洛必达法则
洛必达法则
x 1 2 − 2 1 + x = lim x 解 原式 = lim = 1. x→+∞ x→+∞ 1 + x2 1 − 2 x tan x ∞ .( ) 例5 求 lim π x→ tan 3 x ∞ 2
1 cos2 3x sec x = lim 解 原式 = lim π 3sec2 3 x 3 x→π cos2 x x→ 2 2
lnsin 2x ∞ lim .( ) 例3 求 x→0 lnsin 3x ∞
+
2cos 2x ⋅ sin 3x cos 2x 解 原式 = lim = lim = 1. x→0 3cos 3 x ⋅ sin 2 x x→0 cos 3 x
+
+
π
例4
求 lim 2
x→+∞
− arctan x 1
. (0)
3. 0 , 1 , ∞ 型
0 ∞ 0
步骤: 步骤:
00 0 ⋅ ln 0 ∞ 1 取对数→∞ ⋅ ln1 ⇒ 0 ⋅ ∞. 0 ⋅ ln ∞ ∞0
+
x 0 例9 求 lim x . ( 0 ) x→0
解
ln x 原式 = lime , 而 lim x ln x = lim x→0 x→0 1 x→0 x 1 = lim x = 0. ∴原式 = e0 = 1. x→0 −1 2 x
第二节
洛必达法则
0 ∞ 一、型及 型未定式解法: 洛必达法则 0 ∞
0 二、⋅ ∞, ∞ − ∞,00 ,1∞ , ∞0型未定式解法
0 ∞ 一、型及 型未定式解法: 洛必达法则 0 ∞
定义 如果当x → a(或 x → ∞)时,两个函数 f ( x) 与F( x)都趋于零或都趋于无穷大,那末极 f ( x) 0 ∞ 限 lim 称为 型或 型未定式 . x→a F( x) 0 ∞ ( x→∞)
洛必达法则概念
洛必达法则概念
洛必达法则是指在平面直角坐标系中一边固定的直线上，点到该直线距离的平方和最小等于每个点到该直线垂线距离的平方和。
该法则常被应用于线性回归分析中，用于确定最佳拟合直线。
具体而言，洛必达法则包含以下几个概念：
1. 直线：指在坐标系中固定的一条直线，其位置可以由方程y = mx + b表示，其中m为直线的斜率，b为其截距。
2. 点到直线距离的平方：指点到直线的垂线段长度的平方，可以用勾股定理求得。
3. 最小值：指在一组数据中，最小的数值，可以用微积分中的极值定理求得。
4. 拟合直线：指通过最小二乘法求得的最佳拟合直线，该直线与数据点的距离平方和最小。
洛必达法则的应用范围广泛，不仅可以在统计学中使用，还可以用于机器学习、金融、物理学等领域。
其原理简单易懂，但需要熟练掌握相关的数学知识才能进行有效的应用。
- 1 -。
洛必 达法则
这个结论就是如下的 0 型未定式求极限的洛必达法则． 0
3.2.1
定理 1
0 与 型未定式 0
o
设 F(x) ， G(x) 在 x0 的某去心邻域U (x0 ) 内有定义，且满足：
（1） lim F(x) 0 ， lim G(x) 0 ；
xx0
xx0
o
（2） F(x) ， G(x) 在U (x0 ) 内可导，且 G(x) 0 ； （3） lim F(x) 存在（或为 ），
tan x x
lim
x0
x2 sin x
lim
x0
tan x x3
x
sec2 x 1
tan2 x
lim
lim
x0 3x2
x0 3x2
．
又因为 tan x ~ x (x 0) ，所以
lim
x0
tan x x x2 sin x
x2 lim
x0 3x2
1． 3
3.2.1 0 与 型未定式 0
例4
求
lim
x
ln x x2
．
解 lim ln x lim 1 0 ． x x 2 x 2x2
例5
求 lim x
x2 ex
．
解
x2
lim
x
ex
lim
x
2x ex
lim
x
2 ex
0．
结论 x 时，幂函数增大的速度快于对数函数，指数函数增大的速度快
于幂函数（由例 4、例 5 得出）．
3.2.1 0 与 型未定式 0
1
lim x ln x lim ln x lim x lim (x) 0 ．
x0
1 x0 x
洛必达法则
洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。
这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。
洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。
通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。
洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。
洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。
洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。
若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。
示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。
假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。
首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。
总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。
