高等数学几种特殊类型函数的积分
高等数学常用积分表
高等数学常用积分表（最新版）目录1.积分表的概念和作用2.积分表的主要内容3.积分表的使用方法4.积分表在高等数学中的地位和意义5.结论正文一、积分表的概念和作用积分表是高等数学中的一种重要工具，它主要用于帮助我们计算不定积分和定积分。
积分表包含了各种基本的初等函数的积分公式，通过查询积分表，我们可以快速地找到所需要的积分结果，从而大大简化了积分的计算过程。
二、积分表的主要内容积分表主要包括以下几类函数的积分公式：1.幂函数：如 x^n（n 为实数）的积分公式为 x^(n+1)/(n+1)。
2.三角函数：如 sinx、cosx、tanx 等的积分公式。
3.指数函数和对数函数：如 e^x、lnx 等的积分公式。
4.反三角函数：如 arctanx、arcosx、arsinx 等的积分公式。
5.其他常见函数：如|x|、x^3、1/x 等的积分公式。
以上这些函数的积分公式都是高等数学中常见的，掌握这些积分公式对于解题非常有帮助。
三、积分表的使用方法使用积分表时，首先需要确定所需求解的积分属于哪种类型的函数，然后根据函数类型在积分表中查找相应的积分公式。
找到公式后，将函数的参数代入公式，即可求得积分结果。
例如，对于函数 f(x)=x^3 的积分，我们可以在积分表中找到幂函数的积分公式，即 x^(n+1)/(n+1)。
将 n=3 代入公式，得到积分结果为x^4/4。
四、积分表在高等数学中的地位和意义积分表在高等数学中具有非常重要的地位和意义。
首先，积分表是求解微分方程的基础，微分方程的解法往往涉及到积分运算。
其次，积分表对于求解定积分和无穷级数也非常有帮助。
最后，掌握积分表可以提高我们的计算效率，使我们能够更快地解决实际问题。
五、结论总之，积分表是高等数学中一种非常重要的工具，掌握积分表对于解题具有非常重要的意义。
几种特殊类型函数的积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分定义：设()P x 和()Q x 是两个多项式，凡形如()()P x Q x 的函数称为有理函数。
重要结论：任何一个有理函数必定可以表示为若干个形如（称为简单分式）：（1） a x A -； （2） ka x A )(-；)2(≥k （3）)04(22<-+++q p q px x B Ax ； （4）)04()(22<-+++q p q px x B Ax k )2(≥k 。
的简单分式之和，其中A ，B ，,,,q p a 为常数，k 为正整数。
因此，对有理函数的积分只要讨论上述四种形式的积分即可。
（1） C a x a x dx +-=-⎰ln 。
（2） C a x k a x dx k k +--=--⎰1))(1(1)(， )1(>k 。
（3） dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222，令2p x t +=，并记4422p q r -=，2pA B N -=，则 dx p q p x B Ax dx q px x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222⎰+=22r t tdt A ⎰++22r t dt N C rt r N r t A +++=arctan )ln(222。
（4） 同（3）可得 )2(≥k ， ⎰+++k q px x B Ax )(2⎰⎰+++=k k r t dt N r t tdt A )()(2222122))(1(2-+-=k r t k A ⎰++k r t dt N )(22。
记 ⎰+=k k r t dt I )(22，则 dt r t t r I r dt r t t r t r I k k k k ⎰⎰+-=+-+=-)(11)()(1222212222222 =))(1()1(2111212⎰--+-+k k r t td k r I r ])([)1(2111122212----+-+=k k k I r t t k r I r ， 于是，有递推公式121222)1(232))(1(2----++-=k k k I k r k r t k r t I 。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
高等数学七类积分总结 -回复
高等数学七类积分总结 -回复
高等数学中，常见的七类积分总结如下：
1. 一般函数的积分：对于给定函数，可以通过积分求解其不定
积分和定积分，其中不定积分得到的是一个具有任意常数项的解。
2. 有理函数的积分：有理函数指的是多项式函数之比，可以通
过分解成部分分式来求解其积分。
常见的部分分式分解包括线性因子
和二次因子。
3. 幂函数的积分：幂函数的积分分为两种情况，一是指数不等
于-1的幂函数，可以通过幂函数的求导逆运算来求解其不定积分；二
是指数等于-1的幂函数，即倒数函数，可以通过换元法或利用对数函
数的性质来求解。
4. 三角函数的积分：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，可以通过利用三角函数的反函数和三角函数的恒等式来
求解其积分。
5. 反三角函数的积分：反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等，可以通过换元法和利用反三角函数的恒等式来求
解其积分。
6. 指数函数和对数函数的积分：指数函数的积分可以通过利用
指数函数和自然对数函数之间的关系得到；对数函数的积分可以通过
部分积分法和适当的换元法来求解。
7. 特殊函数的积分：包括双曲函数、高斯函数、伽马函数等，
对于这些特殊函数的积分，可以通过利用其定义和相关的性质来求解。
以上是高等数学中常见的七类积分的总结，通过熟练掌握这些积
分方法，可以更好地解决数学问题。
高等数学 4-4几种特殊类型函数的积分
sin x
解：由万能置换公式 sin x =
sin x 2u 2u + 1 + u 2 − 1 − u 2 dx = ∫ du = ∫ du ∫ 1 + sin x + cos x (1 + u )(1 + u 2 ) (1 + u )(1 + u 2 )
A1 A2 A + + L + k , 其中 k k −1 A1, A2 , L, Ak 都是常数. ( x − a) ( x − a) x−a
特殊地： k = 1, 分解后为
A ; x−a
（2）分母中若有因式 ( x 2 + px + q ) k ，其中 p 2 − 4q < 0 则分解后为
M 1 x + N1 M x + N2 M x + Nk + 2 2 +L+ 2 k k k −1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
∫ sin 3x + sin x dx.
