2020届高三数学一诊模拟试题 理 第I卷(选择题 共60分)
2020届普通高等学校招生全国统一考试模拟测卷(一)(全国Ⅲ卷)数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测卷（一）（全国Ⅲ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U =R ，142A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =≤-，12C x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则集合C =() A ．()UA B ⋂B ．()UA B C ．()UA BD ．()UA B答案：B观察集合,A B ，算出A B ，再算其补集，即可得答案；解：全集U =R ，142A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =≤-， 12A B x x ⎧⎫∴⋃=<⎨⎬⎩⎭，∴()12U AB x xC ⎧⎫=≥=⎨⎬⎩⎭，故选：B. 点评：本题考查集合的交、并、补运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z -=（） A ．12i -+ B ．12i -C ．-1D ．12i +答案：D因为复数1z i =+，所以222221+1+1+12(1)2z i i i i i z i i-=-=-=+=++，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分． 3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图（如图①）、90后从事互联网行业岗位分布条形图（如图②），则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980~1989年之间出生，80前指1979年及以前出生. A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多答案：D根据饼图中的数据结合岗位分布图中的数据，对选项进行一一分析，即可得答案；解：对A，可知90后占了56%，故A正确；对B，技术所占比例为39.65%，故B正确；对C，可知90后明显比80前多，故C正确；对D，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故D错误.故选：D.点评：本题考查统计图的信息提取，考查数据处理能力，属于基础题.4．某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A、B、C、D四个区域要清扫，其中A、B、C三个区域各安排一个小组，D区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（）A．240种B．150种C．120种D．60种答案：D分析：根据题意，分2步分析：①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，由分步计数原理计算可得答案．详解：根据题意，分2步分析：①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，有C52=10种选法，②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，有A33=6种情况，则有10×6=60种不同的安排方法， 故选：D ．点睛：本题考查排列、组合的应用，注意优先满足受到限制的元素，属于基础题.5．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2AB =，2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为() A ．3B ．22C ．3 D ．23答案：C三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，设S 在面ABC 内的射影为AB 中点H ，确定S ABC -的外接球的球心O 的位置，再利用直角三角形的性质，即可得答案； 解：三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，S ∴在面ABC 内的射影为AB 中点H ，SH ∴⊥平面ABC ，SH 上任意一点到A ，B ，C 的距离相等.3SH =1CH =，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 交SC 于M ， 则O 为S ABC -的外接球球心.2SC =，1SM ∴=，30OSM ∠=︒，23SO ∴=3OH ∴=O 到平面ABC 的距离. 故选：C. 点评：本题考查三棱锥的外接球问题、点到面的距离，考转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.6．已知曲线421y x ax =++在点()()1,1f --处切线的斜率为6，则()1f -=()A ．3B ．4-C ．3-D ．4答案：C对函数求导，再根据'(1)6y -=可得a 的值，再将1x =-代入函数中，即可得答案；解：342y x ax '=+，426a ∴--=，5a ∴=-，()1113f a ∴-=++=-.故选：C. 点评：本题考查导数几何意义的运用，考查运算求解能力，属于基础题. 7．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值是()A ．20B ．26C ．57D ．16答案：B阅读程序框图根据T 与S 的大小关系，一步一步模拟运行程序，即可得答案； 解：第一次循环，00≤是，44S S ∴=+=，20T T n =+=，11n n =+=； 第二次循环，04≤是，48S S ∴=+=，21T T n =+=，12n n =+=； 第三次循环，18≤是，412S S ∴=+=，24T T n =+=，13n n =+=； 第四次循环，412≤是，416S S ∴=+=，211T T n =+=，14n n =+=； 第五次循环，1116≤是，420S S ∴=+=，226T T n =+=，15n n =+=；2620≤否，故输出T 的值是26.故选：B. 点评：本题考查程序框图中的直到型循环，考查运算求解能力，求解时注意程序运行终止的条件. 8．定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，则满足12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是()A ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭答案：A利用函数()f x 的奇偶性和单调性化简不等式12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得到12log 1x >，解绝对值不等式和对数不等式，求得x 的取值范围. 解：偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，所以()y f x =在(),0-∞上递增，且()10f -=，且距离对称轴越远，函数值越小，由12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可得12log 1x >，所以12log 1x >或12log 1x <-，解可得，102x <<或2x >. 故选：A. 点评：本小题主要考查利用函数的奇偶性的单调性解抽象函数不等式，考查绝对值不等式、对数不等式的解法，属于中档题. 9．函数()sin 2xf x x =-（[2,2]x ππ∈-）的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．答案：A分析：由函数的解析式，求解函数函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项；再由x π=时，()0f π>，排除C ，即可得到答案． 详解：由函数()sin 2x f x x =-，则满足()sin()(sin )()22x xf x x x f x --=--=--=-， 所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项； 由当x π=时，()sin 022f ππππ=-=>，排除C ，故选A ．点睛：本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中熟记函数的基本性质和特殊点的函数值的计算，采用排除法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 10．在ABC 中，若2π3C =，3AB =，则ABC 的周长的最大值为() A ．9 B ．6C ．323+D ．33+答案：C利用正弦定理将三角形的周长表示成关于A 的三角函数，再利用三角函数的有界性，即可得答案； 解：根据正弦定理，3232πsin sin sin sin3AB BC AC C A B ====， 那么23BC A =，23AC B =， 所以周长等于π23sin 23sin 323sin sin 33A B A A ⎤⎛⎫++=+-+ ⎪⎥⎝⎭⎦3123cos sin 322A A ⎫=++⎪⎪⎭ π2333A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当6A π=时，ABC 的周长的最大值为323+故选：C.点评：本题考查正弦定理的应用、三角函数的有界性求周长的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意A 的范围.11．一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成的角为()090θθ︒<<︒的平面所截，截面是一个椭圆面，当45θ=︒时，这个椭圆的离心率为()A ．12B ．22C 3D ．23答案：B结合图形可得椭圆的短半轴b R =，2a R =，再利用离心率公式，即可得答案；解：由椭圆的性质得，椭圆的短半轴b R =，因为截面与底面所成角为θ， 所以椭圆的长轴长22cos Ra θ=，得2a R =， ()22222c a b R R R =-=-=，所以椭圆的离心率22c e a ==. 故选：B. 点评：本题考查椭圆离心率的求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意充分利用图形的特点进行解题. 12．若()0,πa ∈，()sin ,cos ,x x af x x x a >⎧=⎨≤⎩的图象关于x a =对称，则()2f a =()A ．1-B ．12-C ．1D ．3 答案：C作出图象如图所示，可得a 的值，再代入函数的解析式求函数值，即可得答案； 解：画出图象如图所示：由图象可得π4a =，∴()sin ,,4cos ,,4x x f x x x ππ⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩则()ππ2sin 122f a f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 点评：本题考查正余弦函数的图象与性质、三角函数值的求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 二、填空题13．已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为60°，且满足()121e e e λ⊥-，则实数λ的值为______. 答案：2根据向量垂直，数量积为0，可得()1210e e e λ⋅-=，再利用数量积的定义进行运算，即可得答案；解：由单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则12111cos602e e ⋅=⨯⨯︒=， 由()121e e e λ⊥-，可得()1210e e e λ⋅-=，∴()21210e e e λ⋅-=，则102λ-=，解得2λ=.故答案为：2. 点评：本题考查向量垂直与数量积的关系，考运算求解能力，属于基础题. 14．函数ππsin cos 33y x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______. 答案：262利用两角和的正弦和两角差的余弦公式展开可得π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得答案； 解：11sin cos cos 2222y x x x x =+++)1sin cos 2x x =+π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴点评：本题考查三角恒等变换及三角函数的最值，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.15．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为__________．答案：2213y x -=由题意知，2c a =，即2c a =，则b =，由圆的方程可知，其圆心坐标为(),0a ，半径2r =不妨取双曲线渐近线0bx ay -=，则=，即=1a =，则b =故所求双曲线的方程为2213y x -=.点睛：此题主要考查了双曲线的方程、离心率、渐近线，以及直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等方面的知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题.在解决此类问题的过程中，常结合数形结合法进行研究，通过已知条件作出图形，尽可能地去挖掘图中隐含的信息量，寻找与问题的衔接处，从而解决问题.16．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都等于2，D 在1 AC 上，F 为1BB 中点，且1FD AC ⊥，则1ADDC=______.答案：1由F为1BB中点，且正三棱柱111ABC A B C-的各棱长等于2，可证得D为1AC 中点，即可得答案；解：F为1BB中点，且正三棱柱111ABC A B C-的各棱长等于2，2215AF FC AB BF∴==+=1AFC∴△为等腰三角形，又1FD AC⊥，D∴为1AC中点，11ADDC∴=.故答案为：1点评：本题考查空间几何中线段长度的求解，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题.三、解答题17．某公司准备将1000万元资金投人到市环保工程建设中，现有甲，乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润1ξ（万元）的概率分布列如表所示：1ξ110 120 170P m0.4 n且1ξ的期望()1120Eξ=；若投资乙项目一年后可获得的利润2ξ（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为14和34.若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与2ξ的关系如表所示：X0 1 2（1）求m ，n 的值； （2）求2ξ的分布列.答案：（1）0.5m =，0.1n =；（2）分布列见解析.（1）根据分布列中概率和为1，期望值为120，可得关于,m n 的方程，解方程组即可得答案； （2）根据相互独立事件相乘的概率，可得2ξ的分布列. 解：（1）由题意得0.411101200.4170120m n m n ++=⎧⎨+⨯+=⎩，解得0.5m =，0.1n =.（2）2ξ的可能取值为41.2，117.6，204，()213341.2114416P ξ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()21133105117.64444168P ξ==⨯+⨯==，()21332044416P ξ==⨯=，所以2ξ的分布列为：点评：本题考查离散型随机变量分布列的性质、相互独立事件概率计算，考查阅读理解能力和运算求解能力.18．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面CDEF ⊥平面ABCD ，FC FB =，四边形ABCD 为平行四边形，且45BCD ∠=︒.（1）求证：CD BF ⊥； （2）若22AB EF ==，2BC =，直线BF 与平面ABCD 所成角为60°，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）42. （1）过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO ⊥平面ABCD ，因此FO ⊥OB .证明CD ⊥平面FOB ，即可证明结论；（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -，求出平面ADE 的法向量()1,1,0m =，平面BCF 的法向量()3,3,1n =，代入向量的夹角公式，即可得答案；解：（1）过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO ⊥平面ABCD ，因此FO ⊥OB .FB FC =，FO FO =，90FOC FOB ∠=∠=︒，FOC FOB ∴△≌△，OB OC ∴=，由已知45DCB ∠=︒得BOC 为等腰直角三角形， 因为OB CD ⊥，又CD FO ⊥，OB OF O ⋂=，CD平面FOB ，CD BF ∴⊥.（2）//AB CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，//AB ∴平面CDEF ，平面ABEF平面CDEF EF =，//AB EF ∴.由（1）可得OB ，OC ，OF 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -，由题设可得60FBO ∠=︒，进而可得()1,2,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -，(0,3E -，(3F .设平面ADE 的法向量()111,,m x y z =，则00m AD m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，111030x y z -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，可取()1,1,0m =.设平面BCF 的法向量()222,,n x y z =，则00n BC n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2222030x y y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，可取()3,3,1n =.则2342cos ,727m n m n m n⋅===⋅⋅.∴二面角的余弦值为427.点评：本题考查面面垂直性质定理和线面垂直判定定理的运用、向量法求二面角的余弦值，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意定理条件的完整性. 19．已知数列{}n a 中，11a =，()*112n n n a a n N +⋅=∈. （1）设2n n b a =，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）记2n T 为{}n a 的前2n 项的和，求2n T . 答案：(1)答案详见解析；（2）213[1()]2nn T =- （1）由()*112n n n a a n N +⋅=∈，可得221212n n n a a +⋅=，21222112n n n a a +++⋅=，两式相除即可证明结论.（2）将数列n a 的奇数列构造成新的数列n c ，由（1）的证法可得数列n c 也为等比数列，用分组求和法即可得到答案. 解：因为在数列{}n a 中，()*112n n n a a n N +⋅=∈， 所以221212n n n a a +⋅=①，21222112n n n a a +++⋅=②，②式除以①式得22212n n a a +=，即2(1)212n n a a +=， 由2n n b a =得，2(1)121()2n n n n a b n N b a +*+==∈， 又11a =，所以1212a a =，则212a =，所以1212b a ==， 所以数列{}n b 是12为首项以12为公比的等比数列.（2）令21()n n c a n N *-=∈,由()*112n n n a a n N +⋅=∈，可得2122112n n n a a --⋅=，221212n n n a a +⋅=，所以212112n n a a +-=，所以2(1)1121212112n n n n n n a c a c a a +-++--===， 又111c a ==，所以数列{}n c 是1为首项以12为公比的等比数列. 所以2123212n n n T a a a a a -=+++++1321242()()n n a a a a a a -=+++++++1212()()n n c c c b b b =+++++111[1()][1()]12223[1()]1121122n n n --=+=--- 点评：本题主要考查等比数列的证明，构造等比数列，分组求和法，属中档题. 20．已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数．(1)若0a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围． 答案：（1）见解析；（2）122a e -≤-.分析：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，利用函数的单调性可求出函数的极值；（2）()f x 在()0,a -上单调递增等价于()0f x '≥在()0,x a ∈-上恒成立，求得导数和单调区间，讨论a -与极值点的关系，结合单调性，运用参数分离和解不等式可得a 范围.