数列复习教师版
数列(教师版)
数 列（四）、由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过对递推公式的变形转化或构造为等差或等比数列，这个过程运用了“构造”的数学思想.由无规律向有规律转化.以下我们将分模型进行总结：4.1.类型1.递推公式为：1(),((1)(2)())n n a a f n f f f n +=++++ 其中易求. 求解方法：将递推式变形为1()n n a a f n +-=，由此可得出1122111(1)(2)(1)1(1)(2)(1)(1)(2)(1).n n n n n n a a f n a a f n a a f n a a f f f n a a f f f n ----=--=--=--=+++-⇒=++++-将以上个式子累加得：例4.已知数列{}n a 中，11211,241n n a a a n +==+-，求{}n a 的通项公式. 分析：已知首项及两个相邻项之间的关系，符合“类型1”.解：1122112211111111()221214141111()22321111()2252311(1)23111=(1)2211111143(1)(1).221222142n n n n n n n n n n a a a a n n n n a a n n a a n n a a n a a n n a a n n n ++---=+⇒-==--+--⇒-=----=----=------⇒=+-=+-=--- 将以上个等式累加得：4.2类型2.递推公式为1().((1)(2)(3)())n n a a f n f f f f n +=⋅⋅ 容易求. 求解方法：11()()n n n na a a f n f n a ++=⇒=112232111(1)(2)(3)(1)1(1)(2)(1)(1)(2)(1).nn n n n n n n a f n a a f n a a f n a a f a an f f f n a a a f f f n -----⇒=-=-=-=-=⋅-⇒=⋅- 将以上个等式累积得：例5.已知数列{}n a 满足112,31n n n a a a n +==+，求{}n a 的通项. 解：由1111n n n n a n na a n a n ++=⇒=++ 12121121,,,12n n n n a a a n n a n a n a -----===- 将以上n-1个等式累积得：1211211122112.1323n n n n n n a a a a a n n a a a a n n a n n n-----⋅=⋅⋅⇒=⇒==- 例6. 已知数列{}n a 满足11313,,(1)32n n n a a a n n +-==≥+，求{}n a 的通项.解：由1131313232n n n n a n n a a n a n ++--=⇒=++第三章/第六节 数列 11243322113212211134313734811582534378521=31341185226.313131n n n n n n n n n n a n a n a n a n a a a a a a a a a a n n n a a a a n n a a a a n n n -------∴=--=-===---⋅⋅⋅⋅⋅--∴=⇒==--- 将式累积得：【点拨】在累积或累加时，为了便以观察互相抵消项，可多写头尾几项. 4.3类型3.递推公式为1(,)n n a pa q p q +=+为常数. 求解方法：若p =1,则{}n a 是以q 为公差的等差数列.1111111111,(),=,()111{}.11=1111n n n n n n n n n n n n n p a t p a t a pa pt t a pa q q q qpt t q t a p a p p p q qa a p p p q q q q a a p a a p p p p p ++++--≠+=+⇒=+-=+-⇒=∴+=+---∴++--++⇒=+-----则求解方法如下：令和比较得：是以为首项，为公比的等比数列（）（）说明：在考试答题过程中，求t 的过程可以省略掉，一般这个过程只在稿纸里边推导，这里讲明方法后，后面的例题我们将不再写出具体“t ”怎么来. 例7. 已知数列{}n a 中，111,23,n n a a a +==+求{}n a 的通项.解：1112332(3){3}34n n n n n a a a a a a ++=+⇒+=+⇒++=由是以为首项，2为公比的等比数列，所以3n a +=41122n n -+⨯=，123n n a +⇒=-.【点拨】至于怎么变形为等比数列这个过程，在“类型3”中已经讲过.为整洁性，这里已经把具体过程省略掉.4.4类型4. 递推公式为21(,).n n n a pa qa p q ++=+均为常数求解方法一：令21121()()n n n n n n n a a a a a a a αβααβαβ+++++-=-=+-，则有21121111211211211={}=(),=+()=,(),=n n n n n n n n n n n n n n p a pa qa q a a a a a a a a a a a a p a a q a p a q ααβαββααβααβααβααβ+++--++-+⎧⎪=+⎧⎪=+⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩∴--∴--⇒-''''-=+和比较得：是以为首项，为公比的等比数列令则 下面重复“类型3”的步骤.说明：在今后的答题中，αβ，的寻找过程写在稿纸上就行了.后面的例题里边我们将不再详细讲解“αβ，”怎么来.求解方法二（特征根法）：设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为022=--+=q px x q px x 即，1、 若方程有两相异根A 、B ，则nnn B c A c a 21+= 2、 若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+=其中1c 、2c 可由初始条件确定。
2024全国卷真题分类汇编(教师版)(数列)
2024全国卷真题分类汇编（教师版）-数列1．（2024年新课标全国Ⅱ卷）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.2．（2024年高考全国甲卷数学（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A ．2-B ．73C ．1D ．2【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.3．（2024年高考全国甲卷数学（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【详解】（1）当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13n n a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，所以()143n n a -=⋅-.（2）111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅所以1212443434343n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅ ()1313444313n n n --=+⋅-⋅-()14233143n n n -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.4．（2024年新课标全国Ⅰ卷）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【详解】（1）首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k k a a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.（2）由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.（3）定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>==++++++++.这就证明了结论.。
(完整版)数列证明题型总结(教师版)附答案,推荐文档
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①×2得 2Tn＝1·22＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1.'②
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①－②得 2Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1
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[ ] 1 1 1－ 2 2n
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n＋2
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＝ 2 －n·2n＋1＝1－2n－n·2n＋1＝1－2n＋1，
n＋2 ∴Tn＝2－ 2n .
9．数列{an}满足 a1＝1，an＋1· ＝1(n∈N*)，记 Sn＝a21＋a2＋…＋a2n.
