二次函数y=ax2+bx+c的图象1
九年级数学上二次函数1.2二次函数的图象3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象浙教
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所 围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合 函数的图象，求m的取值范围．
解：如图，假设点 A 在点 B 的左边．抛物线在点 A， B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界) 恰有 6 个整点，∴点 A 的横坐标在－1 与－2 之间(含 －1，不含－2)，当抛物线经过点(－1，0)时，m＝14， 当抛物线经过点(－2，0)时，m＝19， ∴m 的取值范围为19<m≤14.
A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④
9．【中考·湖州】已知a，b是非零实数，|a|＞|b|， 在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2 ＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能 是( )
【点拨】由yy＝＝aaxx2＋＋bbx，解得xy＝＝0－ba，或xy＝＝a1＋，b. 故二次函数 y1＝ax2＋bx 与一次函数 y2＝ax＋b(a≠0)在同一 平面直角坐标系中图象的交点为－ba，0，(1，a＋b)． 在 A 中，由一次函数图象可知 a＞0，b＞0；由二次函数图 象可知 a＞0，b＞0，则 a＋b＞0，不符合题意．
12．【中考·宁波】如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐 标为(3，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标； 解：把点B的坐标(3，0)代入y＝－x2＋ mx＋3得0＝－32＋3m＋3，解得m＝ 2， ∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA＋PC的值最小 时，求点P的坐标．
A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25 C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
2．【中考·眉山】若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平
二次函数的图象和性质(第1课时 )九年级数学上册课件(人教版)
然后描点、连线，得到图象如下图.
y
-4 -2 O 2 4
-2 4 6 8
由图象可知，这个函数 具有如下性质： 当x＜-1时，函数值y随x
x
的增大而增大； 当x＞-1时，函数值y随x 的增大而减小； 当x=-1时，函数取得最 大值，最大值y=3.
练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
( C) A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
4．【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛 物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( B )
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点 P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的 说法如下，
6．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函 数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( D)
A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
7．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( B)
(1)求 b、c 的值；
解：把 A(0，3)，B－4，－92的坐标分别代入
y＝－136x2＋bx＋c，得 c－＝1336，×16－4b＋c＝－92，解得bc＝＝398.，
(2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否有公共点？ 若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
二次函数y=ax2 bx c的图像与性质
幻灯片1
26.2二次函数的图象和性质
华东师大版九年级（下册）
幻灯片2
温故知新
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2
(1)23
y x x =-++ 2
(2)341y x x =+-幻灯片3
解：设垂直于墙的一边AB为x米，矩形的面积为y㎡，根据题意，得：
y=-2x2+20x（0＜x＜10）
配方，得
y=-2（x-5）2+50。
函数图象开口向下，顶点坐标为（5，50），即当x=5时，函数取得最大值50. 所以当AB长为5m，BC长为10m时，花圃的面积最大，为50m2.
幻灯片4
问题2
幻灯片5
用6 m长的铝合金型材做一个形状如图所示的
例 5
幻灯片6
解这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
幻灯片7
注意
幻灯片8
图26.2.5 1在实际问题中,自变量往往是有一定取值范围的.因此,在根据二次函数的顶点坐标,求出当自变量取某个值
2、已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设期中一个正数为x将它们的积表示为x的函数）
幻灯片9
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养
鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
2m
xm
ym2
xm
幻灯片10
课堂小结
这节课，你学到了什么？
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
二次函数y=ax2+bx+c及其图象(含答案)
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 及其图象学习要求掌握并灵活应用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质及其图象．课堂学习检测一、填空题1．把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方成y ＝a (x －h )2＋k 形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x ＝______时，y 最值＝______；当a ＜0时，x ______时，y 随x 增大而减小；x ______时，y 随x 增大而增大．2．抛物线y ＝2x 2－3x －5的顶点坐标为______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x ______时，y 随x 增大而减小，当x ______时，y 随x 增大而增大．3．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______．4．