详解：（1）当0a =时：()2ln xf x x =的定义域为()0,+∞ ()312ln xf x x -'=令()0f x '=，得x =当(x ∈时，()0f x '>，()f x在(上单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x在)+∞上单调递减；当x =()f x的极大值为12fe=，无极小值. （2）()()312ln ax x f x x a +-+'=()f x 在()0,a -上单调递增 ()0f x ∴'≥在()0,x a ∈-上恒成立，()()30,,0x a x a ∈-∴+< ∴只需12ln 0ax x+-≤在()0,x a ∈-上恒成立 ∴2ln a x x x ≤-在()0,x a ∈-上恒成立令()()2ln ,0,g x x x x x a =-∈- 则()2ln 1g x x ='+ 令()0g x '=，则：12x e -=①若120,a e -<-<即120e a --<<时()0g x '<在()0,x a ∈-上恒成立∴()g x 在()0,a -上单调递减∴()()()2ln a a a a ≤---- ∴()ln 0a -≥，∴11a a -≥⇒≤-这与12a e ->-矛盾，舍去 ②若12,a e -->即12a e -<-时当120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当12,x e a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在12,e a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；当12x e -=时，()g x 有极小值，也是最小值，∴()1111122222min 2ln 2g x g e e e e e -----⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭∴122a e -≤-综上122a e -≤-点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得a 的最大值.21．已知抛物线C ：()220x py p =>，其焦点到准线的距离为2.直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 交于点M . （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 答案：（1）24x y =；（2）4.（1）根据焦点到准线的距离为p ，即可得到抛物线的方程；（2）利用导数求出抛物线的两条切线方程，再利用直线垂直，得到斜率相乘为1-，从而求得直线l 方程为1y kx =+，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得答案；解：（1）由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-， 焦点到准线的距离为2，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =.（2）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，1l ：()211142x x y x x -=-，2l ：()222242x xy x x -=-.由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =-. 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，所以2440x kx m --=. 216160k m ∆=+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即l ：1y kx =+. 联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得12122214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即()2,1M k -. M 点到直线l的距离d ==.()241AB k ==+，所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥.当0k =时，MAB △面积取得最小值4. 点评：本题考查抛物线方程的求解、直线与抛物线的位置关系和三角形面积最值的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的方程为ρ=.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的任意点，求AB 的最小值.答案：（Ⅰ）4y x =-+，2214x y +=分析：（1）利用消参法和极坐标公式得到曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程.(2)设点B 为()2cos ,sin θθ,再求出AB=|AB|的最小值.详解：（Ⅰ）由2x=2x =-，代入2y =+， 得1C 的普通方程4y x=-+. 由ρ=，得2223sin 4ρρθ+=.因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以2C 的直角坐标方程为2214x y +=.（Ⅱ）因为椭圆2C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.可设点B 为()2cos ,sin θθ， 由点到直线的距离公式，得AB===，其中cosϕ=sin ϕ=由三角函数性质可知，当()sin 1θϕ+=时，AB点睛：(1)本题主要考查参数方程和极坐标方程和直角坐标的互化，考查利用参数方程求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用. 23．已知函数()22f x x x a =+++，a R ∈. （1）当1a =，解不等式()2f x ≥；（2）求证：1()22f x a a ≥--. 答案：（1）1{|1}3x x x ≤-≥-或.（2）见解析.试题分析：（1）当1a =，不等式即()2212f x x x =+++≥，零点分段可得不等式的解集为1{|1}3x x x 或≤-≥-.（2）由题意结合绝对值不等式的性质可得：()222a a f x x x x =+++++222a a x ≥-++22a ≥-()122a a =--122a a ≥--. 试题解析：（1）当1a =，()2212f x x x =+++≥2332x x ≤-⎧⇔⎨--≥⎩或12212x x ⎧-<<-⎪⎨⎪-+≥⎩或12332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩2x ⇔≤-或21x -<≤-或13x ≥-1x ⇔≤-或13x ≥-，所以不等式的解集为1{|1}3x x x 或≤-≥-. （2）()22f x x x a=+++222a a x x x =+++++222a ax ≥-++2222a a≥-=-()122a a =--122a a ≥--122a a =--.。
【理数】2020年哈三中普通高考模拟试卷(一)理科数学_20200331_153154
C． 2020
D． 4041 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．
x y 1 0
13．
已知实数
x
，y
满足条件
x
y
0
，则 z x 2 y 的最大值为__________．
x 0
14．
已知双曲线
C
：x2 a2
y2 b2
1（a
0，b 0）
的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过
2020 年哈尔滨市第三中学普通高考模拟试题（一） 数 学（理）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1． 已知 i 为虚数单位，则 1+i （ ） i
A．0
B． 1
C．1 i
18． (12 分) 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，CA = CB，侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形，点 E、F 分别是线段 AA1，A1B1 的中点，且 CE EF ． (1) 证明：平面 ABB1A1 平面 ABC； (2) 若 CE CB ，求直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值．
举行。这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月
异。今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵。他们是由军事科学院、
国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历
分别有学士、硕士、博士学位。现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院
的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究
2020届高三第一次模拟考试卷理科数学(一)附解析
2020届高三第一次模拟考试卷理科数学（一）附解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，（ ） A ． B ． C ． D ．2．（ ） A ． B ． C ． D ．3．如图为某省年月快递业务量统计图，图是该省年月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A ．年月的业务量，月最高，月最低，差值接近万件B ．年月的业务量同比增长率超过，在月最高C ．从两图来看年月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从月来看，该省在年快递业务收入同比增长率逐月增长{}2|650A x x x =-+≤{|B x y ==A B =I [)1,+∞[]1,3(]3,5[]3,534i 34i12i 12i+--=-+4-44i -4i 1201914~2201914~201914~322000201914~50%3201914~14~20194．已知两个单位向量，满足的夹角为（ ） A ．B ．C ．D ． 5．函数的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知斐波那契数列的前七项为、、、、、、．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花朵，花瓣总数为，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层． A ． B ． C ． D ．7．如图，正方体中，点，分别是，的中点，为正方形的中心，则（ ）12,e e 12|2|e e -=12,e e 2π33π4π3π41()cos 1x x e f x x e +=⋅-1123581339956781111ABCD A B C D -E F AB 11A D O 1111A B C DA ．直线，是异面直线B ．直线，是相交直线C ．直线与所成的角为D ．直线，所成角的余弦值为8．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）A ．B ．C ．D ．9．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）EF AO EF 1BB EF 1BC 30︒EF 1BB S 0242-R ()f x (2)()f x f x +=-[1,2]ln 2a =121()4b -=12log 2c =()f a ()f b ()f c ()()()f b f c f a <<()()()f a f c f b <<()()()f c f b f a <<()()()f c f a f b <<2F 22:193x y C -=A B 22:(2)1E x y ++=2||||AB AF +A ．B ．C ．D ．11．如图，已知，是函数的图象与轴的两个相邻交点，是函数的图象的最高点，且，若函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知三棱锥满足底面，在中，，，，是线段上一点，且．球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知曲线在点处的切线方程为，则实数98P Q ()sin()f x A x ωϕ=+π(0,0,||)2A ωϕ>><x R ()f x3RP RQ ⋅=uu r uu u r()g x ()f x 1x =()g x ππ()sin()24g x x =+ππ()sin()24g x x =-ππ()2sin()24g x x =+ππ()2sin()24g x x =-P ABC -PA ⊥ABC ABC △6AB =8AC =AB AC ⊥D AC 3AD DC =O P ABC -D O 40πO 72π86π112π128π()(1)ln f x ax x =-(1,0)1y x =-a的值为 ．14．已知等差数列的前项和为，满足，且，则最大时的值是 ．15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦)(“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 ．16．点，是抛物线上的两点，是拋物线的焦点，若，中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）的内角所对的边分别为，已知．（1）求的大小；{}n a n n S 711S S =10a >n S n A B 2:2(0)C y px p =>F C 120AFB ∠=︒AB D C d ||dAB ABC △,,A B C ,,a b c 22()sin a c b C +=+B（2）若，，且的面积为．18．（12分）如图所示的多面体中，四边形是边长为的正方形，，，，平面． （1）设与的交点为，求证：平面； （2）求二面角的正弦值．8b =a c >ABC △a ABCDEF ABCD 2ED FB ∥12DE BF =AB FB =FB ⊥ABCD BD AC O OE ⊥ACF E AF C --19．（12分）设椭圆的左焦点为，右焦点为，上顶点为是坐标原点，且（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的直线与椭圆的两交点为，，若，求直线的方程．2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F B O 1||||OB F B ⋅=C 1F l C M N 22MF NF ⊥l20．（12分）已知函数，为的导数，证明：（1）在区间上存在唯一极大值点； （2）在区间上有且仅有一个零点．1π()4cos()23xf x x e =--()f x '()f x ()f x '[π,0]-()f x [π,0]-21．（12分）月，全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地—安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有人命中，命中者得分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得分．设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响．（1）经过轮投球，记甲的得分为，求的分布列；（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率．112019111 012231X X n i p i①求，，；②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中，，的值分别写出，关于的表达式，并由此求出数列的通项公式．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为，的参数方程为（为参数）．（1）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；1p 2p 3p 00p =11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠1p 2p 3p a c b {}n p xOy O x 1C 2sin ρθ=2C 1122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 1C 2C（2）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知，，．证明：（1）； （2）．理科数学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】由已知可得，，则．2．【答案】DP 1C P 2C 0a >0b >23a b +=2295a b +≥3381416a b ab +≤[]1,5A =[)3,B =+∞[3,5]A B =I【解析】由复数的运算法则可得：． 3．【答案】D【解析】对于选项A ：年月的业务量，月最高，月最低，差值为，接近万件，所以A 是正确的；对于选项B ：年月的业务量同比增长率分别为，，，，均超过，在月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：年、、月快递业务量与收入的同比增长率不一致， 所以C 是正确的．4．【答案】C【解析】∵，∴， ∴，∴． 5．【答案】B【解析】的定义域为， ∵， ()()()()()()()()34i 12i 34i 12i 510i 510i 34i 34i 4i 12i 12i 12i 12i 5++----+---+--===-++-201914~32439724111986-=2000201914~55%53%62%58%50%3201923412|2|e e -121443e e +-⋅=1212e e ⋅=121cos ,2e e <>=12π,3e e <>=1()cos 1x x e f x x e +=⋅-(,0)(0,)-∞+∞U 11()cos()cos ()11x x x x e e f x x x f x e e --++-=-⋅=-⋅=---∴函数奇函数，排除A 、D ， 又因为当时，且，所以， 故选B ．6．【答案】C【解析】由题设知，斐波那契数列的前项之和为，前项之和为， 由此可推测该种玫瑰花最可能有层．7．【答案】C【解析】易知四边形为平行四边形，所以直线，相交； 直线，是异面直线；直线，C 正确． 8．【答案】B【解析】第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，；第四次循环，，．可知随变化的周期为，当时，输出的．1()cos 1x x e f x x e +=⋅-0x +→cos 0x >101x x e e +>-1()cos 01x x e f x x e +=⋅>-6207337AEOF EF AO EF 1BB EF 1BB 4S =1i =2S =2i =4S =1i =2S =2i =S i 22019i =2S =【解析】∵是上的奇函数，且满足，∴，∴函数的图象关于对称，∵函数在区间是减函数，∴函数在上为增函数，且，由题知，，，∴．10．【答案】A【解析】设双曲线的左焦点为，，∴．11．【答案】C【解析】由已知，得，则，， 于是，得，又，∴，， 由，及，得，故， 因为与的图象关于对称，则． ()f x R (2)()f x f x +=-(2)()f x f x +=-()f x 1x =()f x [1,2]()f x [1,1]-(2)(0)0f f ==1c =-2b =01a <<()()()f c f b f a <<C 1F 21126AF AF a AF =+=+216AB AF AB AF +=++=115559AB AF BE F E +++≥+==3(,)2R A (1,)RP A =--u u r (1,)RQ A =-u u u r 213RP RQ A ⋅=-=u u r u u u r 2A =51222T =-4T =2ππ2T ω==π12π22k ϕ⋅+=k ∈Z π||2ϕ<π4ϕ=-ππ()2sin()24f x x =-()g x ()f x 1x =ππππππ()(2)2sin[(2)]2sin[π()]2sin()242424g x f x x x x =-=--=-+=+【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，记三角形的中心为，设球的半径为，，则球心到平面的距离为，即， 连接，则，∴，在中，取的中点为，连接，，则，，∴． 在中，，由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为，则，所以最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为， ∴，，球的表面积为．(或将三棱锥补成长方体求解)．P ABC -O ABC 1O R 2PA x =O ABC x 1OO x =1O A 15O A =2225R x =+ABC △AC E 1O D 1O E 1132O E AB ==124DE AC ==1O D =1OO D Rt△OD =OD r 2222225(13)12r R OD x x =-=+-+=12π2πR 212ππ40πR +=228R =24π112πR=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】，，∴． 14．【答案】9【解析】设等差数列的公差为，由，可得， 即，得到， 所以， 由可知，故当时，最大． 15．【答案】 【解析】观察八卦图可知，含根阴线的共有卦，含有根阳线的共有卦，含有根阴线根阳线的共有卦，含有根阴线根阳线的共有卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为． 16．【答案】 【解析】设，， 21()ln ax f x a x x -'=+(1)11f a '=-=2a ={}n a d 711S S =1176111071122a d a d ⨯⨯+=+12170a d +=1217d a =-211111(1)(1)281()(9)22171717n a n n n n S na d na a n a --=+=+⨯-=--+10a >1017a -<9n =n S 3143131213123123328C C 3C 14+=3AF a =BF b =则，， ∴， 当且仅当a b =时取等号．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，所以，即， 所以有，因为，所以，所以，，所以， 又，所以，所以，即． （2）因为， 又，所以，把代入到中，得． 2a b d +=222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-∠=++d AB ==≤=π35+()22sin a c b C +=+2222sin a c ac b C ++=+2222sin a c b ac C +-+=()2cos 1sin ac B C +=()sin cos 1sin C B B C +=(0,π)C ∈sin 0C >cos 1B B +=cos 2sin 16πB B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭1sin 2π6B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πB <<ππ5π666B -<-<6ππ6B -=π3B =11sin 22ac B ac ==12ac =22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-=2()3664a c +-=10a c +=10c a =-12()ac a c =>5a =+18．