高考数学专题常用逻辑用语理!

年高考数学专题常用逻辑用语理!

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专题1.2常用逻辑用语

【三年高考】

1. 【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-

<”是“1

sin 2

θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-

||1212

θ-<，所以是充分不必要条件，选A.

2．【2017山东，理3】已知命题p:()x x ?+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是

（A ） ∧p q （B ）?∧p q （C ） ?∧p q （D ）??∧p q 【答案】B

【解析】试题分析：由0x >时11,ln(1)x x +>+有意义，知p 是真命题，由

222221,21;12,(1)(2)>>->--<-可知q 是假命题，即?,p q 均是真命题，故选B.

3．【2017北京，理13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）

【解析】()123,1233->->--+-=->-相矛盾，所以验证是假命题.

4．【2016高考浙江理数】命题“*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x < C ．*

x n ?∈?∈，R N ，使得2

n x < D ．*

x n ?∈?∈，R N ，使得2

n x < 【答案】D

【解析】?的否定是?，?的否定是?，2

n x ≥的否定是2

n x <．故选D ．

5．【2016高考山东理数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

【答案】A

6．【2016高考上海理数】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A

【解析】2211,111a a a a a >?>>?><-或，所以是充分非必要条件，选A. 7．【2015高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n

n N n ?∈>，则p ?为( )

（A ）2,2n n N n ?∈> （B ）2,2n n N n ?∈≤ （C ）2,2n n N n ?∈≤ （D ）2,=2n

n N n ?∈ 【答案】C

【解析】p ?:2,2n

n N n ?∈≤，故选C.

8.【2015高考湖北，理5】设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥. 若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；

q ：2222222

1212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ，则（ ）

A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件

B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

C ．p 是q 的充分必要条件

D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A

9.【2015高考重庆，理4】“1x >”是“12

log (2)0x +<”的（ ）

A 、充要条件

B 、充分不必要条件

C 、必要不充分条件

D 、既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】12

log (2)0211x x x +?>-，因此选B .

10.【2015高考山东，理12】若“0,,tan 4x x m π??

?∈≤????

”是真命题，则实数m 的最小值为 . 【答案】1

【解析】若“0,,tan 4x x m π???∈≤???? ”是真命题，则m 大于或等于函数tan y x =在0,4π??

????

的最大值

因为函数tan y x =在0,

4π??????上为增函数，所以，函数tan y x =在0,4π??

????

上的最大值为1， 所以，1m ≥ ，即实数m 的最小值为1.所以答案应填:1. 【2017考试大纲】 1．命题及其关系 (1)理解命题的概念. (2)了解“若

p 则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.

(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2.简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“ 或” 、 “ 且” 、 “ 非” 的含义. 3.全称量词与存在量词

(1)理解全称量词与存在量词的意义. (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【三年高考命题回顾】

纵观前三年各地高考试题, 可以发现高考对常用逻辑用语的考查以考查四种命题真假判断、含有逻辑联结词的复合命题真假判断、充分条件、必要条件的判断、全称与特称命题的否定等知识点为主，难度不大，全称命题与特称命题，是新课标教材的新增内容，是考查的重点.高考对本节考查的题型是选择题或填空题.有时在大题的条件或结论中出现，以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查，重点考查学生的推理能力. 【2018年高考复习建议与高考命题预测】

由前三年的高考命题形式,在2018年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打,加强常规题型的练习, 高考备考中掌握四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件等基本知识点，对典型的例题加强练习，不宜搞过深过难的题目，关于本专题的高考备考还需要注意以下几点：1.在命题类的题目中首先要分

清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；2.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手；3.要特别注意一些特殊量词的否定形式,例如至少n 个的否定为至多1n -个等；4.充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q ”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B ”中，A 是结论，B 是条件；5.注意区分“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”两者的不同，前者是“p ?q ”而后者是“q ?p ”；6.注意理解逻辑联结词与集合的关系；7.正确区别命题的否定与否命题.

命题及其关系，以及逻辑联结词, 全称量词与存在量词, 充要条件2016、2017年全国卷中都没考,估计2018年可能从中选一考查.预测2018年高考仍会以基本概念为考查对象，并且以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查.题目以选择填空题为主，在总分中占5分，重点考查学生的推理能力.