A+ B A− B cos 2 2
1 + sin x
sin A + sin B = 2 sin
6
∫ sin 3x + sin x dx = ∫ 2 sin 2 x cos x dx = ∫ 4 sin x cos
=
1 + sin x
1 + sin x
1 + sin x
几种特殊函数的积分
x x x ln sec ln 1 tan C 2 2 2
数学分析（上）
注意 万能代换不一定是最佳方法, 故三角有理式 的计算先考虑其它方法, 不得已才用万能代换.
1 cos x 例如 d sin x dx 1 sin x 1 sin x
dx d cot x 又如 2 2 3 si n x 3 csc x 1
dx 1 C . (a sinx b cos x)2 a(a tan x b)
数学分析（上）Leabharlann 例5dx (1) 1 s i nx
dx ( 2) 2 cos x
dx ( 3) 2 si n x
A B 1 A 5 (3 A 2B ) 3 B 6 x3 5 6 2 （待定系数法） x 5x 6 x 2 x 3 x3 x 2 5 x 6 dx 5 ln x 2 6 ln x 3 C
数学分析（上）
dx 例3 求 I 1 x3 1 1 3 2 1 x (1 x )(1 x x )
1 A Bx C 2 2 (1 x )(1 x x ) 1 x 1 x x
1 1 2 , B ,C 可求得 A 3 3 3 1 1 1 1 2 I ln1 x ln(x x 1) arctan (2 x 1) C 3 6 3 3
Ak A1 A2 2 k x a ( x a) ( x a)
数学分析（上）
2）分母中若有因式 ( x
2
2
px q) ,其中
几种特殊函数的积分
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
高等数学中的奇异积分
高等数学中的奇异积分高等数学是数学学科中的重要分支，它包括微积分、线性代数、微分方程等多个方面。
在这些学科中，奇异积分是一个非常重要的内容。
奇异积分主要指的是在积分区间的某些单点或多点上，被积函数没有定义或不连续的情况下的积分。
本文将分析奇异积分的基本概念、性质以及应用。
一、奇异积分的基本概念奇异积分主要包括两种：柯西主值积分和广义牛顿-莱布尼茨公式式中的无穷限积分。
下面对这两种积分进行简要介绍。
1.柯西主值积分柯西主值积分指的是当函数在积分区间中某些点的左右极限存在时，将积分区间在此点附近割成两个小区间，分别在该点的两侧进行积分，然后将两个积分的和除以二，所得到的就是该函数在此点的柯西主值。
其计算公式如下：<center>$ PV \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} [ \int_{a}^{c-\epsilon} f(x)dx + \int_{c+\epsilon}^{b} f(x)dx ]/2$</center>其中，a、b分别为积分区间的下界和上界，c为积分区间中的奇异点，f(x)为被积函数。
2.广义牛顿-莱布尼茨公式式中的无穷限积分广义牛顿-莱布尼茨公式指的是在函数f(x)在积分范围内无限趋近于正无穷或负无穷的情况下，其积分的值的变化情况。
如果积分的值为无穷大，则称积分为发散积分；如果积分的值为有限值，则称积分为收敛积分。
二、奇异积分的性质在高等数学中，奇异积分具有几个重要性质：1.奇异积分的存在性奇异积分在奇异点附近可能不存在，但在奇异点之外积分区间内存在。
因此，奇异积分的存在性需要视情况而定。
2.奇异积分的唯一性如果被积函数在奇异点附近是有界的，则奇异积分在任何一种计算方式下都具有唯一性。
3.奇异积分的线性性奇异积分具有线性性质，即在相同的积分区间内，对于任何两个可积函数f(x)和g(x)，以及任何两个实数a和b，都有：$PV\int_{a}^{b}[af(x)+bg(x)]dx = aPV\int_{a}^{b}f(x)dx +bPV\int_{a}^{b}g(x)dx$三、奇异积分的应用奇异积分在数学和物理领域都有广泛的应用，下面列举其中几个：1.非线性偏微分方程的数值解法非线性偏微分方程的求解通常需要进行数值计算。
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∫
(
x
1 − 1)2
dx
−
∫
x
1 −
dx 1
= ln | x | − 1 − ln | x −1| +C. x −1
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10
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∫1
例5 求积分 (1 + 2x)(1 + x2 ) dx.