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：由题意可知：平面，从而，∴，又为中点，∴，在中，，∴，∴， 又，∴平面．（2）面，且，如图以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，从而，，，，，由（1）可知是面的一个法向量，设为面的一个法向量，由，令，得， 3ED ⊥ABCD EDA EDC ≅Rt Rt △△EA EC =O AC DE AC ⊥EOF △3OE OF EF ===222OE OF EF +=OE OF ⊥AC OF O =I OE ⊥ACF ED ⊥ABCD DA DC ⊥D DA DC DE (0,0,1)E (2,0,0)A (0,2,0)C (2,2,2)F (1,1,0)O (1,1,1)EO =-uu u r AFC (,,)x y z =n AEF 22020AF y z AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n uu u r uu u r 1x =(1,2,2)=-n设为二面角的平面角，则，， ∴二面角角的正弦值为19．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，∴， ∵，∴，又，，∴，∴，∴． （2）由（1）知，，设直线方程为， 由，得， 设，，则，， ∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴． θE AF C --|||cos ||cos ,|3||||EO EO EO θ⋅=<>==⋅n n n uu u r uu u r uu u r sin 3θ∴=E AF C --322132x y +=10x ±+=C 2c 3c a =a =222a b c =+b =1OB F B ⋅OB b =1F B a =ab =2=1c =a =b =22132x y +=1(1,0)F -2(1,0)F l 1x ty =-221132x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩22(23)440t y ty +--=11(,)M x y 22(,)N x y 122423t y y t +=+122423y y t -=+22MF NF ⊥220F M F N ⋅=uuuu r uuu r 1212(1)(1)0x x y y --+=1212(11)(11)0ty ty y y ----+=21212(1)2()40t y y t y y +-++=22224(1)8402323t t t t -+-+=++22t =t =∴的方程为．20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意知：定义域为，且． 令，，，． ∵在上单调递减，在上单调递减， 在上单调递减．又，， ∴，使得，∴当时，；当时，， 即在区间上单调递增；在上单调递减， 则为唯一的极大值点，即在区间上存在唯一的极大值点．（2）由（1）知，且在区间存在唯一极大值点，在上单调递增，在上单调递减，而，l 10x ±+=()f x (,)-∞+∞1π()2sin()23x f x x e '=---1π()2sin()23x g x x e =---[π,0]x ∈-1π()cos()23x g x x e '=---[π,0]x ∈-x y e =-[π,0]-1πcos()23y x =--[π,0]-()g x '[π,0]-π(0)cos()103g '=---<ππππ1(π)cos()023g e e -'-=----=->0(π,0)x ∃∈-0()0g x '=0[π,)x x ∈-()0g x '>0(,0]x x ∈()0g x '<()g x 0[π,)x -0(,0]x 0x x =()g x ()f x '[π,0]-0x 1π()2sin()23x f x x e '=---()f x '[π,0]-()f x '0[π,)x -0(,0]x ππππ1(π)2sin()1023f e e -'-=----=->，故在上恒有， ∴在上单调递增，又，， 因此，在上有且仅有一个零点．21．【答案】（1）见解析；（2）①，，；②，，． 【解析】（1）的可能取值为，，．，， ． ∴的分布列为（2）①由（1）知，， 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得分； 二是两轮有一轮甲得分，有一轮甲得分，π(0)2sin()1103f '=---=>()f x '[π,0]-()0f x '>()f x [π,0]-ππππ1(π)4cos()023f e e --=---=-<π(0)4cos()1103f =--=>()f x [π,0]-116P =2736P =343216P =6(1)7a b =-1(1)7c b =-11(1)56n n P =-X 1-01121(1)(1)233P x =-=-⨯=12121(0)(1)(1)23232P x ==⨯+-⨯-=121(1)(1)236P x ==⨯-=X 16P =101∴， 经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得分；二是三轮有两轮各得分，一轮得分；三是轮得分，两轮各得分；四是两轮各得分，轮得分，∴． ②由，知， 将，，，代人，求得，， ∴，， ∴，∴．∴， ∵，∴是等比数列，首项和公比都是． ， ∴． 22．【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）的直角坐标方程，的普通方程12211117C ()()662636P =⨯+=110110111-322122233331111111()C ()()C ()()C ()()6626263P =+++11i i i i P aP bP cP +-=++1111i i i a c P P P b b+-=+--00P =116P =2736P =343216P =617a b =-117c b =-6(1)7a b =-1(1)7c b =-116177i i i P P P +-=+117166i i i P P P +-=-111()6i i i i P P P P +--=-1016P P -=1{}n n P P --16116n n n P P --=01021111(1)1166()()()(1)15616n n n n n P P P P P P P P --=+-+-++-==--L ()2121:1x y C +-=20C y -=[1C ()2211x y +-=2C．（2）由（1）知，为以为圆心，为半径的圆，的圆心到的距离为， 则与相交，到曲线距离最小值为，最大值为， 则点到曲线距离的取值范围为． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）∵，，，∴，， ∴， ∴当，时，的最小值为， ∴． （2）∵，，，∴，当且仅当时，取等号， ∴ ， 0y -+=1C (0,1)1r =1C (0,1)2C 1d ==<1C 2C P 2C 0d r +=P 2C [10,]20a >0b >23a b +=320a b =->302b <<222222699(32)51295()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥65b =3325a b =-=22a b +952295a b +≥0a >0b >23a b +=3≥908ab <≤322a b ==334a b ab +22(4)ab a b =+2[(2)4]ab a b ab =+-22819(94)94()4()168ab ab ab ab ab =-=-=--∴时，的最大值为， ∴． 98ab =334a b ab +81163381416a b ab +≤。
2020届兰州市高三年级一诊理科数学试卷含答案
2020年兰州市高三诊断考试（理数） 第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N==∈，则AB =（ ）{}.0,2,4A {}.2,4B {}.1,3,5C {}.1,2,3,4,5D2.已知复数522iz i=+−，则z =（ ）.5B .13CD3.已知非零向量,a b ，给定:p R λ∃∈，使得a b λ=，:q a b a b +=+，则p 是q 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4.若21tan 5722sincos 1212tan2αππα−=，则tan α=（ ）.4A .3B .4C − .3D −5.已知双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的一条渐近线过点()2,1−，则它的离心率是（）2ABCD 6.已知集合46911,,,,55555A πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） 1.10A 2.5B 3.5C 3.10D7.已知函数()ln f x =，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）.A a b c >> .B c a b >> .C c b a >> .D b c a >>8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表1所示，绘制相应的散点图，如图1所示：表1 根据表1及图1得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r ，则12r r <；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时草场植被指数。
2020高考数学(理科)全国一卷高考模拟试卷(20)
2020高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（20）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |4x 2﹣3x ≤0}，B ＝{x |y =√2x −1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，34]B ．∅C ．[0，12]D ．[12，34]2．（5分）若a +2i ＝（1﹣i ）（1+bi ）（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则复数a ﹣bi 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（ ） A ．2人B ．4人C ．5人D ．3人4．（5分）已知双曲线C 与双曲线x 22−y 26=1有公共的渐近线，且经过点P(−2，√3)，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．2√33C ．4D ．25．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值f(x)∈[14，2]，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣2，1]C ．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D ．（﹣∞，1]∪（2，+∞）6．（5分）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V ＝（ ）A ．1+√26B ．1C ．√26D ．1+√227．（5分）设{a n }是等比数列，若a 2＝3，a 7＝1，则数列{a n }前8项的积为（ ） A ．56B ．80C ．81D ．1288．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）（单位：cm 3）A ．2B ．6C ．10D ．129．（5分）设（1+2x +3x 2）7＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 14x 14，则a 4+a 6+a 8+a 10+a 12+a 14＝（ ） A ．129927B ．129962C ．139926D ．13996210．（5分）若抛物线x ＝﹣my 2的焦点到准线的距离为2，则m ＝（ ） A ．﹣4B ．14C ．−14D ．±1411．（5分）已知f(x)={|log 3(x +1)|，x ∈(−1，8)4x−6，x ∈[8，+∞]若f [（m ﹣1）f （x ）]﹣2≤0在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）B ．[1，2）C ．[1，+∞）D ．（0，1）12．（5分）设[x ]为不超过x 的最大整数，a n 为[x [x ]]（x ∈[0，n ））可能取到所有值的个数，S n 是数列 {1a n +2n}前n 项的和，则下列结论正确个数的有（ ） （1）a 3＝4（2）190是数列{a n }中的项 （3）S 10=56（4）当n ＝7时，a n +21n取最小值A ．1个B ．2个C ．3个D ．4二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知平面向量a →，b →的夹角为π6，|a →|＝1，|b →|＝2，则a →•b →= ．14．（5分）已知实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0，则z ＝3x +y 的最小值为 ．15．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M （π3，3）是图象的一个最高点，N （4π3，0）是图象与x 轴的交点，将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，再向右平移π4个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递增区间为 ．16．（5分）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式：q ＝λ1|△T|d(λ1lλ2d +2)，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10﹣3焦耳/（厘米•度），不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10﹣4焦耳/（厘米•度），△T 为室内外温度差．q值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：型号每层玻璃厚度d （单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度l （单位：厘米）A 型 0.5 3B 型 0.5 4C 型 0.6 2D 型0.63则保温效果最好的双层玻璃的型号是 型．三．解答题（共5小题）17．已知三角形ABC 的面积为√3，A =5π6，D 在边BC 上，∠CAD =π6，BD ＝2DC ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．求a ，b ，c ．18．如图所示，在三棱锥S ﹣BCD 中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，△SBD 为等边三角形，∠BCD ＝30°，CD ＝2DB ＝4． （Ⅰ）若SA ＝AD ，求证：SD ⊥CA ；（Ⅱ）若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为4√19565，求AD 的长．19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空．回馈活动设计了两种方案：方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答；其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品．为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如表所示：男性消费者女性消费者选择方案一 150 80 选择方案二150120（Ⅰ）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关； （Ⅱ）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75． （ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X ，求X 的分布列以及期望；（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k ）0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.82820．已知动圆过定点F （0，1），且与直线l ：y ＝﹣1相切，动圆圆心的轨迹为C ，过F 作斜率为k （k ≠0）的直线m 与C 交于两点A ，B ，过A ，B 分别作C 的切线，两切线的交点为P ，直线PF 与C 交于两点M ，N ． （1）证明：点P 始终在直线l 上且PF ⊥AB ； （2）求四边形AMBN 的面积的最小值．21．已知函数f （x ）＝e x （ae x ﹣x ﹣a ）（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）的图象与x 轴切于原点． （1）求实数a 的值；（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点x 0，满足x 0∈（k ，k +1），且k ∈Z ； （3）在（2）的条件下，求使f （x 0）＜m 成立的最小整数m 的值． 四．解答题（共1小题）22．已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2的值．五．解答题（共1小题）23．已知a ＞0，b ＞0，函数f （x ）＝|2x +a |+|x ﹣b |的最小值为12．（1）求证：a +2b ＝1；（2）若2a +b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．2020高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（20）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |4x 2﹣3x ≤0}，B ＝{x |y =√2x −1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，34]B ．∅C ．[0，12]D ．[12，34]【解答】解：依题意，A ={x|4x 2−3x ≤0}={x|0≤x ≤34}，B ={x|y =√2x −1}={x|x ≥12}， 故A ∩B =[12，34]． 故选：D ．2．（5分）若a +2i ＝（1﹣i ）（1+bi ）（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则复数a ﹣bi 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：因为a +2i ＝（1﹣i ）（1+bi ）＝（1+b ）+（b ﹣1）i ， ∴a ＝1+b 且2＝b ﹣1； 所以：a ＝4，b ＝3；∴复数a ﹣bi 在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限． 故选：D ．3．（5分）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（ ） A ．2人B ．4人C ．5人D ．3人【解答】解：据题设知，从中年人中应抽取12×5628+56+84=4人． 故选：B ．4．（5分）已知双曲线C 与双曲线x 22−y 26=1有公共的渐近线，且经过点P(−2，√3)，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．2√33C ．4D ．2【解答】解：根据题意，双曲线C 与双曲线x 22−y 26=1有公共的渐近线，设双曲线C的方程为x 22−y 26=t ，（t ≠0），又由双曲线C 经过点P （﹣2，√3），则有2−12=t ，则t =32， 则双曲线的C 的方程为x 22−y 26=32，即：x 23−y 29=1，其焦距c ＝2√3，a =√3，所以双曲线的离心率为：e =ca=2． 故选：D ．5．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值f(x)∈[14，2]，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣2，1]C ．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D ．（﹣∞，1]∪（2，+∞）【解答】解：由题意函数f （x ）可看成是分段函数， f （x ）={2x ，x ∈[−2，2]2，x ∈(−∞，2)∪(2，+∞)，当输出的函数值f(x)∈[14，2]时， ①f （x ）＝2x ∈[14，2]，x ∈[﹣2，2]，即解14≤2x ≤2，解得﹣2≤x ≤1，即x ∈[﹣2，1]，②f （x ）＝2时，x ∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）， 由①②两种情况都有可能，所以想的范围为①②并集， 即x ∈（﹣∞，1]∪（2，+∞）． 故选：D ．6．（5分）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V ＝（ ）A ．1+√26B ．1C ．√26D ．1+√22【解答】解：几何体如图：下部是正方体，棱长为1，上部是正四棱锥，高为：√22， 所以该凸多面体的体积V ＝1×1×1+13×1×1×√22=1+√26．故选：A ．7．（5分）设{a n }是等比数列，若a 2＝3，a 7＝1，则数列{a n }前8项的积为（ ） A ．56B ．80C ．81D ．128【解答】解：{a n }是等比数列，若a 2＝3，a 7＝1， ∴1＝3q 5．q 5=13．数列{a n }前8项的积为：a 1•a 2•a 3…a 8＝a 28q ﹣1+0+1+2+3+4+5+6＝38×（13）4＝34＝81．故选：C ．8．