湖南省2020年高考文科数学模拟试题及答案
1 湖南省2020年高考文科数学模拟试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∪B＝( ) A．{2} B．{6} C．{1，3，4，5，6} D．{1，2，3，4，5} 2．设p：log2x2>2，q：x>2，则p是q成立的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A. 3yxB. yx1C. yx1D. xy2
4. 已知{an}为递增的等差数列，a4+a7=2，a5?a6=-8，则公差d=（）A. 6 B. 6C. 2D. 4 5. 根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误．．的是
A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C. 整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D. 整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数2
6. 已知函数，且，则以下结论正确的是A. B. C. D. 7. 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为
A. 是奇数？；B. 是偶数？；C. 是奇数？；D. 是偶数？；8. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，且对任意的,2xRfxfx，当01x，2fxx
，若直线
yxa与函数fx的图像在0,2
内恰有两个不同的公共点，则实数的
值是（）A. 0 B. 0或12 C.14或12 D. 0或149. 据中国古代数学名著《九章算术》中记载，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准
量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），其体积为12.6立方寸.若取圆周率3，则图中x值为（）
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 3.1 3
10. 若tan()34，则2sin2cos（）A. 35B. 25C. -1 D. 3
11.已知双曲线2222:1xyCab0,0ab的左、右焦点分别为1F、2F,过2F
作垂直于实轴的弦
PQ,若12PFQ,则C的离心率
e
为( )
A.21 B.2 C.21 D.22
12. 已知fx是定义域为R的偶函数,且在0,单调递增,设
21log3mf,0.17nf, 4log25pf,则,,mnp的大小关系为( )
A.mpn B.pnm C.pmn D.npm二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13. 向量a，b满足1ab，(2)3aab，则a=______．
14. 若,xy满足约束条件204010xyxyx，则2zxy的最大值是_____．15．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是_______。
16．已知0x, 0y,且1xy,则22xy的取值范围是___ __.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题（共60分）17．（本试题满分12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B. (1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为23，c＝23，求△ABC的周长．18.（本试题满分12分）4
2019年双11当天，某销售平台全网总交易额为2684亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评140 对商品不满意10 合计200 (2）若针对服务的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出4次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．附：，其中n＝a＋b＋c＋d．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.（本试题满分12分）在如图所示的五面体EF-ABCD中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC的中点．(1)求证：FM∥平面BDE；(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求M到平面BDE的距离．
20．（本试题满分12分）已知动点M到点A1,0与点B2,0的距离之比为2，记动点M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程；（2）过点P6,2作曲线C的切线，求切线方程．21．（本试题满分12分）5
已知函数212lnfxaxxaR．（1）若曲线gxfxx上点1,g1处的切线过点0,2，求函数gx的单调减区间；
（2）若函数yfx在)21,0(上无零点，求a的最小值．（二）选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为221613sinp，P为曲线C上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．（1）求线段OP中点Q的轨迹的参数方程；（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数. （1）求不等式的解集；（2）设函数的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围.
参考答案6
一、选择题1.D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.A 11.C 12.C
二、填空题
13. 1 14. 11 15.090 16.
1,1
2
三、解答题17.解：(1)由sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B及正弦定理，得a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，
因为C∈(0，π)，所以C＝π3. (2)由(1)知C＝π3. 由△ABC的面积为23得12ab·32＝23，解得ab＝8，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab×12＝(a＋b)2－3ab＝12，所以(a＋b)2＝36，a＋b＝6，故△ABC的周长为6＋23. 18.（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×２列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评140 40 180 对商品不满意10 10 20 合计150 50 200 则．由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关．（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出4次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为1次．记好评的交易为A，B，C，不满意的交易为a，从4次交易中，取出2次的所有取法为（A，B），（A，C），（A，a），（B，C），（B，a），（C，a），共6种情况，其中只有一次好评的情况是（A，a）、（B，a）、（C，a），共3种，7
因此只有一次好评的概率为．19.解：(1)证明：如图，取BD中点O，连接OM，OE，因为O，M分别为BD，BC的中点，
所以OM∥CD，且OM＝12CD. 因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB. 又EF∥AB，所以CD∥EF.
又AB＝CD＝2，所以EF＝12CD. 所以OM∥且=EF，所以四边形OMFE为平行四边形，所以FM∥OE. 又OE?平面BDE，FM?平面BDE，所以FM∥平面BDE. (2)如图，取AD的中点H，连接EH，BH，EM，DM. 因为四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF，所以EH⊥AD，BH⊥AD. 因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，所以EH⊥平面ABCD，EH⊥BH. 因为EH＝BH＝3，所以BE＝6.
所以S△BDE＝12×6×22－622＝152. 设M到平面BDE的距离为h，又因为S△BDM＝12S△BCD＝12×12×2×2×sin60°＝32，
所以由V三棱锥E-BDM＝V三棱锥M-BDE，得13×3×32＝13×152h，解得h＝155. 即M到平面BDE的距离为155
20. （1）设动点M的坐标为,xy，则2222
1,2MAxyMBxy，
所以2222122xyxy，化简得22
34xy，
因此，动点M的轨迹方程为22
34xy；
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,解析版)(1)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南卷，解析版）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2=x}，则M ∩N= A.{-1，0，1} B.{0,1} C.{1} D.{0} 【答案】B【解析】{}0,1N =Q M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出{}0,1N =，再利用交集定义得出M ∩N.2.复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【答案】A【解析】由z=i （i+1）=1i -+，及共轭复数定义得1z i =--.【点评】本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力.先把Z 化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义得出1z i =--.3.命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型.5.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为$y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 【答案】D【解析】由回归方程为$y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.6. 已知双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又Q C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴=g ，即2a b =.又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.7 . 设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论： ①c a ＞c b；② c a ＜cb ； ③ log ()log ()b a ac b c ->-， 其中所有的正确结论的序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知11a b <，又0c <，所以c a ＞cb，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，0c <知11a c b c c ->->->，由对数函数的图像与性质知③正确.【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.8 . 在△ABC 中， ，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于A ．2 B.2 C.2D.4【答案】B【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯o，2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABC S AB BC B BC h ==V g g g ，知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯o ，解得2h =. 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.9. 设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当 []0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为A .2B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ【解析】由当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题，（请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分） 10.在极坐标系中，曲线1C ：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______. 【答案】2【解析】曲线1C 1y +=，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等，由0,2y x ==，知a ＝2. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______. 【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力.(二)必做题（12~16题）12.不等式x 2-5x+6≤0的解集为______. 【答案】{}23x x ≤≤【解析】由x 2-5x+6≤0，得(3)(2)0x x --≤，从而的不等式x 2-5x+6≤0的解集为{}23x x ≤≤.【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力.13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.08910352图 (注：方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)【答案】6.8 【解析】1(89101315)115x =++++=， 2222221(811)(911)(1011)(1311)(1511)5s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 6.8=. 【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力.14.如果执行如图3所示的程序框图，输入 4.5x =,则输出的数i = .【答案】4【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得0.5x =，输出4i =.【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力的培养.15.如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC u u u v u u u vg = .【答案】18【解析】设AC BD O =I ，则2()AC AB BO =+u u u v u u u v u u u v ，AP AC u u u v u u u v g = 2()AP AB BO +=u u u v u u u v u u u vg22AP AB AP BO +u u u v u u u v u u u v u u u v g g 222()2AP AB AP AP PB AP ==+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v g 18=.【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.16.对于N n *∈，将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯L ,当i k =时1i a =，当01i k ≤≤-时i a 为0或1，定义n b 如下：在n 的上述表示中，当01,a a ，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n =1；否则b n =0. （1）b 2+b 4+b 6+b 8=__； （2）记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m +1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是___. 【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知000112,1,1a a b =⨯==；1010221202,1,0,1a a b =⨯+⨯===； 一次类推10331212,0b =⨯+⨯=；21044120202,1b =⨯+⨯+⨯=；21055120212,0b =⨯+⨯+⨯=；2106121202=⨯+⨯+⨯，60b =，781,1b b ==，b 2+b 4+b 6+b 8=３；（2）由（1）知c m 的最大值为２.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.（将频率视为概率）【解析】（Ⅰ）由已知得251055,35,15,20y x y x y ++=+=∴==，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:115 1.530225 2.5203101.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟).（Ⅱ）记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，123,,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得123153303251(),(),()10020100101004P A P A P A ======. 123123,,,A A A A A A A =Q U U 且是互斥事件，123123()()()()()P A P A A A P A P A P A ∴==++U U 33172010410=++=. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率. 18.（本小题满分12分）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即.又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+Q 从而，即=6πϕ. 又点0,1（）在函数图像上，所以sin 1,26A A π==，故函数f （x ）的解析式为()2sin(2).6f x x π=+（Ⅱ）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 2sin 22sin(2)3x x π=-+132sin 22(sin 2cos 2)22x x x =-+sin 23cos 2x x =-2sin(2),3x π=- 由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ，从而求出f（x ）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得. 19.（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ， 而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥.（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ， 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=o. 由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥. 在Rt POD V中，由DPO ∠30=o，得PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形ＡＯＤ中，2,22,2OD AD == 所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===-=故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积. 20.（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.（Ⅰ）用d 表示a 1，a 2，并写出1n a +与a n 的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）.