2016-2017 智高点学校模拟考试9

o .............o ............. o ...........装.............o ............. o ............订.... 2. 已知全集U 的三个子集,A ,B ,C (两两交集,不空)其Venn 图如图所示,则阴影部分( )A. A ∩[(∁B )∩∁C ]B. A ∩[(∁A )∪(∁B )∪(∁C )]3. 若某多面体三视图如图,则此多面体的表面积为 ( )1132 D. 2第2页共14页※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※ .......线.............o .............o ..............o ..............o ..............o .......................A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 以上结论均不对5. 曲线f (x )=ln(x+1)3+x+1在点(0,f (0))处的切线方程是 ( ) A. y=x+1 B. y=2x+1 C. y=3x+1 D. y=4x+16. 如图所示的程序框图,当输入a=4,b=-3,c=-1时,运行程序最后输出结果为 ( )A. 14,-1 B. -12,13 C. -14,1 D. -13,127. 已知球O 的表面积为28π,平面α截球所得截面圆M 半径为2(M 为圆心),过M 作直线l 与平面α成60°角与球交于A ,B 两点,(其中AM>MB )则AM ∶MB 为 ( ) A. 4∶1 B. 3∶1 C. 2∶1 D. 3∶28. 在等差数列{a n }中,3(a 2+a 6)+2(a 6+a 14)+(a 8+a 12)=48,则此等差数列的前13项和为( ) A. 24 B. 39 C. 52 D. 104 9. 函数f (x )=sin x+cos x- 2sin x cos x 的最小值为 ( ) A. - B. -3 22 C. -1- 22 D. -2 2 10. 已知tan α+1tan α=52,α∈ π4,π2 ,则sin 2α+π4 的值为 ( ) A. 7 210 B. 210 C. -7 210 D. - 21011. 已知点P 坐标为(4,0),A 、B 分别为抛物线y 2=4x 上两点,且PA ·PB =0,则PA ·BA 的最小值为( )A. 16B. 12C. 4D. 2 3第3页共14页内.............o .............o ............. o .............o .............o ............. o ..∀x ∈R 都有f (x+1)=f (x-1),且当x ∈[-1,1]时f (x )=|x|,则函数y=f (x )- )D. 6y |≤1,y |≤1,点A 的坐标为(3,4),则5||OP|cos ∠AOP-1|的最大值与最小值其中甲、乙两人不相邻,丙、丁两人也不相邻,则不同的站法共有 15. 如图,△A'B'C'为△ABC 在斜二测画法中的平面直观图,∠A'=30°,∠C'=90°,A'C'= 3,则△ABC 的面积为 .16. 若直线l :4mx-ny+4=0(m>0,n>0)与圆C :x 2+y 2+2x-8y+1=0(C 为圆心)交于A ,B 两点,若的最小值为 .S n ,a 1=1,S n =n (a n +1)-n 2. .18. (本小题满分12分)如图,已知四棱锥S-ABCD 的底面为菱形,∠DAB=60°,侧面SAD 为等边三角形且与底面垂直,E 为SC 的中点.(1)求证:DE ⊥平面SBC ;所成的锐二面角的大小; .第4页共14页要※※在※※装※※订※※线.........o .............o .............订.............o 19. (本小题满分12分)口袋中共装有10个大小相同编号为1,2,3的小球,其中1号球一个,2号球m 个,3号球n 个,从口袋中依次不放回的摸出两个小球,可知在第一次摸出3号球的前提下,再摸出一个2号球的概率为13.(1)求m ,n 的值;(2)从口袋中一次摸出两个小球,设摸出两个小球编号的和为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望值.20. (本小题满分12分)已知点P ( 6 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)上一点,过坐标原点作任意一条直线交椭圆于A ,B 两点,H (不与A ,B 重合且与A ,B 不关于坐标轴对称)为椭圆上任意一点,且直线HA 与直线HB 的斜率之积为-13.(1)求椭圆方程;(2)设点Q (3 2,0),F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,M ,N 为椭圆上两个不同点,且QN =λQM ,求证:∠MF 2F 1=∠NF 2Q.21. (本小题满分12分)已知函数f (x )=ln 12+12ax +x 2-ax (a>0).(1)求证:当0<a ≤2时,f (x )在 12,+∞ 上为增函数;(2)若以任意的a ∈(1,2),总存在x 0∈ 12,1 ,使不等式f (x 0)>m (1-a 2)成立,求实数m 的取值范围. 