结构力学 结构的位移计算
A1
ds
M N Q
此为局部变 形位移公式
d ds
§8-2 结构位移计算的一般公式
二.结构位移计算的一般公式
整个杆件的变形
可根据叠加原理，得：
d M N Q 0 ds
如果结构中有多个杆件，则
d M N Q 0 ds
1 c
1 cA 0 3
c
1 cA 3
1
1 1 cA 0 cA 2l 2l
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
当支座有给定位移 cK 时，静定结构的位移可用虚功原理求出，其 计算步骤如下： (1)沿拟求位移 方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用 下的支座反力 RK 。 (2)令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程：
求未知力
虚功原理之 虚位移原理 虚功原理之 虚力原理
单位位移法
求未知位移
单位荷载法
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
三.支座移动时静定结构的位移计算
下面应用单位荷载法求支座移动时静定结构的位移
如图 ⑴求C点的竖向位移 C ；
所示：⑵杆CD的角位移 ： ⑴求C点的竖向位移 C，应在C 加—个单位竖向荷载。而求杆 CD的角位移 ，应在杆CD上加 一个单位力偶荷载，利用虚力 原理得虚功方程：
●变形类型：它既可以考虑弯曲变形，也可以考虑拉伸或剪切变形。 ●变形因素：它既可以考虑荷载引起的位移，也可以考虑温度或支
座移动引起的位移。
●结构类型：它可用于梁、刚架、桁架、拱等各类型式的结构，也 可用于静定或起静定结构。
§8-2 结构位移计算的一般公式
◆ 此式不仅是变形体体系位移计算的一般公式，也是变形体虚功原理 的一种表示形式。因为：
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
§8-2 结构位移计算的一般公式
—般情况下，结构发生位移在结构内部产生应变，因此，结构的位移计算 属于变形体体系的位移计算问题。计算变形体体系的位移采用的方法以虚 功原理最为普通。推导结构位移（变形体）计算的一般公式有两种途径：
一是根据变形体体系的虚功原理，然后由此导出变形体体系的位移公式， 另一种是先应用刚体体系的虚功原理导出局部变形时的位移公式，然后应 用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。
1 d 2w M 在第二种情况下，曲率 ： 2 R dx EI 根据曲率 可求出挠度
l
l c C点的线位移： C A 3 3
位移计算可以利用几何法，但最好的 解法还是虚功法。本章主要应用刚体虚 功原理计算刚体体系的位移，再利用叠 加原理计算变形体体系的位移
2l c 杆CD的角位移： C / A 3 2l
一．局部变形时的位移公式
B
d
C
C1
d
A
如图所示，为一悬臂梁在B点附近有微段ds 有局部变形，结构其他部分没有变形，微 段 ds 局部变形包括三部分：
s
ds
d
d
1
A
A1
⑴ 轴向应变 ；⑵ 平均剪切应变 0 ；
⑶ 轴线曲率 （ 1 R ， 为轴线变形后 R 的曲率半径）
B
1 RK cK 0
其中 RK cK 是支座反力 RK 在相应位移 cK 上作的虚功，当两者的 方向一致时，乘积为正。 (3)由虚功方程，解出拟求位移：
如果求得的位移 为正，表明位移的实际方向与所设单位荷载方向 一致。
RK cK
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
绝对位移
截面A角位移
A
相对位移
，
A点线位移 A 包含：
水平线位移 AH
竖向线位移 AV
CD两点的水平相对线位移： ( CD ) H C D AB两截面的相对转角： AB A B
以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
位移的正负号：假设所求的位移与虚拟状态下的单位力方向一致为正， 否则，为负
单位荷载的施加方法主要有：
求图示结构上A点的竖向
P 1
P 1
A
线位移 AV ，可在该点沿
所求位移方向加一单位力。
A
§8-2 结构位移计算的一般公式
求图中结构上截面A的角位移 A ，可在该处加一单位力偶。
M 1
在材料力学中，曾学过求梁的位移计算方法(如直接积分法等)。但这 些方法对于结构力学的研究对象，如多跨静定梁、桁架、刚架等结构，是 不适合的。