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）（单位：cm 3）A ．2B ．6C ．10D ．12【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体的底面为直角梯形，高为2四棱锥体． 故V =13×12×(1+2)×2×2=2． 故选：A ．9．（5分）设（1+2x +3x 2）7＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 14x 14，则a 4+a 6+a 8+a 10+a 12+a 14＝（ ） A ．129927B ．129962C ．139926D ．139962【解答】解：∵（1+2x +3x 2）7＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 14x 14， 令x ＝0，a 0＝1；令x ＝1，即67＝a 0+a 1+a 2+…+a 14； 令x ＝﹣1，即27＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…+a 14； 两式相加，67+272=a 0+a 2+a 4+⋯+a 14，而a 2=C 71×3+C 72×22=105，故a 4+a 6+a 8+a 10+a 12+a 14=67+272−105−1=139926，故选：C ．10．（5分）若抛物线x ＝﹣my 2的焦点到准线的距离为2，则m ＝（ ） A ．﹣4B ．14C ．−14D ．±14【解答】解：抛物线x ＝﹣my 2，y 2=−1m x 的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得|12m|＝2， 解得m ＝±14，故选：D ．11．（5分）已知f(x)={|log 3(x +1)|，x ∈(−1，8)4x−6，x ∈[8，+∞]若f [（m ﹣1）f （x ）]﹣2≤0在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）B ．[1，2）C ．[1，+∞）D ．（0，1）【解答】解：∵f(x)={|log 3(x +1)|，x ∈(−1，8)4x−6，x ∈[8，+∞]，∴当﹣1＜x ＜8时，log 3（x +1）∈（﹣∞，2），|log 3（x +1）|∈[0，2），x ∈（﹣1，0）时，f （x ）＝|log 3（x +1）|单调递减，x ∈（0，8）时，f （x ）单调递增， 且当x =−89时，f （x ）＝2①． 当x ≥8时，f （x ）=4x−6单调递减且f （x ）∈（0，2]②， 其图象如下：若f [（m ﹣1）f （x ）]﹣2≤0， 则f [（m ﹣1）f （x ）]≤2， ∴（m ﹣1）f （x ）≥−89， 当f （x ）＝0时，m ∈R ；当f （x ）＞0时，m ﹣1＞−89f(x)，当f （x ）→+∞时，−89f(x)→0，∴m ﹣1≥0， 解得：m ≥1． 故选：C ．12．（5分）设[x ]为不超过x 的最大整数，a n 为[x [x ]]（x ∈[0，n ））可能取到所有值的个数，S n 是数列 {1a n +2n }前n 项的和，则下列结论正确个数的有（ ）（1）a 3＝4（2）190是数列{a n }中的项 （3）S 10=56 （4）当n ＝7时，a n +21n取最小值A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【解答】解：a n 为[x [x ]]（x ∈[0，n ））可能取到所有值的个数， 当n ＝1时，[x [x ]]＝0，即a 1＝1，S 1=11+2=2（12−13）=13；当n ＝2时，[x [x ]]＝0，1，即a 2＝2，S 2＝2（12−13+13−14）=12；当n ＝3时，[x [x ]]＝0，1，4，5，即a 3＝4，S 3＝2（12−13+13−14+14−15）=35； 当n ＝4时，[x [x ]]＝0，1，4，5，9，10，11，即a 4＝7，S 4＝2（12−13+13−14+14−15+15−16）=23；…，可得a n ＝1+（1+2+3+…+n ﹣1）=12n （n ﹣1）+1，可令a n ＝190，即n 2﹣n ﹣378＝0，可得n 不为整数，故（1）正确；故（2）错误； S 10＝2（12−13+13−14+14−15+15−16+⋯+111−112）=56，故（3）正确；a n +21n=n 2+22n−12≥2√n 2⋅22n −12，由于n =√44（不为自然数），取不到等号， 考虑n ＝6时，有3+113−12=376；n ＝7时，72+227−12=437＜376，则当n ＝7时，a n +21n取最小值，故（4）正确．故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知平面向量a →，b →的夹角为π6，|a →|＝1，|b →|＝2，则a →•b →= √3 ．【解答】解：因为平面向量a →，b →的夹角为π6，|a →|＝1，|b →|＝2，∴a →•b →=|a →|×|b →|×cos π6=1×2×√32=√3，故答案为：√3．14．（5分）已知实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0，则z ＝3x +y 的最小值为 1 ．【解答】解：由实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0，作出可行域如图，联立{2x +y −1=0x +2y −2=0，解得A （0，1），化目标函数z ＝3x +y 为y ＝﹣3x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×0+1＝1． 故答案为：1．15．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M （π3，3）是图象的一个最高点，N （4π3，0）是图象与x 轴的交点，将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，再向右平移π4个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递增区间为 为[π9+kπ3，5π18+kπ3](k ∈Z)． ．【解答】解：依题意，A =3，T4=4π3−π3=π，即T ＝4π， 故ω=12，f(x)=3sin(12x +φ)；将(π3，3)代入f （x ）中，可知12×π3+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，故φ=π3+2kπ，k ∈Z ；不妨设k ＝0，得φ=π3，故函数f(x)=3sin(12x +π3)； 将函数f （x ）的图象压缩为原来的112后，得到y =3sin(6x +π3)，再向右平移π4个单位，得g(x)=3sin[6(x −π4)+π3]=−3sin(6x −π6)； 要求函数的增区间，只需π2+2kπ≤6x −π6≤3π2+2kπ，k ∈Z ．解得π9+kπ3≤x ≤5π18+kπ3，k ∈Z ．故函数g （x ）的单调递增区间为[π9+kπ3，5π18+kπ3](k ∈Z)．故答案为：[π9+kπ3，5π18+kπ3](k ∈Z)． 16．（5分）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式：q ＝λ1|△T|d(λ1lλ2d+2)，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10﹣3焦耳/（厘米•度），不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10﹣4焦耳/（厘米•度），△T 为室内外温度差．q值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：型号每层玻璃厚度d （单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度l （单位：厘米）A 型 0.5 3B 型 0.5 4C 型 0.6 2D 型0.63则保温效果最好的双层玻璃的型号是 B 型．【解答】解：A 型双层玻璃窗户：d(λ1l λ2d +2)=0.5(4×10−3×32.5×10−4×0.5+2)=49； B 型双层玻璃窗户：d(λ1l λ2d +2)=0.5(4×10−3×42.5×10−4×0.5+2)=65； C 型双层玻璃窗户：d(λ1l λ2d +2)=0.6(4×10−3×22.5×10−4×0.6+2)=33.2； D 型双层窗户：d(λ1l λ2d +2)=0.6(4×10−3×32.5×10−4×0.6+2)=49.2； 根据q ＝λ1|△T|d(λ1lλ2d+2)，且q 值越小，保温效果越好，故答案为：B ． 三．解答题（共5小题）17．已知三角形ABC 的面积为√3，A =5π6，D 在边BC 上，∠CAD =π6，BD ＝2DC ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．求a ，b ，c ． 【解答】解：依题意，∠CAD =π6，∠BAD =2π3， ∵三角形ABC 的面积为√3，∴12bcsin5π6=√3，即bc =4√3，在△ABD 中，由正弦定理有，BD sin∠BAD =c sin∠ADB，在△ACD 中，由正弦定理有，CD sin∠CAD=b sin∠ADC ，又BD =2CD ，sin ∠BAD =√32，sin∠CAD =12，sin∠ADB =sin∠ADC ， ∴b =√32c ，∴b =√6，c =2√2， ∴a 2=b 2+c 2−2bccos 5π6=6+8−2×√6×2√2×(−√32)=26， ∴a =√26．18．如图所示，在三棱锥S ﹣BCD 中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，△SBD 为等边三角形，∠BCD ＝30°，CD ＝2DB ＝4． （Ⅰ）若SA ＝AD ，求证：SD ⊥CA ；（Ⅱ）若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为4√19565，求AD 的长．【解答】解：（Ⅰ）∵SA ＝AD ，△SBD 为等边三角形，∴AB ⊥SD ， 取BD 中点O ，连结SO ，CO ，∵平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，△SBD 为等边三角形，∠BCD ＝30°，CD ＝2DB ＝4．∴SO ⊥底面BCD ，cos30°=CB 2+CD 2−BD 22×BC×CD =CB 2+16−48BC ，解得BC ＝2√3， ∴cos ∠BDC =BD 2+CD 2−BC 22×BD×DC =4+16−122×2×4=12，∴∠BDC ＝60°，∠DBC ＝90°，∴BC ⊥BD ，∴BC ⊥平面SBD ，∵SD ⊂平面SBD ，∴BC ⊥SD ， ∵SD ∩BA ＝A ，∴SD ⊥平面ABC ， ∵CA ⊂平面ABC ，∴SD ⊥CA ．（Ⅱ）解：SO =√SB 2−BE 2=√3．CO =√BC 2+BO 2=√12+1=√13， SC =√SO 2+CO 2=√3+13=4， 设点B 到平面SCD 的距离为h ， 由V B ﹣SDC ＝V S ﹣BCD ，得13×12×2×√42−12×ℎ=13×12×2√3×2×√3，解得h =6√15， ∵直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为4√19565，sin θ=ℎBA ，解得BA =√154√195=√132， ∵BA 2＝BD 2+AD 2﹣2BD •AD •cos60°， ∴134=4+AD 2−2AD ，解得AD =32或AD =17．19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空．回馈活动设计了两种方案：方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答；其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品．为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如表所示：男性消费者女性消费者选择方案一 150 80 选择方案二150120（Ⅰ）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关； （Ⅱ）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75． （ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X ，求X 的分布列以及期望；（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k ）0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828【解答】解：（Ⅰ）依题意，完善列联表如下所示：男性消费者女性消费者总计 选择方案一 150 80 230 选择方案二150 120 270 总计300200500K 2=500×(150×120−150×80)2230×270×300×200≈4.831＜6.635，故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关． （Ⅱ）（ⅰ）X 的所有可能取值为0，2，3，4，则P(X =0)=14×15×15=1100，P(X =2)=2×14×15×45=8100，P(X =3)=34=75100，P(X =4)=14×45×45=16100， 故X 的分布列为：X 0234P110081007510016100所以E(X)=0×1100+2×8100+3×75100+4×16100=305100=3.05．（ⅱ）小明选择方案一获得奖品的概率为P 1=P(X ≥3)=75100+16100=91100=0.91， 小明选择方案二获得奖品的概率为P 2=P(X ≥3)=2×15×45×45+45×45=112125=8961000=0.896， 因为P 2＜P 1，所以小明选择方案一更有可能获得奖品．20．已知动圆过定点F （0，1），且与直线l ：y ＝﹣1相切，动圆圆心的轨迹为C ，过F 作斜率为k （k ≠0）的直线m 与C 交于两点A ，B ，过A ，B 分别作C 的切线，两切线的交点为P ，直线PF 与C 交于两点M ，N ． （1）证明：点P 始终在直线l 上且PF ⊥AB ； （2）求四边形AMBN 的面积的最小值．【解答】解：（1）∵动圆过定点F （0，1），且与直线l ：y ＝﹣1相切， ∴动圆圆心到定点F （0，1）和定直线y ＝﹣1的距离相等， ∴动圆圆心的轨迹C 是以F （0，1）为焦点的抛物线， ∴轨迹C 的方程为：x 2＝4y ，设A(x 1，x 124)，B(x 2，x 224)，∵x 2＝4y ，∴y ′=x2，∴直线P A 的方程为：y −x 124=x 12(x −x 1)，即：4y =2x 1x −x 12①，同理，直线PB 的方程为：4y =2x 2x −x 22②，由①②可得：P(x 1+x 22，x 1x 24)， 因为过F 作斜率为k （k ≠0）的直线m ，所以直线m 方程为：y ＝kx +1， 联立{y =kx +1x 2=4y 可得：x 2﹣4kx ﹣4＝0，所以{x 1+x 2=4kx 1x 2=−4，∴P （2k ，﹣1），∴k PF ×k =−1k ×k =−1， ∴点P 始终在直线l 上且PF ⊥AB ．（2）设直线AB 的倾斜角为α，由（1）可得： |AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=4(1+k 2)=4(1+tan 2α)=4cos 2α， ∴|MN|=4cos 2(α+90°)=4sin 2α，∴四边形AMBN 的面积为：12|AB|×|MN|=8sin 2αcos 2α=32sin 22α≥32，当且仅当α＝45°或135°，即k ＝±1时取等号，∴四边形AMBN的面积的最小值为32．21．已知函数f（x）＝e x（ae x﹣x﹣a）（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）的图象与x 轴切于原点．（1）求实数a的值；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，满足x0∈（k，k+1），且k∈Z；（3）在（2）的条件下，求使f（x0）＜m成立的最小整数m的值．【解答】解：（1）f（x）＝e x（ae x﹣x﹣a），∴f′（x）＝e x（2ae x﹣x﹣a﹣1），由题意可知，f′（0）＝a﹣1＝0，所以a＝1，（2）由（1）可知，f′（x）＝e x（2e x﹣x﹣2），令g（x）＝2e x﹣x﹣2，则g′（x）＝2e x﹣1，当x＞﹣ln2时，g′（x）＝2e x﹣1＞0，g（x）单调递增，当x＜﹣ln2时，g′（x）＝2e x ﹣1＜0，g（x）单调递减，故当x＝﹣ln2时g（x）取得最小值g（﹣ln2）＝ln2﹣1＜0，且g（0）＝0，又x→﹣∞，g（x）＞0，x→+∞时，g（x）＞0，故存在x0＜﹣ln2使得g（x0）＝0，且x＜x0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x0＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＞0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故当x＝x0时，函数存在唯一的极大值，∵g（﹣2）=2e2＞0，g（﹣1）=2e−1＜0，故x0∈（﹣2，﹣1），故f（x）存在唯一的极大值点x0，满足x0∈（﹣2，﹣1），（3）由（2）可得，0＝2e x0−x0﹣2，∴f（x0）＝e x0（e x0−x0﹣1）＝（1+12x0）•（−12x0）=−14(x02+2x0)，结合二次函数的性质可知，x0∈（﹣2，﹣1）时，−14(x02+2x0)∈(0，14)，故使得f（x0）＜m成立的最小整数m的值1．四．解答题（共1小题）22．已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2的值．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为x 24+y 2=1，转换为极坐标方程为4ρ2sin 2θ+ρ2cos 2θ＝4．即ρ2=43sin 2θ+1． （2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ， 设P （ρ1，θ），则Q （ρ2，θ±π2）， 所以|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2=11|OP|2+1|OQ|2=11ρ12+1ρ22=134sin 2θ+14+34cos 2θ+14=45．五．解答题（共1小题）23．已知a ＞0，b ＞0，函数f （x ）＝|2x +a |+|x ﹣b |的最小值为12．（1）求证：a +2b ＝1；（2）若2a +b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．【解答】解：（1）证明：a ＞0，b ＞0，函数f （x ）＝|2x +a |+|x ﹣b |＝|x +a 2|+|x +a 2|+|x ﹣b | ≥|−a 2+a 2|+|x +a 2−x +b |＝0+|b +a 2|＝b +a 2，当且仅当x ＝b 时，上式取得等号，可得f （x ）的最小值为b +a2， 则b +a 2=12，即a +2b ＝1；（2）若2a +b ≥tab 恒成立，由a ，b ＞0，可得t ≤1a +2b恒成立， 由1a +2b=（a +2b ）（1a+2b）＝5+2a b +2b a ≥5+2√2a b ⋅2ba=9， 当且仅当a ＝b =13，上式取得等号， 则t ≤9，可得t 的最大值为9．。
学2020届高三数学一诊模拟试题文(含解析)
