高中数学概率统计

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高中数学知识点总结概率与统计的统计推断

高中数学知识点总结概率与统计的统计推断

高中数学知识点总结概率与统计的统计推断高中数学知识点总结:概率与统计的统计推断概率与统计是高中数学中的一大重要分支,它涉及到统计推断。

统计推断是通过收集一部分数据来推断总体的特征和规律,从而对未知或难以获得的信息进行预测和判断。

本文将简要介绍概率与统计的统计推断相关的知识点。

一、抽样和抽样分布统计推断的基础是抽样,即从总体中随机选择一部分个体进行研究。

抽样要遵循随机性、代表性和独立性的原则,以确保样本的可靠性和有效性。

抽样分布是指随机抽取的各个样本所对应的统计量的分布。

常见的抽样分布有正态分布、t分布和卡方分布等。

二、参数估计参数估计是利用样本数据对总体的未知参数进行估计和推断的过程。

点估计是基于样本数据得出一个具体的数值作为总体参数的估计值,如样本均值、样本比例等。

区间估计则是确定一个区间,以一定的置信水平对总体参数进行估计,如置信区间。

三、假设检验假设检验是用于检验总体参数假设的方法。

根据已有信息和假设条件,利用样本数据对总体参数进行检验,判断假设是否被接受或拒绝。

假设检验包括原假设和备择假设,常见的检验方法有单样本均值检验、两样本均值检验、单样本比例检验等。

四、相关性与回归分析相关性分析主要研究两个变量之间的相关关系,其中常用的衡量指标是相关系数。

回归分析研究一个或多个自变量对因变量的影响程度和变化趋势。

线性回归是其中最常用的,通过最小二乘法来拟合自变量和因变量之间的线性关系。

五、抽样分布的中心极限定理中心极限定理是指当样本容量足够大时,样本均值的抽样分布逼近于正态分布。

它是统计推断的理论基础,使得我们可以基于样本均值进行正态分布的推断,如置信区间估计和假设检验等。

六、样本调查与调查问卷设计统计推断常常涉及到样本调查和调查问卷设计。

在进行统计推断之前,我们需要明确研究的目的、确定调查对象、设计合理的调查问卷,并通过适当的抽样方法进行样本调查。

合理的样本调查与问卷设计可以提高数据质量和统计结果的可信度。

高中数学统计与概率知识点

高中数学统计与概率知识点

高中数学统计与概率知识点一、统计学基础1. 数据收集- 普查与抽样调查- 数据的类型(定量数据与定性数据)2. 数据整理与展示- 频数分布表- 直方图- 饼图- 条形图3. 中心趋势的度量- 平均数(算术平均数)- 中位数- 众数4. 离散程度的度量- 极差- 四分位距- 方差与标准差5. 相关性分析- 相关系数- 散点图二、概率论基础1. 随机事件- 事件的定义- 必然事件与不可能事件- 互斥事件与独立事件2. 概率的计算- 单次试验的概率- 多次试验的概率- 条件概率- 贝叶斯定理3. 随机变量- 离散随机变量与连续随机变量 - 概率分布- 概率密度函数与概率分布函数4. 期望值与方差- 随机变量的期望值- 随机变量的方差5. 常见概率分布- 二项分布- 泊松分布- 正态分布三、统计与概率的应用1. 假设检验- 零假设与备择假设- 显著性水平- 第一类错误与第二类错误 - t检验与卡方检验2. 回归分析- 线性回归- 相关系数与决定系数3. 抽样与估计- 抽样误差- 置信区间- 最大似然估计四、综合练习题1. 选择题- 统计图表解读- 概率计算- 假设检验2. 填空题- 计算平均数、中位数、众数 - 计算方差、标准差- 概率分布的应用3. 解答题- 解释统计概念- 概率问题的求解- 应用统计方法解决实际问题五、附录1. 公式汇总- 统计学公式- 概率论公式2. 重要概念索引- 术语解释- 概念间的关系3. 参考资料- 推荐阅读书籍- 在线资源链接请根据需要对上述内容进行编辑和调整。