第 6 章 结构位移计算
在结构力学分析中，通常采用由虚功原理提供的结构位移计算公式来 讨论静定结构在荷载和温度等因素作用下的位移计算。这种方法尤其是用 来计算结构任意点处的位移更具有简便的优点。
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
二.虚功原理的另一种应用形式：虚设力系，求位移
虚功原理中，位移与力系是独立无关的，由于位移与力系无关，因 此，不仅可以把位移看作虚设的（虚位移原理），而且也可以把力 系看作虚设的（虚力原理），利用虚功原理的这一表现形式，可以 求刚体体系的位移。 如右图的静定梁，支座A向上移动已知 距离 c1，求B点的竖向位移 。 ⑴虚设力系： 在拟求位移 的 方向设置单位荷载（P=1）。 ⑵求出P=1作用下的相应的支座 反力 R1 b ，它们构成一个 a 虚设的平衡力系： ⑶列出虚功方程，求 ： 1 c1 R1 0
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
⑵ 变形体的变形，产生内部应变（有位移，也有应变）。 如下图，简支梁在荷载 q 作用下， 各点产生线位移(挠度 )；同时， 梁内由于承受弯矩 M 而产生曲 率 和应变 。
◆计算结构的位可以用几何方法：
例如：在第一种情况下，
杆AC的角位移： c A
§8-3 荷载作用下的移计算
一．计算步骤
本节利用 M N Q 0 ds RK cK 计算荷载引起的位移， 是假设结构为静定的，材料是弹性的，且无支座移动；其计算步骤可可 按归纳的一般步骤进行。但其公式中的： 、 、 应根据荷载的大小来确 定； 荷载 内力 应力 应变
剪切变形 0
支座移动 cK
对位移 的影响
§8-2 结构位移计算的一般公式
关于位移计算一般公式 M N Q 0 ds RK cK 几点说明： ◆此式是根据刚体体系虚功原理和叠加原理得出的，它适用于微小变形 的情况。
◆此式是一个普遍性公式，它的普遍性表现在：
ds
d ds
A
s
ds
d
ds
既 ds 趋于零，但微段的三
种相对位移仍存在，而其它 部分为刚体。此为刚体体系 的位移问题。 ⑶ 根据刚体体系的虚功原 理，由上图可得：d Md Nd Q d
M N Q 0 ds
B
C1
d
d 0 ds
1
A
b c1 R c1 a
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
在虚力原理中，求位移的关键步骤是在所求位移 方向虚设单位 荷载，并利用平衡条件求出与 c1 相应的支座反力 R 。因此这个解 1 法称为单位荷载法，其特点是采用静力平衡方程来解几何问题。 虚功原理的两种应用形式相应的两类问题——求未知力和求未 知位移，相应的两种解法——单位支座位移法和单位荷载法。即：
第 六 章 结构的位移计算
本章处在静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下的 作用,其中，主要讨论两个问题：
第一，讨论刚体体系虚功原理的另一种应用形式：虚设力系，求刚体体系 的位移（虚力原理），前面所讨论的是虚设位移求结构的位移称为虚位移 原理。 第二，利用刚体体系有局部变形时的位移，根据叠加原理，求变形体体系 整体变形时的位移，得出结构在荷载、温度等因素作用下的位移计算公式。
由 M N Q 0 ds RK cK 1 RK cK M N Q 0 ds
上面第二式左边是结构的虚设外力在结定位移上所作虚功的总和， 简称为外虚功 We 。右边是各个微段两侧截面上的应力合力在给定变 形上所作虚功的总和，简称为内虚功 Wi 。
We 1 RK cK Wi M N Q 0 ds
此式即为变形 可见 外虚功 We =内虚功 Wi 体的虚功方程
§8-2 结构位移计算的一般公式
三.单位荷载的施加方法
单位荷载法： 根据虚功原理沿所求位移 方向虚设单位荷载建立起来 的求结构位移的方法。
一.结构位移计算概述
◆计算结构的位移的目的：验算结构的刚度，即验算结构的位移是否超 过允许的位移限值；在结构制作、安装过程中，预先知道结构的变形情 况，可以采取适当的施工措施；为超静定结构的内力分析打下基础。 ◆产生位移的原因：(1)荷载作用；(2)温度变化和材料胀缩；(3)支座 沉降； (3)制造误差；等等。 ◆结构各点产生位移时，结构内部是否产生应变，有两种情况： ⑴ 刚体运动不产生内部应变（有位移，但无应变）。 如下图，静定多跨梁的支座A有位移 c ，这时，各杆只发生刚体运 A 动，而应变却等于零。
