2017-2018学年上海市复旦附中高一(下)期末数学试卷及答案
2017-2018学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，若a4＝0，a6+a7＝10，则a7＝2．（3分）在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第项3．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，那么数列{a n}的通项公式为4．（3分）若在等比数列{a n}中，a1•a2…a9＝512，则a5＝5．（3分）方程（3cos x﹣1）（cos x+sin x）＝0的解集是6．（3分）若数列{a n}满足a1＝13，a n+1﹣a n＝n，则的最小值为7．（3分）若数列{a n}是等差数列，则数列（m∈N*）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n}是等比数列，则数列d n＝也是等比数列8．（3分）观察下列式子：，，，…，你可归纳出的不等式是．9．（3分）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝10．（3分）对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为11．（3分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S12的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝12．（3分）设n∈N*，用A n表示所有形如++…+的正整数集合，其中0≤r1＜r2＜…＜r n≤n，且r i∈N（i∈N*），b n为集合A n中的所有元素之和．则{b n}的通项公式为b n ＝．二.选择题13．（3分）“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）在数列{a n}中，a1＝1，a2＝64，且数列是等比数列，其公比，则数列{a n}的最大项等于（）A．a7B．a8C．a6或a9D．a1015．（3分）若数列，若k∈N*，则在下列数列中，可取遍数列{a n}前6项值的数列为（）A．{a2k+1}B．{a3k+1}C．{a4k+1}D．{a5k+1}16．（3分）数列{a n}中，若a1＝a，，n∈N*，则下列命题中真命题个数是（）（1）若数列{a n}为常数数列，则a＝±1；（2）若a∈（0，1），数列{a n}都是单调递增数列；（3）若a∉Z，任取{a n}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n＝1，2，…，9，则{}都是单调数列．A．0个B．1个C．2个D．3个三.解答题17．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a4a6＝96，a3+a7＝20，数列{b n}满足等式：（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．18．已知b、c为常数且均不为零，数列{a n}的通项公式为a n＝，并且a1、a3、a2成等差数列，a1、a2、a4成等比数列．（1）求b、c的值；（2）设S n是数列{a n}前n项的和，求使得不等式S2n＞20182成立的最小正整数n．19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n年末还款后此人在银行的欠款额为a n元．（1）设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；（2）求每年的还款额（精确到1元）．20．设数列{a n}的首项a1为常数，且a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*）．（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）S n是数列{a n}的前n项的和，若{S n}是递增数列，求a1的取值范围．21．如果数列{a n}对任意的n∈N*满足：a n+2+a n＞2a n+1，则称数列{a n}为“M数列”．（1）已知数列{a n}是“M数列”，设b n＝a n+1﹣a n，n∈N*，求证：数列{b n}是递增数列，并指出2（a5﹣a4）与a4﹣a2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n}是首项为1，公差为2d的等差数列，S n是其前n项的和，若数列{|S n|}是“M数列”，求d的取值范围；（3）已知数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由．2017-2018学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4＝0，a6+a7＝10，得2a4+5d＝10，即d＝2．∴a7＝a4+3d＝6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．2．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：a2﹣a1＝21，a3﹣a2＝22，a4﹣a3＝23，…依此类推可得a n﹣a n﹣1＝2n﹣1∴a2﹣a1+a3﹣a2+a4﹣a3…+a n﹣a n﹣1＝a n﹣a1＝21+22+23+…+2n﹣1＝2n﹣2∴a n﹣a1＝2n﹣2，a n＝2n﹣1，∴2n﹣1＝127，解得n＝7，故答案为：7【点评】本题主要考查了求数列的通项公式．关键推断{a n﹣a n﹣1}是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式．3．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，可得a1＝S1＝1﹣1＝0；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣1﹣（n﹣1）2+1＝2n﹣1，则a n＝，故答案为：a n＝．【点评】本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查运算能力，属于基础题．4．【考点】87：等比数列的性质．【解答】解：{a n}是等比数列，a m•a n＝a p•a q．由a1•a2…a9＝512，即，∴a5＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了等比数列的性质，是基础题．5．【考点】&5：三角方程；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：方程（3cos x﹣1）（cos x+sin x）＝0，整理得：（3cos x﹣1）•2sin（x+）＝0．故：cos x＝或sin（x+）＝0，解得：x＝或x＝﹣（k∈Z）．故方程的解集为{x|，x＝﹣，k∈Z}故答案为：{x|}，x＝﹣，k∈Z}【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，反三角的应用．6．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：数列{a n}满足a1＝13，a n+1﹣a n＝n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）＝13+1+2+…+（n﹣1）＝13+n（n﹣1），则＝n+﹣，由n+≥2＝，当且仅当n＝∉N*，由n＝5可得×5+﹣＝；由n＝6可得×6+﹣＝，则的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列恒等式，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．7．【考点】F3：类比推理．【解答】解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{a n}是等差数列，则当时，数列{b n}也是等差数列．类比推断：若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当d n＝时，数列{d n}也是等比数列．故答案为：【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．8．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：，＝，，…，可得1+ ++…+＞，故答案为：1+++…+＞【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于基础题9．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【解答】解：本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即3×5×7＝105，即数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23，故答案为：105n+23【点评】本题主要考查数列的概念，结合题意进行转化是解决本题的关键．10．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数为1+＝46，第10行的最后一个数无45+10＝55，且奇数为负数，偶数为正数，故第10行所有数的和为462﹣472+482﹣492+502﹣512+522﹣532+542﹣552＝﹣（46+47+48+49+50+51+52+53+54+55）＝﹣505，故答案为：505．【点评】本题考查数列中第10行所有数的和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．11．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：由a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2﹣a1＝a1，解得a2＝2a1＝2，又a3﹣a2∈{a1，a2}，可得a3＝a2+a1＝3或2a2＝4，又a4﹣a3∈{a1，a2，a3}，可得a4＝a3+a1＝4或5；a4＝a3+a2＝5或6；或a4＝2a3＝6或8；又a5﹣a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5＝a4+a1＝5或6或7；a5＝a4+a2＝6或7或8；a5＝a4+a3＝7或8或9或10或12；a5＝2a3＝8或10或12或16．综上可得S12的最大值a＝1+2+22+23+24+…+211＝＝4095，最小值为b＝1+2+3+4+5+…+12＝＝78．则a﹣b＝4095﹣78＝4017．故答案为：4017．【点评】本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．12．【考点】89：等比数列的前n项和．【解答】解：由题意可知，r1、r2、…、r n是0、1、2、…、n的一个排列，且集合A n中共有n+1个数，若把集合A n中每个数表示为++…+的形式，则20、21、22、…、2n每个数都出现n次，因此，＝，故答案为：n•（2n+1﹣1）．【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题．二.选择题13．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：若b是与的等差中项，则b＝＝1，若b是与的等比中项，则b＝±＝±1，则“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出b的值是解决本题的关键．14．【考点】87：等比数列的性质．【解答】解：∵在数列{a n}中，a1＝1，a2＝64，且数列是等比数列，其公比，∴＝×（﹣）n﹣1＝（﹣1）n﹣1•27﹣n．∴＝1×（﹣1）0+1+……+（n﹣2）×26+5+……+（8﹣n）＝，∵＝+．由n＝7或8时，＝﹣1，n＝6或9时，a6＝220＝a9，∴数列{a n}的最大项等于a6或a9．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、累乘求积方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【解答】解：∵数列，k∈N*，∴，，，，，＝cos，，∴{a n}是以6为周期的周期数列，∴{a5k+1}是可取遍数列{a n}前6项值的数列．故选：D．【点评】本题考查可取遍数列{a n}前6项值的数列的求法，考查数列的周期性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：数列{a n}中，若a1＝a，，n∈N*，（1）若数列{a n}为常数数列，则a2＝sin（a）＝a，解得a＝0或±1，故（1）不正确；（2）若a∈（0，1），a∈（0，），a2＝sin（a），由函数f（x）＝sin（x）﹣x，x∈（0，1），f′（x）＝cos（x）﹣1，由x∈（0，），可得极值点唯一且为m＝arccos，极值为f（m）＝﹣arccos＞0，由f（0）＝f（1）＝0，可得a2＞a1，则a3﹣a2＝sin（a2）﹣sin（a1）＞0，即有a3＞a2，…，由于a n∈（0，1），a n∈（0，），由正弦函数的单调性，可得a n+1＞a n，则数列{a n}都是单调递增数列，故（2）正确；（3）若a∈（0，1），任取{a n}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n＝1，2，…，9，{}是单调递增数列；由f（x）＝sin（x）﹣x，可得f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数；当0＜x＜1时，f（x）＞0，x＞1时，f（x）＜0；当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；x＜﹣1时，f（x）＞0，运用正弦函数的单调性可得0＜a＜1时，a＜﹣1时，数列{a n}单调递增；﹣1＜a＜0时，a＞1时，数列{a n}单调递减．数列{a n}都是单调递增数列，故（3）正确；故选：C．【点评】本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性，以及分类讨论思想方法，属于难题．三.解答题17．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由a3+a7＝20，得a4+a6＝20，又a4a6＝96，可得或．∵d＞0，∴，则d＝．∴a n＝a4+2（n﹣4）＝2n；（2）由（n∈N*），得（n≥2），∴，即（n≥2），∵满足上式，∴．则，∴数列的前n项和S n＝（b1+b2+…+b n）+＝．【点评】本题考查数列递推式，考查数列的分组求和，是中档题．18．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）∵a n＝，∴a1＝b﹣1，a2＝9c，a3＝3b﹣1，a4＝81c．∵a1、a3、a2成等差数列，a1、a2、a4成等比数列．∴2a3＝a1+a2，＝a1a4，∴2（3b﹣1）＝b﹣1+9c，81c2＝（b﹣1）×81c，b，c≠0．联立解得：b＝2，c＝1．（2）由（1）可得：a n＝，∴S2n＝（a1+a3+……+a2n﹣1）+（a2+a4+……+a2n）＝（1+5+……+4n﹣3）+（32+34+……+32n）＝+＝2n2﹣n+，由，解得n＞6．∴n＝7．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．【考点】8B：数列的应用．【解答】解：（1）a2＝100000×（1+5%）﹣m（1+5%）2﹣m＝110250﹣2.05m．（2）a10＝100000×（1.05）10﹣m×（1.05）9﹣m×（1.05）8﹣……﹣m＝0，100000×1.0510﹣＝0，解得：m＝≈12950．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【解答】解：（1）∵a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*），则时，＝＝＝﹣2，∴时，为等比数列，公比为﹣2．（2）由（1）可得：a n﹣＝×（﹣2）n﹣1，∴，n≥2，∴a2＞0，a3＞0，∴．【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【考点】8K：数列与不等式的综合．【解答】解：（1）证明：数列{a n}是“M数列”，可得a n+2+a n＞2a n+1，即a n+2﹣a n+1＞a n+1﹣a n，即b n+1＞b n，可得数列{b n}是递增数列；2（a5﹣a4）＞a4﹣a2；（2）数列{|S n|}是“M数列”，可得|S3|﹣|S2|＞|S2|﹣|S1|，即|S1|+|S3|＞2|S2|，可得1+|3+6d|＞2|2+2d|，即有或或，即d≤﹣1或﹣1＜d＜﹣或d＞0，可得；（3）数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，＞，运用数学归纳法证明：当n＝1时，u1＝，v1＝a2，显然a3﹣a2＞a2﹣a1即u1＞v1．设n＝k时，u k＞v k．即＞，可得k（a1+a3+…+a2k+1）＞（k+1）（a2+a4+…+a2k），当n＝k+1时，即证＞，即证（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），由（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＝k（a1+a3+…+a2k+1）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3，即证（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），即证（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，由a1+a2k+3＞a2+a2k+2，a3+a2k+3＞a4+a2k+2，…，a2k+3+a2k+1＞a2k+2+a2k+2，相加可得（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，则对一切n∈N*，有u n＞v n．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的证明和等差数列的通项公式和求和公式，以及数学归纳法的应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．。
2018复附高一数学期末考试卷(含解析)
。
4. 若在等比数列{an} 中， a1 a2 a9 512 ，则 a5
。
5. 方程 (3cos x 1)(cos x 3sin x) 0 的解集是
。
6.