学2020届高三数学一诊模拟试题文（含解析）第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知全集为，集合，，则元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析】求出集合，利用交集的定义求出，即可得到元素个数【详解】由，可得：，所以，即元素个数为2，故答案选B【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题．2.某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样的定义计算出抽取的样本中高一学生的人数，分别计算出选两人做问卷调查的基本事件数和所选取的两人中至少有一个是高一学生的基本事件个数，最后利用古典概型公式计算即可．【详解】由题可得抽取的10人中，高一有4人，高二有4人，高三有2人，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，基本事件总数，所抽取的两人中，至少有一个是高一学生的基本事件个数为，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为，故答案选C【点睛】本题考查概率的求法，考查分层抽样，古典概型．排列组合的知识，属于基础题．3.设，则（）A. 0B. 1C.D. 3【答案】B【解析】【分析】先将分母实数化，然后直接求其模．【详解】【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．4.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.5.已知函数，则（）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.【详解】，，，故选A.【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.6.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用中介值“”，和指数的同指或同底时的大小比较得解.【详解】,,故选B.【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于中档题.7.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线B. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线C. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线D. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线【答案】D【解析】【分析】将通过合一公式化为向右平移就可以得到．【详解】，把曲线向右平移个长度单位得即为，故选D．【点睛】本题考查函数的平移变换，是一道基础题．8.“割圆术”是刘徽最突出数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（）（参考数据：）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【答案】A【解析】【分析】先设圆的半径为，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果.【详解】设圆的半径为，则圆的面积为，正六边形的面积为，因而所求该实验的概率为，则.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.9.函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性，零点个数及x＝2时的函数值，可得答案．【详解】函数奇函数，故图象关于原点对称，故排除D；通过函数解析式得到函数有﹣1，0，1三个零点，故排除A；当x＝2时，函数值f(x)>0为正数，故排除B，故选C．【点睛】本题考查的知识点是函数的图象和性质，已知函数表达式求函数的图像，一般采用排除法．通过函数解析式研究函数的奇偶性，可排除选项；通过代入特殊点或者函数的极限值，均可以进行选项的排除.10.过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为圆心在弦AC的中垂线上，所以设圆心P坐标为（a，-2），再利用，求得，确定圆的方程.又直线过定点Q，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P为（a,-2），则r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．故选B．11.已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可.【详解】椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，可得，可得所以解得故选A【点睛】本题考查利用椭圆的定义以及性质求离心率，属于中档题.12.已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意构造函数，由可得在上恒成立，所以函数在为上单调递减函数，由为偶函数，，可得，故要求不等式的解集等价于的解集，即可得到答案.【详解】由题意构造函数，则，定义在上的可导函数的导函数为，满足在上恒成立，函数在上为单调递减函数；又为偶函数，则函数，即关于对称，，则，由于不等式的解集等价于的解集，根据函数在上为单调递减函数，则，故答案选B【点睛】本题考查函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.设，满足约束条件，则的最小值是________.【答案】0【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当平移到过点时，.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.14.函数的图像在处的切线方程为_______.【答案】【解析】【分析】对函数求导，把分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率，进而求得切线方程．【详解】，函数的图像在处的切线方程为，即.【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的点斜式，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，属于基础题．15.如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为，则此四面体的体积为_______；【答案】2【解析】【分析】设四面体所在的长方体棱长分别为a，b，c，则长方体的面对角线长为、、，利用勾股定理列出方程组，求出a，b，c的值，长方体截去四个角，即可求出四面体的体积．【详解】设四面体所在的长方体棱长分别为a，b，c，则，解得，所以四面体的体积，故答案为2.【点睛】本题运用类比的方法，考查锥体的体积求法，考查学生逻辑推理，计算化简的能力，难点在于根据题意，类比出四面体体积的求法，即长方体截去四个角后得到的体积，属基础题．16.在四边形中，已知是边上的点，且，，若点在线段上，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据平面向量的加法的几何意义, 可得计算出的表达式,最后根据的大小,可以求出的取值范围.【详解】，，是边上的点，，所以，因此，在等腰中,点到线段上的一点的距离最大值为1,取最小值时,为的中点,此时,所以的取值范围为: .【点睛】本题考查了平面向量数量积的取值问题,利用平面向量的加法的几何意义是解题的关键.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．(1) 求和的值；(2) 求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由面积公式可得结合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展开求值.详解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.（2）,【点睛】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.18.唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的件工艺品测得重量（单位：）数据如下表：（1）求出频率分布表中实数，的值；（2）若从仿制的件工艺品重量范围在的工艺品中随机抽选件，求被抽选件工艺品重量均在范围中的概率.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布表即可得到实数，的值；（2）利用古典概型公式即可得到结果.【详解】解：（1）；.（2）件仿制的工艺品中，重量范围在的工艺品有件，重量范围在的工艺品有件，所以从重量范围在的工艺品中随机抽选件方法数（种），所以所求概率.【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.19.如图1，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，已知四棱锥的正视图，如图2所示.（I）若M是的中点，证明：平面；（II）求棱锥的体积.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】(Ⅰ)由正视图可知，先证明平面得到.由等腰三角形可得，利用线面垂直的判定定理可得结果；(Ⅱ)在平面PCD内过M作交CD于N，可得棱锥的体积，结合棱锥的体积等于棱锥的体积，从而可得结果.【详解】(Ⅰ)由正视图可知，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD.∵，∴BC⊥平面PCD∵平面PCD，∴DM⊥BC.又是等腰三角形，E是斜边PC的中点，所以∴DM⊥PC又∵，∴DM⊥平面PBC.(Ⅱ)在平面PCD内过M作MN//PD交CD于N，所以且平面ABCD，所以棱锥M－ABD的体积为又∵棱锥A－BDM的体积等于棱锥M－ABD的体积，∴棱锥A－BDM的体积等于.【点睛】本题主要考查棱锥的体积、线面垂直的判定定理，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20.已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足（1）求动点的轨迹方程；（2）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）设出A、P点坐标，用P点坐标表示A点坐标，然后代入圆方程，从而求出P点的轨迹；（2）设出P点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出面积的值，当斜率存在时，利用点P坐标表示的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.【详解】解：（1）设，由题意得：，由，可得点是的中点，故，所以，又因为点在圆上，所以得，故动点的轨迹方程为.（2）设，则，且，当时，，此时；当时，因为,即故，，，①，代入①设因为恒成立，在上是减函数，当时有最小值，即,综上：的最小值为【点睛】本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.21.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若，证明：【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，然后利用函数的导数研究的单调区间.（2）将原不等式等价变形为，根据（1）中求得的单调性，只需证当时，，构造函数，利用导数证得，也即时，成立，由此证得原不等式成立.【详解】解：（1）函数的定义域为，求导得，令，令g’(x)＞0，解得-1＜x＜0，令g’(x)＜0解得x＞0，所以单调增区间为减区间为．g(x)＜g(0)=0，即f’(x)＜0在定义域上恒成立，所以的单调减区间为；（2）证明：将不等式变形为，因为，即不等式等价于，由（1）有所以在上单调递减，所以要证原不等式成立，需证当x＞0时，x＜ex-1，令，则，可知h’(x)＞0在恒成立，即h(x)在上单调递增，故h(x)>h(0)=0，即x＜ex-1，故f(x)＞f(ex-1)，即，即.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，（l）设为参数，若，求直线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.【答案】（1）（为参数）；（2）1【解析】【分析】（1）由直线的极坐标方程为，求得，进而由，代入上式得，得到直线的参数方程；（2）根据极坐标与直角坐标的互化，求得，将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.【详解】（1）直线的极坐标方程为即，因为为参数，若，代入上式得，所以直线的参数方程为（为参数）（2）由，得，由，代入，得将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得.（*）则且，，设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.则，，，由题设得.则有，得或.因为，所以【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由已知，根据解析式中绝对值的零点（即绝对值等于零时的值），将函数的定义域分成若干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；（2）由题意，将不等式转化为，可构造新函数，则问题再转化为，由（1）可得，即，从而问题可得解.试题解析：（1）因为，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）（方法一）由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值5，所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为.（方法二）设，则，当时，取得最小值5，所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为.学2020届高三数学一诊模拟试题文（含解析）第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知全集为，集合，，则元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B求出集合，利用交集的定义求出，即可得到元素个数【详解】由，可得：，所以，即元素个数为2，故答案选B【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题．2.某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样的定义计算出抽取的样本中高一学生的人数，分别计算出选两人做问卷调查的基本事件数和所选取的两人中至少有一个是高一学生的基本事件个数，最后利用古典概型公式计算即可．【详解】由题可得抽取的10人中，高一有4人，高二有4人，高三有2人，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，基本事件总数，所抽取的两人中，至少有一个是高一学生的基本事件个数为，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为，故答案选C【点睛】本题考查概率的求法，考查分层抽样，古典概型．排列组合的知识，属于基础题．3.设，则（）A. 0B. 1C.D. 3【答案】B先将分母实数化，然后直接求其模．【详解】【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．4.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.5.已知函数，则（）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.【详解】，，，故选A.【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.6.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用中介值“”，和指数的同指或同底时的大小比较得解.【详解】,,故选B.【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于中档题.7.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线B. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线C. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线D. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线【答案】D【解析】【分析】将通过合一公式化为向右平移就可以得到．【详解】，把曲线向右平移个长度单位得即为，故选D．【点睛】本题考查函数的平移变换，是一道基础题．8.“割圆术”是刘徽最突出数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（）（参考数据：）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【答案】A【解析】【分析】先设圆的半径为，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果.【详解】设圆的半径为，则圆的面积为，正六边形的面积为，因而所求该实验的概率为，则.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.9.函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性，零点个数及x＝2时的函数值，可得答案．【详解】函数奇函数，故图象关于原点对称，故排除D；通过函数解析式得到函数有﹣1，0，1三个零点，故排除A；当x＝2时，函数值f(x)>0为正数，故排除B，故选C．【点睛】本题考查的知识点是函数的图象和性质，已知函数表达式求函数的图像，一般采用排除法．通过函数解析式研究函数的奇偶性，可排除选项；通过代入特殊点或者函数的极限值，均可以进行选项的排除.10.过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为圆心在弦AC的中垂线上，所以设圆心P坐标为（a，-2），再利用，求得，确定圆的方程.又直线过定点Q，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P为（a,-2），则r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．故选B．11.已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可.【详解】椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，可得，可得所以解得故选A【点睛】本题考查利用椭圆的定义以及性质求离心率，属于中档题.12.已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意构造函数，由可得在上恒成立，所以函数在为上单调递减函数，由为偶函数，，可得，故要求不等式的解集等价于的解集，即可得到答案.【详解】由题意构造函数，则，定义在上的可导函数的导函数为，满足在上恒成立，函数在上为单调递减函数；又为偶函数，则函数，即关于对称，，则，由于不等式的解集等价于的解集，根据函数在上为单调递减函数，则，故答案选B【点睛】本题考查函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.设，满足约束条件，则的最小值是________.【答案】0【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当平移到过点时，.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.14.函数的图像在处的切线方程为_______.【答案】【解析】【分析】对函数求导，把分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率，进而求得切线方程．【详解】，函数的图像在处的切线方程为，即.【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的点斜式，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，属于基础题．15.如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为，则此四面体的体积为_______；。
2020届四川省德阳市高三一诊考试数学(理)试题(解析版)
又 PA 1 ，∴ PQ 2 ，而 PB 2 ，∴ BQ 4 ，
5
5
由 PB PC ，得 BC PB2 5 ，从而 PC 1 ， BQ
如图，以 PA, PB, PC 为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥 P ABC 的外接
球，外接球直径等于长方体的对角线长 PA2 PB2 PC 2 12 22 12 6 ，
f (a b) f (a b mn) 0 得 a, b 满足的关系，再由代数式 (a 1)2 b2 (x) 是奇函数，
∴当 x 0 时， x 0 ， f (x) f (x) [(x)2 2 (x)] x2 2x ，
∴ mx2 nx x2 2x ，∴ m 1, n 2 ，
故选：D． 【点睛】 本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，判断循环条件，确定输出结论．
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5．已知 x 15 ax 1 的展开式中 x5 的系数是 4 ，则实数 a 的值为（ ）
A． 1
【答案】A
B．1
4
C．
5
D． 4 5
【解析】求出 (x 1)5 展开式中 x5 和 x4 的系数，由多项式乘法法则可得结论．
【详解】
模拟程序运行， a 6, b 1 ， S 0 ， S 6 ，判断 a b ? 否；
a 5,b 2 ， S 16 ，判断 a b ? 否；
a 4,b 3 ， S 28 ，判断 a b ? 否；
a 3,b 4 ， S 40 ，判断 a b ? 是； 输出 S 40 ．
2020 届四川省德阳市高三一诊考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 M 2,1,0,1 ， N x R x x 2 0 ，则 M N （ ）
2020届开卷教育联盟全国高三模拟考试(一)数学(理)试题(解析版)
