命题逻辑的推理理论
命题逻辑2
q∧r (┐p∨p)∧q∧r (┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) m3∨m7 而简单合取式p∧┐q∧┐r已是极小项m4 于是 (p→q) r m1∨m3∨m4∨m7 极小项与公式的成真赋值、成假赋值的关系:
若公式A中含n个命题变项，A的主析取范式含s(0≤s≤2n) 个极小项，则A有s个成真赋值，它们是所含极小项角 标的二进制表示，其余2n-s个赋值都是成假赋值。
三、主析取范式和主合取范式
定义
设有命题变元P1，P2，…,Pn
n
形如 Pi * ， i 1
n
的命题公式称为是由命题变元P 1，P2，…，Pn所产生
的极小项。而形如 Pi * 的命题公式称为是由命题变元 i 1
P1，P2，…，Pn所产生的极大项 。其中Pi*为Pi或为
Pi(i=1,2,…n).
极小项，故F不是重言式和矛盾式，只是可满足式。
例 某科研所要从３名科研骨干A,B,C中挑 选1～2名出国进修。由于工作原因，选派时 要满足以下条件： （１）若A去，则C同去。 （２）若B去，则C不能去。 （３）若C不去，则A或B可以去。 问应如何选派他们去？
解 设 p:派A去 q:派B去 r:派C去 由已知条件可得公式 （p→r）∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q) 经过演算可得 (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q)) m1∨m2∨m5 由于 m1 = ┐p∧┐q∧r m2 =┐p∧q∧┐r m5 = p∧┐q∧r 可知，选派方案有3种： （a）C去，而A,B都不去。 （b）B去，而A,C都不去。 （c）A,C去，而B不去。
因此利用真值表也可以求公式的主析取范式
练 求公式 F1 = p(p(qp))的主析取范式
解
F1p∨(p∧(q∨p)) p∨(p∧q)∨(p∧p)
命题逻辑的推理理论,证明方法
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⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
推理正确, q是有效结论
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课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
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归谬法(反证法)的说明
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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一、自然推理系统P的定义（续）
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
(7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10)构造性二难推理
规则 (11) 破坏性二难推理
规则 (12) 合取引入规则
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（5）分情况证明法
为了证明 A1 A2 An B , 只需证明对任意的 i (1 i n) ，均有 Ai B 。
（6）附加前提证明法
为了证明 A1 A2 An A B ,
只需证明 A1 A2 An A B
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离散数学课件03命题逻辑的推理理论
((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
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由定理 3.1可知， 推理正确。
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推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B)
附加律
(2) (A∧B) A
化简律
(3) (A→B)∧A B
假言推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A
拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
析取三段论
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
假言三段论
(7) (AB) ∧ (BC) (A C)
等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B
构造性二难 构造性二难
(特殊形式)
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐精D选)课件pp(t ┐A∨┐C) 破坏性二难16
只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
推理正确，并不能保证结论B一定为真。
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例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
正确 不正确
p q p(p→q) q p(q→p)
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
证明是描述推理正确或错误的过程。
要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或 正确的。
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命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
命题逻辑_ls第2章_2.1
2.1.2 命题公式及分类
本节主要讨论：
命题公式的定义 命题公式的层次 命题公式的真值表 命题公式的分类
一、命题公式的概念
命题常项：简单命题。 命题变项：真值可以变化的陈述句。
p∧q 的逻辑关系是 p与q同时为真
p∧q真值表如图所示：
