征函数的性质求出正态分布的特征函数。
2.4 逐项微分法这种方法同样适用于密度函数()x p 中含有参数的连续型随机变量分布，也是对()1=⎰+∞∞-dx x p 两边对参数求导数来解出数学期望。
例12 设随机变量服从指数分布即()λExp X ~，求()X E解 因为()λExp X ~，则X 的密度函数()⎩⎨⎧≥=-0,00x x e x p x ，λλ则由()1=⎰+∞∞-dx x p ，()()dx x p x X E ⎰+∞∞-= 得10=⎰+∞-dx e x λλ ()dx e x X E x λλ-+∞∞-⎰=对10=⎰+∞-dx e x λλ两边关于参数λ求导得()()00100=-∞+-=-=--∞+-∞+-+∞--⎰⎰⎰X E e dx xe dx e dx e x exx x x xλλλλλλλ从而解得()λ1=X E2.5 条件数学期望公式在连续型随机变量场合下，条件数学期望同样适用，其计算公式为 ()()⎰+∞∞-==dx y x xp y Y X E例13 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧+=其他,01,0,, y x y x y x p试在()y Y X E y =时，求10 ． 解 由题意知，()()()()()()()()()y x x y y dxx x y y dx y x xp y Y X E y y y xy p y x p y x p y y y ydx x x p y yY yY 13221211212111021211,12121243221221221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+-===+--==∴+-=-=⎰⎰⎰时，当()()()3121611223261212112322+=--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=y y y y y y y y2.6 利用重期望公式在Y 是一个连续随机变量时，重期望公式()()()YX E E X E =可改写成为()()()⎰+∞∞-==dy y p y Y X E X E Y ．例14 设电力公司每月可以供应某工厂的电力X 服从()()kW 41030,10单位：上的均匀分布，而该工厂每月实际需要的电力Y 服从()()kW 41020,10单位：上的均匀分布。