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设 an＋2－an＋1＋c＝2(an＋1－an＋c)． 展开与上式对比，得 c＝2 因此，有 an＋2－an＋1＋2＝2(an＋1－an＋2) 由 bn＝an＋1－an＋2，得 bn＋1＝2bn， 由 a1＝1，a2＝2a1＋3＝5，得 b1＝a2－a1＋2＝6， 故数列{bn}是首项为 6，公比为 2 的等比数列 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，bn＝6×2n－1＝3×2n 则 an＋1－an＝bn－2＝3×2n－2， 所以 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋(3×21－2)＋(3×22－2)＋…＋(3×2n－1－2) ＝1＋3(2＋22＋23＋…＋2n－1)－2(n－1) an＝3×2n－2n－3， 当 n＝1 时，a1＝3×21－2×1－3＝6－5＝1，故 a1 也满足上式 故数列{an}的通项为 an＝3×2n－2n－3(n∈N*)．
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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn＝an·2n＝(2n－1)·2n ∴Tn＝(1·21)＋(3·22)＋…＋[(2n－3)·2n－1]＋[(2n－1)·2n] 则 2Tn＝(1·22)＋(3·23)＋…＋[(2n－3)·2n]＋[(2n－1)·2n＋1] 两式相减得： －Tn＝(1·21)＋(2·22)＋…＋(2·2n)－[(2n－1)·2n＋1]
高频考点数列复习教师版
数列的定义；数列的通项；分析写出常见数列的通项公式。
[数列的前n 项和] n n a a a a S ++++= 321 [数列的前n 项和n S 与通项n a 之间的关系] ⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S .1S 表示前1项之和：1S =1a ；2S 表示前2项之和：2S =21a a +；……1-n S 表示前n-1项之和：1-n S =1321-++++n a a a a ；n S 表示前n 项之和：n S =n n a a a a a +++++-1321 .∴当n ≥1时n S 才有意义；当n-1≥1即n ≥2时1-n S 才有意义.n S 与n a 之间的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即2111≥=⎩⎨⎧-=-n n S S S a n n n 说明：数列的前n 项和公式也是给出数列的一种方法.应用1 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式：⑴ n S =n 2+2n ； ⑵ n S =n 2-2n-1. 解：⑴①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，1a =1S =12+2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3， ∴n a =2n+1为所求.⑵①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3； ②当n=1时，1a =1S =12-2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2， ∴n a =⎩⎨⎧≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求.说明：由数列的前n 项和公式求其通项公式时，必须验证当n=1时1a =1S 是否符合当n ≥2时，n a =n S -1-n S .若符合写在一起，即：n a =n S -1-n S （n ≥1） 若不符合必须写成分段的，即：n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n应用2．已知下列各数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式(1) n n S n 322-= (2) n S ＝23-n .解：(1) 1a ＝－1, n a =n S -1-n S ＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5,又1a 符合1a ＝4·1－5, ∴ n a ＝4n －5;(2) 1a ＝1, n a =n S -1-n S ＝n 3－2－(13-n －2)＝2·13-n ,∴n a ＝⎩⎨⎧≥⋅=-232111n n n 应用3．【2012高考全国文6】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =（A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）121-n 【解析】由12n n S a +=可知，当1n =时得211122a S ==当2n ≥时，有12n n S a += ① 12n n S a -= ② ， ①－②可得122n n n a a a +=-即132n n a a +=， 故该数列是从第二项起以12为首项，以32为公比的等比数列，故数列通项公式为2113()22n n a -⎧⎪=⎨⎪⎩(1)(2)n n =≥，故当2n ≥时，1113(1())3221()3212n n n S ---=+=-当1n =时，11131()2S -==，故选答案B等差数列 [等差数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
专题(5)数列求和教师版
高2016届数学（理科）第二轮专题复习专题（5）数列求和1、 等差数列求和公式：*1()1,2n n n a a S n N +=∈公式：；*1(1),2n n n S na d n N -=+∈公式2： 2、 等比数列求和公式：当1q ≠时，qq a S n n --=1)1(1或q q a a S n n --=11. 当1q =时，1na S n =3、 重要公式： (1)123 (2)n n n +++++=； 2222(1)(21)123...6n n n n ++++++=； 223333(1)123...4n n n +++++=. 类型1、公式法例1、已知等差数列{}n a 满足131,3a a ==-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若该数列前n 项和35n S =-，求n 的值.答案：（1）23n a n =-+；（2）7n =.变式：已知等比数列{}n a 满足16343211,9a a a a +=⋅=，且公比(0,1)q ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若该数列前n 项和21n S =，求n 的值.答案：（1）611()32n n a -=⋅；（2）6n =. 类型2、利用数列的通项求和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.例2、求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个 ∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n ＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091n n ---⋅ ＝)91010(8111n n --+ 类型3、分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例3、求数列11111,2,3,,,2482n n n n S +前项和.练习：211...2),...,n n n n -++=设数列，(1+2),...,(1+2+2的前项和为S 则S （ ） 11.2 .2 .2 .2 2 n n n n A B n C n D n ++----类型4、并项求和法：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和.例4、112345(1)n n S n -=-+-+-∙∙∙+-已知，则173350S S S ++等于（ ）A.1B.-1C.0D.2变式1、求和22222210099989721n S =-+-+⋅⋅⋅+-.变式2、求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设n S ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos n n --=∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0变式 3、在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得 )log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10.类型5、裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.例5、等比数列}{n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列}{n a 的的通项公式；（2）设31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列1{}nb 的前n 项和n T .答案：（1）13n n a =；（2）21n n T n =-+.变式1、已知数列}{n a 的n n 前项和为S ，满足21n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a n =+.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求和*12231111()n n n N b b b b b b +++⋅⋅⋅+∈.答案：（1）12n n a -=；（2）1223111121n n n b b b b b b n +++⋅⋅⋅+=+. 变式2、已知数列}{n a的通项公式为n a =，求前n 项的和． 解：设n n n n a n -+=++=111， 则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n ＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n .变式3、求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++. 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1 -+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝ 1cot 1sin 1⋅＝1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立说明：常见列项类型（1）)()1(n f n f a n -+=；（2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+；（3）111)1(1+-=+=n n n n a n ； （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ； （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n ； (6) nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则； （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=； （8）n a ==； 类型6、错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{}n n a b ⋅的前n 项和，其中{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列.例6、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==． （Ⅱ）1212n n n a n b --=． 122135232112222n n n n n S ----=+++++ ，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++ ，② ②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++- ，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭ 1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-． 