洛必达法则的原理及应用
洛必达法则的原理及应用一、洛必达法则的原理洛必达法则，又称为洛必达规则或洛必达法则，是微积分中应用极限概念的一种方法，用于求解极限的一种计算技巧。
其原理基于导数和极限的关系，通过对函数的导数进行运算，可简化求解复杂极限的过程。
洛必达法则的核心原理是，如果一个函数在某个点的极限不存在或者为无穷大，但是该函数的导数在该点存在，则可以通过对该函数及其导函数进行比较，从而确定极限的值。
二、洛必达法则的公式洛必达法则有两种常见的表达方式：1.使用洛必达法则的第一种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = 0且lim(x->a) g(x) = 0，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]，其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。
2.使用洛必达法则的第二种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = ±∞且lim(x->a) g(x) = ±∞，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]。
三、洛必达法则的应用示例以下是几个洛必达法则的具体应用示例：1.求解极限lim(x->∞) [x^2 / e^x]：根据洛必达法则，可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->∞) [x^2 / e^x] = lim(x->∞) [2x / e^x] = lim(x->∞) [2 / e^x] = 0。
所以，lim(x->∞) [x^2 / e^x] = 0。
2.求解极限lim(x->0) [(sinx - x) / x^3]：可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->0) [(sinx - x) / x^3] = lim(x->0) [(cosx - 1) / 3x^2] = lim(x->0) [-sinx / 6x] = -1/6。
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
洛必达法则公式表
洛必达法则公式表德国物理学家恩斯特·洛必达（Ernst Mach）在19世纪末提出了洛必达法则，它被认为是科学中关于物体运动的最基本的定律之一、洛必达法则描述了物体受力时的运动状况，是牛顿第二定律的一种特殊形式。
下面是洛必达法则的公式表及其详细解释。
F=m*a解释：F：物体所受合力的大小，单位为牛顿（N）m：物体的质量，单位为千克（kg）a：物体的加速度，单位为米每秒的平方（m/s²）根据洛必达法则，物体所受合力的大小与加速度之间存在直接的关系。
当物体受到的合力增大时，加速度也会相应增大；反之，当物体受到的合力减小时，加速度也会相应减小。
同时，物体的质量也会影响其加速度，质量越大，物体相同力量作用下加速度越小。
a=F/m这个公式表明，物体受到的合力除以其质量，等于物体的加速度。
这意味着我们可以通过测量物体的质量和给定物体所受的合力来计算其加速度。
另外，根据洛必达法则公式的变形，可以得到以下公式：F=m*Δv/Δt这个公式表明，物体所受合力等于质量乘以速度变化的比率（加速度）。
速度变化可以通过将物体的初始速度与最终速度相减得到，时间变化可以通过将物体的初始时间与最终时间相减得到。
总结：洛必达法则的公式表为F=m*a，其中F为物体所受合力的大小，m为物体的质量，a为物体的加速度。
根据洛必达法则，合力与加速度之间存在直接的关系，质量也会影响加速度。
公式也可以重写为a=F/m或F=m*Δv/Δt，这些公式可以帮助我们计算物体在受力作用下的运动情况。
洛必达法则公式表在物理学中是非常基础和重要的一个概念。
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
4.3 洛必达法则
证明 : f ( x ) 在 x = 0 点右可导 , 且 f +′ (0) = A. a −b lim (a、b > 0) x →0 x
x x
lim π
x→
π 2
cos x 2 −x
lim x→2
→
x 2 − 2x
cos
π
2 x + 2− x − 2 lim . 2 x →0 x
用罗必塔法则也不一定总是最简便,有时可灵活选用 用罗必塔法则也不一定总是最简便, 其他简便方法，或者两者结合起来应用。方法包括: 其他简便方法，或者两者结合起来应用。方法包括 1.不影响极限类型的乘积因子应及时分出( 1.不影响极限类型的乘积因子应及时分出(不定式因子 不影响极限类型的乘积因子应及时分出 的分离) 的分离)； 2.能用等价无穷小代替的因子应及时用等价无穷小代替； 能用等价无穷小代替的因子应及时用等价无穷小代替； 能用等价无穷小代替的因子应及时用等价无穷小代替 3.能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化。 3.能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化。 能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化 4.变量代换法等 变量代换法等. 4.变量代换法等.