这篇文章是为了提供一个关于高中数学统计与概率的知识点概览,适用于教育目的。

每个部分都包含了关键的子标题和简短的描述,以便于理解和使用。

高中数学中的概率与统计公式整理

高中数学中的概率与统计公式整理

高中数学中的概率与统计公式整理概率与统计是高中数学中的重要内容,它们在我们日常生活中的应用非常广泛。

在学习概率与统计时,整理公式是非常重要的,它可以帮助我们更好地理解和应用这些知识。

本文将整理一些高中数学中常用的概率与统计公式,帮助大家更好地掌握这一知识点。

一、概率公式1. 事件的概率公式:对于一个事件A,它的概率可以用如下公式表示:P(A) = 事件A发生的次数 / 总的可能次数2. 互斥事件的概率公式:如果两个事件A和B是互斥事件(即两个事件不能同时发生),则它们的概率可以用如下公式表示:P(A或B) = P(A) + P(B)3. 相互独立事件的概率公式:如果两个事件A和B是相互独立事件(即一个事件的发生不受另一个事件的影响),则它们的概率可以用如下公式表示:P(A且B) = P(A) × P(B)4. 条件概率公式:如果事件B已经发生,事件A的概率可以用如下公式表示:P(A|B) = P(A且B) / P(B)5. 贝叶斯公式:如果事件A和事件B是两个相关事件,且P(B) ≠ 0,则事件B发生的条件下事件A发生的概率可以用如下公式表示:P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)二、统计公式1. 样本均值的计算公式:对于一组样本数据x1, x2, ..., xn,它们的均值可以用如下公式表示:x = (x1 + x2 + ... + xn) / n2. 总体均值的计算公式:对于一组总体数据x1, x2, ..., xn,它们的均值可以用如下公式表示:μ = (x1 + x2 + ... + xn) / N3. 样本方差的计算公式:对于一组样本数据x1, x2, ..., xn,它们的方差可以用如下公式表示:s^2 = [(x1 - x)^2 + (x2 - x)^2 + ... + (xn - x)^2] / (n - 1)4. 总体方差的计算公式:对于一组总体数据x1, x2, ..., xn,它们的方差可以用如下公式表示:σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / N5. 样本标准差的计算公式:对于一组样本数据x1, x2, ..., xn,它们的标准差可以用如下公式表示:s = √[s^2]6. 总体标准差的计算公式:对于一组总体数据x1, x2, ..., xn,它们的标准差可以用如下公式表示:σ = √[σ^2]7. 正态分布的概率计算公式:对于一个服从正态分布的随机变量X,它的概率密度函数可以用如下公式表示:f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-((x - μ)^2) / (2σ^2))以上是高中数学中常用的概率与统计公式的整理。

高中数学概率与统计知识点

高中数学概率与统计知识点

高中数学概率与统计知识点1、概率的定义随机事件A的概率是频率的稳定值;频率是概率的近似值。

2、等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有n个,且所有结果出现的可能性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是1/n,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率为P(A)=m/n。

3、互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。

如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生(A、B中有一个发生)的概率,等于事件A、B 分别发生的概率和,即P(A+B)=P(A)+P(B)。

4、对立事件对立事件是指两个事件必有一个发生的互斥事件。

例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保证其中一个必然发生,故不是对立事件。

而抽到“红色牌”与抽到“黑色牌”互为对立事件,因为其中一个必发生。

对立事件的性质:1)对立事件的概率和等于1:P(A)+P(Ä)=P(A+A)=1。

2)互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件。

5、相互独立事件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P(A·B)=P(A)·P(B)。

相互独立事件的性质:1)如果事件A与B相互独立,那么A与B,A与B,A与B也都相互独立。

2)必然事件与任何事件都是相互独立的。

3)独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件。

6、独立重复试验若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的。

如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率:P…(k)=CP*(1-P)"-*7、两个事件之间的关系对任何两个事件都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)。