变式1、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*2,n S n n n N =+∈，数列{}n b 满足*24log 3,n n a b n N =+∈ .（1）求,n n a b ；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .答案：（1）141,2n n n a n b -=-=；（2）(45)25n n T n =-+.变式2、求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：当1x =时，2[1(21)]1357(21)2n n n S n n +-=++++⋅⋅⋅+-== 当1x ≠时，132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴212,1(21)(21)(1),1(1)n n n n x S n x n x x x x +⎧=⎪=⎨--+++≠⎪-⎩. 类型7、倒序相加法：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例7、已知函数()xf x =. （1）证明：()(1)1f x f x +-=；（2）求1289()()...()()10101010f f f f ++++的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：12899()()...()()101010102f f f f ++++=. 变式1、求和20202020sin 1sin 2sin 3sin 89+++⋅⋅⋅+. 解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89 ∴892S =. 变式2、求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++.证明：设n nn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得0113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- 又由m n n m n C C -=可得n n n nn n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得n n n n nn n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-∴ n n n S 2)1(⋅+=.。
等差数列知识点及题型总结教师版
目录等差数列深入 (2)模块一：数列的基础概念 (2)考点1：数列的单调性 (2)考点2：an与Sn关系 (6)模块二：等差数列的an与Sn (7)考点3：等差数列基本量 (7)模块三：等差数列的性质 (9)考点4：等距离性质 (10)考点5：中项求和性质 (11)模块四：等差数列判定 (12)考点6：等差数列的判定 (12)课后作业： (13)等差数列深入模块一：数列的基础概念1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123a a a L ，，，简记为{}n a ． 2．数列的分类① 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列．② 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．③ 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界数列．3.数列{}n a 的前n 项和用n S 来表示，如果n S 与n 的关系可用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的前项和公式．数列的前n 项和121n n n S a a a a -=++++L ．于是有1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，，≥，1121n n n S S n a S n --⎧=⎨=⎩，≥，考点1：数列的单调性例1.（1）在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( )A ．103B ．8658C ．8258D ．108【解答】解：22293n a n n =-++对应的抛物线开口向下，对称轴为n Q 是整数，∴当7n =时，数列取得最大值，此时最大项的值为27272973108a =-⨯+⨯+=，故选：D ．（2）数列{}n a 的通项公式为2*2(,)n a n n n N R λλ=-+∈∈，若{}n a 是递减数列，则λ的取值范围是( ) A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(,6)-∞D ．(-∞，6]【解答】解：Q 数列{}n a 是递减数列，1n n a a +∴>，2222(1)(1)n n n n λλ∴-+>-+++，解得42n λ<+，Q数列{42}n +单调递增，1n ∴=时取得最小值6， 6λ∴<．故选：C ．（3）已知数列{}n a 的通项公式为22n a n kn =++，若对于*n N ∈，都有1n n a a +…成立，则实数k 的取值范围( ) A ．3k -…B ．3k >-C ．2k -…D ．2k >-【解答】解：若1n n a a +…成立，则函数22n a n kn =++，在*n N ∈，上为增函数，故选：A ．（4）设函数8(4)5,8(),8x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…，数列{}n a 满足()n a f n =，*n N ∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．13(,4)4B ．13[,4)4C ．(1,4)D ．(3,4)【解答】解：设函数8(4)5,8(),8x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…，数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且{}n a 是递增数列， ∴4018(4)5a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--<⎩，解得34a <<． 故选：D ．（5）已知数列{}n a 满足*6(3)3,7,(),7n n a n n a n N a n ---⎧=∈⎨>⎩…．若{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，2]B ．(2,3)C ．[2，3)D ．(1,3)【解答】解：若{}n a 是递增数列，则23017(3)3a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--<⎩即231718(2)(9)0a a a a a a <⎧⎪>⎨⎪+-=-+>⎩， 即3129a a a a <⎧⎪>⎨⎪><-⎩或，即23a <<， 即实数a 的取值范围是(2,3)， 故选：B ． 例2.（1）已知*)n a n N =∈，则数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别是()A ．1a ，50aB ．1a ，44aC ．45a ，50aD ．44a ，45a2441936=Q ，2452025=，44n ∴…时，数列{}n a 单调递增，且0n a >；45n …时，数列{}n a 单调递增，且1n a <．∴在数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别是44a ，45a ．故选：D ．（2）．设数列的通项公式是2(1)n nt t a n t --=-，若3a 最大，4a 最小，则实数t 的取值范围为()A ．2)B ．(1,2)C ．(2-，⋃，2)D ．(2,-若3a 最大，4a 最小，故选：D ．例3.（1）数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为( )A ．(-∞，0]B ．[0，)+∞C ．(,2)-∞D ．[1，)+∞2a n n <+．2a ∴<．故选：C ．（2）数列{}n a 的通项公式是9(2)()10n n a n =+，那么在此数列中( )A ．78a a =最大B ．89a a =最大C ．有唯一项8a 最大D ．有唯一项7a 最大所以123789a a a a a a <<<⋯<=>>⋯ 所以78a a =最大． 故选：A ．（3）已知数列{}n a 的通项公式为10(1)()11n n a n =+，则它的最大项是( )A ．第1项B ．第9项C ．第10项D ．第9项或第10项故最大项为第9项或第10项， 故选：D ．（4）14．数列8(3)()9n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的最大项为第k 项，则(k = )A ．4或5B ．5C ．5或6D ．65n ∴=，6时，此数列取得最大值，故选：C ．考点2：a n 与S n 关系例4.（1）已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =++，则4a = ．【解答】解：Q 数列{}n a 的前n 项和223n S n n =++，22443(4243)(3233)9a S S ∴=-=+⨯+-+⨯+=． 故答案为：9．（2）已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则26(a a =g ) A ．164B ．116C ．16D ．64【解答】解：Q 数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，2221(21)(21)422a S S ∴=-=---=-=，65665(21)(2)643232a S S =-=---=-=， 则2623264a a =⨯=g ， 故选：D ．（3）数列{}n a 的前n 项和2n n S n =g ，则n a = ． 【解答】解：2n n S n =Q g ，2n ∴…时，1112(1)22(1)n n n n n n a S S n n n ---=-=--=⨯+g g ． 1n =时，112a S ==．上式也成立．12(1)n n a n -∴=⨯+． 故答案为：12(1)n n -⨯+．模块二：等差数列的a n 与S n通项的主要公式：⑴()11n a a n d =+-；⑵a n =S n −S n−1(n ≥2)． 前n 项和S n 的公式：⑴S n =n (a 1+a n )2；⑵S n =na 1+n (n−1)2d ．考点3：等差数列基本量例5.（1）在等差数列{a n }中，a 1011＝5，a 1+2a 4＝9则a 2019＝（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6【解答】解：数列{a n }是等差数列，a 1011＝a 1+1010d ＝5，a 1+2a 4＝3a 1+6d ＝9， 解得1008d ＝2，所以a 2019＝a 1011+1008d ＝5+2＝7．故选：C ．（2）在x 和y 之间插入n 个实数，使它们与x ，y 组成等差数列，则此数列的公差为（ ） A ．y−x nB ．y−x n+1C ．x−y n+1D ．y−x n+2【解答】解：在x 和y 之间插入n 个实数，使它们与x ，y 组成等差数列， 设公差为d ，则x +（n +1）d ＝y ， 解得d =y−xn+1． 故选：B ．（3）已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 6＝25，S 5＝40，则数列{a n }的公差d ＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：由a 3+a 6＝25，S 5＝40， 可得：2a 1+7d ＝25，5a 1+5×42d ＝40， 联立解得：d ＝3， 故选：B ．（4）设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S m ﹣1＝﹣4，S m ＝0，S m +2＝14（m ≥2且m ∈N +），则m ＝ ．【解答】解：∵S m ﹣1＝﹣4，S m ＝0，S m +2＝14（m ≥2且m ∈N +）， ∴（m ﹣1）a 1+(m−1)(m−2)2d ＝﹣4，ma 1+m(m−1)2d ＝0，（m +2）a 1+(m+2)(m+1)2d ＝14，联立解得m ＝5，d ＝5，a 1＝﹣16． 故答案为：5．（5）已知数列{a n }满足a 1＝1，√a n+1−√a n =3，则数列{a n }中a 6＝ ． 【解答】解：∵数列{a n }满足a 1＝1，√a n+1−√a n =3， ∴数列{√a n }是等差数列，公差为3，首项为1． ∴√a n =1+3（n ﹣1）＝3n ﹣2． ∴a n ＝（3n ﹣2）2．则数列{a n }中a 6＝（3×6﹣2）2＝256．故答案为：256．例6.（1）在等差数列{a n }中，a 1＝﹣2018，其前n 项和为S n ，若S 1515−S 1010=5，则S 2019的值等于（ ） A ．