【解析】（Ⅰ）由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-，2113(150%)2a a d a d =+-=-， 13(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）得132n n a a d -=-2233()22n a d d -=-- 233()22n a d d -=-- =L 12213333()1()()2222n n a d --⎡⎤=-++++⎢⎥⎣⎦L . 整理得 1133()(3000)2()122n n n a d d --⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d -=-+. 由题意，134000,()(30003)24000,2n n a d d -=∴-+=解得13()210001000(32)2332()12n n n n nn d +⎡⎤-⨯⎢⎥-⎣⎦==--. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)32n n n n+--时，经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为４０００元.【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出1n a +与a n 的关系式132n n a a d +=-，第二问，只要把第一问中的132n n a a d +=-迭代，即可以解决.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标.【解析】（Ⅰ）由22420x y x +-+=，得22(2)2x y -+=.故圆Ｃ的圆心为点 (2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为22221(0),x y a b a b+=>>其焦距为2c ，由题设知 22212,,24,12.2c c e a c b a c a ===∴===-=故椭圆Ｅ的方程为： 221.1612x y += （Ⅱ）设点p 的坐标为00(,)x y ，12,l l 的斜分率分别为12,.k k 则12,l l 的方程分别为10102020:(),:(),l y y k x x l y y k x x -=--=-且121.2k k =由1l 与圆22:(2)2c x y -+=相切，得=即 222010020(2)22(2)20.x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦同理可得 222020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦. 从而12,k k 是方程0220000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦的两个实根，于是202200(2)20,8(2)20,x x y ⎧--≠⎪⎨⎡⎤∆=-+->⎪⎣⎦⎩ ① 且2012222 2.(2)2y k k x -==-- 由220020201,161221(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩得20058360.x x --=解得02,x =或010.5x = 由02x =-得03;y =±由0185x =得0y =它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 (2,3)-，或(2,3)--，或18(5，或18(,5.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出,,c a b 即得椭圆E 的方程，第二问设出点P 坐标，利用过P 点的两条直线斜率之积为12，得出关于点P 坐标的一个方程，利用点P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P 坐标.22.（本小题满分13分）已知函数f(x)=e x -ax ，其中a ＞0.（1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A （x 1, f(x 1)）,B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈（x 1,x 2）,使0()f x k '=恒成立.【解析】解：(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得.当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减；当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增，故当ln x a =时，()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1a =时，①式成立.综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--，则()1tF t e '=-.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而2121()10x x e x x ---->，1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.。
湖南省娄底市2020届高考仿真模拟考试数学(文科)试题
绝密★启用前娄底市2020届高考仿真模拟考试数学（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()1i 12i z +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{}220A x x x =--≤，集合{}2B x x =>，则A B =U （ ） A.(],2-∞ B.[)1,-+∞ C.[]1,2- D.()1,2-3.函数()621xf x x =-+的零点0x 所在的区间为（ ） A.()1,0-B.()0,1C.()1,2D.()2,34.已知向量(),2a t =r ，()4,2b t =-r ，则“4t =”是“a b r r∥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设双曲线C ：2212x y -=的两条渐近线的夹角为θ，则tan θ=（ ）A.C.1D.26.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，527312a a a =++，36a =，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A.20182019B.20192020C.20202021D.202120227.为了改善市民的生活环境，某沿江城市决定对本市的1000家中小型化工企业进行污染情况摸排，并把污染情况综合折算成标准分100分，如图为该市被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，根据该图可估计本市标准分不低于50分的企业数为（ ）A.400B.500C.600D.8008.已知函数()xxf x a a -=+（0a >且1a ≠），则关于x 的不等式()21log k a f x a+>的解集是（ ）A.()2,+∞B.()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭UC.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D.以上答案都不对9.如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.258π B.254π C.252π D.98π 10.已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，A 、B 两点是椭圆E 上关于y 轴对称的点，若ABF △能构成一个内角为23π的等腰三角形，则椭圆E 的离心率e =（ ） A.12B.21D.211.已知函数()2sin cos 6f x x x πωω⎛⎫=++⎪⎝⎭（0ω>）在区间[]0,π上不是单调函数，且其值域为2⎣，则ω的取值范围是（ ） A.12,33⎛⎫⎪⎝⎭B.12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C.12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()22f x x f x =-- .当(),0x ∈-∞时，()2f x x '<；若()()244f m f m m +--≤+，则实数m 的取值范围是（ ）A.(],1-∞-B.(],2-∞-C.[)1,-+∞D.[)2,-+∞第Ⅰ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13.已知某市的1路公交车每10分钟发车一次，小林到达起点站乘车的时刻是随机的，则他候车时间不超过4分钟的概率是______.14.已知实数x ，y 满足20250270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则1y z x =+的最大值是______.15.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，3DAB π∠=，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上一点，若平面EBD ⊥平面ABCD ，则PEEC=______.16.如图所示，在四边形ABCD 中，3BAD π∠=，23BCD π∠=，BC =BD =AB AC ⋅u u u r u u u r 的最大值为______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，PA PC =，AB CD ∥，AB AD ⊥，且244CD AD AB ===.（1）求证：BD PC ⊥；（2）过BD 作截面与线段PC 交于点H ，使得AP ∥平面BDH ，试确定点H 的位置，并给出证明. 18.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足11a =，213a =，且111123n n n n n n a a a a a a -+-++=（2n ≥，n *∈N ）. （1）证明：数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}12nn n a a +的前n 项和.19.（本小题满分12分）已知过点()2,3A 的直线l ：1y x =+与抛物线E ：22x py =（0p >）交于B ，C 两点，且A 为线段BC 的中点.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知直线l '：y x m =+与直线l 平行，过直线l '上任意一点P 作抛物线E 的两条切线，切点分别为M ，N ，是否存在这样的实数m ，使得直线MN 恒过定点A ？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 20.（本小题满分12分）某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务.现从全市已挂牌照的50000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图.（1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取2辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；（2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助300元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元.试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算。
2020年湖南省名师联盟高考数学一模试卷(文科)
2020年湖南省名师联盟高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2020•湖南一模）设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|x2﹣4x+3＜0}，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}2．（5分）（2020•湖南一模）若复数z＝4﹣i，则z＝（）A．15B．16C．17D．183．（5分）（2020•湖南一模）下列说法正确的是（）A．∀x∈R，x2＞0”的否定是B．命题“设a，b∈R，若a+b≠4，则a≠2或b≠2是一个假命题C．“m＝1”是“函数f（x）＝m2x m+2为幂函数”的充分不必要条件D．向量，则在方向上的投影为54．（5分）（2020•湖南一模）在△ABC中，，且，则λ+μ＝（）A．1B．C．D．5．（5分）（2020•湖南一模）已知实数x，y满足，则该不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．2D．36．（5分）（2020•湖南一模）函数f（x）＝在（）上的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）（2020•湖南一模）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）（2020•湖南一模）函数，当0＜x＜1时，下列式子大小关系正确的是（）A．f2（x）＜f（x2）＜f（x）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f（x2）＜f（x）＜f2（x）9．（5分）（2020•湖南一模）函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．10．（5分）（2020•湖南一模）在区域内任取一点P（x，y），满足的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2020•湖南一模）设f（x）是定义在[﹣1，1]上的可导函数，f（0）＝0，且f′（x）＝2+x2，则不等式f（a）+f（1﹣2a）＞0的解集为（）A．[0，1]B．[﹣1，1）C．（﹣1，1]D．[0，1）12．（5分）（2020•湖南一模）若关于x的不等式≤1在区间（1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，ln2]B．（﹣∞，ln2]C．（ln2，+∞）D．（﹣∞，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2020•湖南一模）二项式（+）5的展开式中常数项为．所有项的系数和为．14．（5分）（2020•湖南一模）设向量＝（1，1），＝（﹣1，2），则向量+与向量的夹角为．15．（5分）（2020•湖南一模）已知函数，则函数y＝f（f（x））的所有零点所构成的集合为．16．（5分）（2020•湖南一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，C是锐角，且a＝2，cos A＝，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2020•湖南一模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝2+S n对一切正整数n恒成立．（1）求a1和数列{a n}的通项公式；（2）求数列{S n}的前n项和T n．18．（12分）（2020•湖南一模）如图，在多面体B﹣ACDE中，已知AB＝BC＝CD＝2，，，，AE⊥AC，平面ABC⊥平面ACDE，F为BC的中点，连接DF．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）求三棱锥B﹣DEF的体积．19．（12分）（2020•湖南一模）众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托于网络的基础上，否则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经销在甲地区5个位置对两种类型的网络（包括“电信”和“网通”）在相同条件下进行游戏掉线的测试，得到数据如下：A B C D E位置类型电信438612网通57943（1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过0.15的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？（2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广，求A，B两地区至少选到一个的概率．参考公式：K2＝0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001P（K2≥k0）k00.460.71 1.32 2.07 2.71 3.841 5.024 6.6357.87910.82820．（12分）（2020•湖南一模）已知椭圆C的两个焦点分别为，，且椭圆C过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若与直线OP平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积．21．（12分）（2020•湖南一模）已知函数f（x）＝2lnx+a（x2﹣4x+3）．（1）若a＝，求f（x）的单调区间；（2）证明：（i）lnx≤x﹣1；（ii）对任意a∈（﹣∞，0），f（x）＜0对x∈（，+∞）恒成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2020•湖南一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数，t为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C有两个公共点，求实数t的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．（2020•湖南一模）设函数f（x）＝|x﹣a|+2x，其中a＞0．（1）当a＝3，求等式f（x）≥2x+4的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣2}，求a的值．2020年湖南省名师联盟高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2020•湖南一模）设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|x2﹣4x+3＜0}，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出集合N的等价条件，结合补集和交集的定义进行求解即可．【解答】解：N＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝{x|1＜x＜3}，则∁U M＝{x|﹣2≤x≤2}，则（∁U M）∩N＝{x|1＜x≤2}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合集合的补集和交集定义是解决本题的关键．2．（5分）（2020•湖南一模）若复数z＝4﹣i，则z＝（）A．15B．16C．17D．18【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知求得，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝4﹣i，∴．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）（2020•湖南一模）下列说法正确的是（）A．∀x∈R，x2＞0”的否定是B．命题“设a，b∈R，若a+b≠4，则a≠2或b≠2是一个假命题C．“m＝1”是“函数f（x）＝m2x m+2为幂函数”的充分不必要条件D．向量，则在方向上的投影为5【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用；5A：平面向量及应用；5L：简易逻辑．【分析】A，根据全称命题的否定是特称命题，判断正误即可；B，根据原命题与它的逆否命题的关系，判断正误即可；C，根据幂函数的定义求出m的值；D，利用向量投影的定义求出运算结果．【解答】解：对于A，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，”，∴A错误；对于B，该命题的逆否命题为：若a＝2，b＝2，则a+b＝4为真命题，∴B错误；对于C，f（x）＝m2x m+2为幂函数时，m＝±1，∴C正确；对于D，在方向上的投影为，∴D错误．故选：C．【点评】本题利用命题真假的判断，考查了简易逻辑与幂函数的定义和向量投影的应用问题，是基础题．4．（5分）（2020•湖南一模）在△ABC中，，且，则λ+μ＝（）A．1B．C．D．【考点】9E：向量数乘和线性运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】可根据条件画出图形，并由条件知D是BC的中点，P是AD的中点，从而可求出，这样由平面向量基本定理即可求出λ+μ的值．【解答】解：根据条件画出图形如下：由知，D是边BC的中点；由知，P是线段AD的中点；∴＝＝；又；∴根据平面向量基本定理得，；∴．