12.3.2两数和(差)的平方
平方差公式.3乘法公式1.两数和乘以这两数的差
12.3.1 两数和乘以这两数的差
新 知 梳 理
► 知识点 两数和与这两数差的乘法公式
语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 __ __． 有时也简称为平方差公式． 字母表达式： (a＋b)(a－b)＝__ a2－b2 __． 几何背景图：
图 12－3－1
12.3.1 两数和乘以这两数的差
12.3.1 两数和乘以这两数的差
12.3.1 两数和乘以这两数的差
探 究 新 知
活动1 知识准备
1．计算(3x ＋9)(2x －5)等于 ( D ) A．5x 2＋3x －45 C ．5x 2＋33x ＋45 B．6x 2－3x ＋45 D．6x 3x －1)(2x ＋ 1)＝__ 6x2＋x－1
12.3.1 两数和乘以这两数的差
探究问题二
平方差公式的逆用
x x ＋5 2 －5 2 例 2 计算： 2 －2 . [解析] 本题若直接应用多项式乘以多项式， 则运算量较 大，不如逆用平方差公式． x x x x ＋5 2 －5 2 ＋5＋ －5 x x 解： 2 －2 ＝2 2 ( ＋5－ ＋5)＝10x . 2 2
12.3.1 两数和乘以这两数的差
活动2
教材导学
理解、掌握两数和与这两数差的乘法公式 完成下列填空，然后想一想：你是根据什么法则进行计 算的？ (1)(x ＋1)(x －1)＝____ ； x2－1 2－ 4 (2)(m ＋2)(m－2)＝m ____ ； (3)(2x ＋3)(2x －3)＝ ____ 4 x2－； 9 2 (4)(a＋b)(a－b)＝____ ． a2－b 这些算式有什么共同的特点？计算的结果又都有何相 同的特征？ ◆知识链接—— [新知梳理]知识点
12.3.1 两数和乘以这两数的差
华师版八年级上册第十二章 12.3.1 两数和乘以这两数的差
课题12.3.1 两数和乘以这两数的差主备人课型新授课课时安排 1 总课时数 1 上课日期学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.2.灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.学习重难点重点：经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.难点灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.教·学过程札记一．导多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______．算一算：根据多项式乘以多项式的法则进行计算：①（x ＋ 1)( x－1）=x2-x+x-1=_______________；②（m ＋ 2)( m－2）=m2-2m+2m-4=_______________；③（2m＋ 1)(2m－1）=_______________=_______________.二、思阅读课本完成探究一探究点1：平方差公式问题观察算一算中的式子与它的结果，它们有什么共同的特点？【要点归纳】当出现两个多项式相乘的时候，呈现的形式如(a+b)(a−b)=_________,（其中a,b代表数、字母或式子）即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________.试一试：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？剩余部分的面积为：____________，新长方形的面积为：____________，则有等式为：___________________.例1利用平方差公式计算：(1)(x－5)(x＋5)； (2)(－a－b)(b－a)；（3）（12x+1）（﹣12x+1）.三、检测1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x －y)2.计算（2x2+1）（2x2-1）等于（）A．4x4-1 B．2x4-1 C．4x2-1 D．4x4+13.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________．图1 图24.已知x2-y2=8，x+y=4，则x-y= .5.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．6.利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a- 3b)；（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).7.计算：（1）20222－2021×2023；（2)(a-2)(a+2)(a2 + 4).8.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.9.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？。
两数和(差)的完全平方公式
两数和（差）的平方教案设计泌阳县春水镇中心学校刘老师教学内容教科书P.32——P.34的内容本节课是华师大八年级（上）义务教育课程标准实验教材第12章第3节第二课时的内容。
它是学生在已经掌握整式的加减法、幂的运算、单项式乘法、多项式乘法之后进行学习的。
一方面它是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面也是后续学习的基础，不仅对提高学生运算速度、准确率有较大作用，更是今后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、分式运算的知识基础，同时乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端。
通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。
一、教学目标1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。
2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。
3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想。
二、教学重难点重点：掌握公式的特点，牢记公式。
难点：对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。
关键：引导学生对本节课公式结构特征进行理解，并注意同两数与这两数差的积的公式进行区分。
教学过程一、创设情景、问题导入很久很久以前,有一个国家的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主。
国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b 米的正方形土地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了。
国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的吗？” 你认为他们的要求一样吗？以小组为单位，讨论交流a2+b2与(a+b)2的大小.思考怎样计算(a+b)2，结果是多少？二、探究新知，得出公式方法一、利用代数方法计算(a+b)2＝(a+b) (a+b)＝a2＋2ab＋b2方法二、利用几何图形的面积的两种表示方法验证。
乘法公式-两数和的平方课件
[(a b) c] 2 2 (a b) 2(a b)c c
2
a 2ab b 2ac 2bc c
2 2 2 2 2
2
a b c 2ab 2bc 2ac
(a b c)( a b c)
( a b) c
2
2
2
2 2
a 2ab b c
a b ca b c ?