例3
解：∫
(1
+
2
1 x)(1
+
x2
)
dx
=
∫
⎡4
⎢ ⎢⎢1
5 +2
x
+
− 2 x+ 5 1+ x2
2 tan x 2
1− tan2 x 2
u
=
tan
x 2
1
2u − u2
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令u = tan x x = 2arctan u 2
dx
=
1
2 + u2
du
∫ ∫ R(sin x,cos x)dx =
R⎜⎛ ⎝
1
2u +u
2
,
1 1
− +
u2 u2
⎞⎟ ⎠
1
2 + u2
1 5
⎤ ⎥ ⎥dx ⎥
4
−2x+1⎣
⎦
=
∫
1
5 +2
x
dx
+
∫
5 1+
x2
5dx
=
2 5
ln(1
+
2x)
−
1 5
∫
1
2x + x2
dx
+
1 5
∫
1
1 +x
2
dx
= 2 ln(1 + 2x) − 1 ln(1 + x2 ) + 1 arctan x + C .
5
5
5
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B = −2,C 5
−2x+
+ x
5 1+ x2
=1 5
1 5.
,
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9
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∫ 例4 求积分
1
x3
−
2
x2
+
dx. x
解：∫
1 dx =
x3 − 2x2 + x
∫
x(
1 x−
1)2dx
=
∫
⎡1 ⎣⎢ x
+
(x
1 − 1)2
−
x
1 −
⎤ 1⎥⎦
dx
例2
=
∫
1dx x
+
⇒
⎧A+ B ⎩⎨− (3A
= 1, + 2B)
=
3,
⇒
⎧ ⎨ ⎩
A B
= =
−5 ,
6
∴
x2
x+3 −5x +
= 6
−5 x−2
+
x
6 −
. 3
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6
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例2
x(
1 x−1)2
=
A+ x
(x
B − 1)2
+
C, x−1
通分以后比较分子得：
1= (A+C)x2 + (B − 2A−C)x + A
dt
+
∫ (t2
b +a
2
)n
dt
第三节 例9
∫ =
−
2(n
−
M 1)(t 2
+
a
2
)n−1+
b
(t
2
1 + a2
)n
dt .
结论： 有理函数的原函数都是初等函数.
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求
p2 ,
⎝ 2⎠
4
令 x+ p=t 2
并记
x2 + px + q = t 2 + a2 ,
Mx + N = Mt + b,
其中
a2 = q − p2 , 4
b = N − Mp , 2
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∴
∫
(
x
Mx + 2 + px
N + q)n
dx
=
∫ (t2
Mt + a2 )n
x)
dx
=
1 2
u2 + 2u + 1 du
u
=
1
u2 (
+
2u
+
ln u) +
C
22
=
tan2
x 2
+
tan
x
+
1
ln tan
x
+C
4
22
2
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21
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例10（补充题）
求
∫
1
cos x + sin
x
dx.
1− u2 2du
∫ = ∫ ∫ 解： =
cos x dx = 1 + sin x
1）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和
一个真分式之和.
例如，我们可将 x 3 + x + 1
x2 +1
化为多项式与真分式之和
x
+
1
x2
. +1
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2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和
最简分式是下面两种形式的分式
A (x − a)k
Ax + B ( x2 + px + q)k ;
令 t = p a x + b , p为m , n的最小公倍数 .
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例12（课本 例7）求
∫
1
+
dx 3x
+
2
.
解: 令 u = 3 x + 2 , 则 x = u3 − 2, dx = 3u2 du
∫ 原式
=
∫
3u 1+
2
u
du
=3
(u2 −1) +1du 1+ u
,
1 = A(1 + x2 ) + (Bx + C )(1 + 2x), 整理得 1 = ( A + 2B)x2 + (B + 2C )x + C + A,
⎧ A + 2B = 0,
⎪⎨B ⎪⎩ A
∴ (1
+ +
+
2C = 0, C = 1,
1 2x)(1 +
⇒ x2)
A= 4, 5 4
=5 1+ 2
简便的方法.
例7（补充题）
求
I
=
∫
2x3 + x4
2x2 + 5x + + 5x2 + 4
5 dx.
∫ ∫ 解:
I=
2x3 + 5x x4 + 5x2 +
4
dx
+
x
4
2x2 + + 5x2
5 +
4
dx
∫ ∫ = 1 2
d(x4 + 5x2 + 5) + x4 + 5x2 + 4
(x2 +1) + (x2 + 4) (x2 +1)(x2 + 4)
2(1 − u)
1+u2 1+u2
1
+
1
2u +u
2
(1
+
u)(1
+
u
2
du )
一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。
∫
cos x 1 + sin x
dx=
∫
d(1 + sin x) 1 + sin x
=
ln(1 +
sin
x) +
C
由此可以看出，万能代换法不是最简方法，
能不用尽量不用。
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2−x 2+x
+21 +21
+
C
(x ≠ 0)
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二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分
设 R(sin x , cos x) 表示三角函数有理式 , 则
∫ R(sin x , cos x) dx