若数列{an} 满足 a1 13 ， an1 an
n ，则 an n
的最小值为
。
7.
若数列{an} 是等差数列，则数列 bn
an1 anm m
。
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
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积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心 二. 选择题
选择菁英高中，成就名校梦想
13. “b 是1 3 与1 3 的等差中项”是“b 是 2 3 与 2 3 的等比中项”的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
（2）设 Sn 是数列{an} 前 n 项的和，求使得不等式 S2n 20182 成立的最小正整数 n.
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
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积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心
选择菁英高中，成就名校梦想
19. 王某 2017 年 12 月 31 日向银行贷款 100000 元，银行贷款年利率为 5%，若此贷款分十年
件的所有数列{an} 中， S12 的最大值为 a，最小值为 b，则 a b
。
12. 用 An 表示所有形如 2r1 2r2 2rn 的正整数集合，其中 0 r1 r2 rn n ， n N* 且
ri N (i N* ) ， bn 为集合 An 中的所有元素之和，则{bn} 的通项公式为 bn
21.（1） an2 an1 an1 an ，即 bn1 bn ， 2(a5 a4 ) a4 a2 ；
2017-2018学年上海复旦附中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A. B. C. D.2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A. B. C. D.3.如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lg x+lg y，那么正确的选项是（）A. 是区间上的减函数，且B. 是区间上的增函数，且C. 是区间上的减函数，且D. 是区间上的减函数，且4.若函数f（x）的反函数为f-1（x），则函数f（x-1）与f-1（x-1）的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.函数f（x）=的定义域是______．6.函数y=x2+2（-1≤x≤0）的反函数是f-1（x）=______．7.设，，则f（x）•g（x）=______．8.若正数a、b满足log a（4b）=-1，则a+b的最小值为______．9.幂函数f（x）=（t3-t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）=______．10.函数的单调递减区间是______．11.函数y=的值域是______．12.设关于x的方程|x2-6x+5|=a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能取值组合的集合为______．13.对于函数f（x）=x2+ax+4，若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）在x∈[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围______．14.若函数f（x）=|x-1|+m|x-2|+6|x-3|在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是______．15.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-ax+a，其中a∈R．①f（-1）=______；②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是______．16.已知函数，x∈[1，2]的最大值为f（t），则f（t）的解析式为f（t）=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知关于x的不等式log2（-2x2+3x+t）＜0，其中t∈R．（1）当t=0时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．18.已知函数（x＞0）．（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）；（2）若x≥2时，不等式＞恒成立，求实数a的范围．19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为，x∈[0，24），其中a是与气象有关的参数，且∈，．若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．（1）令t=，x∈[0，24），求t的取值范围；（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）≤2时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．20.指数函数y=g（x）满足g（2）=4，且定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数m、n的值；（2）若存在实数t，使得不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0成立，求实数k的取值范围．21.设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2（x1≠x2），都有＜．（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由；（2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）∉M；（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=＜也是M中的元素，并举例说明，G（x）=＞不一定是M中的元素．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.在（0，+∞）上是增函数，满足条件，B．y=（x-1）2在（-∞，1]上为减函数，在[1，+∞）上为增函数，不满足条件．C．y=x-2在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．D．y=log0.5（x+1）在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．故选：A根据函数单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数单调性的判断，根据常见函数的单调性是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】C【解析】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m]上上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是[1，2]．故选：C．本题利用数形结合法解决，作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，欲使函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m]上的上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，由x+y=xy得：，解得：x+y≥4．再由x+y=xy得：（x≠1）．设x1＞x2＞1，则=．因为x1＞x2＞1，所以x2-x10，x2-1＞0．则，即f（x1）＜f（x2）．所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．故选：C．由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．4.【答案】A【解析】解：函数f（x-1）是由f（x）向右平移一个单位得到，f-1（x-1）由f-1（x）向右平移一个单位得到，而f（x）和f-1（x）关于y=x对称，从而f（x-1）与f-1（x-1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x-1，排除B，D；A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得：A选项有可能，C 选项排除；故选：A．f（x）和f-1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a 个单位后，得到的图象的解析式为f（x-a）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．5.【答案】{x|x≥-2且x≠1}【解析】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥-2；故函数的定义域为：{x|x≥-2且x≠1}，故答案为：{x|x≥-2且x≠1}．由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．6.【答案】，x∈[2，3]【解析】解：∵y=x2+2（-1≤x≤0）∴x=-，2≤y≤3，故反函数为，x∈[2，3]．故答案为：，x∈[2，3]．由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．本题考查反函数的求法，考查计算能力，是基础题，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．7.【答案】x，x∈（1，+∞）【解析】解：∵，，∴f（x）的定义域是（1，+∞），g（x）的定义域是[1，+∞），∴f（x）•g（x）=x，x∈（1，+∞），故答案为：x，x∈（1，+∞）．根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的定义域，是一道基础题．8.【答案】1【解析】解：根据题意，若正数a、b满足log a（4b）=-1，则有a=，即ab=，则a+b≥2=1，即a+b的最小值为1；故答案为：1．根据题意，由对数的运算性质可得a=，即ab=，进而由基本不等式的性质可得a+b≥2=1，即可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及对数的运算性质，关键是分析a、b的关系．9.【答案】2【解析】解：函数f（x）=（t3-t+1）x3t+1是幂函数，∴t3-t+1=1，解得t=0或t=±1；当t=0时，f（x）=x是奇函数，满足题意；当t=1时，f（x）=x4是偶函数，不满足题意；当t=-1时，f（x）=x-2是偶函数，不满足题意；综上，f（x）=x；∴f（2）=2．故答案为：2．根据幂函数的定义求出t的值，再验证f（x）是否为奇函数，从而求出f（2）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．10.【答案】（-2，1]【解析】解：要求函数的单调递减区间，需求函数y=，（8+2x-x2＞0）的增区间，由8+2x-x2＞0可得-2＜x＜4，对应的二次函数，开口向下，增区间为：（1，4），减区间为：（-2，1]．由复合函数的单调性可知：函数的单调递减区间是：（-2，1]．故答案为：（-2，1]．由对数函数为增函数，要求复合函数的减区间，需求真数的减区间，分式的分母的增区间，利用函数的定义域以及二次函数的单调性转化求解即可．本题考查复合函数的单调性，分式函数、二次函数和对数函数的单调性，是中档题．11.【答案】（-1，）【解析】解：函数y===-1．∵2x+3＞3，∴0＜．∴函数y=的值域是（-1，）故答案为（-1，）分离常数后，根据指数函数的值域即可求函数y的范围．本题考查分离常数法转化为指数函数的值域的运用，属于基础题．12.【答案】{0，2，3，4}【解析】解：关于x的方程|x2-6x+5|=a，分别画出y=|x2-6x+5|与y=a的图象，如图：①若该方程没有实数根，则a＜0；n=0；②若a=0，则该方程恰有两个实数解，n=2；③若a=4时，该方程有三个不同的实数根，n=3；④当0＜a＜4，该方程有四个不同的实数根，n=4；⑤当a＞4，该方程有两个不同的实数根，n=2；n的可能取值组合的集合为{0，2，3，4}故答案为：{0，2，3，4}．将方程|x2-6x+5|=a的实数解的个数问题转化为函数图象的交点问题，作图分析即得答案．本题考查了根的存在性及根的个数判断．华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．13.【答案】，【解析】解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x=x2+ax+4在[1，3]有两个实数根，即x2+（a-1）x+4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g（x）=x2+（a-1）x+4．在[1，3]有两个不同交点，∴，即，解得：a∈[-，-3）；故答案为：[-，-3）．不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根．二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点，是指方程x=x2+ax+4有实根．即方程x=x2+ax+4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．14.