0B ．﹣2018C ．﹣2019D ．﹣2017【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由等差数列的性质可得：S n n=a 1+n−12d 为等差数列，{S n n }的公差为d 2． ∵S 1515−S 1010=5，∴5×d2=5，解得d ＝2． 则S 2019＝2019×（﹣2018）+2019×20182×2=0． 故选：A ．（2）在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，a 1＝﹣2018，S 20152015−S 20132013=2，则S 2018＝（ ） A ．2018B ．﹣2018C ．2017D ．﹣2017【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意可得：数列{S n n}为等差数列，S nn =a 1+n−12d ，其公差为d2． 由S 20152015−S 20132013=2，∴2×d2=2，解得d ＝2． 则S 2018＝2018×（﹣2018）+2018×20172×2=−2018． 故选：B ．模块三：等差数列的性质等差数列{a n }的性质（其中{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ）： （1）()n m a a n m d =+-（*m n ∈N ，）；（2）若p +q =m +n ，则有a p +a q =a m +a n ；若2m =p +q ，则有2a m =a p +a q（p ，q ，m ，n ∈N ∗）；（3）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n+m ，a n+2m ，……为等差数列，公差为md ；（4）若{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2n−1=(2n −1)a n ．（5）1121n n a a a ++L ，，，；2222n n a a a ++L ，，，；……；23n n n a a a L ，，，是等差数列，故它们的和数列也是等差数列，即232n n n n n S S S S S --L ，，，为等差数列． （6）若{a n }为等差数列，则{S n n }是等差数列，公差为d 2，且S n n =d 2n +(a 1−d2)．（7）用函数的观点看等差数列的通项公式与前n 项和公式：1()n a dn a d =+-，0d ≠时，n a 是关于n 的一次函数；S n =d2n 2+(a 1−d2)n ，0d ≠时，S n 是关于n 的常数项为零的二次函数，可以考虑二次函数的对称性与最值．同样，若2n S An Bn =+，则{}n a 一定是等差数列．考点4：等距离性质例7.（1）已知数列{a n }满足2a n ＝a n ﹣1+a n +1（n ≥2），a 2+a 4+a 6＝12，a 1+a 3+a 5＝9，则a 1+a 6＝（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：数列{a n }满足2a n ＝a n ﹣1+a n +1（n ≥2）， 则数列{a n }为等差数列， ∵a 2+a 4+a 6＝12，a 1+a 3+a 5＝9， ∴a 2+a 4+a 6+a 1+a 3+a 5＝21， ∵a 1+a 6＝a 2+a 5＝a 3+a 4， ∴3（a 6+a 1）＝21， ∴a 6+a 1＝7， 故选：B ．（2）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1+a 3+a 5+a 7+a 9＝20，则S 9＝（ ） A ．27B ．36C ．45D ．54【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，由a 1+a 3+a 5+a 7+a 9＝20， ∴5a 5＝20，解得a 5＝4， 则S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5＝36， 故选：B ．（3）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝13，S 15＝63，则S 20＝（ ） A ．100B ．90C ．120D ．110【解答】解：∵数列{a n }是等差数列，∴S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10，S 20﹣S 15仍然构成等差数列， 由S 5＝13，S 15＝63，设S 10＝m ，则2（m ﹣13）＝13+（63﹣m ），解得m ＝34．∴2（63﹣34）＝（34﹣13）+（S 20﹣63），解得S 20＝100． 故选：A ．考点5：中项求和性质例8.（1）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 8＝8a 5﹣4，则该数列的公差是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，S 8＝4（a 4+a 5）＝8a 5﹣4， ∴4（a 5﹣a 4）＝4， ∴d ＝a 5﹣a 4＝1， 故选：A ．（2）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6=13，则S 9S 12=（ ）A ．13B ．35C ．38D ．29【解答】解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 3S 6=13，∴3a 1+3×22d 6a 1+6×52d=a 1+d 2a 1+5d=13，解得a 1＝2d ， ∴S 9S 12=9a 1+9×82d 12a 1+12×112d=3a 1+12d 4a 1+22d=6d+12d 8d+22d=35．故选：B ．（3）等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n=3n−1n+5，则a 6b 6=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：由等差数列的性质可得：a 6b 6=11(a 1+a 11)211(b 1+b 11)2=S 11T 11=3×11−111+5=2．故选：A ．（4）已知两个等差数列{a n }、{b n }，它们的前n 项和分别是S n 、T n ，若S n T n=2n+33n−1，则a 3+a 7b 3+b 5+a 5b 2+b 6= ．【解答】解：因为S n T n=2n+33n−1，所以设S n ＝（2n 2+3n ）k ，T n ＝（3n 2﹣n ）k ， 则a 3+a 7b 3+b 5+a 5b 2+b 6=2a 52b 4+a 52b 4=3a 52b 4=32×79×9a 57b 4=76×S 9T 7=76×(2×92+3×9)k (3×72−7)k=6340．故答案为：6340．模块四：等差数列判定等差数列的常用判定方法：{a n }是等差数列： ⑴公式法：①利用通项公式n a kn b k b =+，，是常数；②前n 项和公式2n S An Bn A B =+，，是常数． ⑵定义法：∀n ∈N ∗，a n+1−a n =d ，其中d 是常数． ⑶等差中项法：∀n ∈N ∗，2a n+1=a n +a n+2．考点6：等差数列的判定例9.已知数列{}n a 满足：12a =，192(1)4n n a n a -=->+，记11n n b a =+． （1）求证：数列{}n b 等差数列； （2）求n a ．所以数列{}n b 等差数列；⋯（6分）课后作业：1.数列{}n a 的通项公式为2*2(,)n a n n n N R λλ=-+∈∈，若{}n a 是递减数列，则λ的取值范围是( ) A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(,6)-∞D ．(-∞，6]【解答】解：Q 数列{}n a 是递减数列， 1n n a a +∴>，2222(1)(1)n n n n λλ∴-+>-+++，解得42n λ<+， Q 数列{42}n +单调递增，1n ∴=时取得最小值6， 6λ∴<．故选：C ．2.设函数8(4)5,8(),8x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…，数列{}n a 满足()n a f n =，*n N ∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．13(,4)4B ．13[,4)4C ．(1,4)D ．(3,4)【解答】解：设函数8(4)5,8(),8x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…，数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且{}n a 是递增数列， ∴4018(4)5a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--<⎩， 解得34a <<． 故选：D ． 3.已知*)n a n N =∈，则数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别是( )A ．1a ，50aB ．1a ，44aC ．45a ，50aD ．44a ，45a2441936=Q ，2452025=，44n ∴…时，数列{}n a 单调递增，且0n a >；45n …时，数列{}n a 单调递增，且1n a <．∴在数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别是44a ，45a ．故选：D ．4.已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =++，则4a = ． 【解答】解：Q 数列{}n a 的前n 项和223n S n n =++，22443(4243)(3233)9a S S ∴=-=+⨯+-+⨯+=．故答案为：9．5.在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，a 1＝﹣2018，S 20152015−S 20132013=2，则S 2018＝（ ） A ．2018B ．﹣2018C ．2017D ．﹣2017【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意可得：数列{S n n}为等差数列，S nn =a 1+n−12d ，其公差为d2．由S 20152015−S 20132013=2，∴2×d2=2，解得d ＝2． 则S 2018＝2018×（﹣2018）+2018×20172×2=−2018． 故选：B ．6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝13，S 15＝63，则S 20＝（ ） A ．100B ．90C ．120D ．110【解答】解：∵数列{a n }是等差数列，∴S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10，S 20﹣S 15仍然构成等差数列， 由S 5＝13，S 15＝63，设S 10＝m ，则2（m ﹣13）＝13+（63﹣m ），解得m ＝34．∴2（63﹣34）＝（34﹣13）+（S 20﹣63），解得S 20＝100． 故选：A ．。
数列专题1教师版(复印4份)
数列专题1——基本概念，基本量，基本公式(2课时) 一体验浙江高考1.(2015,3)已知｛〃〃｝是等差数列，公差d不为零，前〃项和是S”，若〃广为，火成等比数列，则()A. a x d > 0, dS4 > 0B. a x d < 0, dS4 < 0C. a x d > 0, dS4 < 0D. a l d < 0, dS4 > 0【答案】B.【解析】・・♦等差数列｛4｝ , %，% ， 6成等比数列，J) 5(a∣ + 3d) = (”1 + 2d)(cι∣+ 7d)“∣ = — d ,2 5 2工S4=2(q+%) = 2(q+q+3d) = —d , Λ a i d = — J2 <0, dS4 =—d2<0,故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前〃项和；2.等比数列的概念2.(2012,7) 7.设S〃是公差为d(d≠O)的无穷等差数列｛〃〃｝的前〃项和，则下列命题错误的♦♦是A.若d<(),则数列｛S〃｝有最大项B.若数列｛S“｝有最大项，则dV0C.若数列｛S“｝是递增数列，则对任意的〃∈N*,均有S〃>0D.若对任意的〃wN*,均有S“>0,则数列｛S〃｝是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：一1, 0, 1, 2, 3,….满足数列｛S.｝是递增数列，但是S〃>()不成立.【答案】C3.(2012,13) 13.设公比为讥q>0)的等比数列｛。