0 0
e x − e− x ex + e−x e x + e−x = (4) lim x −x × lim x = lim x x → +∞ x → +∞ e + e − x x→+∞ e − e e − e−x x − sin x 1 − cos x ( 5) lim =x ×lim 1 − sin x x →∞ x + cos x →∞
x + sin x 例、求lim x x→0 (e − 1)(cos2 x + 1) x + sin x 解 lim x x→0 (e − 1)(cos2 x + 1)
洛必达法则的定义
洛必达法则的定义-理解物质守恒的基本法则物质是不可以被创造和毁灭的，但它可以改变形式。
洛必达法则是阐述物质守恒的基本法则之一，它告诉我们当一个物体或系统被应用力作用时会发生什么。
传统的新托尼科学认为，一切都可以通过加强力来变得更好。
然而，洛必达法则在这个观点的基础上提出了自己的见解。
它告诉我们力可能使一个物体获得动能或者使它失去动能。
有哪些？可以有多种形式，我们可以从不同的方面去理解它，例如：Ⅰ、洛必达法则定义洛必达法则是动能定理的推广，它表明在受到应用力系统的动能不断变化时，动能变化率等于应用力对系统做的功率。
这个定义是洛必达法则最基本的定义。
Ⅱ、从力学的角度来看洛必达法则力学定律告诉我们所有的事情都是有规律可循的。
洛必达法则只是其中一个定律，它的意义就是告诉我们，当一个物体或系统受到应用力时，会产生什么样的结果。
应用力就是让物体或系统发生运动或者改变运动状态的力。
当应用力加到物体或系统上时，物体或系统就会获得动能。
这个动能指的是物体或系统的动量和速度。
Ⅲ、洛必达法则的两种形式洛必达法则有两种形式。
第一种形式描述一个单一物体或系统的动能变化率。
它的公式如下：F=ma，其中F是应用力，m是质量，a是加速度。
第二种形式描述所有受到力的物体或系统的和。
公式如下所示：ΣF=ma，其中ΣF是所有力的总和，m是物体或系统的质量，a是加速度。
洛必达法则常见的应用场景洛必达法则在物理学中的应用广泛，如：Ⅰ、基本的物理实验在物理实验中，洛必达法则被广泛应用。
例如，一个弹簧压缩机内的弹簧受到了一个力，它会获得动能。
这个动能可以测量物体的质量，加速度和力之间的关系。
Ⅱ、分析动量转移洛必达法则是理解动量和速度转移的基础。
例如，当一个棒球击中一个球棒上时，洛必达法则告诉我们棒球速度变化的原因。
如果棒球击中的力大于球棒反作用力，那么棒球就会减速；如果碰撞力小于反作用力，棒球会加速。
Ⅲ、设计机械系统洛必达法则可以用来设计机械系统。
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=
m(m为正整数), 则
lim
x→+∞
xα ex
= 0.
(2)当α不是正整数,则总有正整数k使α − k < 0,于是连续求k次导数后,
xα
有 lim x→+∞
ex
=
lim
x→+∞
αxα
ex
−1
=
=
lim
x→+∞
α
(α
−1)(α −
ex
k
+ 1)
⋅
xα
−k
=
lim
x→+∞
α
(α
−1)(α
xk −α e x
x→x0 g′(x)
x→x0 g(x) x→x0 g′(x)
2018/11/22
Edited by Lin Guojian
1
用该方法求极限有许多优点 :
(1) :当f (x), g(x)的零因子无法以(x − x0 )的幂形式表现出来时, f (x)
就不能用消去公因子来求 lim . x→x0 g(x)
x→0+
1 (−1) x −1
=
lim (−x) = 0.
x→0+
错解 : lim x ln x = lim x = lim 1 = lim[−x(ln x)2 ] = lim − x
x→0+
1 x→0+ ln x
x→0+
−
1 (ln x)2
1 x
x→0+
1 x→0+ (ln x)2
= lim
−1
= lim 1 x(ln x)3 = 1 lim x = 1 lim
=
−1. 2
2018/11/22
Edited by Lin Guojian
4
例：lim sin x − ln(1 + x) .
x→0
x2
解：lim
sin
x
−
ln(1
+
x)
=
lim
cos
x
−
1
1 +
x
(1 + x)cos x − 1
= lim
1+ x
x→0
x2
x→0
2x
x→0
2x
=
lim (1 +
x)cos x
而 lim n→∞
2 − cos(2nπ 1− 2sin(2nπ
其它5种不定型 : 0 ⋅ ∞; + ∞ − (+∞); − ∞ − (−∞); ∞0; 00; 1∞
都可以化为 0 或 ∞ . 0∞
注 : 0 ⋅ ∞ = 1 ⋅ ∞ = ∞ 或者0 ⋅ ∞ = 0 ⋅ 1 = 0
∞∞
00
+ ∞ − (+∞) = 1 − 1 = 1−1 = 0 00 0 0
00 = e0 ln 0 = e0⋅∞ .