(2)、 2a)(3 2a) (3
(3)、 2a )( 2a b ) (b
2 3 3 2
4a 9
2
4a b
6
4
(4)、 4a 1)(4a 1) (
1 16a
2
1
做一做
一块边长为a米的正方形实验田，
因需要将其边长增加 b 米。 形成四块实验田，以种 植不同的新品种(如图1—6). 用不同的形式表示实验田的 b2 b ab Байду номын сангаас面积, 并进行比较.
整式乘法公式（二）
两数和的平方
学习目标：
1.能说出两数和的平方公式的特点，并会用 式子表示。 2．会应用两数和的平方公式进行有关计算． 3．通过对有关面积的变换，使学生从中体会 到数形结合的思想，领略数学的美． 学习重点：掌握两数和的平方公式的特点． 学习难点：能区别两数和乘以这两数差的公 式与两数和的平方公式．
回顾与 思考 平方差公式：
(a＋b)(a－b) ＝
a2
－
b2
结构特征：
1、两个二项式相乘； 2、一项相同，另一项 互为相反数。
结果特点： 1、二项式；
2 2、 （相同项）
——
两数和的平方
练习：
1.若（a+b）2=25,ab=3,则a2+b2= (a-b)2=
19 13
1.若（a+b）2=25,(a-b)2=16,则ab= 9/4 a2+b2= 20.5
阅读
(2) (3) .
例3.运用完全平方公式计算： 1) 1022 2) 1992 3) 4982 4) 79.82 2 解：3) 4982 = (500-2) = 5002-2×500×2+22 = 250000-2000+4 = 248004 4)79.82 = (80-0.2)2 =802-2×80×0.2+0.22 = 6400-32+0.04 练习：P130-3
填空：
（x+2y）2是
2
X
与
2y
的和(2x-5y)2是
( ( x )+2 ( x )( 2 )+(2 y))
2X
与
2
5y
y
差的平方
(5 y) ）
2
(2x5 y)
2
) =（ (2 x）－ （ 2
）（ 5y ）+（ 2x
学一学
例1 利用完全平方公式计算： 例题解析 (1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2 ;
拓展提高：
下列等式是否成立? 说明理由． (1) (4a+1)2=(1−4a)2； 成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立 不成立． 2； (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1) 不成立． (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 理由: (1) 由加法交换律 4a+l＝l−4a。 (2) ∵ 4a−1＝(4a+1)， ∴(4a−1)2＝[(4a+1)]2＝(4a+1)2. (3) ∵ (1−4a)＝−(1+4a) ＝(4a−1)， (4) 右边应为: 即 (1−4a)＝(4a−1) (4a−1)(4a+1)。 ∴ (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)· [(4a−1)] ＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2。
乘法公式2两数和(或差)的平方
通过乘法公式和向量外积计算三角 形的面积。
体积计算
01
02
03
长方体体积
通过乘法公式计算长方体 的体积，即长乘以宽乘以 高。
圆柱体体积
利用乘法公式和圆的面积 公式计算圆柱体的体积。
圆锥体体积
通过乘法公式和圆的面积 公式以及高计算圆锥体的 体积。
长度计算
向量的模
通过乘法公式计算向量的 模，即向量各分量的平方 和的平方根。
空间中两点的距离
利用乘法公式和向量减法 计算空间中两点的距离。
圆的周长
通过乘法公式和圆的半径 计算圆的周长。
05 乘法公式在物理中的应用
运动学问题
匀变速直线运动
利用乘法公式推导位移与时间的 关系，如$s = v_0t + frac{1}{2}at^2$。
抛体运动
将乘法公式应用于抛体运动的水 平位移和竖直位移，求解物体的
通过乘法公式的运用， 可以简化复杂的多项 式表达式，降低计算 难度。
方程求解
利用乘法公式将方程化为标准形式， 便于求解未知数。
通过对方程的变形和化简，可以更容 易地找到方程的解，提高解题效率。
在解方程时，可以根据乘法公式的特 点，选择合适的变形方式，简化求解 过程。
