第十一讲 两个随机变量函数的分布
边缘密度
定理: (X,Y)是二维 连续型随机变量 是二维连续型 随机变量， 定理 : 设 (X,Y) 是二维 连续型 随机变量 ， X 与 Y 独立 的充分必要条件是 的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理. (X,Y)是二维 离散型随机变量 是二维离散型随机变量， 定理 . 设 (X,Y) 是二维 离散型 随机变量 ， 其分布律 },i,j=1 ...， 为 Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,... ， 则 X 与 Y 独立的充分 必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi•.P•j 。 必要条件是对任意i,j， 是对任意i,j
维随机变量(X 定义 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为 FX(x1,x2,...xn)；m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的 维随机变量(Y Y 分布函数为F 分布函数为FY(y1,y2,…ym), X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym y Y 组成的n+m维随机变量（ 组成的n+m维随机变量（X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym) n+m维随机变量 Y 的分布函数为F 的分布函数为F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym). y 如果 F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym) y = FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…ym) y 则称n维随机变量(X 则称n维随机变量(X1,X2,...Xn)与m维随机 变量(Y 变量(Y1,Y2,…Ym)独立。 Y 独立。
i ,k :g ( x i , y j )= z k
∑
p ij
＝pk , …
…
(xi,yj) pij g(xi,yj)
g(x1,y1) g(x1,y2)
设随机变量X 独立，且均服从0 EX 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分 布，其分布律均为
随机变量的函数及其分布函数
※统计三大分布
(1) 2 − 分布
设1,2, ,n相互独立同服从N(0,1),
则称 2 = 12 + + n2
所服从的分布为自由度是n的2分布，记为 2 ~ 2(n).
2分布具有可加性：若
12
~
2
(n1
),
2 2
~
2
(n2
),
且12与
2独立，则有
2
2 1
+
2 2
~
2 (n1
+ n2 )
x+ yz
令
s
= x
x =
+ x
y
,
则
y
x= =s
x −
x
故 ( x, y) ( x, s)
=
1 −1
0 1
=1
故
ห้องสมุดไป่ตู้
F + (z) =
z −
+
f (x, s − x)dxds
−
即得 =ξ+η的概率密度为:
f + (z) =
f (x, z − x)dx
−
由ξ和η的对称性, f +(z)又可写成
ξ
～
x1
p1
x2 p2
xn
pn
则 η=g(ξ) ～
如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
例1 已知 的概率分布为
-1 0 1 2
pk
1111
8842
求 1= 2 – 1 与2= 2 的分布列.
解 1 pi
-3 -1 1 3
1111 8842
2
1014
二维随机变量函数的分布
Fmin (z) 1 [1 FX1 (z)][1 FX2 (z)] [1 FXn (z)]. 若 X1, X2, , Xn相互独立且具有相同的分布函数 F(x) ,则
Fmax(z) [F (z)]n , Fmin (z) 1 [1 F (z)]n .
c
1
[
x
2
(2
x)
/
2]dx
=5c/24=1,
0
c =24/5
例1 设(X,Y)的概率密度是
cy(2 x), 0 x 1, 0 y x
f (x, y)
0,
其它
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 注. 意积分限
y
解:
(2) fY
y=x
(
y
1
) y
24
24 y(2 5 y(3 2y
P{Z k} P{{ X 0,Y k} { X 1,Y k 1} { X k,Y 0}}
P{ X 0} P{Y k} P{ X 1} P{Y k 1}
P{ X k} P{Y 0}
k
P{ X m} P{Y k m}
m0
k
m
1 e1
km
Z
－1
0
1
pi 0.1344 0.7312 0.1344
(2)线性方程组只有零解，也就是Z≠0，故有
P{Z 0} 1 P{Z 0} 1 0.7312 0.2688
二、二维连续型随机变量的函数的分布
1、和的分布：Z=X+Y 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度 为 f(x，y)，则Z=X+Y的分布函数为
3-3 两个变量的独立性与函数分布
例８ 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
X
1 0.3
3 0.7
Y
2 0.6
4 0.4
PX
PY
求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, Y 2 4 X 得 0.12 1 0.18 3 0.42 0.28
于是
,两电阻 R1 和 R2 串联联接, 例11 在一简单电路中 设 R1 , R2 相互独立, 它们的概率密度均为 10 x , 0 x 10, p( x ) 50 0, 其它. 求电阻 R R1 R2 的概率密度.