高中数学概率与统计知识点总结

高中数学概率与统计知识点总结

高中数学概率与统计知识点总结概率与统计是高中数学中的重要内容,为了帮助大家更好地理解和掌握这一部分知识,下面将对高中数学概率与统计的主要知识点进行总结和梳理。

一、概率基本概念概率是指事件发生的可能性大小,通常用一个介于0到1之间的数表示。

在计算概率时,我们需要先确定样本空间,即所有可能的结果组成的集合,并且需要利用概率公式进行计算。

1.1 样本空间与事件样本空间是指一个随机试验中所有可能结果组成的集合。

样本空间中的元素称为样本点。

事件是指样本空间的子集,即某些样本点的集合。

1.2 子事件与互斥事件子事件是指事件的子集,即由某些样本点组成的事件。

互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。

1.3 事件的概率事件A的概率表示为P(A),计算方式为事件A的样本点数除以样本空间的样本点数。

概率的取值范围在0到1之间,且所有可能事件的概率之和为1。

二、概率计算方法概率的计算方法主要包括古典概型、频率概率和条件概率等几种常用方法。

2.1 古典概型古典概型适用于随机试验的样本点数有限且相等的情况。

在古典概型中,事件A的概率计算公式为P(A) = m/n,其中m为事件A中样本点的个数,n为样本空间中样本点的总个数。

2.2 频率概率频率概率适用于大量重复试验的情况。

频率概率是指事件A发生的频率,计算公式为P(A) = lim(N→∞) (m/N),其中m为事件A发生的次数,N为试验进行的总次数。

2.3 条件概率条件概率是指在一个事件已经发生的条件下,另一个事件发生的概率。

条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B)/P(B),其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率,P(B)表示事件B发生的概率。

三、排列与组合排列与组合是概率与统计中常用的计数方法,用于求解事件发生的可能性个数。

3.1 排列排列是指将若干个不同的元素按照一定的顺序排列的方式。

排列的计算公式为A(n, m) = n!/(n-m)!,其中n为元素个数,m为选取的元素个数。

高考统计概率知识点归纳总结大全

高考统计概率知识点归纳总结大全

高考统计概率知识点归纳总结大全概率统计是高中数学考试的重要内容之一,也是高考中常考的一个知识点。

掌握好概率统计的知识,对提高数学成绩,甚至对生活中的决策问题都有着重要的意义。

本文将对高考概率统计的知识点进行归纳总结,希望对广大考生能够有所帮助。

1. 事件与概率概率统计的基本概念是事件和概率。

事件即我们所关注的问题,而概率则是描述这个事件发生可能性大小的数值。

事件通常用大写字母表示,如A、B,而概率用P(A)表示。

概率的取值范围是0到1之间。

2. 事件的运算事件之间有着不同的运算关系,包括和事件、积事件、差事件和补事件。

对于事件A和事件B,和事件表示同时发生的事件,用A∪B表示;积事件表示两个事件同时发生,用A∩B表示;差事件表示事件A发生而事件B不发生,用A-B表示;补事件表示事件A不发生的情况,用- A表示。

3. 概率的加法规则对于两个事件A和B,它们的和事件的概率计算公式为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) ,即和事件的概率等于两个事件的概率之和减去积事件的概率。

