8.1_2 向量及其线性运算

当 a 0 时,
bx a x by a y
bx b y bz ax a y az
bz a z
3x 2 y b 其中 a 2， 2 , b 1， 2 . （ 1， ） （ 1， ）
解: 2×① －3×② , 得
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① 5x 3y a
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
(1, 1, 2 )
(1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 2 , 3
2 cos 2 3 4

3
,
例8. 设点 A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
提示:
(1) 设动点为 M ( x , y , 0) , 利用 M A M B , 得 且 (2) 设动点为 M ( x , y , z ) , 利用 M A M B , 得
中点公式:
x1 x2 , 2
y1 y2 , 2
z1 z 2 2
B M
定理2.1 三向量a={ax,ax,ax}, b={bx,bx,bx}, c={cx,cx,cx},
共面的充分必要条件是：
ax bx cx ay by cy az bz 0 cz
向量的模、方向角
设 r ( x , y , z ), 作 OM r , 则有 r OM OP OQ OR
即 M1M 2 M 3 为等腰三角形 .
M1 M2
M3
例5. 在 z 轴上求与两点
离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0 , 0 , z ) , 因为 M A M B ,
(4) 2 12 (7 z ) 2
解得
(2 z ) 2 3 5
2 2
9
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量.
单位向量: 模为 1 的向量,记作 a 或 a .
零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
例6. 已知两点
解: A B

和
求
AB

AB 3 1 2 , , 14 14 14
1 (3 ,1, 2) 14

2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos 2 2 2 r x y z 任取空间一点 O , 称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
证
A
A

B
B
Pr ju AB Pr ju AB
B
u u
| AB | cos
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个） Pr j (a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
由勾股定理得 1. 向量的模与两点间的距离公式
R
z
M Q y
N
2 2 2
o
P x
r OM
对两点 与 因
x y z
得两点间的距离公式:
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
例4. 求证以
为顶点
的三角形是等腰三角形 .
证:
M 1M 2 (7 4) 2 (1 3) 2 (2 1) 2 14 M 2 M 3 (5 7) 2 (2 1) 2 (3 2) 2 6 M 1M 3 (5 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 2 M 3 M 1M 3
z
z 轴(竖轴)
• 坐标原点
Ⅲ Ⅳ
Ⅱ
• 坐标轴 • 坐标面
yoz 面
o xoy面
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
Ⅴ
在直角坐标系下
点 M 有序数组 ( x, y, z ) 向径 r (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .

2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
向量在轴上的投影
设有一轴 u，AB 是轴 u 上的有向线段 .
A
B
u
如果数 满足 AB，且当 AB 与 u 轴同 向时 是正的，当 AB 与 u 轴反向时 是负的， 那末数 叫做轴 u 上有向线段 AB 的值，记作 AB，即 AB.
证明： 充分性。 不妨设c =a+b,任取一点M， 作MA a, MB b 则 c 就是以MA,MB为邻边的 平行四边形的对角线多对应的向量 MC
显然a ， b ，c 共面，但a//a ， b //b，
故a ，b ，c 共面。
必要性。 设a ，b ，c 共面。任取一点M，
作MA a, MB b, MC c, 使得c =a+b。
设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数 ， 则 a b (a x bx , a y by , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
平行向量对应坐标成比例:

b
故 b a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
故 0 , 即 .
“
” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向
a∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
角依次为 , , 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 . 3 4
, , 则 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 , 于是 2
OA O A OA 6 ( 1 , 2
的夹角. a ,b
z
r
o


y
x
x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
方向余弦的性质:
z
r
o


y
x
例7. 已知两点
和
计算向量
第8章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第七章
二、向量的线性运算
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
1 1
1 1
z
R(0,0, z )
B(0, y, z )
C ( x, o, z )
o
r
M
y
Q(0, y,0)
x P(x,0,0)
A( x, y,0)
z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
向量的坐标表示
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
二、向量的线性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc
b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
可见 总之: a a 1a a ; 运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ;
推论 三向量a,b,c共面的充分必要条件存在不全为零 的数k1,k2,k3,使得 k1a+k2b+k3c=0