安徽大学期末试卷磁性物理学习题与解答.doc

磁性物理学习题与解答

简答题

1.简述洪德法则的内容。

答：针对未满壳层，洪德法则的内容依次为：

（1）在泡利原理许可的条件下，总自旋量子数S取最大值。

（2）在满足（1）的条件下，总轨道角动量量子数L取最大值。

（3）总轨道量子数J有两种取法：在未满壳层中，电子数少于一半是;

电子数大于一半时

2.简述电子在原子核周围形成壳层结构，需遵循哪些原则法则？

答：需遵循的原则法则依次为：

（1）能量最低原则

（2）泡利不相容原理

（3）洪德法则

3.简述自由电子对物质的磁性，可以有哪些贡献？

答：可能的贡献有：

（1）朗道抗磁

（2）泡利顺磁

4.简述晶体中的局域电子对物质的磁性，可能有哪些贡献？

答：可能的贡献有：

（1）抗磁

（2）顺磁

（3）通过交换作用导致铁磁、反铁磁等

5.在磁性晶体中，为什么过渡元素的电子轨道角动量会被晶场“冻结”，而稀土元素的电子轨道角动量不会被“冻结”。

答：因为过渡元素的磁性来自未满壳层d轨道上的电子，d电子属于外层电子，在晶体中是裸露的，容易受到晶场的影响而被冻结；而稀土元素的磁性来自未满壳层f轨道上的电子，f电子属于内层电子，在晶体中不容易受到晶场的影响，所以不会冻结。

6.简述外斯分子场理论的成就与不足之处。

答：外斯分子场理论的成功之处主要有：唯象解释了自发磁化，成功得到第二类顺磁的居里—外斯定律和铁磁/顺磁相变的居里温度表达式等。

不足之处主要有：（1）低温下自发磁化与温度的关系与自旋波理论的结果差别很

大，后者与实验符合较好;

（2）在居里温度附近，自发磁化随温度变化的临界指数，分子场

理论计算结果为1/2，而实验测量结果为1/3;

（3）无法解释磁比热贡献在温度大于居里温度时的拖尾现象

7.简述小口理论对分子场理论做了什么改进？

答：小口理论认为在居里温度附近，虽然产生自发磁化的长程有序消失了，但体系仍然存在短程序，小口理论考虑了最近邻短程序，由此成功解释了磁比热贡献在温度大于居里温度时的拖尾现象。

8.简述海森堡直接交换作用的物体图像。

答：海森堡直接交换作用是因为在晶体中不同格点上电子的波函数在空间上有交叠而产生的相互作用。由于电子式全同费米子，多电子系统的总波函数必须是反对称的，这样可能有两种模式。比如，对于两个电子的情况：一是空间部分波函数为对称的，则自旋部分波函数为反对称的单态；二是空间部分波函数为反对称的，在自旋部分波函数为对称的三重态。如果由空间部分波函数决定的交换作用常数大于零，此时自旋三重态情况能量更低，视为铁磁；如果交换作用常数小于零，此时自旋单态情况能量更低视为反铁磁。

9.根据“三中心四电子”模型，简述安德森间接交换作用（超交换作用）的物理图像。

答：如图所示“三中心四电子”模型，基态时中间氧离子无磁性，两边磁性离子被氧离子隔开没有直接交换作用。激发态时，中间氧离子上的电子可能跃迁到一边的某个磁性离子上，从而成为带磁性的氧离子，可以和另一个磁性离子产生直接交换作用。由于原来氧离子上的两个电子取向相反，跃迁走的电子的自旋取向到达接受电子的磁性离子上必须满足洪德法则，而剩下那个电子自旋取向通过直接交换作用与另一个磁性离子有关。为此，两个磁性离子的磁矩取向通过中间氧离子被间接关联起来了。这就是安德森间接交换作用（超交换作用）的物理图像。

10. 请根据磁化率随温度变化关系，画图说明铁磁性、亚铁磁性、反铁磁性和顺磁性物质的区别。

答：如图所示：

11.对于磁性物质晶体，其磁性主要来自于哪些轨道上的电子？并说明理由。 答：主要来自于未满的d 轨道电子或未满的f 轨道电子。 因为：（1）未满的s 或p 轨道，在晶体中会由于形成化学键等原因，逝去或获得