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．5．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，当x ＝______时，函数y 有最值______，当x ______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______． 7．抛物线y ＝2x 2先向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2，再向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2＋4．二、选择题8．下列函数中①y ＝3x ＋1；②y ＝4x 2－3x ；;422x xy +=③④y ＝5－2x 2，是二次函数的有( ) A ．② B ．②③④ C ．②③D ．②④9．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是( )A ．向下，(0，4)B ．向下，(0，－4)C ．向上，(0，4)D ．向上，(0，－4)10．抛物线x x y --=221的顶点坐标是( ) A ．)21,1(-B ．)21,1(-C ．)1,21(-D ．(1，0)11．二次函数y ＝ax 2＋x ＋1的图象必过点( )A ．(0，a )B ．(－1，－a )C ．(－1，a )D ．(0，－a )三、解答题12．已知二次函数y ＝2x 2＋4x －6．(1)将其化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式； (2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； (3)求图象与两坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象；(5)说明其图象与抛物线y ＝x 2的关系； (6)当x 取何值时，y 随x 增大而减小； (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0； (8)当x 取何值时，函数y 有最值?其最值是多少? (9)当y 取何值时，－4＜x ＜0；(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．综合、运用、诊断一、填空题13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(1)若抛物线的顶点是原点，则____________；(2)若抛物线经过原点，则____________；(3)若抛物线的顶点在y轴上，则____________；(4)若抛物线的顶点在x轴上，则____________．14．抛物线y＝ax2＋bx必过______点．15．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解析式是______．16．若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______．17．若二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______．18．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．19．抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第______象限．二、选择题20．函数y＝x2＋mx－2(m＜0)的图象是( )21．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜022．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( )A ．a ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＜0B ．a ＞0，c ＜0，b 2－4ac ＞0C ．a ＜0，c ＞0，b 2－4ac ＜0D ．a ＜0，c ＜0，b 2－4ac ＞0 23．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，则( )A ．b ＞0，c ＞0，＝0B ．b ＜0，c ＞0，＝0C ．b ＜0，c ＜0，＝0D ．b ＞0，c ＞0，＞024．二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如下图所示，那么m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＞3C ．m ＜0D ．0＜m ＜325．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )26．函数xaby b ax y =+=221,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )三、解答题27．已知抛物线y ＝x 2－3kx ＋2k ＋4．(1)k 为何值时，抛物线关于y 轴对称； (2)k 为何值时，抛物线经过原点．28．画出23212++-=x x y 的图象，并求：(1)顶点坐标与对称轴方程； (2)x 取何值时，y 随x 增大而减小? x 取何值时，y 随x 增大而增大?(3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少? (4)x 取何值时，y ＞0，y ＜0，y ＝0? (5)当y 取何值时，－2≤x ≤2?拓展、探究、思考29．已知函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和y2＝mx＋n的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，并且y1＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点(0，3)．(1)求函数y1和y2的解析式，并画出函数示意图；(2)x为何值时，①y1＞y2；②y1＝y2；③y1＜y2．30．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分；图象过点A(－3，0)，对称轴为x ＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的是________________．(填序号)测试3答案1．).44,2(,44)2(222a b ac ab a b ac a b x a y ---++= ⋅-<-≥--=-=abx a b x a b ac a b x a b x 2,2,44,2,222．,43),849,43(-小，⋅>≤---43,43),5,0(),0,1()0,25(,849x x 、3．(－1，4)，(－3，0)、(1，0)，(0，3)． 4．y ＝(x －2)2＋1，低，(2，1)． 5．－2，－7，x ≥－2，.72±-=x 6．±2． 7．右，3，上，4． 8．D ． 9．B. 10．B ． 11．C ． 12．(1)y ＝2(x ＋1)2－8；(2)开口向上，直线x ＝－1，顶点(－1，－8)； (3)与x 轴交点(－3，0)(1，0)，与y 轴交点(0，－6)； (4)图略；(5)将抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，向下平移8个单位；得到y ＝2x 2＋4x －6的图象； (6)x ≤－1；(7)当x ＜－3或x ＞1时，y ＞0；当x ＝－3或x ＝1时，y ＝0； 当－3＜x ＜1时，y ＜0； (8)x ＝－1时，y 最小值＝－8； (9)－8≤y ＜10； (10)S △＝12．13．(1)b ＝c ＝0；(2)c ＝0；(3)b ＝0；(4)b 2－4ac ＝0． 14．原． 15．2，y ＝2x 2－3x ． 16．4． 17．－1． 18．1． 19．一、二、三．20．C. 21．B ． 22．D ． 23．B ． 24．C ． 25．B ． 26．C ． 27．(1)k ＝0；(2)k ＝－2． 28．,2)1(212+--=x y ①顶点(1，2)，直线x ＝1；②x ≥1，x ＜1； ③x ＝1，y 最大＝2；④－1＜x ＜3时，y ＞0；x ＜－1或x ＞3时y ＜0；x ＝－1或x ＝3时，y ＝0；.225≤≤-y ⑤ 29．(1)y 1＝－x 2＋2x ＋3，y 2＝3x ＋1．(2)①当－2＜x ＜1时，y 1＞y 2． ②当x ＝－2或x ＝1时，y 1＝y 2． ③当x ＜－2或x ＞1时y 1＜y 2． 30．①，④．。