【答案】[5，+∞）【解析】解：当x＜1时，f（x）=1-x+2m-mx+18-6x=19+2m-（m+7）x，当1≤x＜2时，f（x）=x-1+2m-m，x+18-6x=17+2m-（m+5）x，f（1）=12+m，2≤x＜3时，f（x）=x-1+mx-2m+18-6x=17-2m+（m-5）x，f（2）=7，当x≥3时，f（x）=x-1+mz-2m+6x-18=-19-2m+（m+7）x，f（3）=m+2，若函数f（x）=|x-1|+m|x-2|+6|x-3|在x=2时取得最小值，则解得m≥5，故m的取值范围为[5，+∞），故答案为：[5，+∞），根据条件可得，化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到则解得即可．本题考查了函数最值和绝对值函数，并考查了函数的单调性，属于中档题．15.【答案】-1；（-∞，0]∪[4，+∞）【解析】解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-ax+a，其中a∈R，f（-1）=-f（1）=-（1-a+a）=-1；②若f（x）的值域是R，由f（x）的图象关于原点对称，可得当x＞0时，f（x）=x2-ax+a，图象与x轴有交点，可得△=a2-4a≥0，解得a≥4或a≤0，即a的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）．故答案为：①-1 ②（-∞，0]∪[4，+∞）．①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与x轴有交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性的运用，考查函数的值域的应用，注意运用二次函数的性质和对称性，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】，，＜＜，【解析】解：根据题意，函数，其导数g′（x）=（t-1）+=，令h（x）=（t-1）x2+4，令h（x）=0，即（t-1）x2+4=0可得，x2=，分5种情况讨论，①，t＞1时，h（x）=（t-1）x2+4为开口向上的二次函数，在[1，2]上，有h（x）＞0，则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）=2（t-1）-=2t-4，②，t=1时，h（x）=4，在[1，2]上，有h（x）＞0，则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）=2（t-1）-=2t-4，③，0≤t＜1时，h（x）=（t-1）x2+4为开口向下的二次函数，且h（0）=4，且h（2）=t ＞0，则在[1，2]上，有h（x）＞0，则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）=2（t-1）-=2t-4，④，当-3＜t＜0时，h（x）=（t-1）x2+4为开口向下的二次函数，令h（x）=0，即（t-1）x2+4=0可得x=±，有1＜＜2，则有在[1，）上，有h（x）＞0，则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，在（，2]上，有h（x）＜0，则有g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，此时g（x）在[1，2]上的最大值为g（）=-4，⑤，当t≤-3时，h（x）=（t-1）x2+4为开口向下的二次函数，令h（x）=0，即（t-1）x2+4=0可得x=±，此时≤1，在[1，2]上，有h（x）＜0，则有g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，此时g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）=t-5；综合可得：；故答案为：．根据题意，由函数g（x）的解析式，对其求导可得数g′（x）=（t-1）+=，令h（x）=（t-1）x2+4，结合二次函数的性质，对t分5种情况讨论，每种情况下，分析h（x）的符号，即可得g′（x）的符号，分析可得函数g（x）的单调性，即可得g（x）在区间[1，2]上的最大值，综合即可得答案．本题考查函数最值的计算，涉及函数导数的性质以及应用，注意对k进行分类讨论．17.【答案】解：（1）关于x的不等式log2（-2x2+3x+t）＜0，当t=0时，不等式为log2（-2x2+3x）＜0，即0＜-2x2+3x＜1，等价于，解得＜＜＜或＞，即0＜x＜或1＜x＜；∴不等式的解集为（0，）∪（1，）；（2）不等式log2（-2x2+3x+t）＜0有解，∴0＜-2x2+3x+t＜1，化为2x2-3x＜t＜2x2-3x+1；设f（x）=2x2-3x，x∈R，∴f（x）min=f（）=-，且f（x）无最大值；∴实数t的取值范围是（-，+∞）．【解析】（1）t=0时不等式为log2（-2x2+3x）＜0，化为0＜-2x2+3x＜1，求出解集即可；（2）由不等式log2（-2x2+3x+t）＜0有解，得出0＜-2x2+3x+t＜1，化为2x2-3x＜t＜2x2-3x+1；设f（x）=2x2-3x，求出f（x）min即可得出结论．本题考查了对数函数的定义与不等式的解法和应用问题，是中档题．18.【答案】解：（1）∵y=（）2=（1+）2（x＞0）．∴y＞1（2分）由原式有：=，∴x+1=x∴x=（2分）∴f-1（x）=，x∈（1，+∞）（2分）（2）∵（x-1）f-1（x）＞a（a-）∴（x-1）＞a（a-）（x＞0）∴（+1）（-1）＞a（a-）∴+1＞a2-a∴（a+1）＞a2-1（2分）①当a+1＞0即a＞-1时＞a-1对x≥2恒成立-1＜a＜+1②当a+1＜0即a＜-1时＜a-1对x≥2恒成立∴a＞+1此时无解（3分）综上-1＜a＜+1．（1分）a∈，．【解析】（1）从条件中函数式f（x）=（）2=y，（x＞0）中反解出x，再将x，y互换即得f（x）的反函数f-1（x）．（2）利用（1）的结论，将不等式（x-1）f-1（x）＞a（a-）化成（a+1）＞a2-1，下面对a分类讨论：①当a+1＞0；②当a+1＜0．分别求出求实数a的取值范围，最后求它们的并集即可．本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．19.【答案】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（9分）．解：（1）当x=0时，t=0；…（2分）当0＜x＜24时，因为x2+1≥2x＞0，所以＜，…（4分）即t的取值范围是，．…（5分）（2）当∈，时，由（1），令，则∈，，…（1分）所以=，，＜…（3分）于是，g（t）在t∈[0，a]时是关于t的减函数，在∈，时是增函数，因为，，由，所以，当时，；当＜时，，即，，＜…（6分）由M（a）≤2，解得．…（8分）所以，当∈，时，综合污染指数不超标．…（9分）【解析】（1）利用取倒数，求导数，确定函数的单调性，可得t的取值范围；（2）分段求出每天的综合放射性污染指数不超过2时a的范围，即可得到结论．本题主要考查了函数模型的选择与应用及分类讨论的思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，∴g（x）=2x；∴f（x）=是奇函数．∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，即=0，∴n=1；∴f（x）=，又由f（1）=-f（-1）知=-，∴m=2；（2）由（1）知f（x）==-=-+易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．又∵f（x）是奇函数，从而不等式：f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0等价于f（t2-2t）＞-f（2t2-k）=f（k-2t2），∵f（x）为减函数，∴t2-2t＜k-2t2，∴k＞3t2-2t=3（t-）2-，∴k＞-．【解析】（1）根据指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；由题意知f（0）=0，f（1）=-f（-1），解方程组即可求出m，n的值；（2）由已知易知函数f（x）在定义域f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．我们可将f （t2-2t）+f（2t2-k）＞0转化为k＞3t2-2t，根据二次函数的性质即可得到实数k的取值范围．本题考查的知识点：待定系数法求指数函数的解析式，函数的奇偶性和函数单调性的性质，体现了转化的思想，考查了运算能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，属中档题．21.【答案】解：（1）函数f（x）=x2的定义域为R，由f（x1）+f（x2）=x12+x22，f（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x1x2+x22，f（x1+x2）-f（x1）-f（x2）=-x12+x1x2-x22=-（x1-x2）2＜0，即有f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），则函数f（x）=x2为M中元素；（2）证明：函数f（x）是奇函数，定义域为R，且f（-x）=-f（x），图象关于原点对称，若x＞0时，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），则x＜0时，f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2），则条件②不满足，则f（x）∉M；（3）证明：设f（x）和g（x）都是M中的元素，当x1，x2对应的点在f（x）或g（x）的图象上，由题设可得结论成立；若x1，x2对应的点一个在f（x）图象上，一个在g（x）的图象上，由f（x1）+g（x2）＞g（x1）+g（x2）＞g（x1+x2），或f（x1）+g（x2）＞f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），由题设可得结论成立，综上可得F（x）=＜也是M中的元素；比如：f（x）=x2，g（x）=（x+3）2，如x≥-1.5，可得G（x）=x2，x＜-1.5，可得G（x）=（x+3）2，取x1=-2，x2=-1，可得x1+x2=-，G（-）=，f（x1）+f（x2）=+=1，可得f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2），则G（x）不一定为M中的元素．【解析】（1）函数f（x）=x2的定义域为R，运用作差法结合新定义，即可得到结论；（2）运用奇函数的图象关于宇原点对称，即可得证；（3）运用新定义和分类讨论，即可得证；举例f（x）=x2，g（x）=（x+3）2，如x≥-1.5，可得G（x）=x2，x＜-1.5，可得G（x）=（x+3）2，取x1=-2，x2=-1，即可得到结论．本题考查新定义的理解和运用，考查作差法和举反例法，考查推理能力和运算能力，属于中档题．。
复旦大学附属中学2017-2018学所第一学期-数学
复旦大学附属中学2017-2018学所第一学期高一年级数学期末考试试卷（满分：120分 考试时间：100分钟 所有答案都写在答题纸相应位置上） 一、填空题（每题4分，共48分）1．函数()()lg 12+=-x f x x 的定义域为__________。
2．设函数()2211222+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩x x f x x x x x ，若()3=f x ，则=x __________。
3．已知幂函数()α=f x x 是偶函数，在[)0,+∞上递增的，且满足1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f 。
请写出一个满足条件的α的值，α=__________。
4．函数()()01=>+xf x x x 的反函数为()1-=f x __________ 5．函数()212log 23=--y x x 的递增区间是__________6．函数13⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 的图像与函数3log =-y x 的图像关于直线__________对称。
7．已知5log 3=a ，57=b ，则用a ，b 的代数式表示63log 105=__________。
8．方程：()()2122log 26log 21+-=++x x x 的解为__________。
9．若函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R ，则实数a 的取值范围是__________10．若函数()232622⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩xx ax x f x x 的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为__________。
11．已知函数()10lg 0⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩x x f x x x ，若方程()=f x a 有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x 。
则1234+++x x x x 的取值范围为__________。
12．已知函数⑴()3ln =f x x ；⑵()231=+f x x ；⑶()3=x f x e ；⑷()3=f x x。
〖数学期末〗2017-2018学年高一下期末考试数学试题含答案
