清华版组合数学(第二版)第二章习题答案
组合数学第2章答案
组合数学第2章答案2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()46414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x -2.3 已知母函数G （X ）=25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B A G （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x ---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
线性代数清华版课后部分习题答案
7 1 a2 22. 1 1 b2 c2 a3 b3 c3 = = = = =
r3 −r1 r2 −r1
1 0
a2 b2 − a2
a3 c2 − a2 c3 − a3 1 a a2 = (b2 − a2 )(c3 − a3 ) − (c2 − a2 )(b3 − a3 )
0 c2 − a2
= (b − a)(c − a)[(b + a)(c2 + ac + a2 ) − (c + a)(b2 + ab + a2 )] = (b − a)(c − a)[bc2 + ac2 − b2 c − ab2 ] = (b − a)(c − a)(c − b)(ab + bc + ca) = (ab + bc + ca) 1 1 b c b2 c
2 0 . . . 0 0
0 . . . 0 0
= −2(n − 2)!
1 a 29. a . . . a
2
1 a−1 (a − 1) . . . (a − 1)
2
1 a−2 (a − 2) . . . (a − 2)
2
··· ··· ··· ··· ···
1 a−n (a − n)2 . . . (a − n)n
n(n+1) 2
n+1阶vandermonde = = = = = = = = = = = = = = 行列式
[(a − j ) − (a − i)]
0≤i<j ≤n1+2+···+n 1!2!3! · · · n! = (−1)
n k=1
k!
an 1 30. an 2 . . . an n+1
应用组合数学第二章答案
7! 2!(7−2)!
=
7! 2!5!
and C (7, 5) =
7! 5!(7−5)!
=
7! 5!2! ;
8 7(b). C (6, 4) =
6! 4!(6−4)!
Answers to Selected Exercises =
6! 4!2!
and C (6, 2) =
6! 2!(6−2)!
=
6! 2!4! ;
n+1 2
× 3 × 10−9 . × 3 × 10−11 .
8(a). n × 3 × 10−11 . 8(b).
n+1 2
Section 2.5 . 1(a). 3 · 2; 1(b). 5 · 4 · 3; 1(c). 8 · 7 · 6 · 5 · 4; 1(d). 0; 2(a). 63 ; 2(b). 6 · 5 · 4; 2(c). 1 · 6 · 6; 2(d). 1 · 5 · 4; 3(a). 84 ; 3(b). 8 · 7 · 6 · 5; 3(c). 1 · 8 · 8 · 8;
8. 1 7 21 35 35 21 7 1; 9. C (5, 3) =
5! 3!2!
= 10, C (4, 2) =
4! 2!2!
= 6, C (4, 3) =
4! 3!1!
= 4, and 10 = 6 + 4; = 6, and 21 = 15 + 6;
10. C (7, 5) =
7! 5!2!
4
Answers to Selected Exercises
Applied Combinatorics
by Fred S. Roberts and Barry Tesman
组合数学课后习题答案
第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。
故符合要求的不同分组共有12)2()12(21111+-=-----=∑n k n k n k n 种。
算法分析(第二版)清华大学出版社 部分习题的参考答案
9.ICMP10.类型、差错报告、ICMP控制报文、请求应答
11.静态路由、动态路由
二、选择题
1. A2. C3. C4. C5. C6. A
7. C8. D9. D10. C11. A12. CBBAA
三、问答题
5.