故选：C．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘和减法的几何意义，以及平面向量基本定理．5．（5分）（2020•湖南一模）已知实数x，y满足，则该不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．2D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5T：不等式；63：数学建模．【分析】利用约束条件画出可行域，通过可行域求解顶点坐标，然后求解可行域的面积．【解答】解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示，其为阴影部分的三角区，解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为（1，0），（2，1），（4，0），根据三角形的面积公式可以求得S＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，通过数形结合是解决本题的关键，是中档题．6．（5分）（2020•湖南一模）函数f（x）＝在（）上的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，函数零点个数以及函数值的符号是否对应进行排除即可．【解答】解：f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，由f（x）＝0得sin3x＝0，即3x＝kπ，即x＝，此时x＝0，±，即函数在（）有三个零点，排除A，f（）＝＝，排除B，故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及零点个数，特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．7．（5分）（2020•湖南一模）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣2|PF1|•|F1F2|cos30°，∴（2a）2＝（4a）2+（2c）2﹣，化为＝0，解得．故选：C．【点评】熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．8．（5分）（2020•湖南一模）函数，当0＜x＜1时，下列式子大小关系正确的是（）A．f2（x）＜f（x2）＜f（x）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f（x2）＜f（x）＜f2（x）【考点】3E：函数单调性的性质与判断；6B：利用导数研究函数的单调性；72：不等式比较大小．【分析】由0＜x＜1得到x2＜x，要比较f（x）与f（x2）的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出f′（x）利用导函数的正负决定函数的增减性．即可比较出f（x）与f（x2）大小．【解答】解：根据0＜x＜1得到x2＜x，而f′（x）＝，因为（lnx）2＞0，所以根据对数函数的单调性得到在0＜x＜1时，lnx﹣1＜0，所以f′（x）＜0，函数单调递减．所以f（x2）＞f（x），根据排除法A、B、D错，C正确．故选：C．【点评】考查学生利用导数研究函数的单调性，以及会利用函数的单调性判断函数值的大小，在做选择题时，可采用排除法得到正确答案．9．（5分）（2020•湖南一模）函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．【考点】H1：三角函数的周期性；HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得g（x）的解析式，再利用用三角函数的周期性，得出结论．【解答】解：根据函数的部分图象，可得A ＝1，由图知．点是五点作图的第二个点，则，∴f（x）＝cos（2x﹣），∴，易知y＝g（x）与的最小正周期相同，均为，故选：A．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，三角函数的周期性，属于基础题．10．（5分）（2020•湖南一模）在区域内任取一点P（x，y），满足的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】由题意可知，内任取一点P（x，y），曲线的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，由几何概型的求解公式即可求解【解答】解：曲线的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，由几何概型得，故选：C．【点评】本题主要考查了与面积有关的概率的求解，属于基础试题11．（5分）（2020•湖南一模）设f（x）是定义在[﹣1，1]上的可导函数，f（0）＝0，且f′（x）＝2+x2，则不等式f（a）+f（1﹣2a）＞0的解集为（）A．[0，1]B．[﹣1，1）C．（﹣1，1]D．[0，1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性和奇偶性得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：f'（x）＝2+x2是偶函数且大于0，f（0）＝0，则f（x）为[﹣1，1]上的奇函数和增函数，f（a）+f（1﹣2a）＞0⇒f（a）＞﹣f（1﹣2a）＝f（2a﹣1），则，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．12．（5分）（2020•湖南一模）若关于x的不等式≤1在区间（1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，ln2]B．（﹣∞，ln2]C．（ln2，+∞）D．（﹣∞，1]【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】31：数形结合；32：分类讨论；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；65：数学运算．【分析】关于x的不等式不等式≤1在区间（1，2]上恒成立⇔关于x的不等式a（x﹣1）2≤lnx在区间（1，2]上恒成立．显然当a≤时，关于x的不等式不等式≤1在区间（1，2]上恒成立．对a分类讨论，作出图象，根据单调性即可得出．【解答】解：关于x的不等式不等式≤1在区间（1，2]上恒成立⇔关于x的不等式a（x﹣1）2≤lnx在区间（1，2]上恒成立．显然当a≤时，关于x的不等式不等式≤1在区间（1，2]上恒成立．当a＞0时，在同一坐标系内分别作出y＝a（x﹣1）2，y＝lnx的图象，所以关于x的不等式a（x﹣1）2≤lnx在区间（1，2]上恒成立．⇔A点的位置不低于B点的位置⇔ln2≥a（2﹣1）2⇔0＜a≤ln2．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，ln2]．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象与单调性、不等式的解法、方程的解法、转化法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2020•湖南一模）二项式（+）5的展开式中常数项为5．所有项的系数和为32．【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5P：二项式定理；65：数学运算．【分析】利用展开式的通项公式可得展开式中的常数项；令x＝1，得到所有项的系数和．【解答】解：展开式的通项为：T r+1＝＝，令（1﹣r）＝0，解得r＝1，所以展开式中的常数项为：T2＝＝5．令x＝1，得到所有项的系数和为25＝32．故答案为：5，32．【点评】本题考查了二项式的展开式的通项公式及其性质、方程的解法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）（2020•湖南一模）设向量＝（1，1），＝（﹣1，2），则向量+与向量的夹角为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】可求出，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【解答】解：；∴；∴；又；∴．故答案为：．【点评】考查向量坐标的加法和数量积的运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式．15．（5分）（2020•湖南一模）已知函数，则函数y＝f（f（x））的所有零点所构成的集合为{0，2，5}．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】利用分段函数求解函数的零点，转化求解即可．【解答】解：令t＝f（x），由f（t）＝0，得t＝0或t＝2，再由f（x）＝0，解得x＝0，x ＝2；由f（x）＝2，解得x＝5，即函数y＝f（f（x））的所有零点所构成的集合为{0，2，5}．故答案为：{0，2，5}．【点评】本题考查函数的零点的求法，分段函数的应用，考查计算能力．16．（5分）（2020•湖南一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，C是锐角，且a＝2，cos A＝，则△ABC的面积为7．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin2B＝sin2C，可得B ＝C，或B+C＝，由cos A＝，可得B＝C，可得b＝c，由余弦定理可得b＝c＝，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵＝，可得：＝，可得：，可得：sin2B＝sin2C，∴B＝C，或B+C＝，又∵cos A＝，∴B＝C，可得：b＝c，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：2b2﹣＝28，可得：b＝c＝，∴S△ABC＝bc sin A＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2020•湖南一模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝2+S n对一切正整数n恒成立．（1）求a1和数列{a n}的通项公式；（2）求数列{S n}的前n项和T n．【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用等比和等差数列的前n项和公式求出结果．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝2+S n对一切正整数n恒成立，当n＝1时，a2＝2a1，a2＝2+S1，解得：a1＝2，当n≥2时，a n＝2+S n﹣1，两式相减得：a n+1＝2a n，即：（常数），故：数列{a n}是以a1＝2，公比为2的等比数列．所以：．（2）由于：，所以：，则：，＝，＝2n+2﹣2n﹣4．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）（2020•湖南一模）如图，在多面体B﹣ACDE中，已知AB＝BC＝CD＝2，，，，AE⊥AC，平面ABC⊥平面ACDE，F为BC的中点，连接DF．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）求三棱锥B﹣DEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）过D作DG⊥AC于G．取AB的中点为H，连接EH，HF．证明HF∥AG，推出DF∥EH，即可证明DF∥平面ABE．（2）通过三棱锥B﹣DEF的体积等于三棱锥B﹣HEF的体积，等于三棱锥F﹣HEB的体积，转化求解即可．【解答】解：（1）证明：过D作DG⊥AC于G．因为AE⊥AC，所以AE∥DG，因为CD＝2，，所以，因为，所以AE＝DG，所以四边形AGDE为矩形，所以ED∥AG，ED＝AG，取AB的中点为H，连接EH，HF．因为F为BC的中点，所以HF∥AG，HF＝AG，所以HF∥ED，HF＝ED，所以四边形EDHF为平行四边形，所以DF∥EH，因为DF⊄平面ABE，EH⊂平面ABE．所以DF∥平面ABE．（2）因为平面ABC⊥平面ACDE，AE⊥AC，所以AE⊥平面ABC．因为AE⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC，因为AB＝BC＝2，，所以AB⊥BC，因为平面ABE∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ABE，因为四边形EDFH为平行四边形，所以三棱锥B﹣DEF的体积等于三棱锥B﹣HEF的体积，等于三棱锥F﹣HEB的体积，所以三棱锥B﹣DEF的体积＝．【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体是体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2020•湖南一模）众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托于网络的基础上，否则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经销在甲地区5个位置对两种类型的网络（包括“电信”和“网通”）在相同条件下进行游戏掉线的测试，得到数据如下：位置A B C D E类型电信438612网通57943（1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过0.15的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？（2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广，求A，B两地区至少选到一个的概率．参考公式：K2＝0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001 P（K2≥k0）k00.460.71 1.32 2.07 2.71 3.841 5.024 6.6357.87910.828【考点】BL：独立性检验．【专题】12：应用题；38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计；66：数据分析．【分析】（1）根据题意列出列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）根据题意列出2×2列联表如下，糟糕良好合计电信325网通235合计5510由表中数据，计算K2＝＝0.4＜2.07，所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能说明网络状况与网络的类型有关；（2）依题意，在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广，其所有的可能有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中满足条件的为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE共7种，故所求的概率为P＝．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20．（12分）（2020•湖南一模）已知椭圆C的两个焦点分别为，，且椭圆C过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若与直线OP平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设出椭圆C的标准方程，代入点P的坐标，列式解方程可得；（2）联立直线与椭圆，结合韦达定理、向量垂直、弦长公式、点到直线距离、面积公式可求得．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，由题意可得解得故椭圆C的方程为．（2）直线OP的方程为，设直线AB方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）．将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得，由△＝3m2﹣4（m2﹣1）＞0，得m2＜4，由OA⊥OB得，，＝＝＝，得．又，O到直线AB的距离．所以．【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．21．（12分）（2020•湖南一模）已知函数f（x）＝2lnx+a（x2﹣4x+3）．（1）若a＝，求f（x）的单调区间；（2）证明：（i）lnx≤x﹣1；（ii）对任意a∈（﹣∞，0），f（x）＜0对x∈（，+∞）恒成立．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）（i）令g（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），g（1）＝0．利用导数研究其单调性最值即可得出．（ii）由（i）可知，lnx≤x﹣1，则f（x）＜2（x﹣1）+a（x2﹣4x﹣3），只要证明a（x﹣1）（x﹣）＜0即可．【解答】（1）解：当a＝时，f（x）＝2lnx+（x2﹣4x+3），∴f′（x）＝+（2x﹣4）＝，x＞0，令f′（x）＞0，可得x＞或0＜x＜，令f′（x）＜0，可得＜x＜，∴f（x）的单调递增区间为（0，）和（，+∞），单调递减区间为（，）；（2）证明：（i）设g（x）＝lnx﹣（x﹣1），∴g′（x）＝﹣1＝，∴g′（x）＝0，得x＝1，令g′（x）＞0，0＜x＜1；令g′（x）＜0，x＞1，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）max＝g（1）＝0，∴lnx≤x﹣1；（ii）当x＞1时，由（i）可知，lnx≤x﹣1，则f（x）＜2（x﹣1）+a（x2﹣4x﹣3），若a∈（﹣∞，0），则2（x﹣1）+a（x2﹣4x﹣3）＝（x﹣1）（ax+2﹣3a）＝a（x﹣1）（x ﹣），当x∈（，+∞）时，a（x﹣1）（x﹣）＜0，则当x∈（，+∞）时，f（x）＜0，故对任意a∈（﹣∞，0），f（x）＜0对x∈（，+∞）恒成立．【点评】本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，确定函数的单调性，属于中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2020•湖南一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数，t为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C有两个公共点，求实数t的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）消去参数α可得圆C的普通方程，利用差角的余弦以及互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）根据圆心到直线的距离小于半径列式可解得．【解答】解：（1）圆C的普通方程为（x﹣t）2+y2＝2．将直线l的极坐标方程化为﹣ρcosθ+ρsinθ＝，即﹣x+y＝，化简得x﹣y+2＝0．（2）∵圆C的普通方程为（x﹣t）2+y2＝2，圆心为（t，0），半径为．∴圆心C到直线l的距离d＝，∵直线l与圆C有两个公共点，∴d＝＜，解得﹣4＜t＜0，所以t的取值范围是（﹣4，0）．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2020•湖南一模）设函数f（x）＝|x﹣a|+2x，其中a＞0．（1）当a＝3，求等式f（x）≥2x+4的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣2}，求a的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；5T：不等式．【分析】（1）利用|f（x）|≥k（k＞0）⇔f（x）≤﹣k或f（x）≥k；（2）按照x≥a和x＜a两种情况去绝对值解不等式，结果与已知比较可得．【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）≥2x+4可化为|x﹣3|≥4，由此可得x≥7或x≤﹣1，故不等式f（x）≥2x+4的解集为{x≥7或x≤﹣1}（2）由f（x）≤0，得|x﹣a|+2x≤0，此不等式化为不等式组为或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣a}，由题设可得﹣a＝﹣2，故a＝2．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试数学(文科)试题及答案
即 A′H 的长就是点 C′ 到平面 B′DE 的距离 ………………………………9 分
因为 B′D = 5 ，由等面积法可知
BD AH AB AA 求得 A′H = 4 55
………………………………11 分
所以 C′ 到平面 B′DE 的距离等于 4 5 5
……………………………………12 分
aˆ 112.1- 6.95.5 74.2 ………………………6 分
即所求回归方程为 y 6.9x 74.2 .
…………………………………………7
分 （2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第 11 天的产量为
y 6.9 11 74.2 150.1（万个） …………………………………………9 分
第 2 问考查恒成立问题分类讨论思想、二阶导数、放缩法及其求参数范围等.