2017-2018学年下期期末考试高一数学试题卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.0sin 585的值为（ ）A ．2 B ．2- C ．2.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3. ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．202sin 151- D ．2020sin 15cos 15+4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（ ）A ．19，13B ．13，19 C.19，18 D ．18，195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A ．23 B ．25 C. 12 D ．136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∙+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是（ ）A ．B ． C.D ．7.设单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）A ．34 B ．537 C.37．378.如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ）A ．10?k <B ．10?k > C. 11?k < D ．11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（ ） A ．18 B ．1136 C.14 D ．156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称，则ϕ可能取值是（ ）A ．2π B ．12π- C.6π D ．6π- 11.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ，若3OC mOA mOB =+，AP AB λ=，则λ=（ ）A ．56 B ．45 C.34 D ．2512.已知平面上的两个向量OA 和OB 满足cos OA α=，sin OB α=，[0,]2πα∈，0OA OB ⋅=，若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，且22221(21)cos 2(21)sin 4λαμα-+-=，则OC 的最大值是（ ） A ．32 B ．34 C.35 D ．37第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知tan 4α=，tan()3πβ-=，则tan()αβ+ ．14.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8xy = ． 15.已知ABC ∆的三边长4AC =，3BC =，5AB =，P 为AB 边上的任意一点，则()CP BC BA -的最小值为 ．16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位，再向下平移2个单位，得到()g x 的图像，若12()()16g x g x =，且1x ，2[2,2]x ππ∈-，则122x x -的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-. （I ）求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 （II ）若()a a b λ⊥-，求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式 （II ）将()f x 的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图像，求()y g x =的图像离y 轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利y （元）与该周每天销售这种商品数x 之间的一组数据关系如表：（I ）画出散点图；（II ）求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程；（III ）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？ 附注：721280ii x==∑，721()27i i x x =-=∑，713076i i i x y ==∑，72134992i i y ==∑，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. 在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上.（I ）若点F 是CD 上靠近C 的四等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ的值； （II ）若3AB =，4BC =，当2AE BE =时，求DF 的长.21.某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示. （I ）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数； （II ）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率.22.已知函数21()sin cos 2f x x x x ωωω=+（0ω>），()y f x =的图象与直线2y =相交，且两相邻交点之间的距离为x . （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）已知,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域； （III ）求函数()f x 的单调区间并判断其单调性.试卷答案一、选择题1-5:BABCB 6-10:BDADC 11、12：CB 二、填空题 13.113 14.60 15.16- 16.5512π 三、解答题17.解：（1）()4,2a b -=-，设a b -与a 的夹角为θ，所以()()2(3)(2)44cos a a b bb b θ-⋅⨯-+-⨯===- ， （2）()13,24a b λλλ-=+-()a ab λ⊥-，∴()0a a b λ⋅-= ()()1132240λλ∴⨯++⨯-=，解得1λ=18.．．．解：．．(1)．．．根据表中已知数据，解得．．．．．．．．．．．5A ＝，．2ω=，．6πϕ=-.．数据补全如下表：．．．．．．．．且函数表达式为．．．．．．．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫-⎪⎝⎭.．(2)．．．由．(1)．．．知．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫-⎪⎝⎭，．因此．．g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.． 因为．．y sinx ＝的对称中心为．．．．．．(,2)k π ，．k Z ∈，令．．2x+=k 6ππ，．k Z ∈，解得．．．x=212k ππ-，．k Z ∈，．即．()y g x ＝图象的对称中心为．．．．．．．．222kx π（-，），．k Z ∈，其中离．．．．y 轴最近的对称中心为．．．．．．．．．(,2)12π-.． 19.解：(1)（2）712723456789675659637179808270730767670136 4.92807362813670640.928i ii iix y x y nx yb xnxa y bx =++++++==++++++==--⨯⨯∴===≈-⨯-∴=-=-⨯≈∑∑∴回归方程为： 4.940.9y x ∧=+（3）当12x -时 4.91240.999.7y ∧=⨯+=所以估计当每天销售的简述为12件时，周内获得的纯利润为99.7元.20.解：（1）EF EC CF =+，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，所以1124EF EC CF BC CD =+=+，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-， 所以，1142EF AB AD =-+，即14λ=-，12μ=，则18λμ⋅=-. （2）设DF mDC =(0)m >，则(1)CF m DC =-，1122AE AB BC AB AD =+=+， (1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+，又0AB AD ⋅=， 所以1()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+221(1)2m AB AD =-+9(1)82m =-+=， 解得13m =，所以DF 的长为1． 21.解：（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=，则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=．（2）由分层抽样知识可知，成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人．记成绩在[)70,80的3人为a ，b ，c ，成绩在[)80,90的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ，(,,)b c d ，(,,)c a d ，(,,)a b e ，(,,)b c e (,,)c a e ，(,,)a b f ，(,,)b c f ，(,,)c a f 共9种，所以恰好抽中1名优秀生的概率为920P =．22.解：（1）()211cos2ωx 1sin 21sin(2)2226f x x xcos x x x πωωωωω-=+==+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π，则T π=，所以1ω=（2）7131[,]2[,]sin(2)[1,]266662x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-()f x ∴的值域是1[,2]2（3）令222()262kx x kx k Z πππ-≤+≤+∈，则()36kx x kx k Z ππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3222(),262kx x kx k Z πππ+≤+≤+∈则2()63kx x kx k Z ππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。
上海中学2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=．2．=．3．若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11=44，则a3+a5+a10=．=（n≥1），则a2016=．4．设数列{a n}满足：a1=，a n+15．已知数列{a n}满足：a n=n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n=．=9•（n≥1），则a n=．6．已知数列{a n}满足：a1=3，a n+17．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=．8．等比数列{a n}，a1=3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3=．9．定义在R上的函数f（x）=，S n=f（）+f（）+…+f（），n=2，3，…，则S n=．10．设x1，x2是方程x2﹣xsin+cos=0的两个根，则arctanx1+arctanx2的值为．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n=，则S2016=．12．设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n=1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第项．二、选择题.13．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2n•1•3•…•（2n﹣1）”，当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为（）A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．14．一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞15．等差数列{a n }中，a 5＜0，且a 6＞0，且a 6＞|a 5|，S n 是其前n 项和，则下列判断正确的是（ ）A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6，…均大于0B ．S 1，S 2，…，S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11，…均大于0D ．S 1，S 2，…，S 11均小于0，S 12，S 13，…均大于016．若数列{a n }的通项公式是a n =，n=1，2，…，则（a 1+a 2+…+a n ）等于（ ）A ．B ．C ．D ．17．已知=1，那么（sin θ+2）2（cos θ+1）的值为（ ） A ．9B ．8C ．12D ．不确定18．已知f （n ）=（2n +7）•3n +9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f （n ），则最大的m 的值为（ ） A ．30 B ．26 C ．36 D ．6三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n ﹣1）2+n 2+（n ﹣1）2+…+32+22+12=n （2n 2+1） 20．已知数列{a n }满足a 1=1，其前n 项和是S n 对任意正整数n ，S n =n 2a n ，求此数列的通项公式．21．已知方程cos2x +sin2x=k +1．（1）k 为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．22．设数列{a n }满足a 1=2，a 2=6，a n +2=2a n +1﹣a n +2（n ∈N*）． （1）证明：数列{a n +1﹣a n }是等差数列；（2）求：++…+．23．数列{a n }，{b n }满足，且a 1=2，b 1=4．（1）证明：{a n +1﹣2a n }为等比数列； （2）求{a n }，{b n }的通项．24．