〃｝的前〃项和为｛S“｝.若S2 = 3«, + 2 , S4 = 3a4 + 2 ,则q=.【解析】将S2 =3%+2, S4 =3q+2两个式子全部转化成用q ,4表示的式子.*即『+卬/ = 3"+ 2 3两式作差得：4∕+4∕=3αα(∕f,即：2qj-3 = 0,a1 + 44 + aq + a x q = 3qq + 2解之得：q or4=-1(舍去).【答案】I4.(2010, 3)设S〃为等比数列｛。
求数列的通项公式(教师版)
求数列的通项公式(教师版)1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa nqa n ＋r的数列求通项可用倒数法；(3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法；(5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路：①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .考向一 待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。
解：设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )即a n ＋1＝2a n －t ⇒t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n＋3)，令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。
高考大题训练(数列教师版)共47题王斌高考总复习高考最后冲刺
1. （2010山东理）（18）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅- =11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
2. (2009山东卷文)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n nS ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得nn S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+, 当2n ≥时,1111()(1)nn n n n n n n a S S b r br b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++3451212341222222n n n n n T +++=+++++相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和n T . 3．（2009全国卷Ⅱ理）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。
高考复习：等差数列含解析答案(教师版+学生版)
等差数列一、知识梳理1．数列的定义:按照_________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________ 2、已知数列{a n}的前n项和S n，则a n＝________3．等差数列的定义：4、等差数列的通项公式：5．等差数列的前n项和公式：6、等差数列的前n项和公式与函数的关系：（1）（2）7、等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋________(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________.(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}是________数列．(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．8．等差数列的前n项和的最值在等差数列{a n}中，a1>0，d<0，则S n存在最值；若a1<0，d>0，则S n存在最值．试一试1．若数列{a n}满足：a1＝19，a n＋1＝a n－3(n∈N*)，而数列{a n}的前n项和数值最大时，n 的值为．2．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝.3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ .4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ .题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3333，….题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .题型三 等差数列基本量的运算例3 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为 ．(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ .跟踪训练 (1)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝ . (2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝ .(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是 ．题型四 等差数列的性质及应用例2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ . (2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 ．(3)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝ .题型五 等差数列的判定与证明例3 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．课堂练习：1．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为．2、已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2－2n＋1，则其通项公式为．3、设数列{a n}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7＝.4、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝.5、已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a n＋2S n S n－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n与{a n}是否为等差数列，并说明你的理由．6、在等差数列{a n}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10＝.7、在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝.8、已知等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和S n的最大值为．9、若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝时，{a n}的前n项和最大．6.1等差数列作业1．已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝ .2．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝ .3．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则当{a n }的前n 项和S n 取到最大值时n 为 ．4、在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝ 12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ．5．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ .6、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是 ．7．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ .8、已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n的最大值为 ．9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为 ．10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .12．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3.(1)求a n ； (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1.数列的概念及简单表示法一、知识梳理 1．数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2、已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).3．等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最 大 值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最 小 值．试一试1．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，而数列{a n }的前n 项和数值最大时，n的值为 ． 答案 7解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . ∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0， ∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝ . 答案 12解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12.2．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ . 答案 20解析 因为S 10＝S 11，所以a 11＝0. 又因为a 11＝a 1＋10d ，所以a 1＝20.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ . 答案 88解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以a n ＝13(10n －1)．思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为 ．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为 ．(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ .答案 (1)52(2)5 解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12， 所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列， 所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52. (2)由题意得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0， 故a 1＝－m －12， 因为a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5.思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．(1)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝ .(2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝ . (3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是 ． 答案 (1)13 (2)48 (3)2解析 (1)由题意得S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝25，故a 3＝5，公差d ＝a 3－a 2＝2，a 7＝a 2＋5d ＝3＋5×2＝13.(2)∵S 4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3，故S 6＝3＋15d ＝48.