解：（1）依题 f (x) ex 2a ， …………………………………………………………1 分 当 a 0 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 在 R 上单调递增，此时函数 f (x) 无极值；
………………………………………………………………………2 分
2
y1
y2
4 k
，y1
y2
8
………………………………………………………7 分
kPA
y0 y1 x0 x1
y0 y1 y02 y12
4 y0 y1
44
，同理
kPB
y0
4
y2
由 APB
90
，得
y0
4
y1
y0
4
y2
1
，
即 y02 y0 ( y1 y2 ) y1 y2 16 ，
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,含答案)(1)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南卷，含答案）本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． （2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===U I 则N =（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 答案：B２．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则Ａ．1,1a b == Ｂ．1,1a b =-= Ｃ．1,1a b ==- Ｄ．1,1a b =-=- 答案：C３．"1""||1"x x >>是的A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+ 答案：D5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得, 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：A6．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C 7．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C．答案：B8．已知函数2()1,()43,xf x eg x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A．[22+ B．(22 C ．[1,3] D ．(1,3)答案：B二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 9．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为(cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为 ． 答案：210．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 ． 答案：40或60（只填一个也正确） (二)必做题（11-16题）11．若执行如图2所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等图2于 ． 答案：154解析：由框图功能可知，输出的数等于12341544x x x x x +++==。
2020届高考数学模拟考试试卷及答案(文科)(一)
2020届高考数学模拟考试试卷及答案（一）（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣22．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}3．已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A．B．C．D．4．设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．535．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm36．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．167．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α8．已知θ∈（0，），则y═的最小值为（）A．6 B．10 C．12 D．169．已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]10．已知直线l：y=kx与椭圆C：交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．11．对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x ﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）12．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（a）≤bf（b）B．af（a）≥bf（b）C．af（b）≤bf（a）D．af（b）≥bf（a）二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离等于．14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．15．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f （x+2），且x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．19．某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差101311127感染数2332242917（1）求这5天的平均感染数；（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x，y用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．20．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．22．已知函数f（x）=，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．2．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B=[﹣2，1]，∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}，3．已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据∥，算出=（﹣2，﹣4），从而得出=（﹣4，﹣8），最后根据向量模的计算公式，可算出的值．【解答】解：∵且∥，∴1×m=2×（﹣2），可得m=﹣4由此可得，∴2+3=（﹣4，﹣8），得==4故选：B4．设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．53【考点】8G：等比数列的性质；8H：数列递推式．【分析】先利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项，再把n=4代入即可求出结论．【解答】解：因为数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，且a1=2所以其首项为1+a1=3．其通项为：1+a n=（1+a1）×3n﹣1=3n．当n=4时，1+a4=34=81．∴a4=80．5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．7．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m⊂γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：m∥b．∴a∥b，∵b⊂β，a⊄β，∴a∥β，∵α∩β=l，a⊂α，∴a∥l，∴l∥m．故C正确．（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D 错误．故选：C．8．已知θ∈（0，），则y═的最小值为（）A．6 B．10 C．12 D．16【考点】HW：三角函数的最值．【分析】y==（）（cos2θ+sin2θ），由此利用基本不等式能求出y=的最小值．【解答】解：∵θ∈（0，），∴sin2θ，cos2θ∈（0，1），∴y==（）（cos2θ+sin2θ）=1+9+≥10+2=16．当且仅当=时，取等号，∴y=的最小值为16．故选：D．9．已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可．【解答】解：不等式表示的平面区域为如图所示△ABC，设Q（3，0）平面区域内动点P（x，y），则=kPQ，当P为点A时斜率最大，A（0，0），C（0，2）．当P为点C时斜率最小，所以∈[﹣，0]．故选：D．10．已知直线l：y=kx与椭圆C：交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，再由椭圆的性质可得c＞b，结合离心率公式和a，b，c的关系，即可得到所求范围．【解答】解：由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得||OA|=|OF|=c，由|OA|＞b，即c＞b，可得c2＞b2=a2﹣c2，即有c2＞a2，可得＜e＜1．故选：C．11．对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x ﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【考点】3O：函数的图象；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】根据定义求出f（x）解析式，画出图象，判断即可．【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．12．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（a）≤bf（b）B．af（a）≥bf（b）C．af（b）≤bf（a）D．af（b）≥bf（a）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知条件判断出f′（x）≤0，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出f（x）的单调性，利用单调性判断出f（a）与f（b）的关系，利用不等式的性质得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数且满足xf′（x）≤f（x），令F（x）=，则F′（x）=，∵xf′（x）﹣f（x）≤0∴F′（x）≤0，∴F（x）=在（0，+∞）上单调递减或常函数∵对任意的正数a、b，a＜b∴≥，∵任意的正数a、b，a＜b，∴af（b）≤bf（a）故选：C．二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离等于．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心（﹣2，2），圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离d==．故答案为：．14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计算ω的值，最后将点（，0）代入，结合φ的范围，求φ值即可【解答】解：由图可知T=2（）=π，∴ω==2∴y=sin（2x+φ）代入（，0），得sin（+φ）=0∴+φ=π+2kπ，k∈Z∵0＜φ≤∴φ=故答案为15．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f=f（1）=﹣f（1），代入函数的表达式求出函数值即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，又∵f（x﹣2）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为4是周期函数，∴f=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2﹣1﹣=﹣1，故答案为：﹣1．16．已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，求出a=c+4和b=c+2，由边角关系和条件求出sinA，求出A=60°或120°，再判断A的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，可得b=c+2，a=c+4，∴A＞B＞C，∵最大角的正弦值为，∴sinA=，由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°，当A=60°时，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；即A=120°，则cosA===，化简得，解得c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7，∴cosC===，又C∈（0°，180°），则sinC==，∴这个三角形最小值的正弦值是，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（Ⅱ）由（I）可得b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n．（Ⅱ）===，∴T n===．18．已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，即可求周期和对称中心．（2）x∈[﹣，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1，化简可得：f（x）=cos2x﹣1+sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∴f（x）的最小正周期T=，由2x+=kπ（k∈Z）可得对称中心的横坐标为x=kπ∴对称中心（kπ，0），（k∈Z）．（2）当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]当2x+=时，函数f（x）取得最小值为．当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2×1=2．19．某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差101311127感染数2332242917（1）求这5天的平均感染数；（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x，y用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由已知利用平均数公式能求出这5天的平均感染数．（2）利用列举法求出基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，利用列举法能求出|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．【解答】解：（1）由题意这5天的平均感染数为：．（2）（x，y）的取值情况有：（23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17），基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，则事件A包含的基本事件为：（23，32），（32，17），（29，17），共有m=3个，∴P（A）=，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，由事件B包含的基本事件为（23，24），（32，29），共有m′=2个，∴P（B）=，∴|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率P=P（A）+P（B）=．20．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（I）根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有V M﹣BCD=V B﹣MDC．分别求出MD长，及△BCD和△MDC面积，利用等积法可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）如图，∵△PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴MD⊥PB．又∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP，∴AP⊥PB．又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，∴BC⊥平面APC，…解：（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有V M﹣BCD=V B﹣MDC．∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，BC⊥PC，∴PC=4，∴．又，∴．在△PBC中，，又∵MD⊥DC，∴，∴∴即点B到平面DCM的距离为．…21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l2：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，），|MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=•=•，可得△MAB的面积为S=•••=4，设t=4+k2（5＞t＞4），可得==＜=1，可得S＜4，且S＞4=综上可得，△MAB的面积的取值范围是（，4]．22．已知函数f（x）=，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，确定当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，即可证明结论．【解答】解：（1）求导数得f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0．又e x＞0，所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．因此f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．证明：（2）因为g（x）=xf′（x）．所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，求导得h′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），所以当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．所以当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．又当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，所以当x∈（0，+∞）时，h（x）＜1+e﹣2，即g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2。
2020年高考文科数学模拟试卷及答案(共五套)