已知数列{a n }是等比数列，且a 2=4，a 5=32，数列{b n }满足：对于任意n ∈N*，有a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{d n }满足：d 1=6，d n •d n +1=6a •（﹣）（a ＞0），设T n =d 1d 2d 3…d n （n ∈N*），当且仅当n=8时，T n 取得最大值，求a 的取值范围．2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=．【考点】反三角函数的运用．【分析】利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值．【解答】解：arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=﹣arcsin（）+π﹣arccos﹣arctan=﹣+（π﹣）﹣=，故答案为：．2．=5．【考点】数列的极限．【分析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】解：====5．故答案为：5．3．若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11=44，则a3+a5+a10=33．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4+a7+a11=44=4a1+20d，∴a1+5d=11．则a3+a5+a10=3a1+15d=3（a1+5d）=33．故答案为：33．4．设数列{a n}满足：a1=，a n+1=（n≥1），则a2016=2．【考点】数列递推式．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，a2===3，a3===﹣2，a4===，a5===2，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2016=504×4，∴a2016=a4=2，故答案为：2．5．已知数列{a n}满足：a n=n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n=•3n+1+．【考点】数列的求和．【分析】利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=n•3n，则此数列的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3S n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=（﹣n）3n+1﹣，∴S n=•3n+1+．故答案为：•3n+1+．6．已知数列{a n}满足：a1=3，a n=9•（n≥1），则a n=27．+1【考点】数列的极限．【分析】把已知数列递推式两边取常用对数，然后构造等比数列，求出数列{a n}的通项公式，则极限可求．=9•（n≥1），得，【解答】解：由a n+1即，令b n=lga n，则，∴，则数列{b n﹣3lg3}是以b1﹣3lg3=lga1﹣3lg3=﹣2lg3为首项，以为公比的等比数列，∴，即，∴，则a n==103lg3=10lg27=27．故答案为：27．7．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=．【考点】等差数列的性质．【分析】由{a n}，{b n}为等差数列，且其前n项和满足若=，设S n=kn×2n，T n=kn（3n+1）（k≠0），则利用递推关系可得：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1；当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1．代入即可得出．【解答】解：∵{a n}，{b n}为等差数列，且其前n项和满足若=，∴设S n=kn×2n，T n=kn（3n+1）（k≠0），则当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4kn﹣2k；当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=6kn﹣2k．∴==，故答案为：．8．等比数列{a n}，a1=3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3=．【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由题意列式求得q，代入等比数列的通项公式得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意，，即，∴，得，∵a 1=3﹣5，∴，则q=9，∴．故答案为：．9．定义在R 上的函数f （x ）=，S n =f （）+f （）+…+f （），n=2，3，…，则S n =2n ﹣2 ．【考点】数列的求和．【分析】由已知得f （x ）+f （1﹣x ）=4，由此能求出S n =f （）+f （）+…+f （）的值．【解答】解：∵f （x ）=，∴f （1﹣x ）===，∴f （x ）+f （1﹣x ）=4，∴S n =f （）+f （）+…+f （）=4×=2n ﹣2．故答案为：2n ﹣2．10．设x 1，x 2是方程x 2﹣xsin +cos=0的两个根，则arctanx 1+arctanx 2的值为．【考点】反三角函数的运用．【分析】由条件利用韦达定理求得x 1+x 2 =sin，x 1•x 2=cos，再利用两角和的正切公式求得tan （arctanx 1+arctanx 2）的值，可得arctanx 1+arctanx 2 的值．【解答】解：由x 1、x 2是方程x 2﹣xsin +cos=0的两根，可得x 1+x 2 =sin，x 1•x 2=cos，故x 1、x 2均大于零，故arctanx 1+arctanx 2∈（0，π），且tan（arctanx1+arctanx2）===cotπ=tan（﹣π），∴arctanx1+arctanx2=．故答案为：．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n=，则S2016=．【考点】数列的求和．【分析】将a n=分子分母同乘，再使用裂项法得出a n=（﹣），从而得出S2016的值．【解答】解：a n===（﹣）．∴S2016=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）= [1﹣（）]==．故答案为：．12．设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n=1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．【考点】数列的求和．【分析】由题意可得：a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）=1，可得a1=，a2=．…，猜想：a n=．验证：成立．可得n＜=＜n+1，进而得到＜S n＜，即可得出．【解答】解：由题意可得：a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）=1，n=1时，a1+a1=1，解得a1=．n=2时，a1+a2+a1•（a1+a2）=1，解得a2=．…，猜想：a n=．验证：a1+a2+…+a n=++…+==．∴a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）=××…×=．∴a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）=+=1．∴n＜=＜n+1，∴＜S n＜，∴2016＜S63＜2080，∴数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．故答案为：63．二、选择题.13．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2n•1•3•…•（2n﹣1）”，当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为（）A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．【考点】数学归纳法．【分析】分别求出n=k时左端的表达式，和n=k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．【解答】解：当n=k时，左端=（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n=k+1时，左端=（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为=2（2k+1），故选B．14．一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞【考点】等比数列的通项公式．【分析】设三边分别为：，a，aq，（a，q＞0）．分类讨论：q≥1时， +a＞aq；0＜q＜1时，＜a+aq，分别解出即可得出．【解答】解：设三边分别为：，a，aq，（a，q＞0）．则q≥1时， +a＞aq，解得：．0＜q＜1时，＜a+aq，解得：＜q＜1．综上可得：公比q的范围是．故选：C．15．等差数列{a n}中，a5＜0，且a6＞0，且a6＞|a5|，S n是其前n项和，则下列判断正确的是（）A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0B．S1，S2，…，S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11，…均大于0D．S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于0【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】由a5＜0，a6＞0且a6＞|a5|可得d=a6﹣a5＞0，a5+a6＞0，2a5＜0，2a6＞0，结合等差数列的求和公式及性质可判断．【解答】解：∵a5＜0，a6＞0且a6＞|a5|∴d=a6﹣a5＞0∴数列的前5项都为负数∵a5+a6＞0，2a5＜0，2a6＞0由等差数列的性质及求和公式可得，S9==9a5＜0S10=5（a1+a10）=5（a5+a6）＞0由公差d＞0可知，S1，S2，S3…S9均小于0，S10，S11…都大于0．故选：C．16．若数列{a n}的通项公式是a n=，n=1，2，…，则（a1+a2+…+a n）等于（）A．B．C．D．【考点】数列递推式；极限及其运算．【分析】由题意知a n=由此可知（a1+a2++a n）=+，计算可得答案．【解答】解：a n=即a n=∴a1+a2+…+a n=（2﹣1+2﹣3+2﹣5+）+（3﹣2+3﹣4+3﹣6+）．∴（a1+a2+…+a n）=+=，故选C．17．已知=1，那么（sinθ+2）2（cosθ+1）的值为（）A．9 B．8 C．12 D．不确定【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先将已知等式变形化简得到sinθ=1+cot2014θ，利用正弦函数的有界性，得到sinθ=1，cosθ=0，可求结果．【解答】解：将=1，变形得：sinθ+1=cot2016θ+2，整理得sinθ=1+cot2016θ≤1，即cot2016θ≤0，又∵cot2016θ≥0所以cot2016θ=0，所以cosθ=0，sinθ=1，所以（sinθ+2）2（cosθ+1）=（1+2）2=9；故选：A．18．已知f（n）=（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）A．30 B．26 C．36 D．6【考点】数学归纳法．【分析】依题意，可求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，从而可猜得最大的m的值为36，再利用数学归纳法证明即可．【解答】解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除；当n=k+1时，[2（k+1）+7]•3k+1+9=3[（2k+7）•3k+9]﹣18+2×3k+1=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k﹣1﹣1），∵3k﹣1﹣1是2的倍数，∴18（3k﹣1﹣1）能被36整除，∴当n=k+1时，f（n）也能被36整除．由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36．三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+32+22+12=n（2n2+1）【考点】数学归纳法．【分析】用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．【解答】证明：利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，左边=1=右边，此时等式成立；（2）假设当n=k∈N*时，12+22+32+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+32+22+12=k（2k2+1）（k∈N*）成立．则当n=k+1时，左边=12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+22+12=k（2k2+1）+（k+1）2+k2=（k+1）[2（k+1）2+1]=右边，∴当n=k+1时，等式成立．根据（1）和（2），可知对n∈N*等式成立．20．已知数列{a n}满足a1=1，其前n项和是S n对任意正整数n，S n=n2a n，求此数列的通项公式．【考点】数列递推式．【分析】由S n =n 2a n ，可得n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为： =．利用“累乘求积”方法即可得出．【解答】解：∵S n =n 2a n ，∴n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2a n ﹣（n ﹣1）2a n ﹣1，化为：=．∴a n =••…••a 1=••…•××1=，n=1时也成立．∴a n =．21．已知方程cos2x +sin2x=k +1．