(3)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的性质及应用例2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ .(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 ．(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝ .答案 (1)45 (2)13 (3)2 016解析 (1)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列．即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45.(2)因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ·602＝390，即n ＝13. (3)由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列，设其公差为d . 则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0162 016＝S 11＋2 015d ＝－2 014＋2 015＝1， ∴S 2 016＝1×2 016＝2 016.思维升华 在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；{S n n}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．(1)设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝ .(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 答案 (1)28 (2)60解析 (1)∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60.题型三 等差数列的判定与证明例3 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)， b n ＝1a n －1(n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知b n ＝n －72， 则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7. 设f (x )＝1＋22x －7， 则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.思维升华 等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由． 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又因为a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)， 又因为S 1＝a 1＝12， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)， 所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)， 而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1). 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．综上，可知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，{a n }不是等差数列．等差数列的前n 项和及其最值典例：(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10＝ .(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝ .(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为 ．(4)(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝ 时，{a n }的前n 项和最大．思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45. (2)方法一 设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧ a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110. 方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90， 所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.(3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝20n －n (n －1)2×2 ＝－n 2＋21n ＝－(n －212)2＋(212)2， 又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.(4)∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0.∴数列的前8项和最大，即n ＝8.答案 (1)45 (2)－110 (3)110 (4)8温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *；(2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量.方法与技巧1．等差数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定．失误与防范1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数．2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.课堂练习：4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为 ． 答案 －49解析 由题意知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103. 两式相减得a 15－a 10＝103＝5d ， ∴d ＝23，a 1＝－3. ∴nS n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫na 1＋n (n －1)2d ＝n 3－10n 23＝f (n )， 令f (x )＝x 3－10x 23，x >0， f ′(x )＝13x (3x －20)． 令f ′(x )＝0得x ＝0(舍)或x ＝203. 当x >203时，f (x )是单调递增的； 当0<x <203时，f (x )是单调递减的． 故当n ＝7时，f (n )取最小值，f (n )min ＝－49.∴nS n 的最小值为－49.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝ . 答案 －3解析 方法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.方法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4，∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.2．已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝ . 答案 1021 解析 依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3，所以直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)，所以a 1＝1，a 2＝3，所以公差d ＝2，a n ＝2n －1，所以b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，T 10＝12×(11－13＋13－15＋…＋120－1－120＋1)＝12×(11－121)＝1021. 3．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝ . 答案 100解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.4．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则当{a n }的前n 项和S n 取到最大值时n 为 ．答案 5解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.5．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ．答案 60解析 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.6．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ . 答案 2n －1解析 设等差数列的公差为d ，∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n的值是 ．答案 6解析 依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2>0，a 7＝－1<0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ . 答案 14解析 由已知1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， ∴a 10＝14. 9．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值；(2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .解 (1)设公差为d ，则由S 2 015＝0⇒2 015a 1＋2 015×2 0142d ＝0⇒a 1＋1 007d ＝0， d ＝－11 007a 1，a 1＋a n ＝2 015－n 1 007a 1， ∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 015－n 1 007a 1＝a 12 014(2 015n －n 2)． ∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 007或1 008时，S n 取最小值504a 1.(2)a n ＝1 008－n 1 007a 1， S n ≤a n ⇔a 12 014(2 015n －n 2)≤1 008－n 1 007a 1. ∵a 1<0，∴n 2－2 017n ＋2 016≤0，即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n ≤2 016.故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 016，n ∈N *}．B 组 专项能力提升(时间：25分钟)1．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为 ．答案 19解析 ∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0， 故使得S n >0的n 的最大值为19.2．(2013·辽宁改编)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中，真命题为 ．答案 p 1，p 4解析 由于p 1：a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0，∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．对于p 2：na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1)， 当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a n n}递增， 但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.3．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为．答案19 41解析∵{a n}，{b n}为等差数列，∴a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝a9＋a32b6＝a6b6.