2020年高考文科数学模拟试卷及答案（共五套）2020年高考文科数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1、设集合{}1 2 3 4U =，，，，集合{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（ ）A ．{}1 2，B ．{}1 4，C ．{}2 4，D ．{}1 3 4，，2、记复数z 的共轭复数为z ，若()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z =（）A ．2B ．1C ．22D ．23、命题p:∃x ∈N,x 3<x 2;命题q:∀a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a (x-1)的图象过点(2,0),则( )A. p 假q 真B. p 真q 假C. p 假q 假D. p 真q 真4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A ．18B ．20C ．21D ．255、已知 ，且，则A.B.C.D.6、已知 ， ， ，若 ，则A. B.—8 C. D. —27、执行如右图所示的程序框图，则输出 的值为A. B.C. D.8、等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ，则 的实轴长为 ( )A. B. C. D.9、已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则的外接圆面积为 A. B. 6π C. 7πD.10、一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）A ．3126cmB ．346cmC.3272cm D ．392cm11、已知，曲线 在点 ))1f(,1( 处的切线经过点，则有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值12、对实数 和 ，定义运算“ ”：．设函数 ，．若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13、 设变量 ， 满足约束条件则目标函数 的最大值为 ．14、已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为15、已知圆 ，则圆 被动直线 所截得的弦长是 .16、如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为．三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年湖南省衡阳市高考(文科)数学一模试卷 含解析
2020年高考（文科）数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+1）＜0}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0] B．（﹣1，1）C．（0，1）D．∅2．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为（1，﹣1），则z的实部与虚部的和是（）A．2 B．0 C．1+i D．1﹣i3．已知a＝，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c4．研究机构对20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）的关系进行了研究通过样本数据，求得回归方程，现有下列说法：①某人年龄为70岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约40.15%；②年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加0.45%；③20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）成正相关．上述三种说法中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个5．若，||＝2，且（﹣）⊥，则|﹣|＝（）A．2B．2 C．0 D．6．程序框图所示的算法来自于《九章算术》．若输入a的值为8，b的值为6，则执行该程序框图输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）．则此几何体的表面积为（）A．4+B．4+C．2+4D．48．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）|x2+（y﹣1）2≤1或}，若点（x，y）∈A，则z＝x+y的最大值是（）A．B．2 C．1+D．29．已知命题p：函数的定义域为R，命题q：存在实数x满足ax≤lnx，若p ∨q为真，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，] B．C．[2，+∞）D．（﹣∞，2] 10．已知F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若•＞0，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）11．已知A是函数f的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．12．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，N为边BC的中点，将△ABN绕直线AN翻转成△B1AN （B1∈平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在△ABN翻折过程中，①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；②线段CM的长恒为；③异面直线CM与NB1所成角的正切值为；④当三棱锥的体积最大时，三棱锥B1﹣AND外接球的体积是．上面说法正确的所有序号是（）A．①②④B．①③④C．②③D．①④．二、填空题13．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为．14．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A、B，若点M（2，t）满足＝（+），则|AB|＝．15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sin A sin B cos C＝sin2C，则：（1）＝，（2）∠C的最大弧度数为．16．己知直线y＝x+1上有两点A（a1，b1）、B（a2，b2），且满足，若a1＞a2，|AB|＝2，则这样的点A共有个．三、解答题17．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+C）＝．（1）求角A的大小；（2）若三边b，a，c的长成等比数列，△ABC的面积为，求a，b，c的长．18．病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究对病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗20 x A注射疫苗30 y B总计50 50 100 现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为．（1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防病毒有效？附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥K0）0.05 0.01 0.005 0.001 K0 3.841 6.635 7.879 10.828 19．已知在四棱锥C﹣ABED中，DE∥AB，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，AB＝2DE，DA＝DC且平面DAC ⊥平面ABC．（1）设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求四棱锥C﹣ABED的体积．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1、F2，A为椭圆上一点，AF1与y轴交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l1：x＝my+1与椭圆C相交于M、N两点，过M作与y轴垂直的直线l2，点K 坐标为，试问直线NK与直线l2交点的横坐标是否为定值，请说明理由．21．若方程f（x）＝x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+（a+1）x﹣alnx（e为自然对数的底数）a∈R．（1）当a≥0时f（x）是否存在不动点？并证明你的结论；（2）若a＝﹣e，求证f（x）有唯一不动点．请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ）（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线．如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A，O，B三点，求线段AB的长．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）设t为m的最大值，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝t．试证明：++≥1．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+1）＜0}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0] B．（﹣1，1）C．（0，1）D．∅【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|（x﹣1）（x+1）＜0}＝（﹣1，1}，B＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}＝（0，+∞），∴A∩B＝（0，1）．故选：C．2．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为（1，﹣1），则z的实部与虚部的和是（）A．2 B．0 C．1+i D．1﹣i【分析】由已知求得z，进一步得到z的实部与虚部，则答案可求．解：由题意，z＝1﹣i，∴z的实部为1，虚部为﹣1，其和是0．故选：B．3．已知a＝，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵，∴a＞c＞b，故选：A．4．研究机构对20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）的关系进行了研究通过样本数据，求得回归方程，现有下列说法：①某人年龄为70岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约40.15%；②年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加0.45%；③20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）成正相关．上述三种说法中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据题意，结合线性回归方程，对选项中的命题判断正误即可．解：对于①，对20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）的关系满足回归方程，年龄为70岁时，不能用该回归方程预测他体内脂肪含量，所以①错误；对于②，对20岁至50岁人体脂肪百分比y（%），年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加0.58%，所以②错误；对于③，由回归直线方程知，0.58＞0，所以20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）成正相关，③正确；综上知，正确的说法是③，有1种．故选：C．5．若，||＝2，且（﹣）⊥，则|﹣|＝（）A．2B．2 C．0 D．【分析】由向量垂直得（）＝＝＝0，再由|﹣|＝＝，能求出结果．解：∵，||＝2，且（﹣）⊥，∴（）＝＝＝2﹣2cos＜＞＝0，解得cos＜＞＝，∴|﹣|＝＝＝＝．故选：D．6．程序框图所示的算法来自于《九章算术》．若输入a的值为8，b的值为6，则执行该程序框图输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据框图一步一步进行运算，注意退出时的条件．解：a＝8，b＝6，继续循环；a＝2，b＝6，继续循环；a＝2，b＝4，继续循环；a＝2，b＝2，a＝b，退出循环；故选：B．7．已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）．则此几何体的表面积为（）A．4+B．4+C．2+4D．4【分析】根据斜二测画法知该几何体的底面积是直角三角形，结合题意画出图形，再计算该几何体的表面积．解：根据斜二测画法知，该几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为2、，如图所示，由此可计算出该几何体的表面积为S＝S△ABC+S△PAB+S△PBC+S△PAC＝×2×+×2×2+××2+×2×＝4++．故选：A．8．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）|x2+（y﹣1）2≤1或}，若点（x，y）∈A，则z＝x+y的最大值是（）A．B．2 C．1+D．2【分析】平移直线x+y＝0与圆相切，判断不重视的最大值，结合点到直线的距离求解即可．解：作直线x+y＝0，的平行线，与x2+（y﹣1）2＝1的右上方相切时，z＝x+y取得最大值，此时，圆的圆心（0，﹣1）到直线x+y﹣z＝0的距离等于1，解得z的最大值为：1+，故选：C．9．已知命题p：函数的定义域为R，命题q：存在实数x满足ax≤lnx，若p ∨q为真，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，] B．C．[2，+∞）D．（﹣∞，2] 【分析】分别求出p，q为真命题时对应的a的取值范围，进而求得结论．解：当P为真时：x2﹣ax+1≥0恒成立，即△＝a2﹣4≤0，解得：﹣2≤a≤2，当Q为真时：存在实数x满足ax≤lnx，即a≤（）max；令y＝，y'＝，当x∈（0，e），y'＞0，函数单调递增；当x∈（e，+∞），y'＜0，函数单调递减；故当x＝e时，函数有最大值＝；解得a≤；∵p∨q是真命题，故命题是p，q至少一个是真命题，则﹣2≤a≤2或a≤∴实数a的取值范围为（﹣∞，2]．故选：D．10．已知F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若•＞0，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【分析】求出交点坐标，利用向量的数量积转化求解即可．解：设过F1（﹣c，0）与双曲线的一条渐近线平行的直线bx＝ay﹣ac，与令一条渐近线方程bx+ay＝0的交点为：M（﹣，），•＝（，）•（，﹣）＞0，可得，所以e＝＞2．故选：D．11．已知A是函数f的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先化简函数，结合题意可得f（x2）＝f（x）max＝2，f（x1）＝f（x）min＝﹣2，，由此即可得解．解：∵＝＝，∴，又存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）＝f（x）max＝2，f（x1）＝f（x）min＝﹣2，∴．故选：B．12．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，N为边BC的中点，将△ABN绕直线AN翻转成△B1AN （B1∈平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在△ABN翻折过程中，①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；②线段CM的长恒为；③异面直线CM与NB1所成角的正切值为；④当三棱锥的体积最大时，三棱锥B1﹣AND外接球的体积是．上面说法正确的所有序号是（）A．①②④B．①③④C．②③D．①④．【分析】取AB1的中点K，AD的中点O，连接KM、KN、OB1、ON，结合图形，判断题目中的命题是否正确即可．解：取AB1的中点K，AD的中点O，连接KM、KN、OB1、ON，如图所示；所以CM∥NK，得出CM∥平面B1AN，所以①正确；由CM＝NK＝＝＝，所以②正确；由∠KNB1为异面直线CM与NB1所成的角，且tan∠KNB1＝＝，所以③错误；当三棱锥B1﹣AND的体积最大时，点O为四棱锥B1﹣AND外接球的球心，且R＝OA＝1，所以④正确；综上知，正确的命题序号是①②④．故选：A．二、填空题：共4小题每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为．【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可．解：∵0≤x≤π，∴由sin x≤得0≤x≤或≤x≤π，则事件“sin x≤”发生的概率P＝＝，故答案为：．14．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A、B，若点M（2，t）满足＝（+），则|AB|＝ 6 ．【分析】抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+2，由＝（+）可得M（2，t）是AB的中点，所以x1+x2＝4，所以|AB|＝x1+x2+2＝6．解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），∵直线AB过焦点F（1，0），∴|AB|＝x1+x2+2，又∵＝（+），则M（2，t）是AB的中点，∴x1+x2＝4，∴|AB|＝x1+x2+2＝6，故答案为：6．15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sin A sin B cos C＝sin2C，则：（1）＝ 2 ，（2）∠C的最大弧度数为．【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求；然后结合余弦定理及基本不等式即可求解cos C，进而可求C的范围．解：因为2sin A sin B cos C＝sin2C，所以2ab cos C＝c2，所以a2+b2﹣c2＝c2，所以，cos C＝＝，所以0＜C＜π，∴C，当且仅当a＝b时取等号．故答案为：2，．16．己知直线y＝x+1上有两点A（a1，b1）、B（a2，b2），且满足，若a1＞a2，|AB|＝2，则这样的点A共有2 个．【分析】依题意，向量，的夹角为或，作图容易得出结论．解：设向量，的夹角为θ，∵，∴夹角为或，又|AB|＝2，所以△ABO的外接圆半径R＝＝＝2．设其圆心为C，则C点到直线y＝x+1的距离为，所以C点应在直线y＝x+1平行且距离为的两条平行直线y＝x﹣1，y＝x+3上，且C点到原点O的距离为2，而原点O到y＝x+3的距离为＞2，所以y＝x+3上不存在这样的点，而原点O到直线y＝x﹣1的距离为＜2，所以y＝x﹣1上存在两个符合条件的点C，每个C点都确定唯一一个点A，所以这样的点A共有2个．故答案为：2．三、解答题：必做题5个，每题12分，选做题两个只选做一个，10分，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+C）＝．（1）求角A的大小；（2）若三边b，a，c的长成等比数列，△ABC的面积为，求a，b，c的长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A，进而可求A；（2）由已知结合三角形的面积公式可求bc，然后结合等比的性质可求a，再由余弦定理代入即可求．解：（1）因为a sin（A+C）＝．所以a sin B＝b sin（A+），故sin A sin B＝sin B sin（A+），所以sin A＝sin（A+）＝，所以tan A＝，∴，（2）由题意可得，＝＝，∴bc＝4，∵a2＝bc＝4，∴a＝2，由余弦定理可得，＝b2+c2﹣bc，∴b2+c2＝8，所以（b﹣c）2＝b2+c2﹣2bc＝0，所以b＝c，故b＝c＝2．18．病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究所加紧对病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗20 x A注射疫苗30 y B总计50 50 100 现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为．（1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防病毒有效？附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥K0）0.05 0.01 0.005 0.001K0 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】（1）根据2×2列联表的特征进行计算即可；（2）结合已知数据和K2的公式进行即可得解．解：（1）由已知条件可知：B＝0.4×100＝40，A＝100﹣B＝60，x＝60﹣20＝40，y＝40﹣30＝10．（2）∵＞10.828，∴有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防病毒有效．19．已知在四棱锥C﹣ABED中，DE∥AB，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，AB＝2DE，DA＝DC且平面DAC ⊥平面ABC．（1）设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求四棱锥C﹣ABED的体积．