的分布函数为
FZ ( z ) P{ Z z }
x y z
p( x, y) d x d y
y
[
z y
z
p( x, y) d x] d y
p(u y, y) d u] d y
x y z
O
x u y
z
[
[ p(u y, y) d y] d u.
x>0
y >0
pY ( y) 0 xe( x y )dx e y
即：
xe , x 0 pX ( x ) 其它 0,
x
e y , pY ( y ) 0,
y0 其它
例5 设随机变量 X 和Y 相互独立, 并且 X 服从 N (a , σ 2 ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布 , 求 ( X ,Y )
0， 其它
因此 X、Y 相互独立
二维随机变量函数的分布
第三章多维随机变量及其分布第五节二维随机变量的函数分布复习：已知一维随机变量X 的概率特性——分布函数或概率密度（分布律）Y = g ( X )求随机变量Y的概率特性方法：将与Y有关的事件转化成X的事件如果g (x k )中有一些是相同的,则Y 取该值的概率为所有g (x i )所对应的P i 之和.一般，若X 是离散型r.v ，X 的概率函数为Xn n p p p x x x 2121～则Y=g (X )～n n p p p x g x g x g 2121)()()(一维离散型随机变量函数的分布一维连续型随机变量函数的分布X f x Y =g X 设为连续型随机变量,其概率密度为,则的概率密度的求解可通过求其分布函数得到.一般过程为:方法一:分布函数法Y 1.求出的分布函数.1-Y F y =P Y y =P g x y =P x g y1-g y -=f x dx.一、离散型分布的情形问题: 已知二维离散型随机变量(X,Y )的分布律, g (x,y )为已知的二元函数, 则Z =g (X,Y )也是离散型随机变量,求Z 的分布律.1kk k ij .Z =z =g x ,y2.k ki j kk k k i j g x ,y =z P Z =z =P X =x ,Y =y k =1,2,…设X ~B (n 1, p ), Y ~B (n 2, p ), 且独立，具有可加性的两个离散分布 设X ~ P ( 1), Y ~ P ( 2), 且独立，则X + Y ~ B ( n 1+n 2,p )则X + Y ~ P ( 1+ 2)二、连续型分布的情形问题：已知二维随机变量( X ,Y )的概率密度，g(x,y)为已知的二元函数，Z = g( X ,Y )求：Z 的概率密度函数.方法：1）从求Z 的分布函数出发，将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件的概率(分布函数法). 2）代公式(公式法).•z•z += zx（通过分布函数）则),(zFZ2,()z F z时x 1y o解法二（公式法-------图形定限法）其他,02,10,3),(xz x x x x z x fdxx z x f z f Z ),()(由公式（1）其他,00,10,3),(xy x x y x f正态随机变量的情形1）若X ,Y 相互独立,),(~),,(~222211 N Y N X 则),(~222121 N Y X 2）若(X ,Y ));,;,(~222211 N 则)2,(~22212121 N Y X ni N X ii i ,,2,1),,(~2 若n X X X ,,,21 相互独立则),(~1211ni in i i n i i N X(3)M=max(X,Y) 及N=min(X,Y) 的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX (x)和FY(y),我们来求:M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:即有F M (z )= F X (z )F Y (z )F M (z )=P (M ≤z )=P (X ≤z )P (Y ≤z )=P (X ≤z ,Y ≤z )类似地，可得N=min(X ,Y )的分布函数是：F N (z )=P (N ≤z )=1-P (N >z )=1-P (X >z ,Y >z )=1-P (X >z )P (Y >z )即有F N (z)= 1-[1-F X (z )][1-F Y (z )]推广:设X 1,…,X n 是n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为求M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数,则：)(x F i X (i =0,1，…, n ),N=min(X 1,…,X n )的分布函数为:M=max(X 1,…,X n )的分布函数为:111()[()]N X F z F z …1[()]n X F z 1()()M X F z F z ()n X F z …特别，当X 1,…,X n 相互独立且具有相同分布函数F (x )时，有F M (z )=[F (z )] n , F N (z )=1-[1-F (z )] n 若X 1,…,X n 是连续型随机变量，在求得M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数后，不难求得M 和N 的密度函数.