【2018年高考考点定位】

高考对常用逻辑用语的考查有四种形式：一是考查四种命题的真假与转化，二是逻辑联结词、三是特称与全称命题的否定,四是充分条件和必要条件的判断.难度不大,以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查. 【考点1】四种命题 【备考知识梳理】 一、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. 二、四种命题 命题 表述形式 原命题 若p ，则q 逆命题 若q ，则p 否命题 若p ?，则q ? 逆否命题

若q ?，则p ?

三、四种命题之间的逆否关系

四、四种命题之间的真假关系

1、 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2、 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. 【规律方法技巧】

1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为： （1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题； （2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；

（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。 注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。

2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．

3.命题真假的判断方法：判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.

4. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．

5. 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 【考点针对训练】

1.【安徽省安庆市第一中学2017届高三第三次模拟】“若()1

,0,02

a x f x ≥

?≥≥则都有成立”的

逆否命题是（ ）

A. ()10,0,2x f x a ?<<<有成立则

B. ()10,0,2x f x a ?<≥<有成立则

C. ()10,0,2x f x a ?≥<<有成立则

D. ()1

0,0,2

x f x a ?≥<<有成立则

【答案】D 【解析】“若()1,0,02a x f x ≥?≥≥则都有成立”的逆否命题是()1

0,0,2

x f x a ?≥<<有成立则,故选D.

2. 【四川省南充高级中学2017届高三4月检测】下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠” B. 命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题

C. 命题“x R ?∈，使得2210x -<”的否定是“x R ?∈，均有2210x -<”

D. “若0x y +=，则x ， y 互为相反数”的逆命题为真命题 【答案】D

【考点2】逻辑连接词 【备考知识梳理】

1.用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作p ∧q ，读作“p 且q ”.

2.用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作p ∨q ，读作“p 或q ”.

3.对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作p ?，读作“非p ”或“p 的否定”.

4.命题p ∧q ，p ∨q ，p ?的真假判断：p ∧q 中p 、q 有一假为假，p ∨q 有一真为真，p 与非p 必定是一真一假. 【规律方法技巧】

1.正确理解逻辑联结词与集合的关系:“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.

2.正确区别命题的否定与否命题:“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.

3.含有逻辑连接词命题的真假判断步骤:

(1)准确判断简单命题p 、q 的真假；(2)判断“p ∧q ”“p ∨q ”“?p ”命题的真假. 4.含有逻辑联结词的命题的真假判断规律

(1)p ∨q ：p 、q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即一真即真； (2)p ∧q ：p 、q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即一假即假； (3) ?p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反. 【考点针对训练】

1. 【2017福建三明5月质检】已知命题1:p 若sin 0x ≠，则1

sin 2sin x x

+≥恒成立； 2:0p x y +=的充要条件是

1x

y

=-．则下列命题为真命题的是（ ） A. 12p p ∧ B. 12p p ∨ C. ()12p p ∧? D. ()12p p ?∨ 【答案】D

【解析】sin 0

sin 2,sin x p x

+

≤-∴ 为假， 1p ? 为真；又0x y ==Q 时， 1x y ≠- ，

而

1x

y

=- 时，一定有20,x y p +=∴ 为假， 2p ? 为真，据真值表可得()12p p ?∨ 为真，故选D. 2. 【福建省厦门第一中学2017届高三高考考前模拟】不等式组34y x y x x y ≤??

≥??+≥?

的解集记为D ，命题

():,p x y D ?∈，

25x y +≥，命题():,q x y D ?∈， 22x y -<，则下列命题为真命题的是（ ） A. p ? B. q C. ()p q ∨? D. ()p q ?∨ 【答案】C

【解析】D 为可行域，如图，其中()()2,2,3,1A B ,因为直线2z x y =+ 过点B 时取最小值5，所以命题p 为真；因为直线2z x y =- 过点A 时取最小值3，所以命题q 为假；因此()p q ∨? 为真，选C.

【考点3】全称命题与特称命题

【备考知识梳理】

1.全称量词与全称命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.

(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题.

(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.

2.存在量词与特称命题

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.

(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题.

(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.

3.含有一个量词的命题的否定

命题命题的否定

?x∈M，p(x)?x0∈M，?p(x0)

?x0∈M，p(x0)?x∈M，?p(x)

【规律方法技巧】

1.全称命题真假的判断方法

(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；

(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可.

2.特称命题真假的判断方法