A
M 1
A
求如图所示桁架中AB杆的角位 移 AB ，则应加一单位力偶，构成这
一力偶的两个集中力，各作用于该杆 的两端并与杆轴垂直，其值为 1l ，l 为该杆长度。
1
A
l
l
1
B
l
§8-2 结构位移计算的一般公式
求图中结构上A、B两点沿其连线方向的相对线位移 AB，可在该两点沿 其连线加上两个方向相反的单位力。
M
Q
N
§8-2 结构位移计算的一般公式
下面求A点沿
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结构力学-图乘法
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第2页
等截面直杆AB段 以杆轴为 x 轴，以 M 图的 延长线与 x 轴的交点O为坐 tan 标原点， 沿AB杆段为 常数 M x tan
B
A
M M P ds EI
1 EI
B
MM
A
P
dx
tan EI
B
xM
A
P
dx
tan EI
c
y1
y2
d
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第8页
a
1
2
b
d
y2 c y1
yc
EI 1 EI
图形的纵距a、b 或c、 d不在基线同一侧时。 处理原则也和上面一样， 可分解为位于基线两侧的两 个三角形，分别与另一图形 相乘，然后叠加。
( 1 y 1 2 y 2 )
( 10
2 )( 1 . 5 2 ) 4 2
98 . 84 EI
( )
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第24页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
y5 y 4 y 3
y1 y2
解 （1）作实际状态的 M
P
。
ql 8
2
ql 8
2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第14页
（2）建立虚拟状态，并作
l/2
M
图。
1
（3）进行图形相乘，求C点竖向位移 C y 。
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
《结构力学》_龙驭球_第5章_虚功原理与结构的位移计算(1)
无应变 A 有应变 B
结构的位移与内部应变： 结构的位移与内部应变：
c c′
t1
t 2 > t1
无应变
∆ BV
∆BH
位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。 位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。
3、虚力原理 —— 虚设力系求刚体体系位移 、
c1
C A B b 1 A C B
∆=?
4、支座移动时静定结构的位移计算 、
静定结构由于支座移动不会产生内力和变形。 静定结构由于支座移动不会产生内力和变形。代入 1 ⋅ ∆ + 得到支座移动时的位移计算公式： 得到支座移动时的位移计算公式：∆ ic 支座移动时的位移计算公式
= −∑ FR K CK
β
2l 3
∑F
Rk
Ck = 0
cA
A
B
C
ds = κ ⋅ ds R
dη = γ o ⋅ ds
d∆ = ∆ M + ∆ N + ∆ Q = M dθ + F N dλ + F Q dη
d∆ = Mdθ + F N dλ + F Q dη
或
d∆ = ( M ⋅ κ + F N ⋅ ε + F Q ⋅ γ o )ds
i
α
3、结构位移计算的一般公式 、
l 3
D
l
B A
1 3
∆c
1
已知位移 c A ，求： ⑴ C点的竖向位移 ∆ c 点的竖向位移 ⑵ 杆CD的转角 β 的转角 1 (1) 1 ⋅ ∆ c − ⋅ cD = 0 3
D
2 3
C 1 C D 3 2l
B A
结构的位移与内部应变： 结构的位移与内部应变：
c c′
t1
t 2 > t1
无应变
∆ BV
∆BH
位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。 位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。
3、虚力原理 —— 虚设力系求刚体体系位移 、
c1
C A B b 1 A C B
∆=?