例3设系统L 由相互独立的n 个元件组成，连接方式为:(1) 串联；(2) 并联；如果n 个元件的寿命分别为12,,,n X X X 12~(),,,,i X E i n 且求在以上2种组成方式下，系统L 的寿命X 的密度函数.解0,(),i xX e x f x其它100,(),i xX e x F x其它(1)},,,min{21n X X X X ni X X x F x F i 1))(1(1)(,00,)(x x en x f xn X,1,0,)(1x x e x F xX i (2)},,,max{21n X X X X ni X X x F x F i 1)()(,0,0,)1(x x e nx,00,)1()(1x x e en x f n x xXy=y=z•z•zx +y =zz -11x1•z•z1xyz2 21x= 1-z= 1-z。
随机变量函数的分布-离散型
两个随机变量的函数的分布
解 （1）由题知，Z所有可能的取值为 3, 2, 1,0,1,2. P{Z 3} P{X 1,Y 2} 1 12 P{Z 2} P{X 1,Y 1} 1 12 P{Z 1} P{X 1,Y 0} P{X 1,Y 2} 5 12 P{Z 0} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1} 1 4 P{Z 1} P{X 1,Y 0} 0 P{Z 2} P{X 1,Y 1} 1 6
则随机变量Z g( X ,Y ) 的分布律为
P{Z zk}
P{X xi ,Y y j，} (k 1,2,)
zk g ( xi , y j )
两个随机变量的函数的分布
例1
Y X
-1
-2 -1 0
1
1/12 1/12 1/4 1/6
1
1/6 1/12 0 1/6
试求下列随机变量的分布律： （1）Z X Y；（2）W 2X Y 2.
两个随机变量的函数的分布
例2 设随机变量 X 和Y 相互独立，且 X ~ (1),Y ~ (2) 证明：X Y ~ (1 2)
证：由题意，X Y 的所有可能取值为 0,1,2，
P X Y k
k
P X r,Y k r
k
e e r 1 kr 2
1
2
r0
r0 r! (k r)!
第三章 多维随机变量及其分布
第五节 两个随机变量的 函数的分布
两个随机变量的函数的分布
和一维情形一样，有时需要二维随机变量的函数的分布
两个随机变量的函数的分布
1. 离散型随机变量的函数的分布 设二维随机变量( X ,Y ) 的分布律为
P{X xi ,Y y j} pij (i, j 1,2,)
二维随机变量的函数的分布
2 数值方法
根据函数的定义和已知分布，可以通过 求解方程来得到函数的分布。
当方程难以求解时，可以使用数值方法 如蒙特卡洛模拟来近似计算函数的分布。
常见的二维随机变量函数的分布
介绍一些常见的二维随机变量函数和它们的分布，以及它们在实际问题中的应用。
线性变换
对于服从正态分布的二维随机变量，经过线性 变换后，其分布也将趋于正态分布。
介绍二维随机变量函数的定义和应用场景，以及一些常见的例子。
定义
二维随机变量函数是将一个或多个随机变 量映射到另一个随机变量的数学函数。
例子
一个常见的二维随机变量函数的例子是计 算两个变量之间的相关性。
二维随机变量函数的分布求解方法
讲解如何通过求解方程或使用数值方法得到二维随机变量函数的分布。
1 方程求解
其他函数示例
还有许多其他类型的二维随机变量函数，如指 数函数、对数函数等。
函数转换法的应用与实例
通过实际应用案例，展示函数转换法在解决二维随机变量函数的分布问题中的应用。
1
应用实例
以金融市场中的投资组合优化问题为例，展示如何使用函数转换法来计算最优投 资组合的分布。
2
优势与局限
介绍函数转换法的优势和局限性，以及如何在实际问题中准确应用。
3
实用案例
分享其他实用案例，如信用评级、股票市场分析等，来展示函数转换法的广泛应 用。
二维随机变量的函数的分 布
随机变量及其函数的定义和性质介绍
二维随机变量的概念和例子
通过实际例子，介绍二维随机变量的定义和特点，以及它们在现实生活中的应用。
定义
二维随机变量是由两个随机变量构成，表示两 个相关事件的联合概率分布。
例子
概率论数理统计课件第11讲期望
1 , f ( x) 0,
0
法二 依题意X的概率密度为
0 x 其它
E (Y ) sin x
a
甲仪器测量结果
a
乙仪器测量结果
较好
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。