4. 独立事件与互斥事件事件A和事件B独立指的是A事件的发生与否对B事件的发生没有影响,它们之间的概率关系为P(A∩B) = P(A) × P(B)。

而互斥事件指的是A事件和B事件不能同时发生,它们之间的概率关系为P(A∩B) = 0。

5. 条件概率与乘法法则条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下,某个事件发生的概率。

条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

乘法法则是条件概率的推广,当某个事件发生的条件不再只有一个时,乘法法则可以用来计算多个事件同时发生的概率。

6. 伯努利试验与二项分布伯努利试验是指只有两种可能结果的一类实验,如抛硬币、掷骰子等。

二项分布是指在n次独立重复伯努利试验中,事件A出现k 次的概率分布。

二项分布的概率计算公式为P(X=k) = C(n, k) × P^k × (1-P)^(n-k),其中C(n, k)表示组合数。

高中概率统计知识点_高三概率知识点总结范文

高中概率统计知识点_高三概率知识点总结范文

《高中概率统计知识点总结》高中概率统计是数学中的重要组成部分,它不仅在高考中占据着重要的地位,而且在实际生活中也有着广泛的应用。

本文将对高中概率统计的知识点进行全面总结,帮助高三学生更好地掌握这部分内容。

一、随机事件与概率1. 随机事件随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

必然事件是在一定条件下必然发生的事件,不可能事件是在一定条件下不可能发生的事件。

2. 概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

对于一个随机事件A,它的概率 P(A)满足0≤P(A)≤1。

当 P(A)=1 时,事件 A 为必然事件;当 P(A)=0 时,事件 A 为不可能事件。

3. 概率的基本性质(1)概率的加法公式:对于任意两个互斥事件 A 和 B,P(A∪B)=P(A)+P(B)。

(2)对立事件的概率:若事件 A 的对立事件为\(\overline{A}\),则 P(A)+P(\(\overline{A}\))=1。

二、古典概型1. 古典概型的特点(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

(2)每个基本事件出现的可能性相等。

2. 古典概型的概率计算公式如果一次试验中共有 n 个基本事件,事件 A 包含其中的 m 个基本事件,则事件 A 的概率 P(A)=\(\frac{m}{n}\)。

三、几何概型1. 几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个。

(2)每个基本事件出现的可能性相等。

2. 几何概型的概率计算公式一般地,在几何区域 D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为事件 A,则事件 A 发生的概率P(A)=\(\frac{d 的测度}{D 的测度}\)。