二次函数y=ax2bxc的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质一、教材分析二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是高中学习函数的重要基础。
本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，进一步经历探索二次函数图象特征和性质的过程。
教学时应注意引导学生找出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的联系，然后通过观察图像，结合解析式特点，思考和归纳函数图像的特征及其性质，从简单到复杂、从特殊到一般，去理解二次函数顶点式中a,h,k对函数图象的影响；并能正确判断出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，让学生对二次函数y=a(x-h)2+k有一个形象和直观的认识。
二、学生情况分析目前的学生课堂学习不够专注，缺乏数学思维，因而导致他们的数学基础较差、学习信心不足、兴趣不大，有的学生感到学习数学很困难。
三、教学目标分析知识目标：1能够正确作出二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象；2理解二次函数关系式中系数a,h,k对函数图象的影响；3能够正确指出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标。
能力目标：1、在精心设计的问题引领下，通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；2、通过观察图象，发现函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力；3、通过小组合作，进一步培养学生的数学探究能力。
情感价值观目标：让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的自信心，感受数学的美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重难点：能够正确作出y=a(x-h)2+k的图象，并抽象出它的图象特征和性质。
四、教法学法分析采用“问题引领，小组学习”的教学模式实施教学。
让学生在正确作出二次函数图象之后，抽象出二次函数y=a(x-h)2+k中系数与图象之间的关系。
先鼓励学生在问题引领下，独立思考，解决问题；然后把出现的问题带到小组学习中去，经过学习小组或全班集中展示交流，师生合作点评，推导出结论并达成共识。
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
教案教学内容二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质一、学习目标：1.会用描点法画出二次函数y=ax²+bx+c的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质；2.通过独立思考、小组合作、动手操作，掌握二次函数y=ax²+bx+c的性质，并会灵活应用.二、知识回顾：1．一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的相同，不同.抛物线y=ax2向平移个单位，向平移个单位得到抛物线y=a(x-h)2+k（h>0,k>0）.2. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.（2）对称轴是直线x=h.（3）顶点坐标是（h,k）.3．二次函数y=ax2，y=ax2+k的性质有哪些？请填写下表．二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2（x+3）2+5y=-3（x-1）2-2y=4（x-3）2+7y=-5（2-x）2-6三、知识梳理：1、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（1）二次函数y=ax²+bx+c的顶点和对称轴：一般地，二次函数y=ax ²+bx+c 可以通过配方化成y=a （x-h ）²+k 的形式，即y=a （x+a 2b ）2+a 4b -ac 42，所以二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，它的顶点为（-a 2b ，a 4b -ac 42），对称轴是直线x=-a2b。
例如y=x ²-2x+3可以配方成y=（x-1）²+2，其顶点为（1,2），对称轴为直线x=1. （2）二次函数y=ax ²+bx+c 的图象的作法：二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，它的图象的常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法①通过配方将二次函数y=ax ²+bx+c 化成二次函数的形式； ②确定抛物线的顶点、开口方向、对称轴； ③以顶点为中心，左右对称各取两对点的坐标； ④用平滑的曲线将描出的点顺次连接起来。
人教版九年级上册数学二次函数y=ax^ +bx +c的图像与性质
人教版九级上册数学二次函数y=ax^ +bx +c的图像与性质
小结 拓展 回味无穷 驶向胜利 的彼岸
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4acb2 4a
和
(0,0).
配方:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
人教版九级上册数学二次函数y=ax^ +bx +c的图像与性质
yax2bxc
ax2 b xc
提取二次项系数
a c
ax2b ax2ba22ba2a c配减数方去绝一对:加次值上项一再系半
ax
b
2
2a
4a4ca2b2整式理,后:两前项三的合项平并化方同为类平项方形
当 xb时 ,最小4值 ac为 b2 当 xb时 ,最大4值 ac为 b2
2a
4a
2a
4a
人教版九级上册数学二次函数y=ax^ +bx +c的图像与性质
填写表格：
总结提高：
抛物线
开口方向 对称轴
y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0) y=a(x-h)2(a>0)
y=a(x-h)2 +k(a>0)
2.对称轴是直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
探究:
研究二y次 1函 x26数 x2的 1 图像和性 2
如何画出y1x2 6x21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
2.2二次函数的图像与性质(5)y=ax2+bx+c
＝3(x －4x＋4－4)－3
2
＝3(x －4x＋4)－3×4－3
＝3(x－2)2－15
∵3＞0
∴当 x＝2 时，函数有最小值－15.