电子而成为满电子壳层，对于磁性没有贡献；

（2）其它满壳层电子也对磁性五贡献。所以主要的磁性来自于未满的d

轨道电子或未满的f 轨道电子。

12.为什么说自由电子在经典物理图像下不会有抗磁性？

答：经典物理图像下，自由电子在磁场中会受到洛伦兹力的作用，洛伦兹力总是与电子运动方向垂直，不会做功，从而电子的能量与磁场无关。根据经典统计，其配分函数与磁场强度无关，由经典统计公式其磁化强度为零，所以不会有抗磁性。

13.为什么说磁性氧化物的自发磁化不能用海森堡直接交换作用来解释？ 答：磁性氧化物中的磁性离子之间被直径较大的氧离子隔开，使得磁性离子间的电子云不可能有较大的交叠，所以其海森堡直接交换作用即使有也不可能很大，无法用于解释磁性氧化物的自发磁化。

14.为什么说稀土族金属的自发磁化不能用海森堡直接交换作用和安德森超交换作用来解释？ 答：稀土族金属的磁性主要来自于f 轨道电子，在晶格当中f 轨道电子为内层电子，格点间的电子云不可能有大的交叠，所以无法用海森堡直接交换作用解释其磁化。而安德森超交换作用需要氧离子才能实现，金属中没有氧离子，所以不能用安德森超交换作用解释其自发磁化。

15.一磁性物质的哈密顿量是

235

,????()()?????()32ij i j ij i ij j i j i l B i j i i i j ij S S r S r S H JS S D S g h S r r ωμ≠?????=-?--?+-??????∑∑∑∑r r r 简述各项的物理含义，以及各项能量极低的条件。 答：

第一项为交换作用项，当J﹥0时为铁磁，此时所有自旋取向一致时能量最低；

当J﹤0时为反铁磁，此时近邻自旋取向相反时能量最低。

第二项为各向异性项，z轴为易轴，该项要求所有自旋都躺在z轴上时能量最低。第三项为塞曼能项，要求所有自旋取向与外磁场方向一致时能量最低。

第四项为偶极相互作用项，该项要求自旋磁矩总和为零、或者边界处自旋与边界线平行时能量最低。

16.一各向同性的铁磁性薄膜，在交换作用和偶极相互作用的竞争下，平衡态会

形成怎样的自旋构形？说明理由。

答：平衡态是涡旋自旋构形，涡旋中心位于系统的几何中心，且中心处的自旋向垂直于薄膜平面方向翘起。

理由：在交换相互作用和偶极相互作用的竞争下，平衡态是交换作用能和偶极相互交换作用能之和为极小的状态，涡旋状自旋构形中，既能保证近邻自旋夹角尽可能小使交换能尽可能小，同时又能保证自旋磁矩总和接近于零，从而是能量极小的平衡态。涡旋自旋中心处，由于涡旋不再能让近邻自旋夹角很小，导致该处自旋往垂直膜面方向翘起以减小其交换作用能。

17.简述自旋波的物理图像

答：温度为零时的磁性晶格平衡态中，所有自旋与它受到的有效磁场方向一致，温度升高激发自旋波时，某个自旋偏离了有效磁场方向，该自旋围绕有效磁场进动，由于格点间自旋的相互作用，该自旋的进动会带动其周围的自旋进动，从而在整个晶格中传播，即位自旋波。

二．证明题

1.已知原子的总归到角动量P L=，总自旋角动量P S=，请根据L-S耦合，证明朗德因子的表达式为g

=

J

证明：如图，12.cos .cos s l s μμθμθ=+

其中2221cos 22(1)(1)

L J S L J p p p p p L L J J θ+-==

??+?+ 2222cos 22(1)(1)

S J L S J p p p p p S S J J θ+-==

??+?+ 所以[1(1)2(1)

J g J J J J μμ=+

++

所以12(1)

J g J J =+

证毕！

2.根据外斯分子场理论，已知n 个原子铁磁性物质体系在分子场Hm 作用下的自发磁化磁矩表达式为：()()l B J M T ng J B y μ=,其中()J B y 为布里渊函数、

l B

g J y Hm kT

μ=。求证：居里温度表达式为22(1)3J B ng J J Tc k μλ+≈

证明：由l B g J y Hm kT μ=

可得()l B

kT

M T y g J μ=

由()()l B J M T ng J B y μ=可得当C T T →时1

()l B J M T ng J y J

μ+=? 所以C T T =时，

1

c l B l B kT J y ng J y g J J

μλμ+≈?