这里测度可以是长度、面积、体积等。

四、互斥事件与独立事件1. 互斥事件若事件 A 与事件 B 不能同时发生,则称事件 A 与事件 B 为互斥事件。

互斥事件的概率加法公式为P(A∪B)=P(A)+P(B)(A、B 互斥)。

数学高三数学概率与统计知识总结与题型解析

数学高三数学概率与统计知识总结与题型解析

数学高三数学概率与统计知识总结与题型解析概率与统计是高中数学中的一个重要部分,也是数学高考中的一个重点考点。

掌握好概率与统计的知识对于高三学生来说非常重要。

本文将对高三数学概率与统计的知识进行总结,并解析一些常见的题型。

一、概率的基本概念和性质概率是研究随机试验结果出现的可能性的数学理论。

在概率的研究中,有几个基本概念和性质需要掌握。

1.1 试验、样本空间和事件随机试验是指具有以下三个特点的试验:可以在相同的条件下重复进行,每次试验的结果不确定,且试验的结果有多种可能性。

样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。

事件是样本空间的一个子集,表示随机试验中我们关心的一些结果。

1.2 概率的定义和性质概率的定义可以通过两种方式来描述:频率定义和古典定义。

频率定义是指当试验重复进行很多次时,事件发生的频率趋近于概率值。

古典定义是指在满足条件的情况下,事件发生的可能性与样本空间中元素个数的比值。

概率具有以下几个性质:非负性、规范性、可列可加性、互斥性和独立性。

1.3 条件概率和乘法定理条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下,某个事件发生的概率。

条件概率可以通过乘法定理来计算。

二、离散型随机变量离散型随机变量是指在有限或可数无限个取值中取一个确定值的变量。

离散型随机变量具有以下几个重要的性质:概率函数、分布函数、数学期望、方差等。

2.1 二项分布二项分布是指在n次独立的伯努利试验中,事件发生的次数所符合的概率分布。

如果事件发生的概率为p,不发生的概率为q=1-p,那么在n次试验中,事件发生k次的概率可以由二项分布来计算。

2.2 泊松分布泊松分布是在一定时间或空间范围内,某个事件发生的概率符合的分布。

泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。

三、连续型随机变量连续型随机变量是指在一个或者几个区间内取值的变量。

连续型随机变量具有以下几个重要的性质:概率密度函数、分布函数、数学期望、方差等。

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第八讲 概率统计【考点透视】1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 5. 掌握离散型随机变量的分布列. 6.掌握离散型随机变量的期望与方差. 7.掌握抽样方法与总体分布的估计. 8.掌握正态分布与线性回归. 【例题解析】考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=)()(I card A card =n m ;等可能事件概率的计算步骤:① 计算一次试验的基本事件总数n ;② 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n=求值;④ 答,即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率:P (A +B )=P (A )+P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )+P (A )=P (A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )=P (A )·P (B );特例:独立重复试验的概率:P n (k )=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:① 求概率的步骤是:第一步,确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.第三步,运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.例1.在五个数字12345,,,,中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示).[考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.[解答过程]0.3提示:1335C 33.54C 102P ===⨯例2.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 .[考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式,同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法. [解答过程]1.20提示:51.10020P ==例3从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g ):492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为__________.[考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个,而总数是20个,所以有51.204=点评:首先应理解概率的定义,在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.例4.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为__________.(精确到0.01)[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=.故填0.94.例5.右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是(A )454 (B )361 (C )154 (D )158[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.[解答提示]由题意,左端的六个接线点随机地平均分成三组有2226423315C C C A =种分法,同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有2226423315C C C A =种分法;要五个接收器能同时接收到信号,则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中,即五个接收器的一个全排列,再将排列后的第一个元素与信号源左端连接,最后一个元素与信号源右端连接,所以符合条件的连接方式共有55120A =种,所求的概率是120822515P ==,所以选D.点评:本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题,并进一步求得概率问题,其中隐含着平均分组问题.例6.从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件A :“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =. (1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ;(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,求事件B :“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B .[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.[解答过程](1)记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”, 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”. 则01A A ,互斥,且01A A A =+,故01()()P A P A A =+212012()()(1)C (1)1.P A P A p p p p =+=-+-=- 于是20.961p =-.解得120.20.2p p ==-,(舍去).(2)记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”,则0B B =.若该批产品共100件,由(1)知其中二等品有1000.220⨯=件,故28002100C 316()C 495P B ==.00316179()()1()1.495495P B P B P B ==-=-=例7.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷1本,共8本.将它们任意地排成一排,左边4本恰好都属于同一部小说的概率 是 (结果用分数表示).[考查目的] 本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有88A 种,左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有442442A A A 种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排,左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 44244288135A A A P A ==种.所以,填135.例8.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;乙袋装有2个红球,n 个白球.由甲,乙两袋中各任取2个球.(Ⅰ)若n=3,求取到的4个球全是红球的概率;(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43,求n.[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识,同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.[标准解答](错误!未找到引用源。

