数学教案：数列基础教师版

数列基础知识一、等差数列与等比数列等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。

符号定义1n na a d+-=112n nna aa+-+=1(0)nnaq qa+=≠211(0)n n n na a a a+-=⋅≠分类递增数列：0d>递减数列：0d<常数数列：0d=递增数列：1101001a q a q>><<<，或，递减数列：1101001a q a q<<><<，或，摆动数列：0q<常数数列：1q=通项1(1)()n ma a n d pn q a n m d=+-=+=+-其中1,p d q a d==-11n n mn ma a q a q--==（0q≠）前n 项和211()(1)22nnn a a n n dS na pn qn+-==+=+其中1,22d dp q a==-11(1)(1)1(1)nna qqS qna q⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩中项,,2a b c b a c=+成等差的充要条件:2,,a b c b ac=成等比的必要不充分条件：主要性质等和性：等差数列{}n a若m n p q+=+则m n p qa a a a+=+推论：若2m n p+=则2m n pa a a+=2n k n k na a a+-+=12132n n na a a a a a--+=+=+=⋅⋅⋅即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列{}n a若m n p q+=+则m n p qa a a a⋅=⋅推论：若2m n p+=则2()m n pa a a⋅=2()n k n k na a a+-⋅=12132n n na a a a a a--⋅=⋅=⋅=⋅⋅⋅即：首尾颠倒相乘，则积相等1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是其它性质是等差数列。

即：232,,,m m m m ms s s s s--⋅⋅⋅等差，公差为2m d则有323()m m ms s s=-2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

如：14710,,,,a a a a⋅⋅⋅（下标成等差数列）3、{}{},n na b等差，则{}2n a，{}21na-，{}nka b+，{}n npa qb+也等差。

4、等差数列{}n a的通项公式是n的一次函数，即：na dn c=+(0≠d)等差数列{}n a的前n项和公式是一个没有常数项的n的二次函数，即：2nS An Bn=+(0≠d)5、项数为奇数21n-的等差数列有：1s ns n=-奇偶ns s a a-==奇偶中21(21)n ns n a-=-项数为偶数2n的等差数列有：1nns as a+=奇偶，s s nd-=偶奇21()n n ns n a a+=+6、,n ma m a n==则0m na+=n ms s=则0()m ns n m+=≠,n ms m s n==则()m ns m n+=-+等比数列。

即：232,,,m m m m ms s s s s--⋅⋅⋅等比，公比为mq。

2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。

如：14710,,,,a a a a⋅⋅⋅（下标成等差数列）3、{}{},n na b等比，则{}2n a，{}21na-，{}n ka也等比。

其中0k≠4、等比数列的通项公式类似于n的指数函数，即：nna cq=，其中1acq=等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅的n的指数函数，即：(1)nns cq c q=-≠5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。

证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：1()n na a d+-=常数证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：1()nnaqa+=常数2、中项法：112(2)n n n a a a n -++=≥ 2、中项法：11(2,0)n n n n a a a n a -+⋅=≥≠2（） 设元技巧三数等差：,,a d a a d -+四数等差：3,,,3a d a d a d a d --++ 三数等比：2,,,,aa aq a aq aq q或 四数等比：23,,,a aq aq aq联系1、若数列{}n a 是等差数列，则数列{}na C 是等比数列，公比为dC，其中C 是常数，d 是{}n a 的公差。

2、若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。

二、数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩课本题1．等差数列{}n a 前n 项之和为n S ，若31710a a -=，则19S 的值为 。

952．已知数列{}n a 中，3,6011+=-=+n n a a a ，那么||||||3021a a a +++ 的值为 。

765 3．等差数列{}n a 中，01>a ，且13853a a =，则}{n S 中最大项为 。

204．已知一个等差数列前五项的和是120，后五项的和是180，又各项之和是360，则此数列共有 项。

125．设等比数列{}n a 中，每项均是正数，且8165=a a ，则 =+++1032313log log log a a a 20 6．设331)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得：)13()12()11()0()10()11()12(f f f f f f f ++++++-+-+- 的值为 137．已知数列{}n a 的通项12)12(-⋅+=n n n a ，前n 项和为n S ，则n S = ( 2n-1)2n+13 。

8．数列{}n a 中，)2(112,1,21121≥+===-+n a a a a a n n n ，则其通项公式为=n a n2 。

P32习题5（2）; P37练习5; P39习题7，12; P41练习4; P45习题2（1），7，12，13; P48练习2（2）; P51例4，练习2；P5习题10；P55练习4；P58习题4，6，7；P62复习题4，7，8 高考题1.已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = 952.已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于 -303.已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 (][),13,-∞-+∞4.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = 135.在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a = 2ln n +6.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于 1007.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S = 48 8.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a = 332（n --41） 9.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = 15210.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．262n n -+11.已知函数()2x f x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅= . －612.设S n =是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .-7213.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13nn n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-．因此，所求通项公式为13(3)2nn n n b S a -=-=-，*n ∈N ．（Ⅱ）由①知13(3)2nn n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2nn n n a a ---=+-⨯---⨯1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．。