所以22(1)3J B ng J J Tc k

μλ

+≈

证毕！

3.根据外斯分子场理论，n 个原子铁磁性物质体系在分子场Hm 和外加磁场H 作用下的磁矩表达式为()()l B J M T ng J B y μ=，其中()J B y 为布里渊函数、

()l B g J y Hm H kT μ=

+。求证：C

T χ=

-?

证明：1

()()3l B J l B J M T ng J B y ng J y J

μμ+==

1()3l B

l B g J J ng J Hm H J kT μμ+=+

2(1)

()(())3l B J J n g M T H kT μλ+=+

所以2()1

(1)()3l B H

M T J J n g kT λμ=

????-??

+????

2

2(1)()3(1)()3l B l B J J Hn g k

J J T n g k μλμ+=

+??-????

所以2

2(1)()()

3(1)()3l B l B J J n g M T k

J J H

T n g k μχλμ+=

=+??-????

C

T =

-?

证毕！其中2(1)()3l B J J C n g k μ+= 2(1)

()3l B J J n g k

λμ+?=

4．如图，在温度低于奈尔温度情况下，外磁场垂直与易轴加在反铁磁物质上，证明此时的

磁化率为常数：1

AB χλ⊥=

。

（提示：平衡时

()

A MA M h H ?+=u u r r u u r

）

其中分子场MA B A

AB ij

H M M

λλ

=--

u u r u u r u u r

证明：垂直磁化平衡

()0

A MA

M h H

?+=

u u r r u u r

所以

A A

B A A

AB ij

M h M M M M

λλ

?-?-?=

u u r r u u r u u r u u r u u r

()

sin sin20

2

A A

B A B

M h M M

π

?λπ?

??

?---=

?

??

()()()

cos2sin cos0

A A

B A B

M h M M

?λ??

?-=

()

()()

2sin0sin

2

cos0

{A AB A B AB B

h

M h M M

M

λ??

λ

?

-=?=

=

?

其中

()

cos0

?=

意味2

π

?=

，这在外磁场不够大时不可能，舍去。

所以沿外磁场方向的磁化强度为

()()

sin sin

A B

AB

h

M M M

??

λ

=+=

1

AB

M

h

χ

λ

?==

证毕！

5.已知自旋波色散关系表达式为

()

1

k k

zA

εγ

=-

，求证：三维简单立方晶格的色散关系是()

23cos cos cos

k x y z

A k a k a k a

ε=---

。

（提示：结构因子表达式为

1z

ik

k

e

z

ρ

ρ

γ?

=∑r u r

）

证明：三维简单立方晶格共有6个近邻格点，其坐标分别为：

(),0,0a ±，()0,,0a ±，()0,0,a ±

()

16y y x x z z ik a ik a ik a ik a ik a ik a

k e e e e e e γ---?=

+++++ ()()()

(

)

1

2cos 2cos 2cos 6k x y z k a k a k a γ?=++ 所以()

1k k zA εγ=-

()

23cos cos cos x y z A k a k a k a =---

证毕！

6.已知自旋波色散关系表达式为

()

1k k zA εγ=-，求证：二维正方晶格的色散关系是

()

22cos cos k x y A k a k a ε=--。

（提示：结构因子表达式为

1z ik k e

z ρ

ρ

γ?=∑r u r

）

证明：二维正方晶格共有4个近邻格点，其坐标分别为：

(),0a ±，()0,a ±

()

14y y x x ik a ik a

ik a ik a k e e e e γ--?=

+++ ()()(

)

1

2cos 2cos 4k x y k a k a γ?=+ 所以()

1k k zA εγ=-

()

22cos cos x y A k a k a =--

证毕！

三、计算题

1.用洪德法则计算单个离子

()

384Tb f +、

()