【分析】（1）取AC中点O连结DO，OF，推导出DO⊥AC，DO⊥平面ABC，四边形DEFO 为平行四边形，从而EF∥DO，由此能证明EF⊥平面ABC．（2）推导出直线BE与平面ABC所成角为∠EBF＝60°，E，F到平面DAC的距离相等，四棱锥C﹣ABED的体积为V C﹣ABED＝V E﹣DAC+V E﹣ABC，由此能求出结果．解：（1）证明：取AC中点O连结DO，OF，∵在△DAC中，DA＝DC，∴DO⊥AC，∵平面DAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DO⊥平面ABC，∵O，F分别为AC，BC的中点，∴AB∥OF，且AB＝2OF，又DE∥AB，AB＝2DE，∴OF∥DE，且OF＝DE，∴四边形DEFO为平行四边形，∴EF∥DO，∴EF⊥平面ABC．（2）解：∵EF⊥平面ABC，∴直线BE与平面ABC所成角为∠EBF＝60°，∵BF＝BC＝2，∴EF＝DO＝2，∵EF∥DO，∴E，F到平面DAC的距离相等，∵平面DAC⊥平面ABC，CF⊥AC，∴CF⊥平面DAC，∴E点到平面DAC的距离为2，∴四棱锥C﹣ABED的体积为：V C﹣ABED＝V E﹣DAC+V E﹣ABC＝＝4．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1、F2，A为椭圆上一点，AF1与y轴交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l1：x＝my+1与椭圆C相交于M、N两点，过M作与y轴垂直的直线l2，点K 坐标为，试问直线NK与直线l2交点的横坐标是否为定值，请说明理由．【分析】（1）连接AF2，由题意得AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|OB|＝＝，又e＝，a2＝b2+c2，可得a，b，c的值，从而求出椭圆C的方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），所以直线NK的方程为：y＝，令y＝y1，则有x＝+＝，联立直线l1与椭圆方程，利用韦达定理代入上式化简即可得到x＝2，故直线NK与直线l2的交点的横坐标为定值2．解：（1）连接AF2，如图所示：，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，所以BO为△F1AF2的中位线，又因为BO⊥F1F2，所以AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|OB|＝＝，又e＝，a2＝b2+c2，得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，∴，，∴直线NK的方程为：y＝，令y＝y1，则有x＝+＝＝＝，∴直线NK与直线l2的交点的横坐标为定值2．21．若方程f（x）＝x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+（a+1）x﹣alnx（e为自然对数的底数）a∈R．（1）当a≥0时f（x）是否存在不动点？并证明你的结论；（2）若a＝﹣e，求证f（x）有唯一不动点．【分析】（1）由f（x）＝x可得，，构造函数F（x）＝，x＞0，对其求导，然后结合导数可求函数单调性，进而可求最值，结合最值的范围可判断；（2）把a＝﹣e代入F（x），然后求导，结合导数与单调性的关系，结合最值情况进行判断．解：（1）当a≥0时f（x）不存在不动点，证明：由f（x）＝x可得，，令F（x）＝，x＞0，则F′（x）＝＝，当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得最小值F（1）＝a+e＞0故方程，没有实数根，即f（x）不存在不动点；（2）当a＝﹣e时，F（x）＝，则，令g（x）＝e x﹣ex则g′（x）＝e x﹣e，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递增，故g（x）≥g（1）＝0，当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得最小值F（1）＝a+e＝0，所以有唯一的实数根1，故f（x）有唯一的不动点．请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ）（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线．如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A，O，B三点，求线段AB的长．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C2的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为．转换为极坐标方程为（ρ∈R）．（2）曲线C1与C2相交于A，O，B三点，所以设A（），B（），所以，解得．，解得，则：|AB|＝|ρA﹣ρB|＝2a．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）设t为m的最大值，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝t．试证明：++≥1．【分析】（1）依题意，|x﹣6|+|x|≥m恒成立，而由绝对值不等式的性质可知|x﹣6|+|x|≥6，由此求得m的取值范围；（2）由（1）可知（a2+1）+（b2+1）+（c2+1）＝9，再利用柯西不等式直接证明即可．解：（1）由题意知，|x﹣6|+|x|≥m恒成立，又|x﹣6|+|x|≥|x﹣6﹣x|＝6，∴实数m的取值范围为（﹣∞，6]；（2）证明：由（1）可知，t＝6，故a2+b2+c2＝6，则（a2+1）+（b2+1）+（c2+1）＝9，∴，当且仅当“a2＝b2＝c2＝2”时取等号．。
【附加15套高考模拟试卷】湖南师大附中2020届高三模拟考试数学文科试题(二)含答案
湖南师大附中2020届高三模拟考试数学文科试题（二）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，已知四棱锥P ABCD -的高为3，底面ABCD 为正方形，PA PB PC PD ===且6AB =，则四棱锥P ABCD -外接球的半径为()A ．32 B ．2C ．3D ．32．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为（ ）A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．2018年，某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优.据当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率与人均月收入分别绘制成折线图（如图一）与不完整的条形统计图（如图二）.请从图中提取相关的信息：①10月份人均月收入增长率为20.9%左右； ②11月份人均月收入为2047元；③从上图可知该地9月份至12月份人均月收入比8月份人均月收入均得到提高. 其中正确的信息个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．各项都是正数的数列{}n a 满足12n n a a +=,且31116a a ⋅=,则5a =( ) A ．1B ．2C ．4D ．87．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意()()()(),,3x R f x f x f x f x ∈-=--=，则()2019f = A ．3- B ．0C ．1D ．38．某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们身高都处于,,,,A B C D E 五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（ ）A ．样本中男生人数少于女生人数B ．样本中B 层次身高人数最多C ．样本中D 层次身高的男生多于女生 D ．样本中E 层次身高的女生有3人9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F = ）A ．2213x y += B ．22132x y += C ．22196x y += D ．221129x y +=10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，满足()22sin 340a a B B -++=，27b =，则△ABC 的面积为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．2311．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．312．如图，是三世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图.它也被2002年在北京召开的国际数学家大会选定为会徽.正方形ABCD 内有四个全等的直角三角形.在正方形内随机取一点，则此点取自中间小正方形（阴影部分）的概率是（ ）A ．14B ．125C ．34D ．2425二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考文科数学模拟试卷(含两套,解析版)
模拟试卷一(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ＝{x |4x 2－4x ＋1≥0}，B ＝{x |x －2≥0}，则∁U B ＝( ) A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 A [由4x 2－4x ＋1≥0，得x ∈R ，所以U ＝R .又B ＝{x |x －2≥0}＝{x |x ≥2}，所以∁U B ＝(－∞，2)．故选A.]2．已知复数z ＝2＋i 1＋i ，则|z |＝( )A.52B.10C.102D.5C [z ＝2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )1－i 2＝3－i 2，所以|z |＝102，故选C.] 3．已知向量a ＝(1,2－λ)，b ＝(－2,3)，a∥b ，则实数λ＝( ) A ．3 B.72 C ．4D.92B [由a∥b 得，1×3＝(2－λ)×(－2)，解得λ＝72，故选B.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＜e )，ln x (x ≥e )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝( ) A.1e B ．e C ．1D ．－1C [由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (e)＝ln e ＝1，故选C.] 5．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值．我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141 592 6,3.141 592 7)．如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点，那么落在图中阴影部分的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)( )A ．0.16B ．0.17C ．0.18D ．0.19B [设圆的半径为r ，则圆的面积为πr 2，正六边形的面积为6×12×r ×32r ＝332r 2，故所求概率为1－332r 2πr 2＝1－332π≈0.17，故选B.] 6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．－2B ．2 C.12D ．－1D [执行程序框图，n ＝1，a ＝f (2)＝1－12＝12，n ＝2，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝－1，n ＝3，a ＝f (－1)＝1－1－1＝2，n ＝4，a ＝f (2)＝12，…，易知a 的取值以3为周期，所以当n ＝8时，a ＝－1，当n ＝9时，退出循环．输出的a ＝－1，故选D.]7．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，2x ＋y ≥0，x ＋y －1≤0，则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，4B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4D [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B (－1,2)，作出直线y ＝2x ，平移该直线，当直线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时，目标函数取得最小值，z min ＝－2×12＋12＝－12，当直线经过点B (－1,2)时，目标函数取得最大值，z max ＝－2×(－1)＋2＝4，所以目标函数的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4，故选D.]8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32A [如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.]9．先将函数f (x )的图象向右平移2π5个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的14，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2)的图象．已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的图象的对称轴方程是( )A ．x ＝4k π＋2π5，k ∈ZB ．x ＝4k π＋7π10，k ∈ZC ．x ＝2k π＋2π5，k ∈ZD ．x ＝2k π＋7π5，k ∈ZD [法一：设g (x )的最小正周期为T ，由题意和题图可知A ＝2，T 4＝9π20－π5＝π4，∴T＝π，∴ω＝2，∴g (x )＝2sin(2x ＋φ)，∵g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫9π20，2，∴9π10＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－2π5，k ∈Z .又|φ|＜π2，∴φ＝－2π5，∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π5.将函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π5的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象，再将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象向左平移2π5个单位长度，得到f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π5－2π5＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π5的图象．令12x －π5＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .故选D. 法二：由题图可知，函数g (x )的图象的对称轴方程为x ＝9π20＋k π2(k ∈Z )，将函数g (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移2π5个单位长度后得到f (x )的图象，故f (x )的图象的对称轴方程为x ＝⎝⎛⎭⎪⎫9π20＋k π2×4－2π5＝7π5＋2k π，k ∈Z .]10．设函数f (x )＝ln x ＋1－ax x，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，若函数f (x )的极小值不大于a ，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B [易知函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，则1a ＞a ＞0，得0＜a ＜1.由f ′(x )＝1x －1x2＝0，得x ＝1，当x ∈(a,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )的极小值为f (1)＝1－a ，由题可知1－a ≤a ，所以a ≥12，又0＜a ＜1，所以12≤a ＜1，故选B.] 11．已知经过原点O 的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于M ，N 两点(M 在第二象限)，A ，F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF 平分线段AN ，且|AF |＝4，则该椭圆的方程为( )A.x 29＋y 25＝1 B.x 236＋y 24＝1C.x 236＋y 232＝1 D.x 225＋y 224＝1 C [法一：由|AF |＝4得a －c ＝4，设M (m ，n )，则N (－m ，－n )，又A (a,0)，所以线段AN 的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫a －m 2，－n 2，F (a －4,0)．因为点M ，F ，P 在一条直线上，所以k MF ＝k FP ，即n －0m －(a －4)＝－n2－0a －m 2－(a －4)，化简得a ＝6，所以c ＝2，b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.法二：如图，取AN 的中点P ，连接MA ，OP ，因为O 是MN 的中点，P 是AN 的中点，所以OP ∥MA ，且|OP |＝12|MA |，因此△OFP ∽△AFM ，所以|OF ||AF |＝|OP ||AM |＝12，即c 4＝12，因此c ＝2，从而a ＝c ＋|AF |＝2＋4＝6，故b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.]12．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2＝c 2＋2ac cos C ，a cos C ＋3c cos A ＝0，则角A 为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°D [由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＋2ac cos C ，可得b ＝c 或cos C ＝0.易知cos C ≠0，从而B ＝C .由正弦定理得，sin A cos C ＋3sin C cos A ＝0，则sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，从而sin(π－B )＋2sin B cos A ＝0，所以cos A ＝－12，所以在△ABC 中，A ＝120°，故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)13．设函数f (x )＝sin x ＋x cos xax2(a ∈R ，a ≠0)，若f (－2 018)＝2，则f (2 018)＝________. －2 [易知函数f (x )＝sin x ＋x cos x ax2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x )＝sin (－x )＋(－x )cos (－x )a (－x )2＝－sin x ＋x cos xax 2＝－f (x )，所以函数f (x )是定义域上的奇函数，所以f (2 018)＝－f (－2 018)＝－2.]14．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．73[在正方体中作出该几何体的直观图如图所示，不妨将其记为棱台ABC A 1B 1C 1，易知AC ＝BC ＝1，A 1C 1＝B 1C 1＝CC 1＝2.因为CC 1⊥平面ABC ，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，A 1C 1⊥B 1C 1，所以V 棱台ABC A 1B 1C 1＝13CC 1·(S △ABC ＋S △A 1B 1C 1＋S △ABC ·S △A 1B 1C 1)＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＋12×2＝73.] 15．桌上共有8个球，甲、乙两人轮流取球，取到最后一球者胜利．