又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发 炮弹，其落点距目标的位置如图：
中心
中心
乙较好
甲炮射击结果
乙炮射击结果
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 。
如果分别用随机变量X1，X2表示甲、乙品 牌手表日走时误差，则X1，X2的分布律为：
X1 -2 -1 0 1 2 X2 P -2 -1 0 1 2
P 0.03 0.07 0.8 0.07 0.03
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
可以算得两种手表平均日走时误差即数 学期望分别为E(X1)=0， E(X2)=0 问：能否断定两种手表质量一样好？ 衡量办法：求偏离程度的平均值
例5：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分 别为 4e 4 x , x 0, 2e 2 y , y 0, f X ( x) fY ( y ) 其他, 其他. 0, 0,
求 E(XY)。 解： 因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立。
所以，
E[ g ( X , Y )]
i j
有E ( X Y ) ( xi y j ) pij
i j
xi pij y j pij
二维随机变量的函数的分布
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的概率密度为f ( x, y) , 边缘概率密度分别为f X ( x) , fY ( y) ,则有
X 和Y 相互独立 f ( x, y) f X ( x) fY ( y).
在f ( x, y) , f X ( x) , fY ( y)的一切连续点(x, y)处
Z=X+Y的概率密度。
解
fX (x)
1
x2
e 2,
2
fY ( y)
1
y2
e 2 ,( x, y )
2
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
t 2(x z ) 2
1
x2
e2
2
1 e dx
(
z x 2
0.1 0.3 0.3 0.1 0.2
X与Y独立，X,Y取0,1,2，…，则Z=X+Y Z=max(X,Y)
的分布律
设X与Y独立，分别服从参数为 1 ，2 的泊松分布， 证明Z=X+Y服从参数为 1 2 的泊松分布。
【注】分布具有可加性
二项分布的可加性（P89）
二、 连续型随机变量的函数的分布
例2 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a） 上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。
例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设
R1, R2相f (互x)独 立1，050它x 们, 的0 概x率密10度, 均为 z
0,
其 它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
z=x+10 z=x
0,
, x 0, 其它.
概率论：二维随机变量的函数的分布
( X ,Y ) Z X Y
(1, 2 ) (1,4 ) ( 3, 2 ) ( 3 ,4 )
3 5 5 7
所以
Z X Y P
3
0.18
5
7
0.54
0.28
具有可加性的两个离散分布
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p) 设 X ~ P (1), Y ~ P (2), 且独立， 则 X + Y ~ P(1+ 2)
证明过程见73页例3.21
三、连续型随机变量函数的分布
问题 已知二维随机变量( X ,Y )的密度函数， g(x,y)为已知的二元函数， 求 Z= g( X ,Y ) 的密度函数. 方法 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件
连续型随机变量函数的分布主要形式
(1) Z X Y 的分布
□
卷积计算思路
f Z ( z) f X ( x) fY ( z x)dx
在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;
参照D就z在(-∞,+∞)上进行分段;
对上述各分段中取定的z值,就x从- ∞积分至 +∞,实际只需在非零区域D上一段积分. 注意：上述也是一般参量积分的计算方法。
x2 2
e
( z x)2 2
dx
1 e z 2 t x
2
z 2 z ( x ) 2 4 2
e
dx
1 e 2
z 2 t 2 4
e
dt
1 e 2 z 1 2( 2 ) e ( z ). 2 2