（1）k 为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）令f （x ）=cos2x +sin2x=2sin （2x +），根据函数图象判断k 的范围；（2）求出f （x ）在[0，]上的对称轴，根据图象的对称性得出α+β的值．【解答】解：（1）令f （x ）=cos2x +sin2x=2sin （2x +），作出f （x ）在[0，]上的函数图象如图所示：由图象可知当1≤k +1＜2即0≤k ＜1时，f （x ）=k +1有两个相异的解．（2）令2x +=+k π，解得x=+，∴f （x ）在[0，上的对称轴为x=，∴α+β=．22．设数列{a n }满足a 1=2，a 2=6，a n +2=2a n +1﹣a n +2（n ∈N*）． （1）证明：数列{a n +1﹣a n }是等差数列；（2）求：++…+．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【分析】（1）由a n +2=2a n +1﹣a n +2，变形为（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）=2，a 2﹣a 1=4，即可证明．（2）由（1）可得：a n +1﹣a n =4+2（n ﹣1）=2n +2．利用a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1可得a n ．再利用“裂项求和”方法即可得出． 【解答】（1）证明：∵a n +2=2a n +1﹣a n +2，∴（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）=2，a 2﹣a 1=4，∴数列{a n +1﹣a n }是等差数列，首项为4，公差为2． （2）解：由（1）可得：a n +1﹣a n =4+2（n ﹣1）=2n +2． ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2n +2（n ﹣1）+…+2×2+2==n 2+n ．∴==．∴++…+=++…+=1﹣=．23．数列{a n }，{b n }满足，且a 1=2，b 1=4．（1）证明：{a n +1﹣2a n }为等比数列； （2）求{a n }，{b n }的通项． 【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）由a n +1=﹣a n ﹣2b n ，可得：b n =，b n +1=﹣，代入b n +1=6a n +6b n ，化简整理可得：a n +2﹣2a n +1=3（a n +1﹣2a n ），即可证明．（2）由（1）可得：a n +1﹣2a n =﹣14×3n ﹣1．化为：a n +1+14×3n =2，利用等比数列的通项公式可得：a n ，进而得到b n ．【解答】（1）证明：由a n +1=﹣a n ﹣2b n ，可得：b n =，∴b n +1=﹣，代入b n +1=6a n +6b n ，可得：﹣=6a n+6×（），化为：a n+2﹣2a n+1=3（a n+1﹣2a n）．a2=﹣2﹣2×4=﹣10，a2﹣2a1=﹣14，∴{a n+1﹣2a n}为等比数列，首项为﹣14，公比为3．（2）解：由（1）可得：a n+1﹣2a n=﹣14×3n﹣1．化为：a n+1+14×3n=2，∴数列是等比数列，首项为16，公比为2．∴a n+14×3n﹣1=16×2n﹣1，可得a n=2n+3﹣14×3n﹣1．∴b n=﹣=28×3n﹣1﹣3×2n+2．24．已知数列{a n}是等比数列，且a2=4，a5=32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{d n}满足：d1=6，d n•d n+1=6a•（﹣）（a＞0），设T n=d1d2d3…d n（n∈N*），当且仅当n=8时，T n取得最大值，求a的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的应用．【分析】（1）通过a2=4、a5=32，利用等差数列性质可知：a5=a2•q3=32，即可求得q的值，求得a1=2，由等比数列通项公式即可求得数列{a n}的通项公式；（2）通过a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2与a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n+2作差，通过a n=2n，即可求得数列{b n}的通项公式，由c n=d n•d n+1，T n=d1d2d3…d n=，由题意可知：当n≤7时，|c n|＞1，当n≥8时，|c n|＜1，列方程即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵a2=4，a5=32，由等比数列性质可知：a5=a2•q3=32，∴q3=8，q=2，∴a1=2，∴由等比数列通项公式可知：a n=2×2n﹣1=2n，数列{a n}的通项公式a n=2n；（2）∵a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2，∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n+2，两式相减得：a n b n=（n﹣1）•2n+1+2﹣（n﹣2）•2n+2=n•2n，即b n==n（n≥2），又∵a1b1=2，即b1=1满足上式，∴b n=n；（2）令c n=d n•d n+1=6a•（﹣）n（a＞0），T n=d1d2d3…d n=，由当且仅当n=8时，T n取得最大值，∴|T2|＜|T4|＜|T6|＜|T8|＞|T10|＞…，|T1|＜|T3|＜|T5|＜|T7|＞…＞|T11|＞…．当n≤7时，|c n|＞1，当n≥8时，|c n|＜1，∴6a＞27，即a＞，6a＜28，即a＜，∴a的取值范围（，）．2016年12月1日。
上海市复旦大学附属中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
是符合题目要求的.
13.对于函数 f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是( )
A. f(x)在（ ， ）上是递增的
42 C. f(x)的最小正周期为 2
【答案】B
B. f(x)的图象关于原点对称 D. f(x)的最大值为 2
【解析】
【详解】解:
,是周期为 的奇函数,
对于 A,
在
上是递减的,错误;
【解析】
【分析】
先将 x 的表示形式求解出来，然后根据范围求出 x 的可取值.
【详解】因为 cos(x ) 1 ，所以 x 2k , k Z ，又因为 x [0, ] ，所以 k 0 ，
32
33
此时
x
0或
2 3
，则可得集合：{0, 2 } . 3
【点睛】本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.
考点：函数
的对称性、周期性，属于中档题.
11.由正整数组成的数列an ，bn 分别为递增的等差数列、等比数列， a1 b1 1 ，记
cn an bn ，若存在正整数 k （ k 2 ）满足 ck1 100 ， ck1 1000 ，则 ck __________．
【答案】262
【解析】
上海市复旦大学附属中学 2018-2019 学年高一数学下学期期末考试试
题（含解析）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，将答案填在答题纸上）
1.计算 lim 2n 3 __________． n 3n 1 2
【答案】
3
【解析】
【分析】
采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.
解得 d
k 0 不符，当
q
3 9 时，解得 d
上海中学2017-2018学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析.pdf
2017-2018学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．arcsin （﹣）+arccos （﹣）+arctan （﹣）=．2．=．3．若数列{a n }为等差数列．且满足a 2+a 4+a 7+a 11=44，则a 3+a 5+a 10=．4．设数列{a n }满足：a 1=，a n +1=（n ≥1），则a 2016=．5．已知数列{a n }满足：a n =n ?3n （n ∈N *），则此数列前n 项和为S n =．6．已知数列{a n }满足：a 1=3，a n +1=9?（n ≥1），则a n =．7．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若=，则=．8．等比数列{a n }，a 1=3﹣5，前8项的几何平均为9，则a 3=．9．定义在R 上的函数f （x ）=，S n =f （）+f （）+…+f （），n=2，3，…，则S n =．10．设x 1，x 2是方程x 2﹣xsin +cos =0的两个根，则arctanx 1+arctanx 2的值为．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n =，则S 2016=．12．设正数数列{a n }的前n 项和为b n ，数列{b n }的前n 项之积为c n ，且b n +c n =1，则数列{}的前n 项和S n 中大于2016的最小项为第项．二、选择题.13．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）?…？（n+n ）=2n ?1?3?…？（2n ﹣1）”，当“n 从k 到k+1”左端需增乘的代数式为（）A ．2k +1B ．2（2k +1）C ．D ．14．一个三角形的三边成等比数列，则公比q 的范围是（）A ．q ＞B ．q ＜C ．＜q ＜D ．q ＜或q ＞15．等差数列{a n }中，a 5＜0，且a 6＞0，且a 6＞|a 5|，S n 是其前n 项和，则下列判断正确的是（）A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6，…均大于0 B ．S 1，S 2，…，S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11，…均大于0D ．S 1，S 2，…，S 11均小于0，S 12，S 13，…均大于0 16．若数列{a n }的通项公式是a n =，n=1，2，…，则（a 1+a 2+…+a n ）等于（）A ．B ．C ．D ．17．已知=1，那么（sin θ+2）2（cos θ+1）的值为（）A ．9 B ．8 C ．12 D ．不确定18．已知f （n ）=（2n +7）?3n +9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f （n ），则最大的m 的值为（）A ．30B ．26C ．36D ．6 三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n ﹣1）2+n 2+（n ﹣1）2+…+32+22+12=n （2n 2+1）20．已知数列{a n }满足a 1=1，其前n 项和是S n 对任意正整数n ，S n =n 2a n ，求此数列的通项公式．21．已知方程cos2x+sin2x=k +1．（1）k 为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．22．设数列{a n }满足a 1=2，a 2=6，a n +2=2a n +1﹣a n +2（n ∈N*）．（1）证明：数列{a n +1﹣a n }是等差数列；（2）求： ++…+．23．数列{a n }，{b n }满足，且a 1=2，b 1=4．（1）证明：{a n +1﹣2a n }为等比数列；（2）求{a n }，{b n }的通项．24．已知数列{a n }是等比数列，且a 2=4，a 5=32，数列{b n }满足：对于任意n ∈N*，有a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）?2n +1+2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{d n }满足：d 1=6，d n ?d n +1=6a?（﹣）（a ＞0），设T n =d 1d 2d 3…d n （n ∈N*），当且仅当n=8时，T n 取得最大值，求a 的取值范围．2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=．【考点】反三角函数的运用．【分析】利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值．【解答】解：arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=﹣arcsin（）+π﹣arccos﹣arctan=﹣+（π﹣）﹣=，故答案为：．2．=5．【考点】数列的极限．【分析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】解：====5．故答案为：5．3．若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11=44，则a3+a5+a10=33．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4+a7+a11=44=4a1+20d，∴a1+5d=11．则a3+a5+a10=3a1+15d=3（a1+5d）=33．故答案为：33．4．设数列{a n}满足：a1=，a n+1=（n≥1），则a2016=2．【考点】数列递推式．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，a2===3，a3===﹣2，a4===，a5===2，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2016=504×4，∴a2016=a4=2，故答案为：2．5．已知数列{a n}满足：a n=n?3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n=?3n+1+．【考点】数列的求和．【分析】利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=n?3n，则此数列的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n?3n，∴3S n=32+2×33+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1，∴﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n?3n+1=﹣n?3n+1=（﹣n）3n+1﹣，∴S n=?3n+1+．故答案为：?3n+1+．6．已知数列{a n}满足：a1=3，a n+1=9?（n≥1），则a n=27．【考点】数列的极限．【分析】把已知数列递推式两边取常用对数，然后构造等比数列，求出数列{a n}的通项公式，则极限可求．【解答】解：由a n+1=9?（n≥1），得，。
