离散数学课件03命题逻辑的推理理论
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命题逻辑的推理理论课件(离散数学)
21
一、自然推理系统P
自然推理系统P由三个部分组成：
1.
字母表：命题变项符号；联结词符号；括
号和逗号。
2.
命题公式。
3.
推理规则。
22
二、推理规则
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB (6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
30
四、附加前提证明法
例6：用附加前提证明法构造证明下面的推
理： 2是素数或合数。若2是素数，则 2 是 无理数。若 2 是无理数，则4不是素数。所 以，如果4是素数，则2是合数。
31
四、附加前提证明法
解： 设 p：2是素数， q：2是合数，
r： 2 是无理数，s：4是素数 推理形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
40
五、归谬法
解：命题符号化
p：小张守第一垒 q：小李向B队投球
r：A队取胜
s：A队成为联赛第一名
推理的形式结构如下：
( p q ) r , r s , s , p 结论： q
前提：
41
五、归谬法
证一：归谬法（略） 证二：直接法 ① r s 前提引入
② s
③r
前提引入
5
前提是有限个公式的集合，而不是序列 。
二、推理的有效性
A1A2… Ak
0 0
B
0 1
推理的有效性 有效 有效
1
1
0
有效
无效
6
二、推理的有效性
定义：若对于每组赋值，当 A1A2…Ak
一、自然推理系统P
自然推理系统P由三个部分组成：
1.
字母表：命题变项符号；联结词符号；括
号和逗号。
2.
命题公式。
3.
推理规则。
22
二、推理规则
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB (6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
30
四、附加前提证明法
例6：用附加前提证明法构造证明下面的推
理： 2是素数或合数。若2是素数，则 2 是 无理数。若 2 是无理数，则4不是素数。所 以，如果4是素数，则2是合数。
31
四、附加前提证明法
解： 设 p：2是素数， q：2是合数，
r： 2 是无理数，s：4是素数 推理形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
40
五、归谬法
解：命题符号化
p：小张守第一垒 q：小李向B队投球
r：A队取胜
s：A队成为联赛第一名
推理的形式结构如下：
( p q ) r , r s , s , p 结论： q
前提：
41
五、归谬法
证一：归谬法（略） 证二：直接法 ① r s 前提引入
② s
③r
前提引入
5
前提是有限个公式的集合，而不是序列 。
二、推理的有效性
A1A2… Ak
0 0
B
0 1
推理的有效性 有效 有效
1
1
0
有效
无效
6
二、推理的有效性
定义：若对于每组赋值，当 A1A2…Ak
离散数学(命题逻辑的基本概念)66页PPT
(2)吴颖不仅用功而且聪明.
pq
(3)吴颖虽然聪明，但不用功. pq
(4)张辉与王丽都是三好生.
设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生 pq
21
合取联结词的实例
p ：今天下雨 q：明天下雨 p q：今天下雨并且明天下雨 今天与明天都下雨 这两天都下雨
p ：我们唱歌 q：我们跳舞 p q：我们一边唱歌一边跳舞
过了一会儿，A喊道： “我知道我戴的帽子的颜 色了”，请问他的帽子是 什么颜色的？
6
数理逻辑
逻辑学是一门研究思维形式及思维规律的科 学。
数理逻辑是用数学方法来研究推理的规律科 学，就是引进一套符号体系的方法，所以又 称为符号逻辑。
数理逻辑是现代计算机技术的基础 。
7
第一部分 数理逻辑
爱德斯格·维伯·迪克斯特拉 （Edsger Wybe Dijkstra ）
1930-2019
“我现在年纪大了,搞了 这么多年软件,错误不 知犯了多少,现在觉悟 了。我想假如我早年
在数理逻辑上好好下 点功夫的话,我就不会 犯这么多的错误。不
少东西逻辑学家早就 说了,可我不知道。要 是我能年轻20岁,我要 回去学逻辑。”
8
数理逻辑
莫绍揆 中国数理逻辑学家
（1917－）
“事实上，它们（程 序设计）或者就是 数理逻辑，或者是 用计算机语言书写 的数理逻辑，或者 是数理逻辑在计算 机上的应用。”
分析与设计、数据库原理与设计、人工智能、 操作系统、编译原理、计算机网络等课程联 系紧密。
2
本书的主要内容
数理逻辑 集合论 图论 组合数学 代数系统简介
3
教学目的
为计算机专业理论讲授作好必要的知识准备; 培养抽象思维和推理能力; 培养解决实际问题的能力.