∵S11T11＝a1＋a11b1＋b11＝2a62b6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a6b6＝1941.4．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且满足2S n＝a2n＋n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{a n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．(1)证明当n＝1时，有2a1＝a21＋1－4，即a21－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2S n－1＝a2n－1＋n－5，又2S n＝a2n＋n－4，两式相减得2a n＝a2n－a2n－1＋1，即a2n－2a n＋1＝a2n－1，也即(a n－1)2＝a2n－1，因此a n－1＝a n－1或a n－1＝－a n－1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)解 由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 即a n ＝n ＋2.5．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3. (1)求a n ；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1. (1)解 由已知得a n ≠0则由a n ＋1＝3a n a n ＋3， 得1a n ＋1＝a n ＋33a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝13，而1a 1＝2， ∴{1a n }是以2为首项，以13为公差的等差数列． ∴1a n ＝2＋13(n －1)＝n ＋53， ∴a n ＝3n ＋5. (2)证明 ∵b n ·n (3－4a n )a n＝1， 则由(1)得b n ＝1n (n ＋1)，∴S n＝b1＋b2＋…＋b n＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1关于n单调递增，∴12≤S n<1.。
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第1讲 等差数列1.等差数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 为公差. 2、⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差 ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项：如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=24.等差数列的判定方法 ：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质 ⑴d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn anS n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑵若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；考点1等差数列的通项与前n 项和题型1已知等差数列的某些项，求某些项【例1】已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a【解析】方法1： 154,156420598141160115==⇒⎩⎨⎧=+==+=d a d a a d a a ∴2415474156474175=⨯+=+=d a a 方法2： 1544582015601560=-=--=a a d ， ∴241541520)6075(6075=⨯+=-+=d a a变式1：⑴已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n . ⑶数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .【解析】⑴设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则3,186893111-==⇒⎩⎨⎧-=+=+d a d a d a∴7,663)1(231821==⇒=--=n n n n n S n⑵ 124,363214321=+++=+++---n n n n a a a a a a a a3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a ∴40160)(411=+⇒=+n n a a a a 39780207802)(1=⇒=⇒=+=n n a a n S n n⑶由492-=n a n 知{}n a 是等差数列，.250>⇒>n a n ∴.24=n变式2. 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.【解析】设这5个数分别为.2,,,,2d a d a a d a d a ++--则⎩⎨⎧=+=⇒⎩⎨⎧=+++++-+-=+++++-+-1651051165)2()()()2(5)2()()()2(2222222da a d a d a a d a d a d a d a a d a d a ， 解得4,1±==d a当4,1==d a 时，这5个数分别为：9,5,1,3,7--；当4,1-==d a 时，这5个数分别为：.7,3,1,5,9--题型2求等差数列的前n 项和【例2】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，212n n S n -=.⑴求321a a a ++； ⑵求10321a a a a ++++ ； ⑶求n a a a a ++++ 321. 【解析】当1=n 时，1111211=-==S a ，当2≥n 时，n n n n n S S a n n n 213)1()1(12)12(221-=-+---=-=-，当1=n 时，1111213a ==⨯-， ∴n a n 213-=. 由0213≥-=n a n ，得213≤n ，∴当61≤≤n 时，0>n a ；当7≥n 时，0<n a .⑴27331223321321=-⨯==++=++S a a a a a a ；⑵)(10987632110321a a a a a a a a a a a a +++-++++=++++52)101012()6612(2222106=-⨯--⨯=-=S S ；⑶当61≤≤n 时，232132112n n a a a a a a a a n n -=++++=++++ ，当7≥n 时，)(876321321n n a a a a a a a a a a a +++-++++=++++ .7212)12()6612(222226+-=---⨯=-=n nn n S S n变式1、已知nS 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；解：11001122112)(116611111==⨯=+=a a a a S ；变式2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn ，则=55b a .【解析】12652525514225143)12(2)12(7551212=+⨯-⨯=⇒+-=+-+-==--b a n n n n T S b a n n nn变式3、.含12+n 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）.A nn 12+ .B nn 1+ .C nn 1- .D n n 21+【解析】 2))(1(12112531++++=++++=n n a a n a a a a S 奇2)(222642n n a a n a a a a S +=++++= 偶，n n a a a a 22121+=++∴nn S S 1+=偶奇.∴选B.变式4、（倒序相加法求和）设221)(xxx f +=，求： ⑴)4()3()2()()()(213141f f f f f f +++++； ⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ 【解析】 221)(xxx f +=，∴1)1()(=+xf x f .⑴111234432ff f f f f ⨯（）+（）+（）+（）+（）+（）=31=3 ⑵原式2009)12010(1=-⨯=.考点2 等差数列的证明和综合应用【例3】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n nS b n n .求证：数列{}n b 是等差数列.【解析】方法1：设等差数列{}n a 的公差为d ，d n n na S n )1(211-+=， ∴d n a n S b n n )1(211-+==∴2)1(2121111d d n a nd a b b n n =---+=-+（常数）∴数列{}n b 是等差数列.方法2： d n a n S b n n )1(211-+==， ∴nd a b n 2111+=+，d n a b n )1(2112++=+∴1111222)1(21)1(21++=+=-++++=+n n n b nd a d n a d n a b b ，∴数列{}n b 是等差数列.变式1、n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n 211212+=；数列{}n b 满足：113=b ，n n n b b b -=++122，前9项和为.153⑴求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵设n T 为数列{}n c 的前n 项和，)12)(112(6--=n n n b a c ，求使不等式57k T n >对+∈∀N n 都成立的最大正整数k 的值.【解析】⑴ n n S n 211212+=，∴当1=n 时，611==S a ；当2≥n 时，5)1(211)1(2121121221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n当1=n 时，1651a ==+，∴5+=n a n ；222112+++++=⇒-=n n n n n n b b b b b b ，∴{}n b 是等差数列，设其公差为d .则3,5153369112111==⇒⎩⎨⎧=+=+d b d b d b ， ∴23)1(35+=-+=n n b n .⑵ [][]1)23(211)5(26)12)(112(6-+-+=--=n n b a c n n n 121121)12)(12(2+--=+-=n n n n∴1211)121121()7151()5131()311(+-=+--++-+-+-=n n n T n+∈N n ，∴n T 是单调递增数列. ∴当1=n 时，()323111min =-==T T n∴57k T n >对+∈∀N n 都成立()38573257min <⇔>⇔>⇔k k k T n ∴所求最大正整数k 的值为37.第2讲 等比数列1等比数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，q 为公比.2 ⑴通项公式：11-=n n qa a ， ⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n = ②当1≠q 时，qq a a qq a S n nn --=--=11)1(11.3.等比中项：如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即b G a ,,成等比数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列；⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质 ⑴),(+-∈⋅=N m n qa a mn m n ⑵若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑶若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.考点1等比数列的通项与前n 项和 题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a【解析】方法1： 811622451612=⇒⎩⎨⎧====q q a a q a a ∴131********69110=⨯===q a q a a方法2： 812162264===a a q ，∴131********610=⨯==q a a变式1、⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.