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一､填空题1. 已知角终边经过点，则__________．2. 已知复数满足，则__________3. 满足，的角的集合为__________.4. 已知函数（）是偶函数，则最小值是______．5. 已知为无穷等比数列，，，则的公比为_________．6. 若是实系数方程的一个虚根，且，则_________．7. 若数列的通项公式为，则______时取到最大值.8. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知，求山的高度___________..9. 已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是__________.10. 已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________11. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且，求集合中元素个数__________.12. 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，的α(2,1)P -sin α=z i 2i z =-z =π2cos 214x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[0,π]x ∈x ()sin 22y x ϕ=+0ϕ>ϕ{}n a 23a =14i i a +∞==-∑{}n a z 220x x p ++=2z =p ={}n a 222023n a n n =-+n =1i ni a =∑m 60BAC ∠=︒BC =m P ABCD AP AB ⋅0{}n a n n S {}457,,10,0a S S ∈-n S {}n a {}n b 223344a b a b b a -=-=-{}1,1500k m k b a a m =+≤≤∣求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P 满足时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是_____________．二､选择题13. 已知为复数，则“”是“”的（ ）A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件14. 下列函数中，最小正周期为且是偶函数是（ ）A. B. C. D. 15. 欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对16. 设无穷项等差数列的公差为，前n 项和为，则下列四个说法中正确的个数是（ ）①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则；③若数列是递增数列，则对任意的，均有；④若对任意的，均有，则数列是递增数列.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三､解答题17. 已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应向量为.（1）求；.的的ABC V 120︒120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°a b c ||2,||3b c == ||||||-+++- a b a b a c z z z =22z z =πcos 2y x =tan y x =πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 2y x=i e cos isin x x x =+i x ∈R e i e 10π+=2299cos isin cos isin cos isin i 101010101010ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭{}n a ()0d d ≠n S 0d <{}n S {}n S 0d <{}n S *n ∈N 0n S >*n ∈N 0n S >{}n S z ()1i 2i,z O +=z OZ 34i z +-（2）若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求.18. 设数列的前项和，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前项和，求使成立的的最小值．19. 已知函数.（1）求解方程:;（2）设,求函数的单调递增区间;（3）在中,角所对应的边为.若的面积为求的值.20. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P .（1）若数列具有性质，且，求的值；（2）若，判断数列是否具有性质并证明；（3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式.II 卷21. 将函数和直线所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________.22. 已知，且对任意都有或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为___________.23. 若向量满足，，且，则的最小值是____________.24. 已知函数，则的值为__________.的OZ O π2,OZ OZ '' z 'z z ⋅'{}n a n 12n n S a a =-123,1,a a a +{}n a 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 111000n T -<n ()sin ,f x x x =∈R ()13f x =()()2π222g x x f x ⎛⎫=++⎪⎝⎭()g x ABC V ,,A B C ,,a b c ()4,f A b ABC ==V sin C {}n a {}1n n a a ++{}n a {}n a P 1231,3a a a ===45,a a 2(1)n nn b =+-{}n b P 212n c c c n n +++=+L {}n d P 13212321d d d c d d c =-=+=,,{}n d ()π4cos 2f x x =()1g x x =-1A 2A n A (P 125...PA PA PA +++= *(1,2,9)i a i ∈=⋯N ()*28k k ∈≤≤N 11k k a a -=+11k k a a +=-16a =99a =91a a ++ ,,a b c →→→a b ®®¹0c ≠ ()()0c a c b -⋅-= a b a b c ++- ()3112f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭122023202420242024f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 答案一､填空题【1题答案】【答案】【2题答案】【3题答案】【答案】【4题答案】【答案】##【5题答案】【答案】##【6题答案】【答案】4【7题答案】【答案】【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】9【10题答案】【答案】【11题答案】【答案】9【12题答案】π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭π41π412-0.5-1011600m12-【答案】二､选择题【13题答案】【答案】A【14题答案】【答案】A【15题答案】【答案】A【16题答案】【答案】C三､解答题【17题答案】【答案】（1）5 （2）【18题答案】【答案】(1).(2)10.【19题答案】【答案】（1）（2） （3【20题答案】【答案】（1）分别为5、11 （2）数列具有性质，证明略 （3）II 卷【21题答案】【答案】103+2-2n n a =1(1)arcsin ,3k x k k Zπ=+-∈πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦45,a a {}n b P ()1*N ,213n n n d n -+-=∈【22题答案】【答案】31【23题答案】【答案】2【24题答案】【答案】2023。
2017-2018学年上海市复旦附中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.在数列{a n}中，a1=1，a2=64，且数列是等比数列，其公比，则数列{a n}的最大项等于（）A. B. C. 或 D.3.若数列，若k∈N*，则在下列数列中，可取遍数列{a n}前6项值的数列为（）A. B. C. D.4.数列{a n}中，若a1=a，，n∈N*，则下列命题中真命题个数是（）（1）若数列{a n}为常数数列，则a=±1；（2）若a∈（0，1），数列{a n}都是单调递增数列；（3）若a∉Z，任取{a n}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n=1，2，…，9，则{}都是单调数列．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.在等差数列{a n}中，若a4=0，a6+a7=10，则a7=______6.在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第______项7.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-1，那么数列{a n}的通项公式为______8.若在等比数列{a n}中，a1•a2…a9=512，则a5=______9.方程（3cos x-1）（cos x+sin x）=0的解集是______10.若数列{a n}满足a1=13，a n+1-a n=n，则的最小值为______11.若数列{a n}是等差数列，则数列（m∈N*）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n}是等比数列，则数列d n=______也是等比数列12.观察下列式子：，＞，＞，…，你可归纳出的不等式是______．13.在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n=______14.对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为______15. 对于数列{a n }满足：a 1=1，a n +1-a n ∈{a 1，a 2，…，a n }（n ∈N *），其前n 项和为S n ，记满足条件的所有数列{a n }中，S 12的最大值为a ，最小值为b ，则a -b =______16. 设n ∈N *，用A n 表示所有形如2 +2 +…+2 的正整数集合，其中0≤r 1＜r 2＜…＜r n ≤n ，且r i ∈N （i ∈N *），b n 为集合A n 中的所有元素之和．则{b n }的通项公式为b n =______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 4a 6=96，a 3+a 7=20，数列{b n }满足等式：（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列的前n 项和S n ．18. 已知b 、c 为常数且均不为零，数列{a n }的通项公式为a n =为偶数为奇数，并且a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列． （1）求b 、c 的值；（2）设S n 是数列{a n }前n 项的和，求使得不等式S 2n ＞20182成立的最小正整数n ．19. 王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n 年末还款后此人在银行的欠款额为a n 元． （1）设每年的还款额为m 元，请用m 表示出a 2； （2）求每年的还款额（精确到1元）．20. 设数列{a n }的首项a 1为常数，且a n +1=3n -2a n （n ∈N *）．（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）S n 是数列{a n }的前n 项的和，若{S n }是递增数列，求a 1的取值范围．21.如果数列{a n}对任意的n∈N*满足：a n+2+a n＞2a n+1，则称数列{a n}为“M数列”．（1）已知数列{a n}是“M数列”，设b n=a n+1-a n，n∈N*，求证：数列{b n}是递增数列，并指出2（a5-a4）与a4-a2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n}是首项为1，公差为2d的等差数列，S n是其前n项的和，若数列{|S n|}是“M数列”，求d的取值范围；（3）已知数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：若b是与的等差中项，则b==1，若b是与的等比中项，则b=±=±1，则“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的充分不必要条件，故选：A．