离散数学课件-3-命题逻辑的推理理论
第三章 命题逻辑的推理理论§1 推理的形式结构推理：从前提出发推出结论的思维过程。
前提：已知命题公式集合。
结论：从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
定义设A1, A2, …, A k, B都是命题公式，若命题公式A1∧A2∧…∧A k→B是重言式，则称由前提A1, A2, …, A k推出结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。
推理的形式结构记为{A1,A2,…,A k}A B推理正确，记为{ A1,A2,…,A k }⊨B推理无效，记为{ A1,A2,…,A k }⊭B注①推理正确，结论未必为真。
②推理只注重结构。
例判断下述推理的正确性。
(1) {p, p→q}⊢ q(2) {p, q→p}⊢ q解 (1) p∧(p→q)→q⇔p∧(¬p∨q)→q⇔(p∧¬p)∨(p∧q)→q⇔p∧q→q⇔¬ (p∧q)∨q⇔¬p∨(¬q∨q)⇔¬p∨1⇔1故{p, p→q }⊨ q(2) p∧(q→p)→q让q =0，可得q→p =1，再取p =1可得p∧(q→p)=1 由此得p∧(q→p)→q有成假赋值1 0，故{ p, q→p }⊭ q判断推理正确性：1．真值表法。
2．等值演算法。
3．主析取范式法。
4．构造证明。
例判断下述推理是否正确？（1）若a能被4整除，则a能被2整除。
a能被4整除。
所以a能被2整除。
（2）若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳。
若她去游泳，则她就不去看电影了。
所以，若王小燕没去看电影，则下午气温必超过了30℃。
解(1) p：a能被4整除q：a能被2整除前提：p→q，p结论：q推理的形式结构：{p→q，p} A q前面已证此推理正确。
(2) p：下午气温超过30℃q：王小燕去游泳r：王小燕去看电影前提：p→q, q→¬r结论：¬ r→p推理的形式结构：{p→q，q→¬r} A(¬r→p)因为，(p→q)∧(q→¬ r)→(¬r→p)⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7主析取范式显然不是重言式，故推理不正确。
离散数学课件03命题逻辑的推理理论
③ p
④ q ⑤ q→r
Hale Waihona Puke ②化简②化简 ①③假言推理
⑥ r
⑦ r∨s ⑧ ┐r→s
④⑤假言推理
⑥附加 ⑦置换
例题
例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表 示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。 所以a是无理数。 构造证明： （1）将简单命题符号化： 设 p：a是实数。 r：a是无理数。 （2）形式结构： 前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s 结论：r q：a是有理数。 s：a能表示成分数。
若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵 式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。
2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推 理定律。例如双重否定律A A产生两条推理定 律A A和 AA。 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了 推理系统中的推理规则。
–推理的形式结构 –自然推理系统P
本章与后续各章的关系
–本章是第五章的特殊情况和先行准备
3.1 推理的形式结构 3.2 自然推理系统P
本章小结
习题
作业
3.1 推理的形式结构
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的 推理。 推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
(┐q∨p) ∨ q 1
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B) (2) (A∧B) A (3) (A→B)∧A B (4) (A→B)∧┐B ┐A 附加律 化简律 假言推理 拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C) (7) (AB) ∧ (BC) (A C)
离散数学课件ppt课件
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
命题逻辑的推理理论
精品课件
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实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
精品课件
说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
课件
构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
精品课件
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实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
精品课件
说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
课件
构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
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离散数学 第3章 命题逻辑的推理理论
例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数. 用附加前提证明法构造证明 （1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 2 是无理数，s：4 是素数 （2）形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
结论（不正确）是对的 方法四 直接观察出 10 是成假赋值
解（2）答案：推理正确 方法一 方法二 方法三 方法四 真值表法（自己做） 等值演算法（自己做） 主析取范式法（自己做） P 系统中构造证明 ① pr ② rp ③ qr ④ qp （前提引入） （①置换） （前提引入） （③②假言三段论）
（8） 假言三段论规则： AB BC AC （9） 析取三段论规则： AB B A （10） 构造性二难推理规则： AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则： AB CD BD AC （12）合取引入规则： A B AB
三、P 中的证明 例 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤ q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取 此证明的序列长为 8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q) 是有效结论。
例
判断下面推理是否正确：
(1)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 4 整除。所以 a 能被 2 整除。 (2)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 2 整除。所以 a 能被 4 整除。 (3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳 了。 (4)若下午气温超过 30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不 去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了 30℃。
离散数学第三章 命题逻辑的推理理论
3
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
19
练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
16
例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
19
练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
16
例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
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((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
精选课件ppt
