数学建模作业新整理

佛山科学技术学院 上 机 报 告 课程名称 数学建模 上机项目 牙膏的销售量 专业班级

一、 问题提出

某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据。 表1 牙膏销售量与销售价格，广告费用等数据 （其中价格差指其他厂家平均价格与公司销售价格之差） 销售周期 公司销售价格/元 其他厂家平均价格/元 广告费用/百万元 价格差/元 销售量/百万支 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 根据牙膏销售量与价格、广告费等表格1中的数据，建立三个模型，要求： 1）画出散点图：y对x1的散点图1；y对x2的散点图2； 2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）； 3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）； 4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）。 二、问题分析 由于牙膏是生活必需品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身，因此，在研究各个因素对销售量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更合适。 三、模型假设

记牙膏销售量为y，其他厂家平均价格与公司销售价格之差（价格差）为1x，公司投入的广告费用为2x，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为3x和4x，134xxx，基于上面的分析，我们仅利用1x和2x来建立y的预测模型。 四、模型建立 （显示模型函数的构造过程）

（1）为了大致地分析y与1x和2x的关系，首先利用表一的数据分别作出y对1x和2x的散点图 y与x1的关系 程序代码： x1=[ 0 0 ]; y=[ ]; A=polyfit(x1,y,1) y1=polyval(A,x1); plot(x1,y1,x1,y,'go')

y 与x2的关系 x2=[ ]; y=[ ]; A=polyfit(x2,y,2) x3=::; y2=polyval(A,x3); plot(x2,y,'go',x3,y2)

图1 y对x1的散点图 图2 y与x2的散点图

从图1 可以发现，随着1x的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型

011yx （1）

拟合的（其中是随机误差），而在图2中，当2x增大时，y有向上弯曲增长的趋势，图中的曲线是用二次函数模型 201122yxx （2） 拟合的。 综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型 20112232yxxx (3) (3)式右端的1x和2x称为回归变量（自变量），20112232xxx是给定价格差1x，广告费用2x时，牙膏销售量y的平均值，其中的参数0123,,,称为回归系数，由表1的数据估计，影响y的其他因素作用都包含在随机误差中，如果，模型选择的合适，应大致服从均值为0的正态分布。 五、模型求解 （2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）； 程序代码： x4=[ones(30,1),x1,x2,x2.^2]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x4)

b =

bint =

stats =

得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信区间=）、检验统计量22,,,RFps的结果见表2 参数 参数估计值 参数置信区间 [, ] [, ] [, ] [, ]

表2 模型（3）的计算结果 结果分析：

表2显示，20.9054R指因变量y（销售量）的%可由模型确定，F值远远超过F检验的临界值，p远小于，因而模型（3）从整体来看是可用的 表2的回归系数给出了模型（3）的0，1，2，3的估计值，即

0123ˆˆˆˆ17.324,1.3070,3.6956,0.3486。检查他们的置信区间发现，只有2的置

信区间包含零点（但区间右端点距零点很近），表明回归变量2x（对因变量y的影响）不是太显着的，但由于22x是显着的，我们仍将变量2x保留在模型中。 销售量预测 经回归系数的估计值代入模型（3），即可预测公司未来某个销售周期牙膏的销售量y，将预测

值记为y，得到模型（3）的预测方程： y=20123122xxx （4）

只需知道该销售周期的价格差1x和投入的广告费用2x，就可以计算预测值y。 公司无法直接确定价格差1x，只能制定公司的牙膏销售价格4x，但是其它厂家的平均价格一般可以通过根据市场情况及原材料的价格变化等估计。模型中用价格差做为回归变量的好处在于公司可以更灵活地来预测产品的销售量或市场需求量，因为其它厂家的平均价格不是公司所能控制的。预测时只要调整公司的牙膏销售价格达到设定的回归变量价格差1x的值。 回归模型的一个重要应用是，对于给定的回归变量的取值，可以以一定的置信度预测因变量的取值范围，即预测区间。 模型改进

模型（3）中回归变量1x，2x对因变量y的影响是相互独立的，即牙膏销售量y的均值和广告

费用2x的二次关系由回归系数2，3确定，而不依赖与价格差1x，同样，y的均值与1x的线性关系由回归系数1确定，不依赖于2x。根据经验可参想，1x和2x之间的交互作用会对y有影响，简单的用1x，2x的乘积代表他们的交互作用，将模型（3）增加一项，得到： 20112232412yxxxxx

（5）

在这个模型中，y的均值与2x的二次关系为22232412xxxx，由系数2，3，4确定，并依赖与价格差1x。 （3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）； 程序代码： x5=[ones(30,1),x1,x2,x2.^2,x1.*x2]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x5)

b =

bint =

stats =

下面让我们用表1的数据估计模型（5）的系数。利用MATLAB的统计工具箱得到的结果见表3. 验统计量PFR,,2，S2的结果见下表

参数 参数估计值 参数置信区间 [,] [,] [,] [,] [

表 3 表3与表2的结果相比，R2有所提高，说明模型（5）比模型（3）有所改进，相信模型（5）更符合实际。 用模型（5）对公司的牙膏销售量做预测，仍设在某个销售周期中，维持产品的价格差X1=元，并投

入X2=百万元的广告费用，则该周期牙膏销售量y的估计值为y0 + 1x1 +2x2+3x22 +4x1x2 = + × – × + × × × =百万支，置信度为95%的预测空间为[,]，与模型（3）的结果相比，y略有增加，而预测区间长度短些。

可以看出，交互作用项1x2x加入模型，对y与1x的关系稍有影响，而y与2x 的关系有较大变化，当2x < 6时y出现下降，2x > 6以后y上升则快得多。 进一步讨论： 为了解1x和2x之间的相互作用，考察模型（5）的预测方程

y =+1x 2x +2x 1x2x （6） 如果取价格差1x =元，代入（6）可得

y1x= = 2x +2x （7） 再取1x =元，代入（6）可得

y1x= = 2x +2x （8） 它们均为2x的二次函数，其图形见图7，且

y1x= - y1x= = 2x （9） 由（9）式可得，当 2x< 时，总有 y1x= > y1x=,即若广告费用不超过大约百万元，价格差定在元时的销售量，比价格差定在元的大 ，也就是说，这时的价格优势会使销售量增加。 完全二次多项式模型

y =β0 +β11x + β22x + β31x2x + β41x2 + β5 2x2 +  (10) （4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）。 程序代码： x1=[;;;0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;0;;]; x2=[;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;]; xtu8=[x1,x2]; y=[;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;]; rstool(xtu8,y,'quadratic' ) 从左下方的输出Export可以得到模型（10）的回归系数的估计值为 =(0 ，1 ，2 ，3，4 ，5)

= ，，，，，

在图下方的窗口内输入，可改变1x和2x的数值，当1x=，2x=时，左边的窗口显示y=，预测区间为与模型（5）相差不大。