源结点
目的地
下一站
代价
C
A
D
4
B
B
4
C
0
D
D
2
2.网络的拓扑结构表示网络传输介质和结点的连接形式，通常有总线型、环形、星形和树形。
3.OSI将整个网络通信的功能划分为七个层次，由低到高分别是物理层、链路层、网络层、传输层、会话层、表示层和应用层。
4.利用通信设备和线路，将分布在地理位置不同的、功能独立的多个计算机系统连接起来，以功能完善的网络软件实现网络中资源共享和信息传递的系统，称为计算机网络。
第2章
一、填空题
1.基带、调制2.数字、模拟
3.频分多路复用、时分多路复用4.不归零编码、曼彻斯特编码
5.电信号、光信号6.变换器、信道、反变换器
7.同轴电缆、双绞线、光纤8.单模、多模
9.调制、解调10.光纤到户、FTTC、光纤到办公室
二、选择题
1.A2. D3. A4. C5. A
6. B7. A8. B9. C10. D
附录
第1章
一、填空题
1.面向终端的计算机网络、以分组交换为核心的计算机网络、以OSI为核心的计算机网络、以高速和多媒体应用为核心的计算机网络
2.ARPANET、分组交换3.计算机、通信
4.局域网、城域网、广域网5.网络协议
6.语义、语法7.计算机网络体系结构
组合数学第二章课后习题答案
2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。
解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。
组合数学第二篇习题解答
n0
k 0
(c)an C(n 3,3), n {0,1,2,...}
n
(b)G 2 an xn , 其中an (k 1)(n 1 k )
n0
k 0
G2 (1 2x 3x2 ... (n 1)xn ...)(1 2x 3x2 ... (n 1)xn ...)
an 1 (n 1) 2 (n) ... (k 1) (n k 1) ...
G(x) 1 23 x 1 ...(n 1)3 xn 1 ...
1 x 1 x
1 x
1 (1 23 x ...(n 1)3 xn ...) 1 x
G(x)
1 1 x
1 4x x2 (1 x)4
1 4x x2 (1 x)5
2.16 用数学归纳法证明 C(m,m),C(m+1,m),C(m+2,m),...,C(m+n,m),...的母函数为 (1-x)-m-1
按叠加原理 an 4an1 3 4n 的特解为hn4n , 代入替推关系 hn4n 4h(n 1)4n1 3 4n , h 3 一般解为: r4n 3n4n 10 5n
2.28
an
a a 3
10
n 1
n2
两边求对数
ln an 3 ln an1 10 ln an2 令bn ln an bn 3bn1 10bn2 0, 特征根为 : r1 5, r 2 2,
1 ln 4
a [3n 3( 1)n ] 0
ln a a 1[3n (1)n ]
1[3n 3( 1)n ]
14
04
a a a 1[3n ( 1)n ]
1[3n 3( 1)n ]
n
14
04
卢开澄《组合数学》习题答案第二章
2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()046414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x - 2.3 已知母函数G （X ）= 25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B AG （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
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11. 解：
用归纳法可证明：1）当k=1时命题成立2）设当k=N 时命题成立
即N 可唯一表示成不同且不相邻的F 数之和。
则当k=N+1时，明显可以分成N 的序列再加上1（），但这可能会不能满足“不同且不相邻”的条件。
下面予以讨论
2F 先讨论相邻的，明显若有，则可用代替。
以此类推可解决相邻问题。
再讨论相同，可把超过1个的分解为再用结决相邻问题的方法即可解决
命题得证
i F i F 1+i F 2+i F i F i
F 1-i F 2-i F
12. 解：
设n 个满足条件的平面把空间分成个域
n-1个满足条件的平面把空间分成
个域则第n 个平面与这n-1个平面有n-1条交线，且这些两两相交，任三线不共点。
第n 个平面被这n-1条线分成个域增加了个域。
可得
n a 1-n a 2
1n C +2
1n C +1
,2 ,1012
1==++=-a a C a a n n n 设⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛++=323210n A n A n A A a n 解得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧====1
1113210A A A A ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=321n n n a n
13. 解：
设符合条件的n 位二进制数的个数为这些数中一共有个0
当n 位二进制数最高位为1时,符合条件的
n 位二进制数的个数为最高位为0时，次高位必为1符合条件的n 位二进制数的个数为1-n h 2
-n h ,
1,3,2 ,02121===+=∴--h h h h h h n n n n h n a
33. 证明：
用数学归纳法I n=2时成立II 设n=k 时成立即⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛11120111⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛-+11
0111k k
k k k F F F F 由I 、II 知题设成立
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛++++++-++k k k k k k k k k k k k k k F F F F F F F F F F F F F 112111111
01110111当n=k+1时。