)记“取到的4个球全是红球”为事件A .22222245111().61060C C P A C C =⋅=⋅=(错误!未找到引用源。

)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ,“取到的4个球只有1个红球”为事件1B ,“取到的4个球全是白球”为事件2B . 由题意,得31()1.44P B =-=2111122222122224242()n n n n C C C C C C P B C C C C ++⋅⋅=⋅+⋅22;3(2)(1)n n n =++ 22222242()n n C C P B C C +=⋅(1);6(2)(1)n n n n -=++ 所以, 12()()()P B P B P B =+22(1)3(2)(1)6(2)(1)n n n n n n n -=+++++14=,化简,得271160,n n --=解得2n =,或37n =-(舍去), 故 2n =.例9.某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.(Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.[解答过程](Ⅰ)记A 表示事件:“3位顾客中至少1位采用一次性付款”,则A 表示事件:“3位顾客中无人采用一次性付款”.2()(10.6)0.064P A =-=, ()1()10.0640.936P A P A =-=-=.(Ⅱ)记B 表示事件:“3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元”.0B 表示事件:“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”. 1B 表示事件:“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”.则01B B B =+.30()0.60.216P B ==,1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=.01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=.例10.某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)[考查目的] 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ,B,C , 则P (A )=a ,P (B )=b ,P (C )=c. (Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率p 1=P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C ) =a ×b ×(1-c)+(1-a)×b ×c+a ×(1-b)×c+a ×b ×c=ab+bc+ca-2abc. 应聘者用方案二考试通过的概率p 2=31P (A ·B )+ 31P (B ·C )+ 31P (A ·C )= 31×(a ×b+b ×c+c ×a)= 31 (ab+bc+ca)(Ⅱ) p 1- p 2= ab+bc+ca-2abc-31 (ab+bc+ca)= 23( ab+bc+ca-3abc)≥23]3abc =0≥.∴p 1≥p 2例11.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为54、53、52、51,且各轮问题能否正确回答互不影响.(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率. (注:本小题结果可用分数表示)[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.[解答过程](Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(1234)i A i =,,,,则14()5P A =,23()5P A =,32()5P A =,41()5P A =,∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率412341234432496()()()()()5555625P P A A A A P A P A P A P P ===⨯⨯⨯=.(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率3112123()P P A A A A A A =++112123()()()()()()P A P A P A P A P A P A =++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1)0≥i P ,=i 1,2,…;(2)++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列: (1)二项分布n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数ξ是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…n ,并且k n k k n k q p C k P P -===)(ξ,其中n k ≤≤0,p q -=1,随机变量ξ的分布列如下:称这样随机变量ξ服从二项分布,记作),(~p n B ξ,其中n 、p 为参数,并记:),;(p n k b q p C kn k k n =- .(2) 几何分布在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为:例12.厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程](Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算,有()()4110.20.9984P A P A =-=-= (Ⅱ)ξ可能的取值为0,1,2. ()2172201360190C P C ξ===,()11317220511190C C P C ξ===,()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=. 记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B ,则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=.所以商家拒收这批产品的概率为2795.例13.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率;(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望. (注:本小题结果可用分数表示)[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]解法一:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =,,,则14()5P A =,23()5P A =,32()5P A =, ∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=.(Ⅱ)ξ的可能值为123,,,11(1)()5P P A ξ===,1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=,12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=.ξ∴的分布列为1812571235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=.解法二:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =,,,则14()5P A =,23()5P A =,32()5P A =. ∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=.(Ⅱ)同解法一.考点3 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差(1)离散型随机变量的数学期望:++=2211p x p x E ξ…;期望反映随机变量取值的平均水平. ⑵离散型随机变量的方差:+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…; 方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度. ⑶基本性质:b aE b a E +=+ξξ)(;ξξD a b a D 2)(=+.(4)若ξ~B(n ,p),则 np E =ξ ; D ξ =npq (这里q=1-p ) ;如果随机变量ξ服从几何分布,),()(p k g k P ==ξ,则pE 1=ξ,D ξ =2pq 其中q=1-p.例14.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、η,ε和η的分布列如下:则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路启迪:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.解答过程:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为:7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ,891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ; 工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ,664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD 由E ε=E η知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但D ε>D η,可见乙的技术比较稳定.小结:期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度. 例15.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A :“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率()P A ; (Ⅱ)求η的分布列及期望E η.[考查目的] 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.[解答过程](Ⅰ)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=, ()1()10.2160.784P A P A =-=-=.(Ⅱ)η的可能取值为200元,250元,300元.(200)(1)0.4P P ηξ====,(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=,(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=.η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=(元). 小结:离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力. 例16.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的成绩有误,甲实得80分却记为50分,乙实得70分却记为100分,更正后平均分和方差分别是A.70,25B.70,50C.70,1.04D.65,25解答过程:易得x 没有改变,x =70, 而s 2=481[(x 12+x 22+…+502+1002+…+x 482)-48x 2]=75, s ′2=481[(x 12+x 22+…+802+702+…+x 482)-48x 2] =481[(75×48+48x 2-12500+11300)-48x 2] =75-481200=75-25=50. 答案:B考点4 抽样方法与总体分布的估计 抽样方法1.简单随机抽样:设一个总体的个数为N ,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2.系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样). 3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确.总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示,几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线:当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.典型例题例17.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .解答过程:A种型号的总体是210,则样本容量n=1016802⨯=.例18.一个总体中有100个个体,随机编号0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m k+的个位数字相同,若6m=,则在第7组中抽取的号码是.解答过程:第K组的号码为(1)10k-,(1)101k-+,…,(1)109k-+,当m=6时,第k组抽取的号的个位数字为m+k的个位数字,所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ,所以抽取号码为63.例19.考查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下:171 163 163 166 166 168 168 160 168 165171 169 167 169 151 168 170 160 168 174165 168 174 159 167 156 157 164 169 180176 157 162 161 158 164 163 163 167 161⑴作出频率分布表;⑵画出频率分布直方图.思路启迪:确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.解答过程:⑴最低身高为151,最高身高180,其差为180-151=29。

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