不等式证明
利用乘法公式证明不等式，可 以将复杂的不等式化为简单的 形式，便于证明。
运动轨迹。
圆周运动
通过乘法公式计算向心加速度、 线速度、角速度等物理量之间的
关系。
动力学问题
1 2
牛顿第二定律
结合乘法公式，推导物体加速度与作用力、质量 之间的关系，即$F = ma$。
动量定理
应用乘法公式求解物体动量变化与冲量之间的关 系，如$Delta p = Ft$。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差课件(新版)华东师大版
.
.
1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32
12.3.1两数和乘以这两数的差 课件（共30张PPT）学案
新知讲解
解：(1)(3x+2y)(2y-3x) =(2y+3x)(2y-3x)， =4y2-9x2；
(2)(-2m-3n)(2m-3n) =(-3n-2m)(-3n+2m)， =9n2-4m2；
(3)(a2+b2)(a2-b2) =a4-b4
新知讲解
例2 计算 : 1998x2002. 解 1998x2002 =(2000-2)x(2000+2) = 20002-22 = 4000000-4 =3999996.
拓展提高
3、【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形， 把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)，通过观察比较图2与图 1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______.(用含a，b的等式表示) 【应用】请应用这个公式完成下列各题： (1)已知4m2=12+n2，2m+n=4，则2m-n的值为__． (2)计算：20192-2020×2018． 【拓展】 计算：1002-992+982-972+⋯+42-32+22-12
拓展提高
解： 【探究】图1中阴影部分面积a2-b2， 图2中阴影部分面积(a+b)(a-b)， 所以，得到乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 故答案为(a+b)(a-b)=a2-b2．
拓展提高
【应用】(1)由4m2=12+n2得，4m2-n2=12 ∵(2m+n)⋅(2m-n)=4m2-n2 ∴2m-n=3 (2)20192-2020×2018 =20192- (2019+1)×(2019-1) =20192- (20192-1) =20192-20192+1 =1
华师大版初中数学八年级上册课程目录与教学计划表
华师大版初中数学八年级上册课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。
不管是做教学计划、实施教学活动，还是做复习安排、工作总结，都离不开目录。
目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
课程目录教学计划、进度、课时安排
第11章数的开方
11.1 平方根与立方根
1. 平方根
2. 立方根
11.2 实数
小结
复习题
第12章整式的乘除
12.1 幂的运算
1.同底数幂的乘法
2.幂的乘方
3.积的乘方
4.同底数幂的除法
12.2 整式的乘法
1.单项式与单项式相乘
2.单项式与多项式相乘
3.多项式与多项式相乘
12.3 乘法公式
1.两数和乘以这两数的差
2.两数和（差）的平方
12.4 整式的除法
1.单项式除以单项式
2.多项式除以单项式
12.5 因式分解
小结
复习题
第13章全等三角形
13.1 命题、定理与证明13.2 三角形全等的判定
1.全等三角形
2.全等三角形的判定条件
3.边角边
4.角边角
5.边边边
6.斜边直角边
13.3 等腰三角形
13.4 尺规作图
13.5 逆命题与逆定理
小结
复习题
第14章勾股定理
14.1 勾股定理
14.2 勾股定理的应用
小结
复习题
第15章数据的收集与表示15.1 数据的收集
15.2 数据的表示
小结
复习题
总复习。
华师版八年级数学 12.3 乘法公式(学习、上课课件)
感悟新知
知1－练
例 2 计算： (1)10.3×9.7； (2)2 022×2 024－2 0232. 解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差 公式进行计算.