由定理 3.1可知， 推理正确。
15
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B)
附加律
(2) (A∧B) A
化简律
(3) (A→B)∧A B
假言推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A
拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
析取三段论
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
假言三段论
(7) (AB) ∧ (BC) (A C)
等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B
构造性二难 构造性二难
(特殊形式)
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐精D选)课件pp(t ┐A∨┐C) 破坏性二难16
只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
推理正确，并不能保证结论B一定为真。
精选课件ppt
8
例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
正确 不正确
p q p(p→q) q p(q→p)
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
证明是描述推理正确或错误的过程。
要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或 正确的。
精选课件ppt
4
命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
判断
对概念的肯 定与否定的 判断
推理
从一个或多 个前提推出 结论的思维 过程
认识世界的渐进过程
精选课件ppt
5
有效推理的定义
定义3.1 设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式，若对于 A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值， （1）或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假; （2）或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为真时，B也为真; 则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确 的，并称B是有效结论。
q
00
0
1
10
11
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
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0 1 0 1
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有效推理的等价定理
定理3.1 命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧Ak )→B 为重言式。
说明 该定理是判断推理是否正确的另一种方法。
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பைடு நூலகம்10
定理3.1的证明
(1)证明必要性。若A1,A2,…,Ak推B的推理正确， 则对于A1,A2,…,Ak,B中所含命题变项的任意一组赋值，不会出
中国地质大学本科生课程
离散数学
第3章 命题逻辑的推理理论
本章说明
本章的主要内容
–推理的形式结构
–自然推理系统P
本章与后续各章的关系
–本章是第五章的特殊情况和先行准备
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3.1 推理的形式结构 3.2 自然推理系统P 本章小结 习题 作业
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3.1 推理的形式结构
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的 推理。
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推理的形式结构
(1) 设={ A1, A2, …, Ak}，记为┣B。
(2) A1A2…AkB
(3)
前提： 结论：
A1, B
A2,
…
, Ak
当推理正确时，
说明 形式（1）记为 ╞ B。
形式（2）记为A1A2…AkB。 表示蕴涵式为重言式。
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判断有效结论的常用方法
要求
Г=｛G1, G2, …,Gn｝ Г H
也就是 G1∧G2∧…∧Gn→Ｈ 为永真公式
因而 真值表技术、演绎法和 间接证明方法
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判断推理是否正确的方法
真值表法 等值演算法 主析取范式法
说明 当命题变项较少时,这三种方法比较方便。
思考 是否有其他的证明方法？
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现A1∧A2∧…∧Ak为真，而B为假的情况， 因而在任何赋值下，蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak )→B均为真，故它
为重言式。
(2)证明充分性。若蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式， 则对于任何赋值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件
为假的情况，
即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧Ak为假， 或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真，这正符合推理正确的定义。
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小节结束 17
3.2 自然推理系统P
判断推理是否正确的三种方法：真值表法、等值演 算法和主析取范式法。
当推理中包含的命题变项较多时，上述三种方法演 算量太大。
对于由前提A1,A2,…,Ak推B的正确推理应该给出严谨 的证明。
证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的 每个公式或者是前提，或者是由某些前提应用推理 规则得到的结论（中间结论或推理中的结论）。
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关于有效推理的说明
由前提A1，A2，…，Ak推结论B的推理是否正确 与诸前提的排列次序无关。
由＝{推A1B，的A推2，理…记，为A┣k}B 若推理是正确的，记为 ╞ B 若推理是不正确的，记为 B
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关于有效推理的说明
设A1，A2，…，Ak，B中共出现n个命题变项，对于任何 一组赋值α1α2…αn(αi=0或者1，i=1,2,…,n)，前提 和结论的取值情况有以下四种： (1) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为0。 (2) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为1。 (3) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为0。 (4) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为1。
关于推理定律的几点说明
A,B,C为元语言符号，代表任意的命题公式。 若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵
式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。
2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推 理定律。例如双重否定律A A产生两条推理定 律A A和 AA。
由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了 推理系统中的推理规则。
例题
例3.2 判断下列推理是否正确。（等值演算法）
（1） 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影，所以，她 去游泳了。
解：设p:马芳下午去看电影，q:马芳下午去游泳。
前提： p∨q，┐p 结论： q 推理的形式结构： ((p∨q)∧┐p)→q
((p∨q)∧┐p)→q
┐((p∨q)∧┐p) ∨ q