263Fe d +的磁矩大小，有时需适当考虑晶场对

轨道角动量的“冻结”影响，计算结果用玻尔磁子为单位。

（提示：题中括号里为离子未满壳层电子式：朗德因子计算公式为

()()()

()

111121J J J S S L L g J J +++-+=+

+。）

解：根据洪德法则，可知：

()

384Tb f +有：3S =, 3L =,由于超过半满所以6J L S =+=

()()()()1113

1212

J J J S S L L g J J +++-+?=+

=

+

9.722J J B B B g μμμ?==

=

()

263Fe d +有：2S =，由于3d 电子轨道角动量会被晶场冻结故0L =，超过半满

所以2J L S =+=

()()()

()

11112

21J J J S S L L g J J +++-+?=+

=+

4.9J J B B B

g μμ?===

2.用洪德法则计算单个离子

()

32Pr 4f +、

()

253Mn d +的磁矩大小，有时需适当考虑晶场对

轨道角动量的“冻结”影响，计算结果用玻尔磁子为单位。

（提示：题中括号里为离子未满壳层电子层；朗德因子计算公式为

()()()

()

111121J J J S S L L g J J +++-+=+

+。）

解：根据洪德法则，可知

()

32Pr 4f +有：1S =，5L =，由于少于半满所以4

J L S =-=

()()()()11141215J J J S S L L g J J +++-+?=+=

+

3.585J J B B B g μμμ?==

=

()25

3Mn

d +

有：

5

2S =

，由于3d 电子轨道角动量会被晶场冻结故0L =，等于半满

所以

52J L S =+=

()()()

()

11112

21J J J S S L L g J J +++-+?=+

=+

3J J B B B g μμ?===

3.设晶格中一格点自旋磁矩受到单轴各向异性作用，哈密顿量为：2

H D S τ∧

∧=-?,请根据经典

动力学方程eff

d S S h dt γ=?u r u r u u u r 和海森堡运动方程

1,d S S H dt i ∧∧??=????u r u r h 求该自旋磁矩的有效磁场eff

h u u u r 。

解：()()()z y x z y x eff y eff z eff z eff x eff x eff y eff d S S h S h S h i S h S h j S h S h k dt γγ??=?=-+-+-??

u r

u r u u u r r r r

自旋算符直接的对易关系为：S S i S ∧∧∧?=u r u r u r

h

所以222,,,,x z y z z z S H D S S i S S j S S k ∧∧∧∧∧∧∧∧??????????=-?++ ?

?????????????????

?u r r r r 而2,,,x z x z z z x z y z z y S S S S S S S S i S S S S ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧????????

=+=-+ ?

?????????????

?h 2,,,y z y z z z y z x z z x S S S S S S S S i S S S S ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧????????

=+=+ ?

?????????????

?h

1,y z z y x z z x d S S H D S S S S i D S S S S j dt i ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧??????==+-+ ? ?????????u r u r r r h

(

)2y z x z D S S i S S j

=-r r

比较（1）式和（2）式，可得：0

x y eff eff h h ==，

2z

eff z

h DS =

所以2eff z h DS k

=u u u r r

4. 设晶格中一格点自旋磁矩受到外加磁场作用，哈密顿量为：

z H S h

γ∧

∧

=-?，请根据经典

动力学方程eff

d S S h dt γ=?u r u r u u u r 和海森堡运动方程

1,d S S H dt i ∧∧??=????u r u r h 求该自旋磁矩的有效磁场eff

h u u u r 。

解：()()()z y x z y x

eff y eff z eff z eff x eff x eff y eff d S S h S h S h i S h S h j S h S h k dt γγ??=?=-+-+-??

u r

u r u u u r r r r

自旋算符直接的对易关系为：S S i S ∧∧∧?=u r u r u r h

所以,,,,x z y z z z S H h S S i S S j S S k γ∧∧∧∧∧∧∧∧??????????=-?++?? ?

???????????????

?u r r r r 而,x z y S S i S ∧∧∧

??

=-????h

,y z x S S i S ∧∧∧??