1 2
例 4 求抛物线 y＝－ x －2x＋3 的顶点坐标.
2
1 2
解：∵y＝－2x －2x＋3
1 2
＝－2(x ＋4x)＋3
1 2
＝－2(x ＋4x＋4－4)＋3
2
解：∵y＝x ＋x＋1
1 1
2
＝x ＋x＋ － ＋1
4 4
1 3
2
＝(x ＋x＋4)＋4
12 3
＝(x＋2) ＋4
1 3
∴顶点坐标为(－2，4)
变式练习 2
求抛物线 y＝x 2－3x＋2 的顶点坐标.
2
解：∵y＝x －3x＋2
9
9
＝x －3x＋4＋2－4
2
32 1
＝(x－2) －4
3
1
∴顶点坐标为 (2，－4)
1 2
1
＝－2(x ＋4x＋4)＋(－2)×(－4)＋3
1
2
＝－2(x＋2) ＋5
∴顶点坐标为(－2，5)
变式练习 4
3 2
求抛物线 y＝－ x ＋3x＋1 的顶点坐标.
2
3 2
解：y＝－2x ＋3x＋1
3 2
＝－2(x －2x＋1－1)＋1
3 2
3
＝－2(x －2x＋1)＋(－2)×(－1)＋1
b 2 4ac b
y ax bx c a ( x )
.
2a
4a
2
2
因此，抛物线y=ax2+bx+c
二次函数的图象与性质
(1)求抛物线的解析式;
解:(1)当 y=0 时, 1 x- 4 =0,解得 x=4,即 A(4,0), 33
抛物线过点
A,对称轴是
x=
3 2
,得
16a 12
3 2a
3 2
,
c
0,
解得
a c
1, 4,
8
16
64
所以二次函数 y=- 3 x2+bx+c 的图象与 x 轴有公共点. 16
∵- 3 x2+ 9 x+3=0 的解为 x1=-2,x2=8,∴公共点的坐标是(-2,0)或(8,0). 16 8
2.(2019云南)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且 与x轴有两个交点. (1)求k的值;
y 随 x 的增大而减小
二次函数的图象和性质
【例1】 (2018成都)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( D ) (A)图象与y轴的交点坐标为(0,1) (B)图象的对称轴在y轴的右侧 (C)当x<0时,y的值随x值的增大而减小 (D)y的最小值为-3
【例2】 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点; (2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?
标可以看出对应 的函数值,4a+2b+c的值是x=2时对应的函数值,4a-2b+c的
的式子的值
值是x=-2时对应的函数值…
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图像与系数a、b、c的关系
抛对物称线轴与是x轴y轴有1个交点
b=0 b2-4ac=0
对 抛称 物轴 线在 与yx轴右无侧交点
a, b异号 b2-4ac<0
例题学习
已知，y=ax2+bx+c的图象如下，试判断a,b,c,b2-4ac的符号。
解： ∵开口向上
∴a>0
抛物线与y轴交于负半轴
∴c<0
y
．·
-1
1x
∵ 对称轴在y轴右侧，
∴ ab>0,而a>0
∴b<0 由图象可知抛物线与x轴有两个交点
∴b2-4ac>0
1.根据图象判断a、b、c及b2－4ac的符号
a_＞___0 b__＜__0 c__＜___0 b2－4ac__＞___0
a__＜__0 b_＝___0
抛物线开口向下
a>0 a<0
2. b的符号
由于二次函数的对称轴是x= －b/2a;a、b共
同决定对称轴的位置.
交点在y轴左侧
ab＞0 交点在y轴右侧
ab＜0
a、b 同号
a、b 异号
左同右异
3.c的符号
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为（0，c)
交点在y轴正半轴
C＞0 交点在y轴负半轴
抛物线过原点
抛物线y=ax2+bx+c的系数的符号由抛物线的 位置决定。它们具有等价的关系。
（1(）3 )ac的的符符号号由由抛抛物线的与开y轴口的确交定点。确定。
交点在开y口轴向正上半轴上
a>0 c>0
交开点口是向原下点 交点在y轴负半轴上