2020届开卷教育联盟全国高三模拟考试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|60M x x x =+-<，{}|03N x x =<<，则MN =( )A ．()2,2-B ．()0,3C ．()0,2D ．()4,3-【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合M ，再由集合交集运算即可求解. 【详解】集合{}2|60M x x x =+-<，解一元二次不等式可得{}|32M x x =-<<{}|03N x x =<<，由交集运算可得{}{}{}|32|03|02x x x x x M x N -<<⋂<<=<=<，即()0,2MN =，故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设i 为虚数单位，若复数z 满足()255z i i ⋅-=-，则复数z 的虚部为( ) A ．-1 B ．i -C ．-2D ．2i -【答案】A【解析】根据复数的除法运算化简，求得复数z ，再根据复数的概念即可求得虚部. 【详解】复数z 满足()255z i i ⋅-=-， 则化简可得552iz i-=-， 由复数除法运算化简可得()()()()5525515532225i i i iz i i i i -+--====---+， 所以复数z 的虚部为1-， 故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的概念应用，属于基础题. 3．已知0.2log 2a =，0.33b =，3log 2c =，则( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】B【解析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小. 【详解】由对数函数的图像与性质可得0.2log 20a =<，0.331b =>，30log 21c <=<，所以a c b <<， 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质应用，由中间值法比较大小，属于基础题.4．我们规定离心率12e =的椭圆叫优美椭圆，下列结论正确的个数是( ) ①一个焦点、一个短轴顶点与一个长轴顶点构成直角三角形的椭圆是优美椭圆；②短轴的椭圆是优美椭圆；③椭圆2212x =是优美椭圆；④焦距、短轴长、长轴长成等比数列的椭圆是优美椭圆. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】根据椭圆的几何性质，结合定义即可求得四个选项中的椭圆离心率，即可判断是否为优美椭圆. 【详解】对于A ，一个焦点、一个短轴顶点与一个长轴顶点构成直角三角形的椭圆是优美椭圆，则满足()()()22222a c ab bc +=+++，化简可得220a ac c --=，即210e e +-=，解得12e -+=或12e --=，所以A 正确；对于B ，短轴长与长轴长之比为51-，即512b a -=，则2222515151122c a be a a ⎛⎫----===-=≠⎪ ⎪⎝⎭，所以B 错误； 对于C ，椭圆221251x +=-，则353551222c e a ---====，所以C 正确； 对于D ，焦距、短轴长、长轴长成等比数列，即()2222b c a =⨯，化简可得220a ac c --=，由A 可知，D 中椭圆为优美椭圆，所以D 正确，综上可知，正确的为ACD ， 故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质简单应用，椭圆离心率的求法，属于基础题.5．我国传统文化中有天干地支之说，天干为“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”.其中甲、乙五行属木，归东方，丙、丁五行属火，归南方，戊、己五行属土，归中央，庚、辛五行属金，归西方，壬、癸五行属水，归北方.在天干十个字中随机取两个，则它们五行属性相同的概率是( ) A ．19B ．18C ．17D ．16【答案】A【解析】根据古典概型概率，结合排列数求法，即可得解. 【详解】从天干十个字中随机取两个，所有取的种类为210109452C ⨯==， 共有金木水火土五行，所以随机取的两个五行相同的概率为51459=， 故选：A. 【点睛】本题考查了古典概型概率求法，组合数计算公式的简单应用，属于基础题. 6．函数()()22xf x x x e =-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD ；再由0x <时，()f x 恒为正，排除C 即可得解. 【详解】函数()()22xf x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，令()0f x '=，解得()f x 的两个极值点为2±，故排除AD ， 且当0x <时，()f x 恒为正，排除C ， 即只有B 选项符合要求， 故选：B. 【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题. 7．已知非零向量OA ，OB 满足213515OA OB AB ==，则OA ，OB 的夹角为( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】根据向量模长的等量关系，可得三条边长的比值，结合余弦定理即可求得OA ，OB 夹角的余弦值，进而求得OA ，OB 的夹角.【详解】非零向量OA ，OB 满足213515OA OB AB ==， 则::5:3:7OA OB AB =， 设3OB t =，0t >， 则5OA t =，7AB t =，由余弦定理求得()()()2225371cos 2532t t t AOB t t +-∠==-⨯⨯.而0AOB π<∠<，所以23AOB π∠=， 即OA ，OB 的夹角为23π， 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量模长关系，余弦定理在解三角形中的应用，平面向量夹角的求法，属于基础题.8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体： 此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=； 此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=； 此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2. 故选D.【名师点睛】对算法与程序框图的考查，侧重于对程序框图中循环结构的考查.先明晰算法及程序框图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的起始条件、循环次数、循环的终止条件，更要通过循环规律，明确程序框图研究的数学问题，是求和还是求项.9．记集合{}11A a =，{}223,A a a =，{}3456,,A a a a =，{}478910,,,A a a a a =，…，其中{}n a 为公差大于0的等差数列，若{}23,7A =，则195属于( ) A ．10A B ．11AC ．12AD ．13A【答案】A【解析】根据等差数列的性质，先求得数列{}n a 的通项公式，进而判断出195的项数；结合等差数列求和公式，即可判断出195所在的集合. 【详解】数列{}n a 为公差大于0的等差数列，{}23,7A =， 则23a =，37a =， ∴45n a n =-， 故195是第50项， 前9个集合共()9919452S ⨯+==项，第10个集合有10项， 所以第50项属于10A . 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及等差数列前n 项和公式的简单应用，属于基础题. 10．已知椭圆C 的两个焦点为()0,1±，过顶点的直线1l ：1y k x a =+与2l ：()20y k x a a =-≠的交点恰好在C 上，且122k k =-，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22123x y +=D ．2212y x +=【答案】D【解析】根据直线方程可知两直线分别过上、下两顶点，设两直线交点为(),P x y ，由两点间斜率公式及122k k =-化简可得椭圆的标准方程，结合焦点坐标即可确定参数a ，进而代入可得椭圆的方程.【详解】过顶点的直线1l ：1y k x a =+与2l ：()20y k x a a =-≠的交点恰好在C 上，则两直线分别过上、下两顶点， 设两条直线的交点为(),P x y ，则有2y a y ax x-+⋅=-，化简得222212y x a a +=， 由椭圆C 的两个焦点为()0,1±，所以可得2212a a -=，解得22a =，故选：D. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质的简单应用，两点间斜率公式的应用，注意焦点的位置，属于中档题.11．已知函数()()sin cos f x a x b x x R =+∈，若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 3x =-，则点(),a b 所在的直线方程为( ) A ．30x y -= B ．30x y += C ．30x y -= D ．30x y +=【答案】B【解析】由辅助角公式对三角函数式化简，结合正弦函数对称轴的性质求得0x 的表达式，代入条件0tan 3x =-中，用诱导公式化简即可求得30a b +=，即可得点(),a b 所在的直线方程. 【详解】由辅助角公式化简函数可得()()sin cos f x a x b x x R =+∈x x ⎫=+⎪⎭(),tan b x aαα=+=则对称轴满足,2x k k Z παπ+=+∈，则,2x k k Z παπ=-+∈因为0x x =是函数()f x 的一条对称轴， 则0,2x k k Z παπ=-+∈，则0sin 12tan tan tan 22tan cos 2x k παππαπαπαα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，即3ab-=，所以30a b +=， 即点(),a b 所在的直线方程为30x y +=， 故选：B. 【点睛】本题考查了辅助角公式在三角函数式化简中的应用，正弦函数对称轴性质应用，正切函数诱导公式的简单应用，属于中档题.12．已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，M 为AB 中点，ABC ∆，ABD ∆，CDM ∆都是正三角形，若6AB =，则球O 的表面积为( )A ．52πB ．54πC ．56πD ．60π【答案】A【解析】根据题意画出四面体ABCD ，过ABC ∆，ABD ∆的外心1O ，2O 分别作平面ABC ，ABD 的垂线，可知两条直线相交于一点O ，点O 即为ABCD 外接球球心；由等边三角形外心性质，结合线段关系即可求得外接球的半径，进而得球的表面积. 【详解】过ABC ∆，ABD ∆的外心1O ，2O 分别作平面ABC ，ABD 的垂线，显然两垂线都在平面CDM 内，故它们相交于一点O ，点O 为外接球球心，如下图所示：因为6AB =，所以在CDM ∆中，226333MC MD ==-=12133MO MO MC ===，1230OMO OMO ∠=∠=︒，∴1231OO OO ===，所以22222112133133R OC OO CO ⎛==+=+⨯= ⎝， 球的表面积2452R ππ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了四面体外接球的求法，等边三角形外心性质的应用，球表面积的求法，对空间想象能力要求高，属于难题.二、填空题13．曲线sin x y e x =⋅在点()0,0处的切线方程为______. 【答案】0x y -=【解析】根据曲线先求得导函数，即可求得当0x =的到数值，即为切线斜率，再由点斜式即可得切线方程. 【详解】曲线sin xy e x =⋅，则sin cos x xy e x x e '=⋅+⋅()sin cos x e x x =+则当0x =时，()0sin0cos01k y e ='=+=，所以y x =，即0x y -=， 故答案为：0x y -=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义应用，切线方程的求法，属于基础题.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若11a =，2463a a =，则5S =______.【答案】121【解析】根据等比数列通项公式，可代入等式求得公比，再由等比数列前n 项和公式即可求得5S . 【详解】等比数列{}n a ，由2463a a =，则()235113a q a q =，因为11a =，代入可得653q q =，解得3q =，所以由等比数列的前n 项和公式可得551312113S -==-，故答案为：121. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，属于基础题.15．在抗击“非洲猪瘟”的战斗中，某市场防疫检测所得知一批共10只猪中混入了3只携带病毒的猪，在没有传染扩散前，马上逐个不放回地检测，每次抽中各只猪的机会均等，直到检测出所有病猪就停止检测，则恰在第六次检测后停止的概率是______. 【答案】112【解析】恰在第六次检测后停止说明第六次检测出的为携带病毒的猪，前5只检测的猪有3只健康猪和两只携带病毒的猪，分步计算出前六个位置安排的方法数，结合总的排序数，即可得概率值. 【详解】恰在第六次停止即前五只猪3好2病，第六只是病猪，则从7只健康的猪中选择3只37C 种方法，将选出的3只猪排列在前五个位置共有35A 种方法，将前五个位置中的两个空位和第六个位置安排携带病毒的猪共有33A 种方法，故共有333753C A A ⋅⋅种排列，前6只猪共有610A 种排列，故概率为3337536107655433211123109876512A A C A ⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯. 故答案为：112. 【点睛】本题考查了排列组合问题在实际问题中的应用，分步乘法计数原理及概率求法，属于中档题.16．已知抛物线28y x =的焦点到双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线的距E 的离心率的取值范围是______. 【答案】(]1,2【解析】根据抛物线方程求得焦点坐标，由双曲线方程可得渐近线方程，根据点到直线距离公式及题设，即可得,b c 的不等式，结合双曲线中,,a b c 关系即可求得离心率的范围. 【详解】抛物线28y x =，则焦点坐标为()2,0，双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，则由题意可得点()2,0到直线0bx ay ±=2bc=≤， 所以2243b c ≤，即()22243c ac-≤，224c a ≤，2ce a=≤， 故双曲线E 的离心率的取值范围是(]1,2. 故答案为：(]1,2. 【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合应用，抛物线的焦点及双曲线渐近线方程的求法，点到直线距离公式的应用及双曲线离心率取值范围的求法，一元二次不等式的解法，综合性强，属于中档题.三、解答题17．已知向量3sin ,14x m ⎛⎫= ⎪⎭，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x m n =⋅. （1）求()f x 的最小值，并求此时x 的值；（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()f B =，2a =，3c =，求sin A 的值.【答案】（1）443x k ππ=-，k Z ∈时，()f x的最小值为12-；（2. 【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算，结合三角函数降幂公式及辅助角公式化简三角函数式，结合正弦函数图像与性质即可求得函数()f x 的最小值及取最小值时x 的值；（2）将B 代入函数解析式，结合等量关系可求得B ，进而由余弦定理可求得b ，再根据正弦定理即可求得sin A 的值. 【详解】（1）向量3sin ,14x m ⎛⎫= ⎪⎭，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x mn =⋅，则()2cos cos 444x x f xx =+ 1cos222x x+=+1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=-，k Z ∈，时()f x 取最小值 即443x k ππ=-，k Z ∈时，()f x 的最小值为12-.（2）∵()11sin 2622B f B π⎛⎫=++=⎪⎝⎭，∴3sin 262B π⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∵0B π<<， ∴26263B πππ<+<， ∴263B ππ+=， ∴3B π=，在ABC ∆中，由余弦定理得22212cos 4922372b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴7b =，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a b A B=， ∴32212sin 7A ⨯==.【点睛】本题考查了三角函数恒等变形的应用，降幂公式及辅助角公式的应用，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.18．在如图所示的几何体中，四边形CDEF 为矩形，平面CDEF ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，且//AB CD ，AD CD ⊥，222CD AB AD ===，点M 为棱BC 的中点.（1）求证：BD FM ⊥；（2）若直线AC 与直线FM 所成角为45︒，求直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）56. 【解析】（1）由面面垂直的性质可知FC ⊥平面ABCD ，即CF BD ⊥，根据所给线段关系及勾股定理逆定理，可证明BD BC ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面BCF ，从而证明BD FM ⊥.（2）根据题意以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立空间直角坐标系，设ED h =，写出各个点的坐标，由直线AC 与直线FM 所成角为45︒求得h ，由空间向量数量积运算求得平面BCE 的法向量，即可由空间向量数量积的坐标运算求得直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四边形CDEF 为矩形，所以FC CD ⊥. 又平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF平面ABCD CD =，则FC ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ， 故FC BD ⊥.取CD 的中点N ，连接BN ，在直角梯形ABCD 中， 可知222BD AD AB =+=，222BC BN CN =+=，故222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥. 又CFBC C =，故BD ⊥平面BCF .又FM ⊂平面BCF ， 所以BD FM ⊥.（2）由（1）知DA ，DC ，DE 两两垂直，以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设()0,0,E h ，则()1,0,0A ，()0,2,0C ，()0,2,F h ，()1,1,0B ，13,,022M ⎛⎫⎪⎝⎭. 故()1,2,0AC =-，11,,22FM h ⎛⎫=--⎪⎝⎭. 因直线AC 与直线FM 所成角为45︒，故cos 455AC FM AC FM⋅︒==， 解得5h =. 设直线BF 与平面BCE 所成的角为θ，平面BCE 的法向量为(),,n x y z =，则BF ⎛=- ⎝⎭，1,BE ⎛=-- ⎝⎭，()1,1,0BC =-，故00n BE x y n BC x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取1x =，则1y =，z = 所以(1,1,10n =，故5sin BF n BF nθ⋅==， 故直线BF 与平面BCE 【点睛】本题考查了面面垂直的性质及线面垂直的判定定理应用，由线面垂直判定线线垂直，由异面直线夹角大小求线段长，用法向量法求直线与平面夹角，属于中档题.19．某市举办“爱我华夏，弘扬传承”知识抢答赛，最后有张珊、李诗两位选手进入冠亚军PK 赛，规则如下：依次从忠、孝、仁、义、礼、信、智七个题库中每一次随机选取一道题两人抢答，胜者得25分，败者不扣分（无平局），先得100分者为冠军，结束PK.由于两人阅读习惯的区别，在前面的比赛中得出：张珊在忠、孝、礼、智方面略有优势，胜率为0.6，其它方面两人不分伯仲，胜率都是0.5. （1）求PK 结束时李诗恰得25分的概率；（2）记PK 结束时抢答场数为x ，求x 的分布列及期望. 【答案】（1）0.18；（2）分布列见解析，5.785.【解析】（1）根据题意可知共比赛5次，且前四次李诗只胜一次，由独立事件概率乘法公式即可求解.（2）因为至少答4题，因而抢答场数x 所有可能的值为4，5，6，7，分别讨论四种情况下各自的胜率即可求得分布列，由分布列即可求得期望值.【详解】（1）李诗恰得25分则张珊得100分，即共比赛5次，前四次李诗胜一次，第五次张珊胜；则李诗在前四次只胜一次的概率0.60.40.50.50.60.40.60.50.50.6P =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ 0.60.60.50.50.60.60.60.50.50.60.18+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（2）x 所有可能的值为4，5，6，7，4x =即某人连胜4次，所以()222240.60.50.40.50.13P x ==⋅+⋅=；5x =即某人前4次3胜l 负第五次胜，张珊4:1胜的概率为0.18，李诗4:1胜的概率为223220.60.50.420.40.50.08⋅⋅⋅+⋅⋅=，所以()50.180.080.26P x ==+=；6x =即某人前五次3胜2负第六次胜，各有三类：①在第1，2，5场中负2次，②在第3，4场中连负2次，③在第1，2，5场中负1次，第3，4场中负1次，张珊4:2胜的概率为32332330.60.50.40.60.560.60.40.50.171⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=.李诗4:2胜的概率为23332330.60.50.40.40.560.60.40.50.134⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=，所以()60.1710.1340.305P x ==+=；()()()()714560.305P x P x P x P x ==-=-=-==，故分布列为期望()40.1350.2660.30570.305 5.785E x =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立事件乘法公式的应用，离散型随机变量分布列的求法及期望求法，注意分类讨论时要做到不重不漏，属于中档题. 20．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．【答案】（1）12870x y --=；（2）3. 【解析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.21．已知函数()22ln f x x a x x=++（0x >，a 为常数）. （1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）对任意两个不相等的正数1x ，2x ，求证：当0a ≤时，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）20x y -+=；（2）证明见解析.【解析】（1）将1a =代入解析式，并求得导函数()f x '，代入1x =即可求得切线斜率；将1x =代入函数解析式求得切点坐标，即可由点斜式求得切线方程； （2）由函数解析式求得导函数()f x '；构造函数()()()2222f x f x x x f t x ++⎛⎫=-⎪⎝⎭，可求导得()t x '，将()f x '代入()t x '并变形化简，即可判断出()t x 的单调区间，进而确定()()20t x t x ≥=，再由12x x ≠可知()10t x >恒成立，即原不等式成立. 【详解】（1）1a =时，函数()22ln f x x x x=++， 则()2212f x x x x'=-+， 故()11k f ='=，又()13f =， 所以切线方程为()311y x -=⨯-， 即20x y -+=.（2）证明：函数()22ln f x x a x x=++（0x >，a 为常数）. 