感悟新知
解：(1)10.3×9.7
＝(10＋0.3)×(10－0.3)
＝102－0.32 ＝100－0.09
知2－讲
感悟新知
知2－讲
(6)ab＝12[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝14[(a＋b)2－(a－b)2]； (7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
(8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]
感悟新知
例 3 计算： (1)(x＋7y)2；(2)(－4a＋5b)2； (3)(－2m－n)2；(4)(2x＋3y)(－2x－3y).
感悟新知
知识点 2 两数和(差)的平方
知2－讲
1. 两数和(差)的平方公式(也称完全平方公式) 两数和 (差)的平方，等于这两数的平方和加上(减去)它们的积 的2倍. 用字母表示为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－ 2ab＋b2 .
感悟新知
特别解读
知2－讲
1. 弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，公
感悟新知
特别解读
知1－讲
公式的特征：
1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完
全相同，另一项互为相反数；
2. 等号右边是乘式中两项的平方差；
3. 理解字母a，b的意义，平方差公式中的a，b既可代表一
个单项式，也可代表一个多项式.
感悟新知
2. 平方差公式的几种常见变化及应用
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课题12.3.2两数和（差）的平方课型新课
教师复备
教学目标1、理解两数和（差）的平方的公式；
2、掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算；
2、培养探索能力和概括能力，体会数形结合的思想；
教学重点、难点重点：掌握两数和（差）的平方这一公式的结构特征。
难点：对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。
教具多媒体
课前预习【导学提纲】根据下面的要求，用8分钟时间自学教材P31-32，请在不明白的地方作上符号，或把问题写下来。
1、两数和的平方，等于
用式子表示：2
()
a b
+=
2、两数差的平方，等于
用式子表示：2
()
a b
- =
3、把形如的式子叫做完全平方式
自主反思【预习检测】相信你，一定能行！
1、计算：（1）(21)(34)
x x
--= ；
（2）(53)(53)
x x
+-= ；
（3）2
(3)
x+=；（4）2
(3)
y-=；
2、计算：2
(1)(23)
a b
+；2
(2)(2)
2
n
m+；
3、计算：2
(1)()
a b
-；2
(2)(23)
x y
-
探究互助【问题1】已知2212,3
a b ab
+==-，求（1）2
()
a b
+；（2）2
()
a b
-的值？
【问题2】如果22
49
x mxy y
++是一个完全平方式，则m的值为
多少？
巩固运用
1、下列运算正确的是（）
（A）222
()
a b a b
-=+（B）22
(2)(2)4
x y y x y x
--=-（C）2222222
()2
a b a a b b
+=++（D）22
11
(3)39
24
x x x
-=-+
2、若22
1
(2)42
2
x x x k
-=-+，则k=；
3、填空：22
(1)8 =()
x x x
-+-；22
11
(2)()
42
x x x
-+=-4、计算：
2
(1)(32)
a b
+2
(2)(2)
x y
-+2
(3)(2)
x y
--
2
(4)()(2)(2)
x y y x y x
--+-；2
(5)(2)(21)2(5)
x x x
+--+
4、(1)已知：1,1
x y xy
-==-，求22
x y
+的值?
(2)已知：
3
2
xy=，求代数式22
(2)(2)
x y x y
+--的值？
小结反馈1、完全平方公式：222
()2
a b a ab b
±=±+
2、注意：记住每一个公式左右两边的特征，记准指数和系数的符号；注意公式在应用中的条件；应灵活地应用公式来解题，并对平方差公式进行区分；
3、把形如的式子叫做完全平方式。
知识拓展1、计算：2
1
()
a
a
+=；2
1
()
a
a
-= ；
2、已知：
1
3
x
x
+=，求2
2
1
x
x
+的值？
（变式）已知：
1
3
x
x
-=，求2
2
1
x
x
+的值？
课后作业
教后反思。