4、支座移动时静定结构的位移计算 、
静定结构由于支座移动不会产生内力和变形。 静定结构由于支座移动不会产生内力和变形。代入 1 ⋅ ∆ + 得到支座移动时的位移计算公式： 得到支座移动时的位移计算公式：∆ ic 支座移动时的位移计算公式
= −∑ FR K CK
β
2l 3
∑F
Rk
Ck = 0
cA
A
B
C
ds = κ ⋅ ds R
dη = γ o ⋅ ds
d∆ = ∆ M + ∆ N + ∆ Q = M dθ + F N dλ + F Q dη
d∆ = Mdθ + F N dλ + F Q dη
或
d∆ = ( M ⋅ κ + F N ⋅ ε + F Q ⋅ γ o )ds
i
α
3、结构位移计算的一般公式 、
l 3
D
l
B A
1 3
∆c
1
已知位移 c A ，求： ⑴ C点的竖向位移 ∆ c 点的竖向位移 ⑵ 杆CD的转角 β 的转角 1 (1) 1 ⋅ ∆ c − ⋅ cD = 0 3
D
2 3
C 1 C D 3 2l
B A
结构力学虚功基本知识和结构的位移计算
Bm
B
6
4、刚体虚功原刚理体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对 于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。
W=0
二、虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理）
1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
P
X X P P 0
A
C
B
X
P bP aX
种原因、不同的变形类型。
3) 该式右边四项乘积，当力与变形 的方向一致时，乘积取正。
11
t1
P2 K ΔKH
t2
K‘ Ε2γ2κ2
位移状态 2
c1
P=1
N QM
虚拟力状态 1
R1
12
§4·4荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的位移计算的一般公式与简化公式
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
( ) iP
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，使原来的约束力X变成主动力。 2）沿X方向虚设单位虚位移。作出机构可能发生的刚体虚 位移图；利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。 3）建立虚功方程，求未知力。
qa Fa
qa
8
qa2
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
Q
M
GEAIRd2θ
1 4
θ
h R
2
NP Psinq QP Pcosq
N sinq Q cosq
N
M
I AR 2
1 12
h R
2
P=1
3） M M Pds N NPds Q QPds 如 dsh=RR<d1θ10
第7章静定结构的位移计算
P
A
ql2/2
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI Pl/4
MP
q B
l/2
l/2
MP
A
l
m=1
l 3l/4
M
P=1
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl 2 B l EI 2 4 2 16EI
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； 35 b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
§3—3计算结构位移的虚力原理
3. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应 的虚拟力状态。
例如:
求△
A
实际状态
AH
求
A
A
1
A
虚拟状态
1
虚拟状态
求△
A
AB
1
B
求
A
AB
B
1
广义力与 广义位移
25
1
虚拟状态
虚拟状态
1
4、静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP， 此时没有支座位移，故式（7—15）为
3. 计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。
（2）结构制造和施工的需要。
（3）为分析超静定结构打下基础。 另外，结构的稳定和动力计算也以位移为基础。
起拱高度
△
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。
结构力学——静定结构位移计算课件
意义
位移计算是结构力学中的一个核心任务。准确的位移计算对于桥梁、建筑、塔架 等各种结构的设计、施工和使用阶段的性能评估都是必不可少的。通过位移计算 ，工程师可以判断结构是否满足设计要求，以及是否需要采取加固措施。