22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,已知圆O 的两条弧AC=BD .过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点E.(1)证明:∠ACE=∠BCD ; (2)证明:BC 2=BE ·CD.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为 x =2t ,y =1-t ,极坐标系与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴正半轴重合,圆C 的极坐标方程为:P=2 3sin θ+π3.(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程;第5页共14页.........内.............o .............o ............. o ...........装......判定直线l 与圆C 的位置关系.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f (x )=|x-m|-mx 0<m <12.解不等式f (x )<0; 求函数f (x )最小值.参考答案【答案】C 【解析】本题主要考查复数的基本运算.6(i+ 3)2=2+2 3i =1+ 3i=-i(1- 3i)=- 3-i .所以选C . 【失分警示】易出现计算上的问题.【答案】B 【解析】本题考查集合的基本运算. 由Venn 图知阴影部分对应的集合为A ∩[∁U (A ∩B ∩C )], 又∁U (A ∩B ∩C )=(∁U A )∪(∁U B )∪(∁U C ),所以选B . 【失分警示】集合运算不清导致失分.3. 【答案】B 【解析】本题主要考查利用三视图基本知识,立体几何知识,求解问题的能力.由三视图知识知此多面体为三棱锥S-ABC (如图)其中△SAB 、△SAC 为两个全等的直角三角形,△SBC 为等腰三角形,△ABC 为等腰三角形,由题中数据关系求得此多面体表面积为2×52+3+3 2=8+3 2,故选B .【失分警示】弄不清几何体的特征导致解题失误.第6页共14页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※外.............o .............o .............装.............o .............o .............订.............o .............o ....4. 【答案】B 【解析】本题主要考查利用二次函数图象性质求解问题的能力.若抛物线顶点在直线y=x 下方,则顶点横坐标满足不等式,所以必要性成立,取抛物线y=14x 2+34显然其顶点在直线y=x 上方,而14x 2+34<x 有解为1<x<3,∴充分性不成立,故选B .【失分警示】由于对抛物线与直线位置关系与不等式的特征不清导致失误.5. 【答案】D 【解析】本题主要考查利用函数、导数、解析几何知识求曲线切线方程的能力.当x>-1时,f (x )=3ln(x+1)+x+1,f'(x )=3x +1+1,∴f'(0)=4,由选项的特征知选D .【失分警示】易出现计算上的错误.6. 【答案】C 【解析】本题主要考查利用算法的基本知识,解决简单问题的能力.由运行程序框图知输出结果为二次方程4x 2-3x-1=0的两根,此方程两根分别为-14和1,所以选C .【失分警示】对程序框图运行不清导致失分.7. 【答案】A 【解析】本题主要考查利用立体几何知识、解三角形知识求解问题的能力.设直线l 在平面α上的射影为直线CD.则∠BMD=60°.过球心O 作OE 垂直AB 于点E ,连结OD ,OB ,OM ,则OM ⊥CD ,∴∠OME=30°.由条件求得球O 的半径为 7,由勾股定理得OM= OD 2-MD 2= 7-4= 3,∴在Rt △OEM 中,EM= 3· 32=32,OE= 32,在△OBE 中,EB= OB 2-OE 2= 7-34=52,∴MB=EB-EM=52-32=1,AM=52+32=4,∴AM ∶MB=4∶1,故选A .【失分警示】找不到解题方法而失分.第7页共14页【答案】C 【解析】本题主要考查等差数列性质和求和公式.由等差数列性质得6a 4+4a 10+2a 10=48,∴a 4+a 10=8,S 13=(a 1+a 13)132=(a 4+a 10)132=4×13=52,故选C .【失分警示】对等差数列性质与求和公式掌握不清导致解题失误.【答案】B 【解析】本题主要考查三角函数运算及利用函数性质求解问题的能力.f (x )= 2sin x +π4- 22sin2x ,当x=-3π4时sin x +π4取得最小值-1,sin2x 取得最大值1, ∴f (x )在x=-3π4时取得最小值- 2- 22=-3 22.故选B .【失分警示】对函数性质与三角函数运算不熟导致失误.【答案】B 【解析】本题主要考查利用三角函数公式求解问题的能力.由tan α+1tan α=52且α∈ π4,π2得tan α=2,所以sin2α=2tan α1+tan 2α=45,cos2α=1-tan 2α1+tan 2α=-35.∴sin 2α+π4= 22(sin2α+cos2α)=22 45-35 = 210,所以选B .