P
Q
P∧ Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
(2) 合取联结词“∧” －－且
例如，p: 李军聪明 q: 李军用功 则命题 “李军既聪明又用功” 可描述为： p∧q
以下自然语言中的联结词等都可以抽象为“∧” 。 “并且”、“既…又…”、 “与”、“和”、“以及”、
一、命题公式的概念
例: (1) A = p ∨q，
则 A是2层公式。
(2) A = p ∧ q ∧ r ， 则 A是2层公式。
(3) A =(p ∧q) (r ∨s)， 则A为4层公式。
二、公式的赋值或解释
定义2.8 (P.44) －－公式的赋值或解释
设A 为含有命题变项 p1, p2,…, pn的命题公式, 给 p1, p2, …, pn 一组确定的真值, 称作对公式 A
举例：
令：p：天气好。
q：我去公园。
如果天气好，我就去公园。符号化为：pq
只要天气好，我就去公园。
pq
仅当天气好，我才去公园。
qp
只有天气好，我才去公园。
qp
我去公园玩，除非天气好。
qp
例2.5 将下列命题符号化，并求其真值。
逻辑推理理论(简明汇总)
逻辑常识（逻辑学习总体把握）一、逻辑推理是指由一个或几个已知的判断推导出另外一个新的判断的思维形式。
一切推理都必须由前提和结论两部分组成。
一般来说，作为推理依据的已知判断称为前提，所推导出的新的判断则称为结论。
推理大体分为直接推理和间接推理。
（一）直接推理只有一个前提的推理叫直接推理。
例如：有的高三学生是共产党员，所以有的共产党员是高三学生。
（二）间接推理一般有两个或两个以上前提的推理就是间接推理。
例如：贪赃枉法的人必会受到惩罚，你们一贯贪赃枉法，所以今天你们终于受到法律的制裁和人民的惩罚。
一般说，间接推理又可以分为演绎推理、归纳推理和类比推理等三种形式。
（1）演绎推理所谓演绎推理，是指从一般性的前提得出了特殊性的结论的推理。
例如：贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的，你们一贯贪赃枉法，所以，你们今天是必定要受到法律的制裁、人民的惩罚的。
这里，“贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的”是一般性前提，“你们一贯贪赃枉法”是特殊性前提。
根据这两个前提推出”你们今天是必定要受到法律的制裁和人民的惩罚的”这个特殊性的结论。
演绎推理可分为三段论、假言推理和选言推理。
a三段论b假言推理c选言推理（2）归纳推理归纳推理是从个别到一般，即从特殊性的前提推出普遍的一般的结论的一种推理。
一般情况下，归纳推理可分为完全归纳推理、简单枚举归纳推理。
a完全归纳推理也叫完全归纳法，是指根据某一类事物中的每一个别事物都具有某种性质，推出该类事物普遍具有这种性质的结论。
正确运用完全归纳推理，要求所列举的前提必须完全，不然推导出的结论会产生错误。
例如：在奴隶社会里文学艺术有阶级性；在封建社会里文学艺术有阶级性；在资本主义社会里文学艺术有阶级性；在社会主义社会里文学艺术有阶级性；所以，在阶级社会里，文学艺术是有阶级性的。
（注：奴隶社会、封建社会、资本主义社会、社会主义社会这四种社会形态构成了整个阶级社会。
）b简单枚举归纳推理是根据同一类事物中部分事物都具有某种性质，从而推出该类事物普遍具有这种性质的结论。
命题逻辑推理理论
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4.2.2 自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成: 1. 字母表 (1) 命题变项符号: p,q,r,…, pi,qi,ri,… (2) 联结词: , , , , (3) 括号与逗号: ( ), , 2. 合式公式 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则：将结论作为后继证明前提 (3) 置换规则：子公式用与之等值的公式置换
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归结证明法(续)
在自然推理系统P中只需下述推理规则（P70-71）: (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 化简规则
(5) 合取引入规则
(6) 归结规则
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归结证明法的基本步骤
1. 将每一个前提化成等值的合取范式, 设所有合取范式的 全部简单析取式为A1, A2,…, At 2. 将结论化成等值的合取范式B1B2…Bs, 其中每个Bj 是简单析取式 3. 以A1,A2,…,At为前提, 使用归结规则推出每一个Bj, 1js
r:我有课， 前提: (pq)r, s:我备课
r s,
s 结论: pq
15
实例(续)
前提: (pq)r, rs, s 结论: pq 证明 ① r s 前提引入 ② s 前提引入 ③ r ①②拒取式 ④ (pq)r 前提引入 ⑤ (pq) ③④拒取式 ⑥ pq ⑤置换 结论有效, 即明天不是星期一和星期三
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实例
例5 构造下面推理的证明
前提: (pq)r, rs, s, p
结论: q 证明 用归缪法
①q 结论否定引入 ② r s 前提引入 ③ s 前提引入 ④ r ②③拒取式 ⑤ (pq)r 前提引入 ⑥ (pq) ④⑤析取三段论 ⑦ pq ⑥置换 ⑧ p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑩ pp ⑧⑨合取 推理正确, q是有效结论
1.7 自然推理系统P解析
定义3.3 自然推理系统P定义如下： 1．字母表 （1）命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，… （2）联结词符号：┐,∧,∨,→, （3）括号和逗号：(,)，， 2．合式公式参见定义1.6。 3．推理规则 （1）前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。 （2）结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都 可以作为后继证明的前提。
形式系统
符号库（字母表） （形式）公式 （形式）公理 （形式）推理规则 符号库和形式公式统称为形式语言系统。 形式公理和形式推理规则统称为形式演算系统。