则()222a f x x x x'=-+， 构造函数()()()2222f x f x x x f t x ++⎛⎫=-⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，∴()()211222x x f x f t x '+⎛⎫='-' ⎪⎝⎭， 所以()()()22222118222a a t x x x x x x x x x x ⎡⎤'=-+-+-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()()2222223122x x ax x x x x x x x ⎡⎤+=-+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， ∵102>，()222230x x x x x +>+，()202a x x x -≥+， ∴()()2222231022x x ax x x x x x ++->++. 故当()20,x x ∈时，()0t x '<，()t x 为减函数； 故当()2,x x ∈+∞时，()0t x '>，()t x 为增函数.故对一切()0,x ∈+∞，()()20t x t x ≥=.当且仅当2x x =时取等号. 题中12x x ≠，故()10t x >恒成立， 原不等式得证. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及切线方程的求法，构造函数法在证明不等式中的应用，利用导数证明函数的单调性并求得最值，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝－22，曲线C 3：ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值． 【答案】(1) M (－1,0);(2)21-.【解析】试题分析：（1）将两个曲线方程均化为直角坐标方程，联立得到交点坐标即可；（2）点点距转化为圆心到直线的距离加减半径. 解析： (1)曲线C 1：消去参数α，得y ＋x 2＝1，x ∈[－1,1]．① 曲线C 2：ρcos＝－⇒x ＋y ＋1＝0，②联立①②，消去y 可得x 2－x －2＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)，所以M (－1,0)． (2)曲线C 3：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，是以(0,1)为圆心，半径r ＝1的圆．设圆心为C ，则点C 到直线x ＋y＋1＝0的距离d ＝＝，所以|AB |的最小值为－1.23．设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若22223a c b m ++=，求2ab bc +的最大值. 【答案】（1）32；（2）34. 【解析】（1）根据函数解析式，分类讨论可得分段函数解析式，画出函数图像即可求得函数的最大值，即为m 的值；（2）代入（1）中m 的值，将等式分组，结合基本不等式即可求得2ab bc +的最大值. 【详解】（1）函数()121f x x x =--+分类讨论化简可得()12,213,122,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩，画出函数图像如下图所示，由图像可知当12x =-时，函数取得最大值32m =.（2）由（1）可知32m =，高三质量检测 所以2223232a c b ++=， 而()()22222223232242a cb a bc b ab bc =++=+++≥+ ∴324ab bc +≤，当且仅当12a b c ===±时，等号成立， ∴2ab bc +的最大值为34. 【点睛】本题考查了含绝对值函数最值的求法，数形结合法求最值，基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.。
四川省棠湖中学2020届高三数学一诊模拟考试试题文
四川省棠湖中学2020届高三数学一诊模拟考试试题 文第I 卷 (选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1．复数，其中是虚数单位，则2z i =+i =z A． C ． D ．1352．设集合，，则{}2,1,0,1,2M =--{}220N x x x =--<M N = A ．B ．C ．D ．{}2,1--{}1,0-{}0,1{}1,23．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 A ．B ．C ．D ．32343834．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是A ．B ．C ．1D ．21-125．在△ABC 中，，c=4，，则b=6B π=5cosC =A ．B ．3C ．D ．3332436．设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的,a b λa b λ= a b a b +=+ A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点.若点l 28y x =F A B C 是的中点，则线段的长为F AC BC A ．B ．C ．D ．83316368．已知等差数列的前项和为,若,则{}n a n n S 23109a a a ++=9S =A ．B ．C ．D ．3918279．已知是上的奇函数,且为偶函数,当时,,则()f x R (1)y f x =+10x -≤≤2()2f x x =7()2f =A ． B ． C ． D ．1212-11-10．在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面1111ABCD A B C D -E 1BB F 11A C O 的中心，若，则四面体的体积ABCD 1,BE x A F y ==O AEF -A ．与都有关B ．与都无关,x y ,x y C ．与有关，与无关D ．与有关，与无关x y y x 11．已知数列满足：，，则下列关{}n a 1a a =11()2n n na a n a *+=+∈N 于的判断正确的是{}n a A ．使得B ．使得0,2,a n ∀>∃≥2n a <0,2,a n ∃>∃≥1n n a a +<C ．总有D ．总有0,,a m *∀>∃∈N ()m n a a m n <≠0,,a m *∃>∃∈N m n n a a +=12．已知函数是定义在上的偶函数，且满足，若函数()f x R 2(01),2()1(1)xxx x f x x x e ⎧-≤<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩有6个零点，则实数的取值范围是()()F x f x m =-m A ． B ． C ． D ．211(,)16e -211(,0)(0,)16e - 210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21[0,)e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数满足，则的最大值是 .,x y 1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =+14．双曲线的一条渐近线方程为，则离心率等于 .22221(0,0)x y a b a b -=>>2y x =15，则值域为___________．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π16．点,,,在同一个球面上,,若球的表面积为,则四面体A B C D AB BC ==2AC =254π体积的最大值为 ．ABCD 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（12分）已知中，，，.ABC ∆4A π=3cos 5B =8AC =（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）求边上的中线的长.ABC ∆AB CD 18．（12分）省环保厅对、、三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空A B C 气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：城A 城B 城C 优（个）28xy 良（个）3230z已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录城市空气质量为优的数据的概率为0.2.B （I ）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在城中应C 抽取的数据的个数；（II ）已知，，求在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.23y ≥24z ≥C 19．（12分）如图，在四棱锥ABCD 中，和都是等边三角形，平面PAD 平面-P ∆PAD ∆BCD ⊥ABCD ，且，．24==AD AB =BC （I ）求证：CD PA ；⊥PDC（II ）E ，F 分别是棱PA ，AD 上的点，当平面BEF //平面PCD 时，求四棱锥的体积．-C PEFD20．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，长轴长为C ()()121,0,1,0F F -（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；C （Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，若点满足，求证：()0,1l C A B M 0MA MB MO ++=由点 构成的曲线关于直线对称．M L 13y =21．（12分）已知函数.()ln 1f x x x ax a =++-（Ⅰ）求证：对任意实数，都有；a min [()]1f x ≤（Ⅱ）若，是否存在整数，使得在上，恒有成立？2a =k (2,)x ∈+∞()(1) 2 1f x k x k >+--若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.（）k 2.71828e = （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l ：(t 为参数), 曲线(为参数)．112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1:x cos C y sin θθ=⎧⎨=⎩θ（Ⅰ）设l 与C 1相交于AB 两点,求|AB |；（Ⅱ）若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的倍,倍,得到曲线,122C 设点P 是曲线上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值．2C 23．已知函数.()21(0)f x x x m m =+-->（Ⅰ）当时，求不等式的解集；2m =()1f x ≤（Ⅱ）令，的图象与两坐标轴的交点分别为，，，若三角形的()()2g x f x =-()g x A B C ABC 面积为，求得值.12m棠湖中学高2020届一诊模拟考试文科数学试题参考答案1．A2．C 3．C4．A5．B6．B7．C8．D9．A10．B11．D12．C13．2 1415． 16．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3217．解：（1）且，3cos ,5B =(0,)B π∈∴．24sin 1cos 5B B =-=sin sin()sin()C A B A B π∴=--=+232472sin cos cos sin 55A B A B =+=⋅+=在中，由正弦定理得，即．ABC ∆sin sin AC ABB C =84725=2AB =所以的面积为ABC ∆112sin 282822S AB AC A =⋅⋅=⋅⋅=（2）在中，， 所以由余弦定理得ACD ∆72AD =，所以．22272722658(282CD =+-⨯=130CD =18.解：（1）由题意得，即.0.2180x=36x =∴，1802832363054y z +=----=∴在城中应抽取的数据个数为.C 30549180⨯=（2）由（1）知，且，，54y z +=,y z N ∈23y ≥24z ≥∴满足条件的数对可能的结果有，，，，，(,)y z (23,31)(24,30)(25,29)(26,28)(27,27)，，共8种.(28,26)(29,25)(30,24)其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有，，(28,26)(29,25)共3种.(30,24)∴在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为.C 3819．证明：（I ）因为，， ，所以， AB BD ⊥，4=AD 2=AB =BD 222+=AB BD AD 且．又是等边三角形，所以90ADC ∠=︒，即．…3分30︒∠=ADB V BCD ⊥CD AD 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面平面ABCD AD =，平面ABCD I PAD ⊂CD 所以CD ⊥平面PAD ． 所以CD PA ． ……6分⊥（II ）因为平面BEF //平面PCD ，所以BF //CD ， EF //PD ，且． ……8分⊥BF AD 又在直角三角形ABD 中，DF =，所以．233︒=1==AE AF 所以 ……10分1115344sin 6011sin 6022=⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒=PEFD S 四边形由（I ）知CD ⊥平面PAD ，故四棱锥的体积．…12分-C PEFD 11532==V g PEFD V S CD 20．（Ⅰ）由已知，得，所以3,1a c ==33c e a ===又，所以222a b c =+2b =所以椭圆的标准方程为，离心率C 22132x y +=3e =（Ⅱ）设，，，()11,A x y ()22,B x y (),m m M x y ①直线 与轴垂直时，点的坐标分别为，．l x ,A B (0,(因为，，，()0,m m MA x y =-- ()0m m MB x y =-- ()0,0m m MO x y =-- 所以．()3,30m m MA MB MC x y ++=--=u u u r u u u r u u u r r 所以，即点与原点重合;0,0m m x y ==M ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，l x l 1y kx =+PDAE BCF由 得，．221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2232630k x kx ++-=()22236123272240k k k ∆=++=+>所以.，则，122632k x x k -+=+1224032y y k +=>+因为，，，()11,m m MA x x y y =--()22,m m MB x x y y =--(),m m MO x y =--所以．()121203,030m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=u u u r u u u r u u u r r 所以，．，，123m x x x +=123m y y y +=2232m k x k -=+243032m y k =>+消去得．k ()2223200m m m m x y y y +-=>综上，点构成的曲线的方程为M L 222320x y y +-=对于曲线的任意一点，它关于直线的对称点为．L (),M x y 13y =2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭把的坐标代入曲线的方程的左端：2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭L ．2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以点也在曲线上．所以由点构成的曲线关于直线对称.M 'L M L 13y =21．解：（1）证明：由已知易得，所以()(1)ln 1f x a x x x =-++()1ln f x a x '=++令得：()1ln 0f x a x '=++=(1)a x e -+=显然，时，<0，函数f （x ）单调递减；(1)(0,)a x e -+∈()f x '时，>0，函数f （x ）单调递增(1)(,)a x e -+∈+∞()f x '所以min [()]f x (1)(1)()1a a f e a e -+-+==--令，则由得min ()[()]t a f x =(1)()10a t a e -+'=-+=1a =-时，>0，函数t （）单调递增；(,1)a ∈-∞-()t a 'a 时，<0，函数t （）单调递减，所以，即结论(1,)a ∈-+∞()t a 'a max [()](1)1111t a t =-=+-=成立.（2）由题设化简可得ln (2)x x x k x +>-令，所以()ln (1)2t x x x k x k =+-+()ln 2t x x k'=+-由=0得()ln 2t x x k '=+-2k x e -=①若，即时，在上，有，故函数22k e-≤2ln 2k ≤+(2,)x ∈+∞()0t x '>PCD S ∆=所以()(2)22ln 20t x t >=+>②若，即时，在上，有，故函数22k e->2ln 2k >+2(2,)k x e -∈()0t x '<PCD S ∆=上单调递减2(2,)k x e -∈在上，有.故函数上单调递增2(,)k x e -∈+∞()0t x '>7PCD S ∆=2(,)k x e -∈+∞所以，在上，(2,)x ∈+∞22min ()()2k k t x t e k e --==-故欲使，只需即可ln (2)x x x k x +>-22min ()()20k k t x t e k e --==->令，由得22()2,()2k k m k k e m k e --'=-∴=-2()20k m k e -'=-=2ln 2k =+所以，时，，即单调递减2ln 2k >+()0m k '<()m k 又，，故422(4)2480m e e -=⨯-=->423(5)25100m e e -=⨯-=-<max 4k =22.（1）的普通方程为，的普通方程为)31y x =-1C 221x y +=联立方程组解得与的交点为,,则. )22311y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 1C ()1,0A 13,2B ⎛⎝1AB =（2）的参数方程为（为参数).故点的坐标是,从而点2C 12x cos y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩θP 1cos 2θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭到直线,P24πθ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦由此当时, 取得最小值,.sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭d )1-23．(1)当时，不等式可化为，2m =()1f x ≤2121x x +--≤①当时，不等式化为，解得：；1x <-50x +≥51x -≤<-②当时，不等式化为，解得：；12x -≤≤31x ≤113x -≤≤③当时，不等式化为，解集为，综上，不等式的解集为.2x >30x +≤φ{153x x ⎫-≤≤⎬⎭(2)由题设得，41()31x mx g x x m x mx m x m ---<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪+>⎩所以的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，，，()g x (4,0)A m --(0,)B m -(,0)3mC 于是三角形的面积为，ABC 2(3)123S m m =+=得，或（舍去），故.3m =6m =-3m =。
2020届高考理科数学(理数)高三模拟试卷(全国1卷)pdf参考答案