规则：第一次取球至少1个，至多不超过总数的一半，每次取球的个数不超过前面一次取球的个数，且不少于前面一次取球个数的一半．如第一次甲取3个球，接着乙取球的个数为2或3.若甲先取球，为了有必胜的把握，第一次取球的个数应为________．3 [若甲取1个球，则乙取1个球，易知最终是乙胜．若甲取2个球，则乙可取2个球，然后，甲只能取2个球或1个球，无论如何都是乙胜．若甲取3个球，则乙只能取2个球或3个球，当乙取2个球时，接下来甲取1个球，乙取1个球，甲再取1个球，甲胜；当乙取3个球时，甲取完剩下的球，甲胜．若甲取4个球，则乙可取完剩下的球，乙胜．综上可知，甲第一次取3个球时有必胜的把握．]16．已知直线l ：x ＋2y －5＝0与定点A (1,2)，动点P 到点A 距离与到直线l 的距离相等，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，Q 是动点P 轨迹上的一点，|FQ |的最小值恰为双曲线C 的虚半轴长，则双曲线C 的离心率为________．5 [由题可知点A 在直线l 上，因而动点P 的轨迹为过点A 与直线l 垂直的直线，则点P 的轨迹方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，|FQ |的最小值即点F 到直线y ＝2x 的距离，由题知|FQ |的最小值恰为b ，那么直线y ＝2x 为双曲线的一条渐近线，从而ba＝2，则e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.]三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知递增数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝38，21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n (a n －a n ＋1)＝－a 2n ＋1，n ∈N *.(1)求a 2，并证明n ≥2时，a n ＋a n ＋1＝2n； (2)求S 2 019.[解] (1)令n ＝1，则2(a 1－a 2)＝－a 22，即a 22－2a 2＋34＝0，解得a 2＝12或a 2＝32，均符合题意．由21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n (a n －a n ＋1)＝－a 2n ＋1，得21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n －1(a n －1－a n )＝－a 2n ，n ≥2.两式相减得2n(a n －a n ＋1)＝a 2n －a 2n ＋1， ∵a n －a n ＋1≠0，∴a n ＋a n ＋1＝2n，n ≥2.(2)由(1)得S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝38＋22＋24＋…＋22 018＝38＋4×1－41 0091－4＝41 0103－2324.18．(本小题满分12分)2018年世界女排锦标赛于9月29日至10月20日在日本举行，为了解同学们观看现场直播的情况，对高一、高二年级各10个班级的同学进行问卷调查，各班观看人数统计结果如茎叶图所示．(1)①根据图中的数据，估计哪个年级平均观看人数较多？ ②计算高一年级观看人数的样本方差．(2)从高一年级观看人数不足20人的班级中随机抽取2个班，求这2个班分别是观看人数在10人以下与10人以上的概率．[解] (1)①设高一年级、高二年级观看人数的平均数分别为x ，y ， 那么x ＝8＋6＋12＋14＋16＋23＋25＋33＋33＋3210＝20.2，y ＝9＋11＋15＋14＋16＋22＋26＋28＋33＋3510＝20.9，所以高二年级平均观看人数较多．②由①知x ＝20.2，则高一年级观看人数的样本方差s 2＝110×[(20.2－8)2＋(20.2－6)2＋(20.2－12)2＋(20.2－14)2＋(20.2－16)2＋(20.2－23)2＋(20.2－25)2＋(20.2－33)2＋(20.2－33)2＋(20.2－32)2]＝97.16.(2)由茎叶图可知，高一年级观看人数不足20人的班级有5个，其中观看人数在10人以下的班级有2个，分别记为a ，b ，观看人数在10人以上且不足20人的班级有3个，分别记为C ，D ，E .从高一年级观看人数不足20人的班级中抽取2个班，抽取的结果有(a ，b )，(a ，C )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，C )，(b ，D )，(b ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种，设所求事件为事件A ，则事件A 包含(a ，C )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，C )，(b ，D )，(b ，E )，共6种不同的结果， 由古典概型概率计算公式得，P (A )＝610＝35.19．(本小题满分12分)如图所示的几何体B ACDE 中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，DC ⊥平面ABC ，DC ＝1，EA ⊥平面ABC ，EA ＝ 2.(1)若在EB 上存在点F ，使得BE ⊥平面AFC ，试探究点F 的位置； (2)在(1)的条件下，求三棱锥F BCD 的体积．[解] (1)由AB ⊥AC ，EA ⊥平面ABC ，得AC ⊥平面EAB ，所以AC ⊥BE ， 若BE ⊥平面AFC ，只需BE ⊥AF ， 在直角△ABE 中，EB ＝AB 2＋AE 2＝6，由射影定理AB 2＝BF ·BE ，可知BF ＝46＝263＝23BE ，所以点F 在BE 上靠近E 的三等分点处．(2)由题可知S 四边形AEDC ＝12×(1＋2)×2＝1＋2，则V B AEDC ＝13×S 四边形AEDC ×AB ＝2＋223，由(1)知，F 在BE 上靠近E 的三等分点处，因而V F AEDC ＝13V B AEDC ＝2＋229，又S △ABC ＝12×2×2＝2，所以V F ABC ＝13×S △ABC ×23EA ＝13×2×223＝429，所以V F BCD ＝V B AEDC －V F AEDC －V F ABC ＝49.20．(本小题满分12分)已知定点N (6,8)与圆O ：x 2＋y 2＝4，动点M 在圆O 上，MN 的中点为P .(1)若点P 的轨迹为圆C ，求圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，线段OC 的垂直平分线上，是否存在点Q ，过点Q 分别作圆O 与圆C 的切线(切点分别为A ，B )，使得|QA |＝|QB |，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，设P (x ，y )，则M (2x －6,2y －8)，因为点M 在圆O ：x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －6)2＋(2y －8)2＝4，从而可得圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1. (2)假设存在，设Q (x ，y )，若|QA |＝|QB |，则QC 2－1＝QO 2－4，即QO 2－QC 2＝3， 从而x 2＋y 2－(x －3)2－(y －4)2＝3，整理得，3x ＋4y －14＝0，故点Q 在直线3x ＋4y －14＝0上，而OC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，k OC ＝43，因而OC 的垂直平分线的方程为y －2＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，整理得，6x ＋8y －25＝0，易知直线3x ＋4y －14＝0与直线6x ＋8y －25＝0平行， 因此不存在满足题意的点Q .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－12ax 2＋b (a ＞0)，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值； (2)若函数f (x )有两个零点，求a 的值．[解] (1)由题可知f (0)＝1＋b ，f ′(x )＝e x－ax ，f ′(0)＝1，则函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y －1－b ＝x ，即y ＝x ＋1＋b ，由已知条件可得b ＝0，当a ＝1时，在[0,2]上，f ′(x )＝e x－x ＞0，函数f (x )在[0,2]上单调递增， 从而函数f (x )在[0,2]上的最小值为f (0)＝1，最大值为f (2)＝e 2－2.(2)法一：由(1)知f (x )＝e x－12ax 2，设g (x )＝f ′(x )＝e x－ax ，则g ′(x )＝e x－a ，令g ′(x )＝0，可得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．因而g (x )的最小值为g (ln a )＝a －a ln a ，若a －a ln a ≥0，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f (x )不会有两个零点，不合题意，因而a －a ln a ＜0，即a ＞e.因为g (0)＝1＞0，g (1)＝e －a ＜0，所以f ′(x )＝0在(0,1)内有解，即存在x 1∈(0,1)使f ′(x 1)＝0，同时存在x 2∈(1，＋∞)，使得f ′(x 2)＝0，即0＜x 1＜1＜x 2，e x 1＝ax 1，e x 2＝ax 2，当x ∈(－∞，x 1)时f (x )单调递增，当x ∈(x 1，x 2)时f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时f (x )单调递增，f (x )的大致图象如图所示．由于f (x 1)＝e x 1－12ax 21＝ax 1－12ax 21＝12ax 1(2－x 1)＞0，所以，若函数f (x )有两个零点，则函数f (x )的极小值f (x 2)＝0，f (x 2)＝e x 2－12ax 22＝ax 2－12ax 22＝12ax 2(2－x 2)＝0，得x 2＝2.由e x 2－12ax 22＝0，即e 2－12a ×22＝0，得a ＝e 22.法二：由(1)知，b ＝0，则函数f (x )＝e x－12ax 2，显然x ＝0不是零点，令f (x )＝0，分离参数，则a ＝2exx2，设h (x )＝2e x x 2(x ≠0)，则h ′(x )＝2e x(x －2)x3，令h ′(x )＝0，则x ＝2. 易知当x ∈(0,2)时h (x )单调递减，当x ∈(－∞，0)及x ∈(2，＋∞)时h (x )单调递增， 则h (x )的极小值为h (2)＝e 22，而当x ∈(－∞，0)时，h (x )＝2e xx 2＞0，数形结合可知，当a ＝e22时函数f (x )有两个零点．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝ 3.(1)写出曲线C 的普通方程以及直线l 的直线坐标方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积． [解] (1)消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1，2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3可化为3ρcos θ－ρsin θ＝3， 由极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得，直线l 的直角坐标方程为3x －y－3＝0.(2)易知原点O 到直线l 的距离d ＝32， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 24＋y 23＝1整理得，5x 2－8x ＝0，解得x ＝0或85，不妨令x 1＝0，x 2＝85，从而得A (0，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335，由两点间距离公式得|AB |＝165，所以S △OAB ＝12×|AB |×d ＝12×165×32＝435.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )≤|x |＋1；(2)若存在实数m ，使得f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＜m 有解，求m 的取值范围．[解] (1)由已知得，f (x )≤|x |＋1，即|2x －1|≤|x |＋1， 所以当x ＜0时，1－2x ≤－x ＋1，得x ≥0，此时无解； 当0≤x ＜12时，1－2x ≤x ＋1，得x ≥0，此时0≤x ＜12；当x ≥12时，2x －1≤x ＋1，得x ≤2，此时12≤x ≤2.从而不等式的解集为{x |0≤x ≤2}．(2)设g (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则g (x )＝|2x －1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤12，3x －2，12＜x ＜1，x ，x ≥1，作出函数g (x )的大致图象(图略)，数形结合可知，g (x )的最小值为－12，从而m ＞－12.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.模拟试卷二(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |x 3＝x }，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{0,1} C ．{－1,1} D ．{0,1，－1}A [法一：因为集合A ＝{x |x 3＝x }＝{0,1，－1}，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |(x －1)(x －2)≤0}＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{1}，故选A.法二：当x ＝－1时，(－1)2－3×(－1)＋2＞0，不满足集合B ，排除选项C ，D ；当x ＝0时，02－3×0＋2＞0，不满足集合B ，排除选项B ，故选A.]2．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝(1＋i)(2－i)，则z 的虚部为( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1C [由题意得，z ＝(1＋i )(2－i )1＋2i ＝(3＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－i ，所以z 的虚部为－1，故选C.]3．已知函数f (x )＝x e x(e 为自然对数的底数)的图象的一条切线的方程为y ＝x －2a ，则实数a 的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2A [由f (x )＝x e x 得，f ′(x )＝(x ＋1)e x，∵直线y ＝x －2a 为函数f (x )图象的一条切线，且f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴2a ＝0，∴a ＝0.]4．随着生活水平的提高，进入健身房锻炼的人数日益增加，同时对健身房的服务要求也越来越高，某健身房为更具竞争力，对各项服务都进行了改善，投入经费由原来的200万元增加到400万元，已知改善前的资金投入比例为：健身设施∶健身培训∶安全保障∶其他服务＝10∶5∶3∶2.改善后的经费条形统计图如图所示．则下列结论正确的是( )A ．改善后的健身设施经费投入变少了B ．改善后健身培训的经费投入是改善前的2.8倍C ．改善后安全保障的经费投入所占比例变大了D ．改善后其他服务的经费投入所占比例变小了B [A 项，改善前健身设施的经费投入为1020×200＝100(万元)，改善后为160万元，故A项错误．B 项，改善前健身培训的经费投入为520×200＝50(万元)，140÷50＝2.8，故B 项正确．C 项，改善后安全保障的经费投入所占比例为60400＝15%，改善前所占比例为320＝15%，改善前后安全保障的经费投入所占比例一样，故C 项错误．D 项，改善后其他服务的经费投入所占比例为40400＝10%，改善前所占比例为220＝10%，改善前后其所占比例没有变化，故D 项错误．故选B.]5．已知圆C 1：x 2－8x ＋y 2＋7＝0的圆心是双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线C 2的渐近线与圆C 1相切，则双曲线C 2的虚轴长为( )A ．3B ．6C ．7D ．27B [因为圆C 1：x 2－8x ＋y 2＋7＝0的标准方程为(x －4)2＋y 2＝9，所以圆C 1的圆心C 1(4,0)，半径为3.因为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，双曲线C 2的渐近线与圆C 1相切，所以|4b |a 2＋b2＝3，即7b 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2，c ＝4，所以b ＝3，所以双曲线C 2的虚轴长为2b ＝6.故选B.]6．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是教师，乙是医生，丙是记者B ．甲是医生，乙是记者，丙是教师C ．甲是医生，乙是教师，丙是记者D ．甲是记者，乙是医生，丙是教师C [由甲的年龄和记者不同与记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲是医生，故乙是教师．故选C.]7．设公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3(a 3＋a 5)，则S 11S 7＝( ) A.117 B.227 C.337 D.667D [法一：设数列{a n }的公差为d ，d ≠0，由a 6＝3(a 3＋a 5)得，a 1＋5d ＝3(a 1＋2d ＋a 1＋4d )＝6a 1＋18d ，所以a 1＝－135d ，所以S 11S 7＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－135d ＋55d7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－135d ＋21d＝667.故选D.法二：因为a 6＝3(a 3＋a 5)＝3(a 1＋a 7)，所以S 11S 7＝11(a 1＋a 11)27(a 1＋a 7)2＝11×2a 67×a 63＝667(易知a 6≠0)，故选D.]8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为()A ．126B ．62C ．30D ．14C [执行程序框图，S ＝0，S ＝0＋21＝2，(1－1)2＋(1－1)2＜16，n ＝1＋1＝2，x ＝1＋1＝2，y ＝1＋1＝2；S ＝2＋22＝6，(2－1)2＋(2－1)2＜16，n ＝2＋1＝3，x ＝2＋1＝3，y ＝2＋1＝3；S ＝6＋23＝14，(3－1)2＋(3－1)2＜16，n ＝3＋1＝4，x ＝3＋1＝4，y ＝3＋1＝4；S ＝14＋24＝30，(4－1)2＋(4－1)2＞16，退出循环．故输出S 的值为30.故选C.]9．将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到函数g (x )的图象，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上的最小值为( )A ．0B ．－12C ．－32D ．－3D [将函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π12的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3时，4x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π4，因此当4x －π12＝－π2，即x ＝－5π48时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上取得最小值－ 3.]10．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤y ＋1，x ＋1≥0，y ≤m 构成平面区域Ω，若∃(x ，y )∈Ω，3x －y ＜－5，则实数m 的值不可能为( )A. 3B. 5 C ．3 D ．23A [画出平面区域Ω如图中的阴影部分所示，因为∃(x ，y )∈Ω，3x －y ＜－5，所以应考虑目标函数z ＝3x －y ＋5的最大值，即图中交点P (－1，m )在直线3x －y ＋5＝0的上方，所以－3－m ＋5＜0，解得m ＞2.