【失分警示】三角函数公式不熟导致失误.【答案】B 【解析】本题主要考查利用向量知识、解析几何知识、函数知识求解问题的. PA ·BA =|PA |·|BA |cos ∠BAP=|PA |2,设点A (x ,y ),则PA ·BA =|PA|2=(x-4)2+y 2,又y 2=4x. PA ·BA =(x-4)2+4x=x 2-4x+16, ∴当x=2时,PA ·PB 取得最小值为12,故选B .【失分警示】找不到解题方法导致失分.第8页共14页※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※ 订.............o .............o .............线.............o .............o ..............o ..............o .................................12. 【答案】A 【解析】本题主要考查利用函数性质、函数图象的位置关系求解问题的能力.由f (x+1)=f (x-1)得f (x )=f (x+2),所以f (x )为周期为2的周期函数.当x ≥4时,log 4x ≥1,作出y=f (x )与y=log 4x 图象如图所示,由图象知所求函数零点个数为3,故选A . 【失分警示】找不到解题方法导致失分.13. 【答案】10【解析】本题主要考查利用线性规划基本知识及解析几何基本知识求解问题的能力.作出点(x ,y )对应区域如图.|OP|cos ∠AOP=OA ·OP |OA |=3x +4y5.∴5||OP|cos ∠AOP-1|=5·|3x +4y -5|5,而|3x +4y -5|5为点P 到直线3x+4y-5=0的距离,作出直线3x+4y-5=0,由区域与直线的位置关系,所求最大值与最小值的和为坐标原点到直线3x+4y-5=0距离的10倍,而原点到直线3x+4y-5=0距离为1,∴所求最大值与最小值之和为10.【失分警示】找不到解题方法而失分.14. 【答案】336【解析】本题主要考查利用排列组合知识求解实际问题的能力.这6个人的全排列有A 66种,其中甲、乙相邻的有A 22A 55种,丙丁相邻的也有A 22A 55种.甲、乙相邻且丙、丁相邻的有A 22A 22A 44种,所以满足条件的不同站法共有A 66-A 22A 55-A 22A 55+A 22A 22A 44=336种.【失分警示】本题易出现考虑不全面而失分.15. 【答案】【解析】本题主要考查利用斜二测画直观图的基本知识求解问题的能力.由题设A'C'= 3,又∠C'=90°,∠A'=30°,则B'C'=1,A'B'=2,∴△ABC 中AB=2,在△A'B'C'的A'B'上选一点D',使得∠C'D'B'=45°,在△C'D'B'中由正弦定理D 'C 'sin B '=B 'C 'sin∠C 'D 'B ',又∠B'=60°,第9页共14页B'C'=1,∴D'C'= 32 2= 62,∴△ABC 的AB 边上的高为 6,∴S △ABC =12×2× 6= 6.【失分警示】对斜二测法画直观图知识不熟或解三角形知识不熟导致失误.【答案】12【解析】本题主要考查利用向量知识、解析几何知识、不等式知识解决问题的能力.圆C 的方程式为(x+1)2+(y-4)2=16,∴圆C 的半径为4,∴CA ·CB=42cos ∠ACB 又CA ·CB=-16,∴cos ∠ACB=-1, ∴直线l 过圆心C (-1,4)代入直线l 方程中得m+n=1.∴1m 2+1mn +1n 2≥3mn ≥3 m +n 2 2=12, 且当m=n=12时等号成立,所以所求最小值为12.【失分警示】找不到解题方法而失分.【答案】由S n =n (a n +1)-n 2得S n-1=(n-1)(a n-1+1)-(n-1)2,相减得a n =n (a n +1)-n 2-(n-1)(a n-1+1)+(n-2,整理得a n -a n-1=2,∴数列{a n }为首项为1,公差为2的等差数列,∴a n =2n-1.(2) 【答案】由a n =2n-1,求得S n =n 2,∴2i+1S i S i+1=2i+1i 2(i+1)2=1i 2-1(i+1)2 ∴i=1n 2i +1S i S i +1= 1-12 + 12-13+…+ 1n-1(n+1) =1-1(n+1), ∴1-1(n+1)=624625,解得n=24.第10页共14页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※ .........外.............o .............o .............装.............o .............o .............订.............o .............o .............线.............o .............o ..............o ..............o ..............o .......................