理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足： x2 3x 4 0 ，( x 4)( x 1) 0 ， x 4 或x 1 ， A {x | x 4 或 x 1} ， CU A={x | 1 x 4} ， y 2x 2 2 ， B {y | y 2} ，可知 (CU A) B {x | 2 x 4} .故选 D. 2. 【答案】A【解析】 z 1 i (1 i)(1 2i) 1 3i ，复数 z 的虚部为 3 ，1 2i555故错误；② | z | ( 1)2 ( 3)2 10 ，故错误；③复数 z 对应的555点为 ( 1 ， 3) 为第三象限内的点，故正确；④复数不能比较大小， 55故错误.故选 A.3. 【答案】C【解析】 Sn 2an 4 ，可得当 n 1 时， a1 2a1 4 ， a1 4 ，当n 2时，S n 12 an 14与已知相减可得an an 12，可知数列{ an } 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， a5 4 24 64 .故选 C.4. 【答案】D【解析】可知降落的概率为pA22 A55 A661 3.故选D.5. 【答案】C【解析】函数 f (x) 2 020x sin 2x 满足 f (x) 2 020x sin 2x f (x) ，且 f (x) 2 020 2cos 2x 0 ，可知函数 f (x) 为单调递增的奇函数， f (x2 x) f (1 t) 0 可以变为 f (x2 x) f (1 t) f (t 1) ，可知 x2 x t 1 ，t x2 x 1 ，x2 x 1 (x 1)2 2 3 3 ，可知实数 t 3 ，故实数 t 的取值范围为 (∞，3] .故选 C.44446. 【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为 y 3x ，可得双曲线的方程为x2 y2 ，把点 P(2，3) 代入可得 4 3= ， 1 ，双曲线的 3方程为 x2 y2 1，c2 1 3 4，c 2，F(2，0) ，可得 A(2，2 3) ， 3B(2， 23)，可得SAOB1 224343 .故选 A.7. 【答案】B【解析】 f (x) sin(x π )sin x cos2 x3 (sin x cos π cos x sin π )sin x 1 cos 2x332 3 sin 2x 1 cos 2x 3 1 ( 3 sin 2x 1 cos 2x) 3444 2224 1 sin(2x π ) 3264把函数 f (x) 的图象向右平移 π 单位，再把横坐标缩小到原来的一 6半，得到函数 g(x) ，可得 g (x) 1 sin(4x π ) 3 ，最小正周期为2642π π ，故选项 A 错误； x π ， 4x π 4 π π π ，故选426666 2项 B 正确；最大值为 1 3 5 ，故选项 C 错误；对称中心的方程 244为 (kπ π ，3)(k Z) ，故选项 D 错误.故选 B. 4 24 48. 【答案】D【解析】可知 BDC 120°，且 AD 3 ，BD DC 1 ，在 BDC中，根据余弦定理可得 BC 2 1 1 2 11 cos120° 3， BC 3 ，据正弦定理可得 BC 2r ， sin120°3 32r，r 1 ， O1 为 BDC2的外心，过点 O1 作 O1O 平面 BDC ， O 为三棱锥 A BCD 的外 接球的球心，过点 O 作 OK AD ， K 为 AD 的中点，连接 OD 即为外接球的半径 R 12 ( 3 )2 7 ，可得外接球的表面积为22S 4πR2 4π ( 7 )2 7π .故选 D. 29. 【答案】C【解析】二项式 (x y)n 的展开式的二项式项的系数和为 64 ，可得 2n 64 ，n 6 ，(2x 3)n (2x 3)6 ，设 x 1 t ，2x 3 2t 1 ，(2x 3)n (2x 3)6 (2t 1)6 a 0 a1t a 2t 2 a 6t 6 ，可得 Tr1 C64 (2t)6414 C64 22t 2 60t 2 ，可知 a2 60 .故选 C. 10.【答案】A【解析】设点 P(x0 ，y0) ，则 x0 y0 6 0 ，则过点 P 向圆 C 作切 线，切点为 A，B ，连接 AB ，则直线 AB 的方程为 xx0 yy0 4 ，可得y0x06，代入可得(xy) x06y40，满足 x y 0 6y 4 0 x 2 3，故过定点为M(2，2).故选A. y2 33311.【答案】B【解析】f (x) log2 (x2 e|x|) ，定义域为 R ，且满足 f ( x) f (| x |) ，当 x 0 时，单调递增，而 (5)0.2 1 ， 0 (1)0.3 1 ， b a ，42cf(log 125) 4f( log25) 4f(log25 4)，而0log25 4 log221， 2( 1 )0.3 21 2， log 25 4 (1)0.3 ， 2f(log25) 4f(( 1 )0.3 ) 2，故 c a，故 c a b .故选 B.12.【答案】D【解析】f (x1) f (x2 ) x1 x21 x1x2，不妨设 x1x2 ，则f( x1) f (x2 ) 1 x21 x1，整理可得f (x1) 1 x1f (x2 ) 1 x2，设函数 h(x) f (x) 1 xa ln xx1 x在[e2 ，e4 ]上单调递减，可知 h'(x)a(1 ln x2x)1 x20，可知 a 1 1 lnx，而函数F ( x)1 1 lnx在[e2，e4 ]单调递增，F (x)maxF (4)11 41 3，可知实数a 1 3.故选D.二、填空题13.【答案】 9 5 5【解析】向量 a b在 a上的投影为| a b|cos (a b) a|a| (1，5) (1，2) 9 5 .5514.【答案】 5 2 6【解析】首先作出可行域，把 z ax by(a 0，b 0) 变形为 y a x z ，根据图象可知当目标函数过点 A 时，取最大值为 1， bb理科数学答案第 1 页（共 4 页） x 2x y 1 0 y40A(3，2)，代入可得3a2b1，则1 a1 b3a a2b 3a 2b 3 2b 3a 2 5 2 2b 3a 5 2 6 ，当且仅当bababb 6 a 取等号，可知最小值为 5 2 6 .故选 C. 215.【答案】 4 3【解析】 cos A cos B 2 3 sin C ，根据正弦定理 sin B cos A ab3asin Acos B 2 3 sin B sin C ，可知 sin( A B) 2 3 sin B sin C ，33sin C 2 3 sin B sin C ，sin B 3 ，在 ABC 内，可知 B π 或3232π ，因为锐角 ABC ，可知 B π ，利用余弦定理可得 b2 a2 c2 332ac cos B a2 c2 ac 2ac ac ac ，可知 ac 16 ，则 ABC 的面积的最大值 1 ac sin B 1 16 3 4 3 ，当且仅当 a c 时，取222等号，故面积的最大值为 4 3 .16.【答案】 4 5【解析】抛物线 C ：y2 2 px( p 0) 的准线方程为 x 2 ，可知抛物线 C 的方程为：y2 8x ，设点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，AB 的中点为 M (x0 ，y0 ) ，则 y12 8x1 ，y22 8x2 两式相减可得 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 8(x1 x2 )，y1 y2 x1 x2 8 y1 y2 ，可知 8 (1) 1 2 y0 x0 y0 6 0，解得 x0 y02 4，可得 M(2，4)，则 OA OB 2OM 2(2，4) (4，8) ，可得 | OA OB | | (4，8) | 42 82 4 5 .三、解答题17.【解析】（1） a1 1，an1 2an 1 ，可得 an1 1 2(an 1) ，{an 1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.--------------- 2 分 an 1 2 2n1 2n ， an 2n 1 .即数列 { an } 的通项公式 an 2n 1 .--------------- 4 分数列 { bn } 的前 n 项的和为 Sn n2 ，可得 b1 S1 1 ，当 n 2 时， bn Sn Sn1 n2 (n 1)2 2n 1 ，故数列 { bn } 的通项公式为 bn 2n 1 .--------------- 6 分（2）可知 cn bn an (2n 1) (2n 1) (2n 1) 2n (2n 1) --------------- 7 分设 An 1 2 3 22 5 23 (2n 1) 2 n ， 2 An 1 22 3 23 (2n 3) 2 n (2n 1) 2 n 1 ， 两式相减可得 An 2 2(22 23 2 n) (2n 1) 2 n 1 ，可得 An 6 (2n 1) 2n1 2n2 ，--------------- 10 分而数列 {2n 1}的前n项的和为Bn(1 2n 1) 2nn2，所以 Tn 6 (2n 1) 2n1 2n2 n2 .--------------- 12 分 18.【解析】（1）证明： PD 面 ABCD ， PD BC ，在梯形 ABCD 中，过 B 作 BH DC 交 DC 于 H ， BH 1 ，BD DH 2 BH 2 1 1 2 ，BC 2 ，( 2)2 ( 2)2 22 ，即 DB2 BC 2 DC 2 ，即 BC DB .--------------- 2 分 BC DB ， PD BD D ， BC 平面 PDB ， BC 平面 EBC 平面 PBC 平面 PDB .--------------- 4 分 （2）连接 PH ， BH 面 PDC ，BPH 为 PB 与面 PDC 所成的角， tan BPH BH 1 ， BH 1 ， PH 2 ， PH 2 PD2 DH 2 PH 2 ， PD2 1 2 ， PD 1 ，--------------- 6 分以 D 为原点，分别以 DA ， DC 与 PD 为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的E(空0间，2直，角12)坐，标可系知，则PBP(0(1，，01，，1) ，1)A，(A1，B0，(00)，，1B，(01)，1，，0) ，C (0，2，0) ，设平面PAB 可知 PB a AB a 设平面 PEB的法向量为 a (x，y，z) ， 0 0 xy y z 00，可取 a(1，0，1)，-----------的法向量为 b(x，y ，z ) ，BE(1，1，1)，8分2可知 PB BE b b 0 0 x x y y z 1 2 z0 0 ，可取 b(3，1，4)，-----10分可知两向量的夹角的余弦值为 cos a b 1 3 0 11 4| a || b | 1 1 32 1 42 7 13 ，可知两平面所成的角为钝角，可知两平面所成角的余弦 26值为 7 13 .--------------- 12 分 2619.【解析】（1）完成 2 2 列联表， 满意 不满意总计男生302555女生50合计80156540120 ----------- 4 分根据列联表中的数据，得到 K 2 120 (30 15 25 50)2 55 65 80 40 960 6.713 6.635 ，所以有 99% 的把握认为对“线上教育是否 143满意与性别有关”.--------------- 6 分（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人， 0，1，2，3 .P(0)C53 C835 ，P( 28 1)C52C31 C8315 28，P(2)C51C32 C8315 ，P( 563)C33 C831 56.---------------8分可得分布列为0123P515152828561------------ 10 分56可得 E( ) 0 5 1 15 2 15 3 1 9 .--------------- 12 分 28 28 56 56 820.【解析】（1）x2 4 y ，焦点 F (0 ， 1) ，代入得 b 1，e c 2 ， a2a2 b2 c2 ，解得 a2 2，b2 1 ， x2 y2 1 ，-------------- 2 分 2 直线的斜率为 1，且经过 (1，0) ，则直线方程为 y x 1 ，联立 x2 2y2 1，解得y x 1，x y 0 1或 x y 4 3 1 3， ，C(0，1) ，D( 4 ，1) ，--------------- 4 分 33理科数学答案第 2 页（共 4 页）| CD | 4 2 ，又原点 O 到直线 y x 1 的距离 d 为 2 ，32 SCOD1 2| CD|d1 242 32 2 .--------------- 6 分 23（2）根据题意可知直线 m 的斜率存在，可设直线 m 的方程为： y kx t，ykxt，联立 x2 2y2 1，(2k 2 1)x24ktx2t 220，可得 (4kt)2 4(2k 2 1)(2t 2 2) 0 ，整理可得 t 2 2k 2 1 ，可知 F2 (1，0) ， A(1，k t)，B(2，2k t) ，--------------- 8 分则 | AF2 | (1 1)2 (k t 0)2 k 2 2kt t2| BF2 | (2 1)2 (2k t 0)2 1 (4k 2 4kt t2) k 2 2kt t2 2 为定值.--------------- 12 分 2k 2 4kt 2t 2 221.【解析】（1）函数 f (x) 的定义域为 (0， ∞) ，f (x) x a 1 x2 ax 1 ，设 h(x) x2 ax 1 ，xx函数 h(x) 在 (1，3) 内有且只有一个零点，满足 h(1) h(3) 0 ，可得 (1 a 1)(9 3a 1) 0 ，解得 2 a 10 ， 3故实数 a 的取值范围为 (2，10) .--------------- 4 分3（2） 2 f (x) 2x 2 (a 1)x2 ，可以变形为 2ln x 2x 2 a(x22x)，因为x0，可得a 2ln x x2 2x 2x2，--------------6分设g(x)2ln x 2x x2 2x2，g' ( x)2(x 1)(2ln x (x2 2x)2x).设 h(x) 2 ln x x ，h(x) 在 (0， ∞) 单调递增，h(1 ) 2ln 2 1 0 ， h(1) 1 0 .22故存在一点 x0 (0.5，1) ，使得 h(x0 ) 0 ，--------------- 8 分当 0 x x0 时， h(x) 0，g'(x) 0 ，函数 g(x) 单调递增；当 x x0 时， h(x) 0，g'(x) 0 ，函数 g(x) 的最大值为 g(x0) ，且 2 ln x0 x0 0 ，--------------- 10 分g (x)max g(x0) 2ln x0 2x0 2 x02 2x01 x0，可知 a 1 x0，又1 x0 (1，2) ，可得整数 a 的最小值为 2.--------------- 12 分22.【解析】（1）由题可知：2 2 2 cos2 6 ， 2(x2 y2 ) x2 6 ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2 x2 1 ， 32直线 l 的普通方程为 3x 4 y 4 3a 0 ，--------------- 3 分两方程联立可得 33x2 6 (4 3a)x (4 3a)2 48 0 ，可知 [6 (4 3a)]2 4 33 [(4 3a)2 48] 0 ，解得 a 66 4 或 a 66 4 .--------------- 6 分33（2）曲线 C 的方程y2x21，可设x 2 cos ，32 y 3 sin则 2x 3y 2 2 cos 3 3 sin (2 2)2 (3 3)2 sin( ) ，其中 tan 2 6 ，可知最大值为 9(2 2)2 (3 3)2 35 .--------------- 10 分 23.【解析】（1）当 a 1 时， f (x) | 3x 6 | | x 1 | x 10 ，当 x 1时， (3x 6) (x 1) x 10 ，解得 x 1 ， 可得 x 1；--------------- 2 分 当 1 x 2 时， (3x 6) (x 1) x 10 ，解得 x 1 ， 可得 x 1； 当 x 2 时， (3x 6) (x 1) x 10 ，解得 x 5 ， 综上可得 {x | x 5或x 1} .--------------- 4 分 （2）由 f (x) 0 可知， f (x) | 3x 6 | | x 1| ax 0 ， | 3x 6 | | x 1| ax ，设 g(x) | 3x 6 | | x 1| ， h(x) ax ， 同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，--------------- 6 分 4x 5，x 1， g(x) 2x 7，1 x 2，可得 A(2，3) ， 4x 5，x 2， 当函数 h(x) 与函数 g (x) 的图象有两个交点时，方程 f (x) 0 有两 个不同的实数根，--------------- 8 分由函数图象可知，当 3 a 4 时，有两个不同的解，故实数 a 的 2取值范围为 ( 3 ，4) .--------------- 10 分 2理科数学答案第 3 页（共 4 页）理科数学答案第 4 页（共 4 页）。
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实用文档 2020届高三数学一诊模拟试题 理 第I卷(选择题 共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，
只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．已知全集为R，集合1,0,1,2,3A，201xBxx，则AB元素个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．设121izii，则||z A．0 B．1 C．5 D．3 3．已知，是两个不重合的平面，直线a，:pa，:q，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数1,022,0xxfxfxx，则21log5f A．516 B．54 C．52 D．5 5．设0.30.2a，0.3log0.2b，0.20.4c，则 A．abc B．acb C．cab D．bac 6．下图可能是下列哪个函数的图像
A．221xxyx B．2ln1xxyx C．2ln1yxx D．tanln1yxx
7．已知曲线1:2sin2Cyx，2:sin2cos2Cyxx，则下面结论正确的是 实用文档
A．把曲线1C向右平移8个长度单位得到曲线2C B．把曲线1C向左平移4个长度单位得到曲线2
C
C．把曲线2C向左平移4个长度单位得到曲线1C D．把曲线2C向右平移8个长度单位得到曲线1
C
8．过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C的圆截直线20xay所得弦长的最小值等于 A．23 B．43 C．13 D．213
9．椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是1F、2F，以2F为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线1PF恰好与圆2F相切于点P，则椭圆的离心率为 A．31 B．312 C．22 D．512
10．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为 A．2764 B．916 C．81256 D．716
11．已知()sin2019cos201963fxxx的最大值为A，若存在实数1x、2x，
使得对任意实数x总有12()fxfxfx成立，则12Axx的最小值为 A．2019 B．42019 C．22019 D．4038
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12．已知定义在R上的可导函数()fx的导函数为'()fx，满足'()()fxfx，且(2)fx为偶函数，(4)1f，则不等式()xfxe的解集为 A．(,0) B．(0,) C．4 ,e D．4,e
第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知随机变量X服从正态分布22,N且40.88XP，则04PX_____________
14．若二项式62313xx的展开式中的常数项为m，则213=mxdx______. 15．如图，求一个棱长为2的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体 截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD，其三对棱长分别为5,13,10ABCDADBCACBD，则此四面体的体积为_______； 16．在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且1MAMBMCMD，120CMD，若点N在线段CD上，则NANB的取值范围是______.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（12分） 在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知ABC△的面积为1315,2,cos4bcA． 实用文档
(1) 求a和sinC的值； (2) 求cos(2)6A的值． 18．（12分）某教师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 [50，60) 3 0.06 [60，70) m 0.10 [70，80) 13 n [80，90) p q [90，100] 9 0.18 总计 t 1
(1)求表中t，q及图中a的值； (2)该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行谈话，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 19．（12分）在斜三棱柱111ABCABC中，侧面1AC平面ABC，12AAa，实用文档
1ACCAABa，ABAC，D是1AA的中点．
（1）求证：CD平面1AB； （2）在侧棱1BB上确定一点E，使得二面角11EACA的大小为3．
20．（12分）已知A为圆22:1Cxy上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点P
满足2.BPBA
（1）求动点P的轨迹方程； （2）设Q为直线:3lx上一点，O为坐标原点，且OPOQ，求POQ面积的最小值. 21．（12分）已知函数22()2(1)xfxaxex，aR. （1）当4a时，讨论函数()fx的单调性； （2）当01a时，求证：函数()fx有两个不相等的零点1x，2x，且122xx. （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2cos14，曲线C的极坐标方程为2 acos ，a0 （l）设t为参数，若212yt，求直线l的参数方程； 实用文档
（2）已知直线l与曲线C交于P，Q设M(0,1)，且2|PQ|4|MP||MQ|，求实数a的值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()23fxxx. （1）求不等式()15fx的解集； （2）若2()xafx对xR恒成立，求a的取值范围. 实用文档
高2020届一诊模拟考试 理科数学试题参考答案 1．B 2．B 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B 13．0.76 14．124 15．2 16．3[,0]4
17．（1）△ABC中,由1cos,4A得15sin,4A由1sin3152bcA,得24,bc又由2,bc解得6,4.bc由2222cosabcbcA,可得a=8.由sinsinacAC,得
15sin8C.
（2）2
πππ3
cos2cos2cossin2sin2cos1sincos6662AAAAAA
,
157316
18．解：(1)由表格可知，全班总人数t＝＝50，则m＝50×0.10＝5，n＝＝0.26，所以a＝＝0.026，3＋5＋13＋9＋p＝50， 即p＝20，所以q＝＝0.4. (2)成绩在[50，60)内的有3人，[60，70)内的有5人． 由题意得X可能的取值为0，1，2，3，P(X＝k)＝，所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.
随机变量X的分布列如下： 实用文档
X 0 1 2 3
P 数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 19．（1）证：∵面11ACCA面ABC，ABAC,∴AB面11ACCA，即有ABCD； 又1ACAC，D为1AA中点，则1CDAA.∴CD面11ABBA. （2）如图所示
以点C为坐标系原点，CA为x轴，过C点平行于AB的直线为y轴,CA1为z轴， 建立空间直角坐标系Cxyz，则有,0,0Aa，,,0Baa，10,0,Aa，10,,Baa，1,0,Caa，
设,,Exyz，且1BEBB，即有,,,0,xayazaa， 所以E点坐标为1,,aaa. 由条件易得面11ACA的一个法向量为10,1,0n. 设平面11EAC的一个法向量为2,,nxyz，