位移计算的方法和原理
方法
位移计算方法主要有解析法、数值法和实验法三种。解析法 基于简化假设和数学模型求解，适用于简单结构；数值法如 有限元法、有限差分法等，适用于复杂结构；实验法通过物 理试验直接测定位移。
外伸梁的位移计算
1 2
挠曲线形状
外伸梁的挠曲线形状与悬臂梁和简支梁有所不同 。需要通过对挠曲线形状的分析来进行位移计算 。
外伸长度影响
外伸梁的外伸长度会影响其位移大小。在计算过 程中，要将外伸长度作为一个重要参数来考虑。
3
荷载与外伸端的相互作用
荷载作用在外伸端时，会与梁产生相互作用，进 一步影响位移。需要对这种相互作用进行详细分 析。
原理
位移计算的原理涉及到结构的平衡条件、变形协调条件和物 理方程。根据平衡条件，外部荷载引起的内力必须平衡；变 形协调条件要求结构的变形连续且协调；物理方程则描述了 内力与变形之间的关系。
位移计算的应用范围
桥梁工程
建筑工程
在桥梁设计中，需要计算桥梁在车辆荷载 、风荷载等作用下的位移，以确保桥梁的 安全性和行车舒适性。
计算步骤
2. 绘制刚架的弯矩图和剪力图。 3. 利用图乘法计算刚架的位移。
1. 确定刚架的约束条件和荷载情况。
注意事项：在计算过程中，需要注意刚架的结构特点，如 是否有对称性等，以简化计算过程。
刚架位移计算的特殊情况处理
对称性处理：当刚架具有对称 性时，可以利用对称性简化计 算，只需计算一半结构即可。
位移计算是结构力学中的一个核心任务。准确的位移计算对于桥梁、建筑、塔架 等各种结构的设计、施工和使用阶段的性能评估都是必不可少的。通过位移计算 ，工程师可以判断结构是否满足设计要求，以及是否需要采取加固措施。
位移计算的方法和原理
方法
位移计算方法主要有解析法、数值法和实验法三种。解析法 基于简化假设和数学模型求解，适用于简单结构；数值法如 有限元法、有限差分法等，适用于复杂结构；实验法通过物 理试验直接测定位移。
外伸梁的位移计算
1 2
挠曲线形状
外伸梁的挠曲线形状与悬臂梁和简支梁有所不同 。需要通过对挠曲线形状的分析来进行位移计算 。
外伸长度影响
外伸梁的外伸长度会影响其位移大小。在计算过 程中，要将外伸长度作为一个重要参数来考虑。
3
荷载与外伸端的相互作用
荷载作用在外伸端时，会与梁产生相互作用，进 一步影响位移。需要对这种相互作用进行详细分 析。
原理
位移计算的原理涉及到结构的平衡条件、变形协调条件和物 理方程。根据平衡条件，外部荷载引起的内力必须平衡；变 形协调条件要求结构的变形连续且协调；物理方程则描述了 内力与变形之间的关系。
位移计算的应用范围
桥梁工程
建筑工程
在桥梁设计中，需要计算桥梁在车辆荷载 、风荷载等作用下的位移，以确保桥梁的 安全性和行车舒适性。
计算步骤
2. 绘制刚架的弯矩图和剪力图。 3. 利用图乘法计算刚架的位移。
1. 确定刚架的约束条件和荷载情况。
注意事项：在计算过程中，需要注意刚架的结构特点，如 是否有对称性等，以简化计算过程。
刚架位移计算的特殊情况处理
对称性处理：当刚架具有对称 性时，可以利用对称性简化计 算，只需计算一半结构即可。
结构力学位移法的计算
B t2=-30°C C t2=-30°C F
° t1=10°C
t1=10°C °
A
D l=6m
E
l=6m
a) 解：
B t2=-30°C C ° t1=10°C °
A l=6m D b)
取如图b)半边结构，未知量为B ( ) 。
62
1）各杆两端相对侧移
AB
杆AB缩短 t0h 40 杆CD伸长 t0h 40
FC
FP
i
2i
i1 A
i2 H
未知量 D ,F
51
FP D
C
FP E
i2
i1
i1
A
B
FP
C
D
2i2
i1
A
CL 0, CR 0,
CH 0,
(MCL MCR 0), CV 0。
未知量 D
52
2．反对称荷载:
对称结构在反对称荷载作用下，其内力和变形 均是反对称的。
选取基本体系如下图所示。 D i
E
Z1 D 0,
Z2 EH 0。
C
i/2
2i
基本体系
A
B
44
45
46
47
ii）求方程的系数和自由项：
r11= 5i， r12 = r21 = 0.75i，
r22= 0.75i，R1P = 14，R2P = 3。
4）回代入方程中，求解得：
3i(
4 i
)
12kN
m。
M DA
2i D
0.75i E
2i(
4 i
)
0.75i(
第八章 -结构力学
二、结构位移计算的一般公式
由叠加原理：
i
总位移⊿=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小
i
位移d⊿
d (M N Q )ds
l
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点
的位移为： (M N Q )ds
l
若结构的支座还有给定位移，则总的位移为：
( M N Q )ds Rkck （9-6）
虚功方程：
1 m M d 0
m M d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对