(1) 【答案】法一(向量法):以AD 中点O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设四棱锥底面菱形边长为2个单位,则A (1,0,0),B (0, 3,0),C (-2, 3,0),D (-1,0,0),S (0,0, 3),E -1, 32, 32.DE = 0, 32, 32 ,CB=(2,0,0),CS =(2,- 3, 3)∴DE ·CB=0×2+ 32×0+ 32×0=0,DE ·CS=0×2-32+32=0,又CB 与CS 不共线,∴DE ⊥平面SBC法二(几何法)过S 作SF ⊥AD 于F ,由于△SAD 为等边三角形且与底面垂直,则F 为AD 中点且SF ⊥底面ABCD ,连结FB ,则由题设知SF=FB 且BC ⊥平面SFB.取SB 中点为H ,则FH ⊥SB 且FH ⊥BC ,∴FH ⊥平面SBC.又EH ∥__12BC ,FD ∥__12BC ,∴四边形DFHE 为平行四边形, ∴DE ∥FH ,∴DE ⊥平面SBC.(2) 【答案】法一(向量法):由第1问知DE为平面SBC 的一个法向量,平面SAD 的一个法向量为(0,1,0),这两个法向量所成角余弦值为32 34+34= 22,所求两个平面锐二面角为π4.法二(几何法)：由第1问知∠SBF 为二面角S-BC-A 的一个平面角且△SFB 为等腰直角三角形, ∴∠BSF=45°,∴平面SAD 与平面SBC 所成锐二面角大小为45°.(3) 【答案】法一(向量法):SA =(1,0,- 3),又DE = 0, 32, 32 ,所以这两条异面直线所成角余弦△SFB为等腰直角三角形,45°.与其射影SF所成角为45°,且SF与SA所成角为30°.cos45°cos30°=64.2号球的概率为m9,∴m9=13,m=3,由此得n=6.B为(-a cosα,-b sinα),设点H(a cosβ,b sinβ)=-b 2a2,∴-b2a2=-13,,设其直线方程为x=my+32,代入椭圆方程整理得(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=-62mm+3,y1y2=6m+3.11页共14页第12页共14页又x 1=my 1+3 2,x 2=my 2+3 2,而F 2坐标为(2 2,0), ∴K MF 2=1x -22=1my +2,y 2=6(m 2+3)y 1K NF 2=2x -2 2=2my + 2=6216m21+2=6m + 2(m 2+3)y =16my + 2(m 2+3)y 12.而(m 2+3)y 12+6 2my 1+6=0.∴K NF 2=16my + 2(-6 2my -6)=-1my + 2,∴K MF 2+K NF 2=0即得∠MF 2F 1=∠NF 2Q.21.(1) 【答案】f'(x )=a ax +1+2x-a=2axax +1 x +1a -a2,∵a>0且x ∈ 12,+∞ ,∴2ax ax +1>0,又x+1a -a 2≥12+1a -a 2=1a +1-a2,由于函数g (a )=1a +12(1-a )在a ∈(1,2]上为减函数.而g (2)=12+12(1-2)=0,∴x+1a -a 2≥0,∴f'(x )在x ∈ 12,+∞ 上有f'(x )≥0,即f (x )在 12,∞ 上为增函数.(2) 【答案】由第1问知f (x )在 12,1 上为增函数,f (x )在 12,1 上的最大值为lna +12+1-a ,∴若f (x )>m (1-a 2)在x ∈ 12,1 上有解,且由于a ∈(1,2)的任意性知ln a +12+1-a>m (1-a 2)恒成立,又1-a 2<0,∴m>lna +121-a 2+11+a,考查函数ln(a )=lna +121-a 2+11+a ,a ∈(1,2),ln(a )=ln 2a +1a 2-1+1a +1,由ln x ≤x-1得ln2a +1≤2a +1-1=1-a a +1.又2a +1≠1, ∴ln 2a +1<1-aa +1,∴ln(a )<1-a a +1a 2-1+1a +1=- 1a +1 2+1a +1<14.第13页共14页又lim a→1ln(a )=lim a →1lna +121-a +11+a =12+limln a→1ln a +121-a =12+lim a→11a +1-2a =12-14=14,∴m 的取值范围为 14,+∞ .【答案】∵AC=BD ,∴∠BCD=∠ABC , 又EC 为圆的切线,∴∠ACE=∠ABC , ∴∠ACE=∠BCD.(2) 【答案】由第1问得∠BCE=∠CDB ,∠EBC=∠BCD ,∴△BCD ∽△EBC ,∴BC BE =CD BC,即BC 2=BE ·CD.【答案】将 x =2t ,y =1-t消去t 得x+2y-2=0.由P=2 3sin θ+π3得P 2= 3P sin θ+3P cos θ, ∴x 2+y 2-3x- 3y=0, 即将直线与圆化为直角坐标方程分别为x+2y-2=0, x -32 2+ y - 322=3. (2) 【答案】圆C 圆心坐标为 32, 32,半径r= 3,由点到直线距离公式求得圆C 的圆心到直线l 距离d=3-125< 3,∴直线l 与圆C 相交.【答案】由条件得-mx<x-m<mx , ∵0<m<12,∴ x >m1+m ,x <m 1-m ,又m1+m >m 1-m, ∴不等式的解集为m 1+m ,m1-m . (2) 【答案】函数化为f (x )=(1-m )x -m ,x ≥m ,-(1+m )x +m ,x <m .∵0<m<12,∴f (x )在(-∞,m )为减函数,在(m ,+∞)上为增函数,第14页共14页∴f(x)在x=m时取得最小值f(m)=-m2.。