【解析】⑴由93=n S ，48=n a ，公比2=q ，得532248293)12(111=⇒=⇒⎩⎨⎧=⋅=--n a a nn n . ⑵方法1：设这四个数分别为d c b a ,,,，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=363722c b b a bdc c a b ；方法2：设前2个数分别为b a ,，则第43、个数分别为a b --3736，，则⎩⎨⎧-=-+-=)37()36()36(22a b b a b b ，解得⎩⎨⎧==1612b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==481499b a ； 方法3：设第32、个数分别为c b ，，则第1个数为c b -2，第1个数为bc2，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-20163622c b c b b c c b 或⎪⎩⎪⎨⎧==463481c b ； 变式2、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .【解析】 {}n a 是等比数列，∴n n n n n S S S S S 232,,--为等比数列，∴318236)60(5433=⇒=-n n S S .题型2 求等比数列前n 项和【例2】（1）等比数列 ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.（2）已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a ，求nS（3）（采用错位相减法求和）已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，nn n a 3)12(⋅-=，求n S【解析】 （1）由2,121==a a ，得2=q ，∴102321)21(11010=--=S ，1521)21(144=--=S ，∴.1008410=-S S（2） 212331)31(133331132-=--=+++++=-nnn n a ，∴n n S nnn 2131)31(32121)3333(2132---⨯=-++++=即.432143--=n S nn（3）. n n n a 3)12(⋅-= ∴nn n S 3)12(35333132⋅-++⋅+⋅+⋅= ，----------------①14323)12(3)32(3533313+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S --②①—②，得14323)12()3333(232+⋅--+++++=-n nn n S63)22(3)12(31)31(923111-⋅-=⋅----⨯+=++-n n n n n ∴.33)1(1+⋅-=+n n n S变式1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ， 6,3876321=++=++a a a a a a ，∴23216545=++++=a a a a a a q，∴131211a a a ++=()101234312q a a a ++=⨯=考点2 等比数列的证明和综合应用例3】已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列； 【解析】 121n n n a a a +=+，∴111111222n n nna a a a ++==+⋅，∴11111(1)2n na a +-=-，又123a =，∴11112a -=， ∴数列1{1}na -是以12为首项，12为公比的等比数列.变式1、已知数列{}n a 满足113a =，279a =，214133n n n a a a ++=-*()n ∈N .⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵求数列{}n na 的前n 项和n S ；【解析】⑴由214133n n n a a a ++=-，得2111()3n n n n a a a a +++-=-， ∴数列{}1n n a a +-是首项为21714939a a -=-=，公比为13的等比数列， ∴1141()93n n n a a -+-=⋅. ∴2121321144141()()()()399393n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++⋅++⋅ 1141(1)1121293(1)1(2)13333313n n nn ---=+=+-=-≥-（*）当1n =时，113a =也适合（*），故数列{}n a 的通项公式为213n na =-.⑵解：2(1)233n nnn na n n =-=-⋅.设231233333n nn T =++++， ① 则 13n T =2311213333nn n n +-+++.②①-②得：23121111333333n nn nT +=++++-1111(1)123331322313nn n nn ++-+=-=-⋅-， ∴323443n nn T +=-⋅.故2(1)323(3)323(123)2222323nn n nnn n n n n n S n T +++-⋅++=++++-=-+=⋅⋅第3讲 数列的概念数列通项公式考点1 数列的通项公式题型1 已知数列的前几项，求通项公式【例1】求下列数列的一个通项公式：⑴,,33,17,9,5,3 ⑵,,0,71,0,51,0,31,0,1 --【解析】⑴联想数列,,32,16,8,4,2 即数列{}n2，可得数列的通项公式12+=nna；⑵将原数列改写为,,8,71,60,51,40,31,20,11 --nn a n 2sinπ=（或nn a n π21cos -=，或na n n 21)1(1+-=-）变式1、求下列数列的一个通项公式：（1）,,9910,638,356,154,32（2）,,21,15,10,6,3,1【解析】（1）分子为正偶数列，分母为,,119,97,75,53,31 ⨯⨯⨯⨯⨯得 )12)(12(2+-=n n na n（2）观察数列可知：,,4321,321,21,14321 +++=++=+==a a a a2)1(321,54321,432154+=++++=∴++++=+++=n n n a a a n题型2 已知数列的前n 项和，求通项公式【例2】已知下列数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a . ⑴n nS n 322+=； ⑵13+=nn S .【解析】⑴当1=n 时，51312211=⨯+⨯==S a ， 当2≥n 时，[])1(3)1(2)32(221-+--+=-=-n n n nS S a n n n 14+=n .当1=n 时，15114a ==+⨯，14+=∴n a n . ⑵当1=n 时，41311=+==S a ， 当2≥n 时，11132)13()13(---⨯=+-+=-=n n nn n n S S a .当1=n 时，111232a ≠=⨯-，⎩⎨⎧≥⨯==∴-)2(32)1(41n n a n n . 变式1、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1322-+=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式【解析当1=n 时，411312211=-⨯+⨯==S a ， 当2≥n 时，[]1)1(3)1(2)132(221--+---+=-=-n n n nS S a n n n 14+=n .而1=n 时，15114a ≠=+⨯，⎩⎨⎧≥+==∴)2(14)1(4n n n a n .变式2、已知数列1，2，4，的前n 项和32.n S an bn cn =++ 求n a 及a ，b ，c （ 215,0,,16622n nn a b c a ====-+）题型3 已知数列的递推式，求通项公式 （应用迭加（迭乘、迭代）法求通项或者构造等差等比数列求通项）【例3】数列{}n a 中，)2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ，求5432,,,a a a a 和数列{}n a 的通项公式【解析】 )2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ，∴3222112=+=a a a ，4222223=+=a a a ，5222334=+=a a a ，6222445=+=a a a ，()()n n n n n n n n n n a a a a a a a n a a a -=∴=+∴≥+=------1111112,22,)2(22()，，a ，a a a a a a n n nn n n n 的等差数列公差为是首项为即即21112111,21111⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴=-=----()12,2112111+=∴+=-+=∴n a n n a n n变式1、 ⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2，求数列{}n a 的通项公式.【解析】⑴（迭加法） )2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，∴121-=--n a a n n∴11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----135)52()32()12(++++-+-+-= n n n 22)112(n n n =+-=⑵ 11=a ，n n a n S ⋅=2，∴当2≥n 时，121)1(--⋅-=n n a n S∴11)1(11221+-=⇒--=-=---n n a a a n a n S S a n n n n n n n .∴1122332211a a a a a a a a a a a an n n n n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----- .)1(21314213211+=⋅⋅⋅⋅--⋅-⋅+-=n n n n n n n n 迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ⋅=+“；变式2、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.【解析】 321+=+n n a a ，∴)3(231+=++n n a a∴{}3+n a 是以2为公比的等比数列，其首项为431=+a ∴.3224311-=⇒⨯=++-n n n n a a例4：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，13n n n a S +=+ ；（1）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的通项公式n a解答：依题意，113nn nn n S S a S ++-==+即123nn n S S +=+，由此得1132(3)n nn n S S ++-=-；111331b S a =-=-= 因此 可求通项公式为132n n n n b S -=-=（2）由（1）知123n nn S -=+（i ）当n= 1时，114a S ==; （ii ）当n ≥ 2时，211223n n n n n a s s ---=-=+ 综上所述214,(1)223,(2)n n n n a n --=⎧=⎨+≥⎩ 练习：（1）116a =(1)2nn n a +=n 且S ；求数列{}n a 的通项公式？（2）已知数列{}n a 满足11a =,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =-,求数列{}n a 的通项公式？（2）解: 当2n ≥时,211()()2n n n n S S S S -=--即112n n n n S S S S --=-1110Sa ==≠,∴0nS≠∴1112nn S S --=,∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差,111S =为首项的等差数列.∴121nn S =-,∴121nSn =-当2n ≥时,11122123(21)(23)n n n a S S n n n n -=-=-=-----故1(1)2(2)(21)(23)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪--⎩第4 讲 数列求和的策略与方法（答案）例题练习解答例1（1）当1=a 时，232n n S n +=；（1）当1≠a 时，n a a n n S n --+-=1232；例2（1）当1=a 时，22n n S n +=；（1）当1≠a 时，2)1()1(1a ana n S nn --+-=；例3 23；例412+n n ；例 5 n n ⋅-+1)1(练习 1、A ；2、C ；3、B ； 4、C ；5、D ；6、C ； 7、4 ；8、1005； 9（1）8159105--⋅n n；（2）289；（3）5050；（4）nn n 2221--+；（5）463+n n。