剪位移d，试求A点在i－i方向的位移 Q。
B
d
B
解：①、在B截面处加
i
机构如图（将实际位移状态
A
Q
明确地表示为刚体体系的位 移状态）。
i
②、A点加单位荷载 FP=1，在铰B处虚设一对剪
A
Q
力Q（为保持平衡）
Q 1sin
➢ ① NP， QP ， MP是荷载作用下，结构各截面上
的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状态下的
内力。
➢ ②E，G材料的弹性模量和剪切弹性模量。
➢ ③A，I杆件截面的面积和惯性矩。
➢ ④EA，GA ， EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗弯
1、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。
与力有关的因素，称为广义力S。
与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。
即：W=PΔ
1）广义力是单个力，则广义位移是沿此力作用线 方向的线位移。 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的 截面的转角β，即角位移。
mA
Δ A
B
P
Bm B
2、虚功
结构力学(虚功原理和结构位移计算)
几何法
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
A
11
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、 、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
A
11
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、 、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算
a
b
A
C
B
P
X
1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
δX =1，δP=b/a
W=0
虚设位移求未知力（虚位移原理） 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可 以随意虚设，如设δX=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平 衡问题。
QC=1.25qa
虚功方程为: QC×1
2、虚设力系求位移（虚力原理、单位荷载法）
b
a
c
Δ
P=1
å
ò
ds
EI
M
M
P
（5）桁架 Δ=
å
ò
EA
N
N
P
ds =
（6）桁梁混合结构
用于梁式杆
用于桁架杆
（7）拱常只考虑弯曲变形的影响； 对扁平拱需考虑轴向变形。
å
ò
ds
EI
M
M
P
å
ò
EA
N
N
P
+
Δ=
（3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。 （4）梁和刚架
作出机构可能发生的刚体虚 位移图；
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，
使原来的约束力X变成主动力。
-
=
N
q
sin
-
=
R
M
q
cos
=
P
Q
P
q
sin
-
=
P
N
P
q
sin
-
b
A
C
B
P
X
1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
δX =1，δP=b/a
W=0
虚设位移求未知力（虚位移原理） 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可 以随意虚设，如设δX=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平 衡问题。
QC=1.25qa
虚功方程为: QC×1
2、虚设力系求位移（虚力原理、单位荷载法）
b
a
c
Δ
P=1
å
ò
ds
EI
M
M
P
（5）桁架 Δ=
å
ò
EA
N
N
P
ds =
（6）桁梁混合结构
用于梁式杆
用于桁架杆
（7）拱常只考虑弯曲变形的影响； 对扁平拱需考虑轴向变形。
å
ò
ds
EI
M
M
P
å
ò
EA
N
N
P
+
Δ=
（3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。 （4）梁和刚架
作出机构可能发生的刚体虚 位移图；
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，
使原来的约束力X变成主动力。
-
=
N
q
sin
-
=
R
M
q
cos
=
P
Q
P
q
sin
-
=
P
N
P
q
sin
-
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