形式系统分为： （1）自然推理系统：从任意给定的前提出发，应 用系统中的推理规则进行推理演算，最后得到结 论。 （2）公理推理系统：从若干条给定的公理出发， 应用系统中的推理规则进行推理演算，最后得到 系统中的重言式，称为定理。
（4）假言推理 用图示表示如下：
A→B A
（5）附加规则
∴B
A ∴A∨B
（6）化简规则
A∧B ∴A
（7）拒取式规则
A→B ┐B
（8）假言三段论规则
∴ ┐A
A→B B→C ∴ A→C
（9）析取三段论规则
A∨B ┐B ∴A
（10）构造性二难推理规则
A→B C→D A∨C
∴ B∨D
（11）破坏性二难推理规则
(2)证明： ①┐p∨q 前提引入 ②p→q ①置换 ③r∨┐q 前提引入 ④q→r ③置换 ⑤p→r ②④假言三段论 ⑥r→s 前提引入 ⑦p→s ⑤⑥假言三段论 从最后一步可知推理正确，p→s是有效结论。
离散数学命题逻辑推理理论
构造性二难
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B
构造性二难(特殊形式)
(A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC) 破坏性二难
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成:
1、 字母表
命题变项符号: p,q,r,…,
pi,qi,ri,…
联结词:
,
,
,
,
括号与逗号: ( ), , 2、 合式
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
r:我有课,
s:我备课
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
置换
结论有效, 即明天不就是星期一与星期三
公式
3. 推理规则
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 A®B A
\B (5) 附加规则
A \AÚB (6) 化简规则
AÙB \A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
A®B B®C
离散数学课件03命题逻辑的推理理论
③ p
④ q ⑤ q→r
Hale Waihona Puke ②化简②化简 ①③假言推理
⑥ r
⑦ r∨s ⑧ ┐r→s
④⑤假言推理
⑥附加 ⑦置换
例题
例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表 示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。 所以a是无理数。 构造证明： （1）将简单命题符号化： 设 p：a是实数。 r：a是无理数。 （2）形式结构： 前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s 结论：r q：a是有理数。 s：a能表示成分数。
若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵 式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。
2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推 理定律。例如双重否定律A A产生两条推理定 律A A和 AA。 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了 推理系统中的推理规则。
–推理的形式结构 –自然推理系统P
本章与后续各章的关系
–本章是第五章的特殊情况和先行准备
3.1 推理的形式结构 3.2 自然推理系统P
本章小结
习题
作业
3.1 推理的形式结构
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的 推理。 推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
(┐q∨p) ∨ q 1
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B) (2) (A∧B) A (3) (A→B)∧A B (4) (A→B)∧┐B ┐A 附加律 化简律 假言推理 拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C) (7) (AB) ∧ (BC) (A C)
逻辑推理知识点总结大全
逻辑推理知识点总结大全逻辑推理是一种通过推断和判断来得出结论的思维方式。
它在日常生活中广泛应用于判断事物之间的关系、分析问题的本质以及解决复杂的逻辑难题。
本文将对逻辑推理的基本概念、理论和常见的逻辑推理方法进行全面总结。
一、逻辑推理的基本概念1. 命题与命题关系：- 命题是陈述真实或假定的陈述句，可以是真、假或未知的。
- 命题关系包括充分必要条件、充分条件、必要条件、等价命题等。
2. 逻辑联结词：- 逻辑联结词用于连接命题，包括“与”、“或”、“非”和“如果...就...”等。
- 通过逻辑联结词构成复合命题，可以通过真值表进行推理。
3. 推理形式：- 演绎推理：通过前提得出结论，具有必然性。
- 归纳推理：通过观察和实例得出概括性的结论，具有一定的不确定性。
二、逻辑推理的理论1. 命题逻辑：- 命题逻辑研究命题的结构和关系，通过真值表和逻辑联结词进行推理。
- 命题逻辑的推理规则包括合取三段论、析取三段论、假言推理等。
2. 谓词逻辑：- 谓词逻辑研究命题的量化和谓词的逻辑关系。
- 通过量词和谓词逻辑符号进行推理，包括全称量化推理和存在量化推理。
三、常见的逻辑推理方法1. 假设推理：- 在推理过程中假设某个条件为真，通过逻辑推理得出结论的合理性。
- 假设推理常用于数学证明和逻辑谜题的解答。
2. 反证法：- 通过假设结论为假，推导出矛盾或不合理的结论，从而得出原命题为真的结论。
- 反证法常用于证明数学定理和推理思维的训练。
3. 直觉推理：- 直觉推理基于个人直觉和经验，通过观察和类比得出结论。
- 直觉推理在日常生活和实际问题解决中起着重要作用。
4. 统计推理：- 统计推理基于概率和样本数据，通过推断总体特征和概率分布得出结论。
- 统计推理在科学研究和市场调查中广泛应用。
结论：逻辑推理是一种重要的思维方式，它在日常生活和学术研究中都发挥着重要作用。
通过掌握逻辑推理的基本概念和理论，了解常见的逻辑推理方法，我们可以提高逻辑思维的能力，更好地分析问题、解决问题，并提升自己的判断力和决策能力。