15
洛必达法则失效的情形
例1: lim x + sin x = lim 1+ cos x = lim[1+ cos x]不存在.
x→∞
x
x→∞ 1
x→∞
但不能说 lim x + sin x 不存在. x→∞ x
实际上 : lim x + sin x = lim1+ sin x = 1+ lim sin x = 1+ 0 = 1.
−1)(α − k +1)
x(ln x)k−α
= 0.
例 : 当α
≤ 0时,则 lim (ln x)α x x→+∞
=
lim
x→+∞
1 x(ln x)−α
= 0.
例 : 当β
>
0时,
α为实数,
则
lim
x→+∞
(ln x)α xβ
= 0.
2018/11/22
Edited by Lin Guojian
9
12
例: lim 1 − 1 .[±∞ − (±∞)] x→0 sin x x
解
:
lim x→0
1 sin
x
−
1 x
=
lim
x→0
x − sin x x sin x
=
lim
x→0
x
− sin x2
x
=
1− cos lim x→0 2x
x
= lim
1 2
x2
= lim
x
= 0.
x→0 2x x→0 4
例：lim x2 −1 = lim(x +1) = 2, 例：lim sin x − ln(1+ x) = 1 .
x→1 x −1 x→1
x→0
x2
2
(2)许多函数的导函数是幂函数或者是幂函数的四则运算,
f ′(x)
f (x)
此时 lim 比 lim 更容易求. 例: ln x, arctan x等.
x→0+
x
− αx−α −1
=
lim
x→0+
1
− αx−α
=−1
α
lim
x→0+
1 x −α
= − 1 lim xα
α x→0+
= 0.
2018/11/22
Edited by Lin Guojian
11
例
:
lxi→m0
1 ln(1 +
x)
−
1 x
.
解
:
lxi→m0
1 ln(1 +
x)
−
14
例 : lim x xx −1. x→0+
解 : lim x xx −1 = lim xex ln x −1 = lim e . (ex ln x −1)ln x
x→0+
x→0+
x→0+
而 : lim(ex ln x − 1)ln x = lim x ln x ln x
x→0+
x→0+
1
=
(ln lim
4.3、洛必达法则
洛必达法则4.1: (0 型). 0
设f (x) = o(1), g(x) = o(1), (x → X ),且f (x), g(x)在x → X下所允许的领域内满足 柯西中值定理条件,若 lim f ′(x) = A(其中A为有限数或者A = ±∞均可),
x→X g′(x) 则 lim f (x) = lim f ′(x) = A.
x→x0 g′(x) x→x0 g(x)
(3)泰勒公式也可以用来求两个无穷小量之比的极限, 但是这种方法要求知道 函数的泰勒公式, 而我们只知道几个初等函数的泰勒公式, 故这种方法不具有普遍性.
2018/11/22
Edited by Lin Guojian
2
洛必达法则4.2 : (∞ 型). ∞
设f (x) = ∞, g(x) = ∞, (x → X ),且f (x), g(x)在x → X下所允许的领域内 满足柯西中值定理,若 lim f ′(x) = A(其中A为有限数或者A = ±∞均可).
=
sin x −
lim
x→0
x3
x
= lim cos x − 1
− 1 x2 = lim 2
=
1 −.
x→0 3x2
x→0 3x2
6
1
⇒ lim sin x x2
=
lim
e
1 x2
ln
sin x
x
−1
= e 6.
x→0 x
x→0
2018/11/22
Edited by Lin Guojian
7
例: lim (ln x)m (m为正整数). x x→+∞
解:
lim
(ln x)m
=
lim
m(ln x)m−1
1 x
=
lim
m(ln x)m−1
=
lim
m(m −1)(ln x)m−2
1 x
x x→+∞
x→+∞
1
x→+∞
x
x→+∞
1
= lim m(m − 1)(ln x)m−2
x →+∞
x
1
= = lim
x→X g(x) x→X g′(x)
特别地, (1) : 设f (x) = o(1), g(x) = o(1), (x → x0 ).
(2) : f (x)与g(x)在(x0 − δ , x0 + δ )内可导, 且g′(x) ≠ 0, x ∈ (x0 − δ , x0 + δ ).
(3) : lim f ′(x) = A. 则 lim f (x) = lim f ′(x) = A.
而 lim 2 − cos(2nπ ) = lim 2 −1 = 1. n→∞ 1− 2 sin(2nπ ) n→∞ 1
但 lim 2x − sin x = lim
2 − sin x x
= 2.
(2)取bn
=
2nπ
+
π
2
, 则当n
→
∞时, bn
→
+∞.
x→+∞ x + 2 cos x x→+∞ 1+ 2 cos x x
x→∞
x
x→∞
x
x→∞ x
例2 : lim