六年级下册数学讲义-第四单元——比例：正比例和反比例人教版(含答案)

第四章 比例2.正比例和反比例【知识梳理】1.正比例的意义。

（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

（2）正比例关系的字母表达式：xy =k （一定）。

要点提示：成比例的两种量必须是相关联的量，而两种相关联的量却不一定都成比例。

如两种量的和或差一定时，这两种量虽然是相关联的量，但不成比例。

2.正比例关系的图像。

正比例图像是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线，线上所有点所对应的两个数的比值都相等。

3.反比例的意义。

（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

（2）反比例关系的字母表达式：x×y =k （一定）。

4.判断两种量成正比例还是成反比例的方法。

关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。

如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。

【诊断自测】1.填空。

（1）用字母表示的正比例关系式是（ ），反比例式是（ ）。

（2）已知6x=4y ，x 和y 成（ ）比例，已知3x =y6，x 和y 成（ ）比例。

（3）单价一定，数量与总价成（ ）比例；数量一定，单价与总价成（ ）比例；总价一定，数量与单价成（ ）比例。

（4）当两个变量成反比例关系时，所绘成的图是一条（ ）。

2.选择。

（1）在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（ ），成反比例关系是（ ）。

A.汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数。

B.汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数。

C.汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数。

（2）乐乐从1楼爬到3楼共用了3分钟，那么从1楼爬到5楼要用（ ）分钟。

A.8B.6C.4（3）a÷b=c ，当c 一定时，a 和b （ ）；当a 一定时，b 和c （ ）；当b 一定时，a 和c （ ）。

A. 成正比例B. 成反比例3.判断。

（1）工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。

（ ）（2）在成反比例的两个量中，一种量缩小，另一种量就扩大。

（ ）（3）圆的半径和周长成正比例。

（ ）4.解决问题。

下面是表示小明和小强两人骑自行车的路程和时间关系的图象，请根据图象回答问题； ①小明骑自行车行驶的路程和时间成什么比例？请简要说明理由；②小强骑自行车每分钟行多少千米？③照这样的速度计算，小明和小强在400米环形跑道上，同时在上午9：45从同一个起点同一个方向前进，两人在出发后第一次相遇时离起点多远？【考点突破】类型一：正比例的意义。

例1. 判断。

如果3x=8y （x ，y 均不为0），那么y 与x 成正比例关系。

（ ）答案：√解析：因为3x=8y ，所以y ：x=3：8=83（一定），符合正比例的意义，所以此说法正确。

例2. 判断。

一个加数不变，和与另一个加数成正比例关系。

（ ）答案：×解析：成正比例关系的两种量中相对应的两个数的比值一定，而不是差一定。

例3.填空。

已知32x=43y ，则x 、y 成（ ）比例，x ：y=（ ）。

答案：正 9：8解析：根据比例的基本性质可得：如果x 是外项，那么32是外项；则y 为内项，43为内 项，即x ：y=43：32=43×23=89（一定），所以x 、y 成正比例，x ：y=9：8。

类型二：正、反比例关系的图像。

例4. 判断。

正比例的图像是一条直线。

（ ）答案：√解析：两种相关联的量中相对应的两个数的商一定，就成正比例关系，正比例的图象是一 条过原点的直线。

例5.填空。

当两个变量成反比例关系时，所绘成的图是一条（ ）。

答案：曲线解析：两种相关联的量中相对应的两个数的积一定，就成反比例关系，反比例的图象是 一条曲线。

类型三：反比例的意义。

例6.填空。

（1）a 与b 是两个成反比例的量，若a 分别为10、20、40，则b 与a 相对应的量可能是（ ）。

（2）如果2x =y2，那么x 与y 成（ ）关系。

（3）被除数一定，除数和商成( )比例。

（4）小林骑自行车从家到学校，他骑车的速度和所需时间成( )比例。

（5）已知xy =k ，当（ ）一定时，另外两个量成反比。

答案：（1）20 10 5（2）反比例（3）反（4）反（5）y解析：（1）反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫 做反比例关系．如果用字母x 和y 表示这两种相关联的量，用k 表示它们的乘积（一 定），反比例的关系可以表示为：xy=k （一定）。

因为10×20=20×10=40×5，所以b 与a 相对应的量可能是20，10，5。

（2）根据比例的基本性质，两个内项的积等于两个外项的积，可得xy=4（一定）， 故x 与y 成反比例关系。

（3）根据被除数÷除数＝商，得被除数=商×除数，当被除数一定时，除数和商成反 比例关系。

（4）小林从家到学校的路程一定，所以他骑车的速度和所需时间成反比例。

（5）由xy =k ，得y=xk ，当y 一定时，x 与k 成反比。

7.选择。

（1）下列各项中，两种量成反比例关系的是（ ) 。

A ．正方形的周长和边长B ．路程一定，时间和速度C ．4x=5yD ．圆的半径和它的面积（2）挖一条水渠，每天挖的米数和需要的天数（ )。

A ．成正比例B ．成反比例C ．不成比例答案：（1）B（2）B解析：（1）正方形周长=边长×4，故正方形的周长和边长成正比；路程=速度×时间， 故路程一定，时间和速度成反比；由4x=5y ，得x ：y=5：4，故x 与y 成正比；圆的面 积=πr 2，故圆的半径和它的面积不成比例。