故选A.]11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan Atan B ＝2cb，则C ＝( )A.π4 B.π3 C.π6 D.3π4A [由1＋tan A tanB ＝2c b ，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sinC sin B，即cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cosA ，即sin(A ＋B )＝2sinC cos A ，又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ≠0，所以2cos A ＝1，cos A ＝12，所以A ＝π3.因为a ＝23，c ＝22，所以a ＞c ，所以A ＞C .由正弦定理a sin A ＝csin C 得23sinπ3＝22sin C ，所以sin C ＝22.又A ＞C ，所以C ＝π4.] 12．已知抛物线C ：y 2＝8x ，F 为其焦点，其准线l 与x 轴的交点为H ，过点H 作直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点E 到准线l 的距离为16，P 为直线m 上的动点，则点P 到点F 与点D (3,0)距离和的最小值为( )A ．3 B.14 C ．4 D.17D [由题意知，H (－2,0)，可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 2－8k 2，所以x E ＝－2＋4k 2，从而－2＋4k 2＋2＝16，解得k 2＝14，满足Δ＞0.由抛物线的对称性知k 的正负不影响结果，故可取k ＝12，则直线m 的方程为y ＝12(x ＋2)．设点D (3,0)关于直线m 的对称点为D ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－3＝－2，y 02＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋32＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝4，则D ′(1,4)，连接FD ′，PD ′，则|PF |＋|PD |＝|PF |＋|PD ′|≥|FD ′|＝(1－2)2＋(4－0)2＝17.故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上) 13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(k ，－6)，若a⊥(b －a )，则k ＝________.17 [由题意知，b －a ＝(k －1，－8)，a·(b －a )＝0，即k －1＋2×(－8)＝0，解得k ＝17.]14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤3，x ＋1，x ＞3，则使不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12成立的x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 212－1＝2，由f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12得，当0＜x ≤3时，|log 2x －1|＜2，得12＜x ≤3；当x ＞3时，x ＋1＜2，此时无解．综上所述，不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3.]15．设轴截面为正三角形的圆锥的体积为V 1，它的外接球的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 932[如图，设球O 的半径为R ，则由△ABC 是正三角形可得圆锥的底面圆半径r ＝BO 1＝32R ，高h ＝AO 1＝32R ，所以V 1＝13πr 2h ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2×32R ＝38πR 3，V 2＝43πR 3，所以V 1V 2＝932.] 16．数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2n －1a n ＋1a n .设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1－a n a n ＋1的前n 项和为T n ，则2n －1T n ＋12n －1＝________. 2 [∵a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2n －1a n ＋1a n ，a n ≠0，∴S n ＋1a n ＋1－S n a n ＝2n －1，则S 2a 2－S 1a 1＝1，S 3a 3－S 2a 2＝2，…，S n a n －S n －1a n －1＝2n －2(n ≥2，n ∈N *)．以上各式相加，得S n a n －S 1a 1＝1＋2＋…＋2n －2.∵S 1a 1＝1，∴S n a n－1＝2n －1－1，∴S n ＝2n －1a n (n ≥2，n ∈N *)．∵n ＝1时上式也成立，∴S n ＝2n －1a n (n ∈N *)，∴S n ＋1＝2n a n＋1.两式相减，得a n ＋1＝2na n ＋1－2n －1a n ，即(2n －1)a n ＋1＝2n －1a n ，∴2a n ＋1－a n a n ＋1＝12n －1，∴T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1， ∴2n －1T n ＋12n －1＝T n ＋12n －1＝2.]三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝23.(1)若△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，求sin A 的值； (2)若b cos A ＋a cos B ＝2，a ＋b ＝6，求△ABC 的面积．[解] (1)法一：因为△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，所以A ＝B ， 则cos(A ＋B )＝cos 2A ＝－cos C ＝－23.又cos 2A ＝1－2sin 2A ，所以1－2sin 2A ＝－23，得sin A ＝306.法二：因为△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，所以A ＝B .因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝23，所以cos C 2＝306， 易知A ＋C 2＝90°，所以sin A ＝cos C 2＝306.(2)因为b cos A ＋a cos B ＝2，所以由余弦定理可得b ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋c 2－b 22ac ＝2，即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－43ab ＝(a ＋b )2－103ab ＝4.又a ＋b ＝6，所以ab ＝485.因为cos C ＝23，所以sin C ＝53，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×485×53＝855.18．(本小题满分12分)某市爱心人士举办宠物领养活动，为流浪猫、狗寻找归宿，共有560人参加了此次活动，该市宠物收留中心统计了其中70名参加活动的市民的领养意愿，得到如下的统计表．12(1)求出n 1，n 2的值，并以此样本的频率估计总体的概率，试估计此次参加活动的人中两种流浪宠物都愿意领养的人数；(2)在此次参加活动并有领养意愿的市民中，按分层抽样的方法选取6名市民，在这6名市民中随机抽取2名当场讲解宠物饲养经验，求抽取的2人恰为仅愿意领养一种流浪宠物的市民的概率．[解] (1)由题意可得，n 1＋n 2＝40，结合已知条件n 1∶n 2＝1∶3，可得n 1＝10，n 2＝30.用样本的频率估计总体的概率，可知两种流浪宠物都愿意领养的人数为3070×560＝240.(2)由(1)可知，n 1∶20∶n 2＝1∶2∶3，由分层抽样的方法可得，6名市民中仅愿意领养流浪狗的市民有6×11＋2＋3＝1(名)，仅愿意领养流浪猫的市民有6×21＋2＋3＝2(名)，两种流浪宠物都愿意领养的市民有6×31＋2＋3＝3(名)．这6名市民中，仅愿意领养流浪狗的1名市民记为A ，仅愿意领养流浪猫的2名市民分别记为B ，C ，两种流浪宠物都愿意领养的3名市民分别记为D ，E ，F .从这6名市民中随机抽取2名的结果有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，其中恰为仅愿意领养一种流浪宠物的情况有AB ，AC ，BC ，共3种， 故所求的概率为315＝15.19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 中，底面四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝BC ＝2AD ＝4，△PAB 是等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，E 是PB 的中点，点M 在棱PC 上．(1)求证：AE ⊥BM ；(2)若三棱锥C MDB 的体积为1639，且PM ＝λPC ，求实数λ的值．[解] (1)因为四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC 且AD ⊥AB ，所以BC ⊥AB . 又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ， 又AE ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AE .因为△PAB 是等边三角形，E 是PB 的中点，所以AE ⊥PB . 又AE ⊥BC ，BC ∩PB ＝B ，所以AE ⊥平面PBC ， 又BM ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BM .(2)过点P 作PF ⊥AB 于点F ，连接CF (图略)， 易知PF ⊥平面ABCD ，则PF ⊥CF .因为△PAB 是等边三角形，AB ＝4，所以PF ＝2 3. 过点M 作MN ⊥CF 于点N (图略)，易知MN ∥PF ，CM CP ＝MNPF. 因为V 三棱锥P BCD ＝13×12×4×4×23＝1633，V 三棱锥C MDB ＝1639＝V 三棱锥M BCD ，所以V 三棱锥M BCD V 三棱锥P BCD ＝16391633＝13.又V 三棱锥M BCD V 三棱锥P BCD ＝MN PF ＝13，所以CM CP ＝MN PF ＝13，PM CP ＝23，所以λ＝PM PC ＝23.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点E (2，1)，其左、右顶点分别为A ，B ，且离心率e ＝22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M (x 0，y 0)为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，MN ⊥AB 于点N ，直线l ：x 0x ＋2y 0y －4＝0.①证明：直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点；②设过点A 且与x 轴垂直的直线与直线l 交于点P ，证明：直线BP 经过线段MN 的中点．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(2)2a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①由题意知y 0≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，x 0x ＋2y 0y －4＝0得(x 20＋2y 20)x 2－8x 0x ＋16－8y 20＝0.因为点M (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20＋2y 20＝4，则x 2－2x 0x ＋x 20＝0，即(x －x 0)2＝0， 得x ＝x 0，y ＝y 0.所以直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即点M . ②由(1)知，A (－2,0)，B (2,0)，过点A 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－2， 结合方程x 0x ＋2y 0y －4＝0，得点P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，x 0＋2y 0. 直线PB 的斜率k ＝x 0＋2y 0－0－2－2＝－x 0＋24y 0， 则直线PB 的方程为y ＝－x 0＋24y 0(x －2)． 因为MN ⊥AB 于点N ，所以N (x 0,0)，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02. 令x ＝x 0，得y ＝－x 0＋24y 0(x 0－2)＝4－x 24y 0.因为x 20＋2y 20＝4，所以y ＝4－x 204y 0＝2y 204y 0＝y 02，所以直线PB 经过线段MN 的中点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，y 02.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1. (1)当a ＝1时，求证：f (x )≤12x －12；(2)若不等式f (x )≤0在[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 设g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12＝ln x －x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12＝ln x －x －12x ＋32，则g ′(x )＝1x －12x －12＝－x ＋x －22x ＝－(x －1)(x ＋2)2x .所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以g (x )≤g (1)＝0， 所以f (x )≤12x －12.(2)因为f (x )＝a ln x －x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x ＝－x －2a2x.①当a ≤0时，因为x ∈[1，e]，所以f ′(x )<0， 所以f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )≤f (1)＝0，所以a ≤0满足题意． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝4a 2，所以当x ∈(0,4a 2)时，f ′(x )＞0，当x ∈(4a 2，＋∞)时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在(0,4a 2)上单调递增，在(4a 2，＋∞)上单调递减． 当4a 2≥e ，即a ≥e2时，f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )≤f (e)＝a －e ＋1≤0，所以a ≤e －1，此时无解． 当1＜4a 2＜e ，即12＜a ＜e 2时，f (x )在(1,4a 2)上单调递增，在(4a 2，e)上单调递减，所以f (x )≤f (4a 2)＝a ln 4a 2－2a ＋1＝2a ln 2a －2a ＋1≤0. 设h (x )＝2x ln 2x －2x ＋1，则h ′(x )＝2ln 2x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2时，h ′(x )＞0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2上单调递增，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2时，h (x )＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，不满足题意．当0＜4a 2≤1，即0＜a ≤12时，f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )≤f (1)＝0，所以0＜a ≤12满足题意．综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2.(1)设点M ，N 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|MN |的最大值；(2)设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与曲线C 1交于P ，Q 两点，且|PQ |＝1，求直线l 的普通方程．[解] (1)曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)，半径r 1＝2. 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，圆心C 2(0,0)，半径r 2＝2， ∴|MN |max ＝|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝3＋2＋2＝7.(2)将直线l 的参数方程代入(x －3)2＋y 2＝4中，得(t cos α－4)2＋(t sin α)2＝4，整理得t 2－8t cos α＋12＝0，Δ＞0，设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1＋t 2＝8cos α，t 1t 2＝12，又|PQ |＝1，∴|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(8cos α)2－4×12＝1，解得cos α＝±78，满足Δ＞0，∴直线l 的斜率为tan α＝±157， ∴直线l 的普通方程为y ＝±157(x ＋1)． 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －5|－|x ＋1|. (1)解不等式：f (x )＜3x ；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤ax 2－x ＋3恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞52，x －6＜3x或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤52，4－3x ＜3x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，6－x ＜3x ，解得x ＞23，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞23.法二：如图，作出函数f (x )的图象，利用f (x )的图象解不等式，由4－3x ＝3x ，解得x ＝23，由图象可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞23. (2)法一：当x ∈[1,2]时，f (x )＝4－3x ，则不等式f (x )≤ax 2－x ＋3可化为ax 2＋2x －1≥0，令g (x )＝ax 2＋2x －1，易知函数g (x )＝ax 2＋2x －1的图象恒过点(0，－1)，由函数g (x )＝ax 2＋2x －1的图象可知，要使x ∈[1,2]时，f (x )≤ax 2－x ＋3恒成立，需a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，g (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，g (1)≥0，g (2)≥0，解得a ≥－34，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. 法二：当x ∈[1,2]时，f (x )＝4－3x ，则不等式f (x )≤ax 2－x ＋3可化为a ≥1x 2－2x，因为x ∈[1,2]，1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以1x 2－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1≤－34，所以a ≥－34，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞.。