=????h

()

1,y x y x d S S H h S i S j hS i hS j dt i γγ∧∧∧∧????==-?-+=- ???????

u r u

r r r r r h 比较（1）式和（2）式，可得：0

x y

eff eff h h ==，

z

eff h h

=

所以

eff h hk

=u u u r r

5.已知磁性系统的哈密顿量为

235

,32ij i ij j i j z i j i B j i j f f i j ij ij r S r S S S H J S S D S g h S r r ωμ∧∧∧∧∧∧∧∧∧≠???????? ????????????=-?--?+-?? ?????

????∑∑∑∑u r u r r 试求作用在格点自旋上的有效磁场的表达式。

解：把自旋看作经典矢量，则哈密顿量可写为

j

eff

i i

H S H =-?∑u u r u u r

所以

i eff i H H S ?=-

?u u r

计算可得

()

351123j z z

eff ij ij J J J i B j i j i ij ij H J S DS e g h S S r r r r μω≠≠??=++--???

????∑∑u u r u r r r u r u r r r 6.证明自旋S u r 在磁场h r

作用下的进动圆频率

S h ωγ=

证明：在磁场中自旋受到力矩为S

S h γ?u r r

所以sin S S d S dS S h S h dt dt γγθ

=??=??u r

u r r

设时间dt 内自旋进动转过角度d ?，则有sin dS S d θ?=??

所以

S d h dt ?

ωγ=

=

证毕！

7.证明LLG 方程j f

i

eff j i d S d S S H S dt

dt α=?-?u u r u u r

u u r u u r u u r 可写成显示形式 ()

22211j j i j eff i eff i eff i d S S H S H S S H dt S ααα??=?-?+???

?+u u r

u u u u r u u u u r u u r u u r u u r u u r （提示：()()()

A B C A C B A B C

??=?-?u r u r u r u r u r u r u r u r u r ）

证明：以

i

S 左叉乘LLG 方程可得：

()i

i i i i i eff i i dS dS S S S H S S dt dt α??

?

=??-?? ??

?

()22

j

j i i

i eff j eff

i j

S dS S H S S H S S S dt dt α????=?--?-?? ?????

()22i i i

i eff j eff

dS S H S S H S dt α=?-+ 带回LLG 方程得()2

22

j

j i

i i i eff

i eff

j

eff

dS dS S H

S H

S

S H

S

dt

dt ααα=?-?+-

所以()22211i i i

i j eff j eff eff dS S H S H S H dt S ααα??=?-?+??+

证毕！

8.已知长波近似下自旋波的色散关系可写为2

k Dk ε=，证明一维磁性系统没有自发磁化的

磁有序相。

（提示：

()()1

1x x dx e αξαα-∞

=Γ-?

，其中黎曼函数()ξα=∞，1α≤）

证明：根据自旋波理论，每激发一支自旋波相当于晶格中一个自旋翻转

由玻色统计，温度为T 时，一维系统自旋波的数目为

2

121k Dk

k

L n dk e βπ

∞

=

-∑?

令2

x Dk β=，则()1

212dk Dk dx β-

=

1

11

2

2

2

111141422k x k

L

x L

n dx D e D ξπ

βπ

β-

∞

?????????=

=Γ=∞ ? ? ? ?-??????

??∑?

意味着低温下可有无限多个自旋翻转，系统无自发磁化。

9.已知长波近似下自旋波的色散关系可写为2k Dk ε=，证明三维磁性系统低温下自发磁化

与温度的关系满足

()()()()

()

3

2

000M T M M T T M M ?-=∝

（提示：

()()1

1x x dx e αξαα-∞

=Γ-?

）。1α>时，()ξα和()αΓ皆为有限值。

证明：由玻色统计，温度为T 时三维系统自旋波的数目为

()2

23

41

2k

Dk

k

V

k n

dk

e βππ∞

=

-∑?

令2

x Dk β=，则()1

212dk Dk dx β-

=

1

3

3

3

2

2

2

220

11

13341422k x k

V x n dx T D e D ξπβπ

β-

∞

??

???????==Γ∝ ? ? ?

?-????????∑?

根据自旋波理论，每激发一支自旋波相当于晶格中一个自旋翻转，则

()2k k M T NS S n ??

=- ?

??∑, ()0M NS =

所以()()()()()3

2

02

00k k

M T M M T n T M M N ?-==∝∑

证毕！