故选B 。

（2）挖一条水渠时，水渠的长度一定，故每天挖的米数和需要的天数成反比例，故选B 。

例8.判断。

（1）三角形的面积一定，底和相对应的高成反比例关系。

（ ）（2）大米的总量一定，吃掉的和剩下的成反比例。

（ ）（3）分数的分子一定，分数值和分母成反比例。

（ ）答案：（1）√（2）×（3）√解析：（1）三角形的面积=底×高÷2，当面积一定时，底和相对应的高成反比例关系，符合反比例的意义，所以此说法正确。

（2）吃掉的质量+剩下的质量=大米的总质量（一定），是吃掉的与剩下的对应的“和”一定，不是“乘积”一定，所以不符合反比例的意义，故此说法错误。

（3）因为分数的分子÷分母=分数值，所以分母×分数值=分数的分子（一定），符合反比例的意义，故此说法正确。

类型四：正、反比例的生活运用。

例9.工程队修一条水渠，派25人去做，120天可以完成。

如果工作效率不变，派30人去做，多少天可以完成？（用比例知识解答）答案：解：设x天可以完成，则30x=25×120x=25×120÷30x=100答：100天可以完成。

解析：这项工程的工作总量是一定的，所以用的人数和做的天数成反比例，设出未知数，列出比例式解答即可。

例10.一辆汽车原计划每小时行驶70千米，从甲地到乙地需要行驶6小时，实际上这辆汽车1.5小时就行驶了120千米。

照这样的速度，从甲地到乙地比原计划提前了几小时？答案：解：设从甲地到乙地实际用了x小时，则（120÷1.5）x=70×680x=420x=5.256-5.25=0.75（小时）答：从甲地到乙地比原计划提前了0.75小时．解析：根据路程一定，速度与时间成反比例，设从甲地到乙地实际用了x小时，列比例为（120÷1.5）x=70×6，解方程得x=5.25，再用6-5.25=0.75小时，即可求出提前的时间。

【易错精选】1.选择。

（1）下面各题中的两种相关联的量，不成比例关系的是（ ）A ．每分钟写字速度一定，写字总数和写字时间B ．圆的面积和半径C ．一段路，每天修的米数和所用的天数D ．正方形的边长和周长。

（2）已知xy=k+31，当k 一定时，x 和y （ ） A ．成反比例 B ．成正比例 C ．不成比例 D ．无法确定（3）已知53x =74y ，那么x 与y 成（ ）关系。

A ．正比例 B ．反比例 C ．不成比例2.判断。

（1）一批零件，甲单独完成要9小时，乙单独完成要7小时，甲、乙的工作效率比是9：7。

（ ）（2）如果ab+5=15，则a 与b 成反比例。

（ ）（3）正方形的面积一定，它的边长和边长不成比例。

（ ）【精华提炼】1.正比例的图象是一条直线，反比例的图象是一条曲线。

2.单价一定，数量与总价成正比例。

3.工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。

4.圆的半径和周长成正比例。

5.被除数一定，除数和商成反比例。

6.三角形的面积一定，底和相对应的高成反比例关系。

7.一个正数和它的倒数成反比例。

8.路程一定时，速度和时间成反比例。

【本节训练】训练【1】1.填空。

（1）如果y=15x ，x 和y 成（ ）比例；如果5a=4b （b ≠0），那么a 与b 成（ ）比例。

（2）xy ÷2=3+5，则x ，y 成( )比例。

（3）三角形面积一定时，如果三角形的底边增大，则这条底边上的高将( )。

训练【2】2.选择。

（1）铺地的方砖的面积一定，方砖的边长与所需方砖的块数（ ）。

A ．成正比例B ．成反比例C ．不成比例（2）一个正数和它的倒数成（ ）。

A.正比例B.反比例C.不成比例训练【3】3.判断。

（1）两个变化的量，不成正比例就成反比例。

（ ）（2）因为速度×时间=路程，所以速度和时间成反比例。

（ ）（3）自行车行走的里程一定，车轮的转数和车轮的直径成反比例。

（ ）训练【4】4. 两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱与第二个圆柱高的比是7：11，第二个圆柱的体积是144立方分米第一个圆柱的体积是多少立方分米？基础巩固一、填空。

1. 六年级同学排队做广播操，每行人数和排成的行数成（ ）比例；出油率一定，花生 油的质量和花生的质量成（ ）比例；3x=y ，x 和y 成（ ）比例。

2. 已知x ，y （均不为0）能满足21x=31y,那么x ，y 成( )比例，并且x ：y=( ):( )。

3.a 、b 是两种相关联的量，如果a 、b 成正比例，那么“？”处应该填( )；如果a 、b 成反比例，那么“？”处应该填（ ）。

4.在圆柱的侧面积、底面周长、高这三个量中，（1）当（ ）一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例关系；（2）当（ ）一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例关系；（3）当（ ）一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例关系。