根据等差中项和等比中项的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出b的值是解决本题的关键．2.【答案】C【解析】解：∵在数列{a n}中，a1=1，a2=64，且数列是等比数列，其公比，∴=×（-）n-1=（-1）n-1•27-n．∴=1×（-1）0+1+……+（n-2）×26+5+……+（8-n）=，∵=+．由n=7或8时，=-1，n=6或9时，a6=220=a9，∴数列{a n}的最大项等于a6或a9．故选：C．在数列{a n}中，a1=1，a2=64，且数列是等比数列，其公比，利用等比数列的通项公式可得：=（-1）n-1•27-n．可得=，利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、累乘求积方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】D【解析】解：∵数列，k∈N*，∴，，，，，=cos，，∴{a n}是以6为周期的周期数列，∴{a5k+1}是可取遍数列{a n}前6项值的数列．故选D．推导出{a n}是以6为周期的周期数列，从而{a5k+1}是可取遍数列{a n}前6项值的数列．本题考查可取遍数列{a n}前6项值的数列的求法，考查数列的周期性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】C【解析】解：数列{a n}中，若a1=a，，n∈N*，（1）若数列{a n}为常数数列，则a2=sin（a）=a，解得a=0或±1，故（1）不正确；（2）若a∈（0，1），a∈（0，），a2=sin（a），由函数f（x）=sin（x）-x，x∈（0，1），f′（x）=cos（x）-1，由x∈（0，），可得极值点唯一且为m=arccos，极值为f（m）=-arccos＞0，由f（0）=f（1）=0，可得a2＞a1，则a3-a2=sin（a2）-sin（a1）＞0，即有a3＞a2，…，由于a n∈（0，1），a n∈（0，），由正弦函数的单调性，可得a n+1＞a n，则数列{a n}都是单调递增数列，故（2）正确；}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）（3）若a∈（0，1），任取{a}的子数列{}，n=1，2，…，9，{}是单调递增数列；构成数列{a由f（x）=sin（x）-x，可得f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数；当0＜x＜1时，f（x）＞0，x＞1时，f（x）＜0；当-1＜x＜0时，f（x）＜0；x＜-1时，f（x）＞0，运用正弦函数的单调性可得0＜a＜1时，a＜-1时，数列{a n}单调递增；-1＜a＜0时，a＞1时，数列{a n}单调递减．数列{a n}都是单调递增数列，故（3）正确；故选：C．（1）由数列{a n}为常数数列，则a2=sin（a）=a，解方程可得a的值；（2）由函数f（x）=sin（x）-x，x∈（0，1），求得导数和极值，可判断单调性；（3）由f（x）=sin（x）-x，判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结论．本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性，以及分类讨论思想方法，属于难题．5.【答案】6【解析】解：在等差数列{a n}中，由a4=0，a6+a7=10，得2a4+5d=10，即d=2．∴a7=a4+3d=6．故答案为：6．由已知列式求得公差，再由等差数列的通项公式得答案．本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．6.【答案】7【解析】解：a2-a1=21，a3-a2=22，a4-a3=23，…依此类推可得a n-a n-1=2n-1∴a2-a1+a3-a2+a4-a3…+a n-a n-1=a n-a1=21+22+23+…+2n-1=2n-2∴a n-a1=2n-2，a n=2n-1，∴2n-1=127，解得n=7，故答案为：7分别求出a2-a1，a3-a2，a4-a3，结果构成等比数列，进而推断数列{a n-a n-1}是首相为2，公比为2的等比数列，进而各项相加可得答案．本题主要考查了求数列的通项公式．关键推断{a n-a n-1}是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式．7.【答案】a n=【解析】解：数列{a n}的前n项和S n=n2-1，可得a1=S1=1-1=0；n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-1-（n-1）2+1=2n-1，则a n=，故答案为：a n=．运用数列的递推式：a1=S1；n≥2时，a n=S n-S n-1，即可得到所求通项公式．本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查运算能力，属于基础题．8.【答案】2【解析】解：{a n}是等比数列，a m•a n=a p•a q．由a1•a2…a9=512，即，∴a5=2．故答案为：2．根据等比中项的性质即可求解．本题考查了等比数列的性质，是基础题．9.【答案】，，∈【解析】解：方程（3cosx-1）（cosx+sinx）=0，整理得：（3cosx-1）•2sin（x+）=0．故：cosx=或sin（x+）=0，解得：x=或x=-（k∈Z）．故方程的解集为{x|，x=-，k∈Z}故答案为：{x|}，x=-，k∈Z}直接利用三角函数关系是的恒等变换，再利用三角方程求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，反三角的应用．10.【答案】【解析】解：数列{a n}满足a1=13，a n+1-a n=n，可得a n=a1+（a2-a1）+…+（a n-a n-1）=13+1+2+…+（n-1）=13+n（n-1），则=n+-，由n+≥2=，当且仅当n=∉N*，由n=5可得×5+-=；由n=6可得×6+-=，则的最小值为．故答案为：．由数列恒等式：a n=a1+（a2-a1）+…+（a n-a n-1），以及基本不等式和等号成立的条件，计算可得所求最小值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列恒等式，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查的知识点是类比推理，在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{c n}是等差数列，则当时，数列{b n}也是等差数列．类比上述性质，若数列{a n}是各项均为正数的等比数列，则当d n=时，数列{d n}也是等比数列．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．【解答】解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法， 由算术平均数类比推理为几何平均数等， 故我们可以由数列{a n }是等差数列，则当时，数列{b n }也是等差数列．类比推断：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n =时，数列{d n }也是等比数列．故答案为：12.【答案】【解析】解：，=，，…，可得1+++…+＞，故答案为：1+++…+＞观察左边可得左边为1+++…+，右边为，即可得到答案．本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于基础题 13.【答案】105n +23【解析】解：本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2， 所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即3×5×7=105， 即数列的通项公式可以表示为a n =105n+23， 故答案为：105n+23根据题意结合数列的概念进行求解即可．本题主要考查数列的概念，结合题意进行转化是解决本题的关键． 14.【答案】-505【解析】解：第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数为1+=46，第10行的最后一个数无45+10=55，且奇数为负数，偶数为正数，故第10行所有数的和为462-472+482-492+502-512+522-532+542-552=-（46+47+48+49+50+51+52+53+54+55）=-505，故答案为：505．故第10行的第一个数为1+=46，第10行的最后一个数无45+10=55，由此能求出第10行所有数的和．本题考查数列中第10行所有数的和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．15.【答案】4017【解析】解：由a1=1，a n+1-a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2-a1=a1，解得a2=2a1=2，又a3-a2∈{a1，a2}，可得a3=a2+a1=3或2a2=4，又a4-a3∈{a1，a2，a3}，可得a4=a3+a1=4或5；a4=a3+a2=5或6；或a4=2a3=6或8；又a5-a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5=a4+a1=5或6或7；a5=a4+a2=6或7或8；a5=a4+a3=7或8或9或10或12；a5=2a3=8或10或12或16．综上可得S12的最大值a=1+2+22+23+24+…+211==4095，最小值为b=1+2+3+4+5+…+12==78．则a-b=4095-78=4017．故答案为：4017．由a1=1，a n+1-a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），分别令n=2，3，4，5，求得{a n}的前5项，观察得到最小值b=1+2+3+4+5+…+12，a=1+2+22+23+24+…+211，计算即可得到a-b的值．本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】n•（2n+1-1）【解析】解：由题意可知，r1、r2、…、r n是0、1、2、…、n的一个排列，且集合A n中共有n+1个数，若把集合A n中每个数表示为2+2+ (2)形式，则20、21、22、…、2n每个数都出现n次，因此，=，故答案为：n•（2n+1-1）．把集合A n中每个数都表示为2的0到n的指数幂相加的形式，并确定20、21、22、…、2n每个数都出现n次，于是利用等比数列求和公式计算，可求出数列{b n}的通项公式．本题考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题．17.【答案】解：（1）在等差数列{a n}中，由a3+a7=20，得a4+a6=20，又a4a6=96，可得或．∵d＞0，∴ ，则d=．∴a n=a4+2（n-4）=2n；（2）由（n∈N*），得（n≥2），∴ ，即（n≥2），∵ 满足上式，∴ ．则，∴数列的前n 项和S n =（b 1+b 2+…+b n ）+=．【解析】（1）由已知列式求得a 4、a 6的值，进一步求出公差，则数列{a n }的通项公式可求；（2）把数列{a n }的通项公式代入，得（n≥2），作差可得b n ，再由数列的分组求和可得数列的前n 项和S n ．本题考查数列递推式，考查数列的分组求和，是中档题． 18.【答案】解：（1）∵a n =为偶数为奇数，∴a 1=b -1，a 2=9c ，a 3=3b -1，a 4=81c ．∵a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列．∴2a 3=a 1+a 2， =a 1a 4，∴2（3b -1）=b -1+9c ，81c 2=（b -1）×81c ，b ，c ≠0． 联立解得：b =2，c =1．（2）由（1）可得：a n =为偶数为奇数， ∴S 2n =（a 1+a 3+……+a 2n -1）+（a 2+a 4+……+a 2n ） =（1+5+……+4n -3）+（32+34+……+32n ） =+=2n 2-n +，由＞ ，解得n ＞6．∴n =7． 【解析】（1）由a n =，可得a 1=b-1，a 2=9c ，a 3=3b-1，a 4=81c ．根据a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列．可得2a 3=a 1+a 2，=a 1a 4，代入解出即可得出． （2）由（1）可得：a n =，可得S 2n =（a 1+a 3+……+a 2n-1）+（a 2+a 4+......+a 2n ）=（1+5+......+4n -3）+（32+34+ (32)），分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）a2=100000×（1+5%）-m（1+5%）2-m=110250-2.05m．（2）a10=100000×（1.05）10-m×（1.05）9-m×（1.05）8-……-m=0，100000×1.0510-=0，解得：m=≈12950．【解析】（1）由题意可得：a2=100000×（1+5%）2-m（1+5%）-m．（2）a10=100000×（1.05）10-m×（1.05）9-m×（1.05）8-……-m=0，利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵a n+1=3n-2a n（n∈N*），则时，===-2，∴时，为等比数列，公比为-2．（2）由（1）可得：a n-=×（-2）n-1，∴ ＞，n≥2，∴a2＞0，a3＞0，∴＜＜．【解析】（1）由a n+1=3n-2a n（n∈N*），当时，==-2，即可得出结论．（2）由（1）可得：a n-=×（-2）n-1，可得，n≥2，可得a2＞0，a3＞0，即可得出．本题考查了等比数列的定义通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）证明：数列{a n}是“M数列”，可得a n+2+a n＞2a n+1，即a n+2-a n+1＞a n+1-a n，即b n+1＞b n，可得数列{b n}是递增数列；2（a5-a4）＞a4-a2；（2）数列{|S n|}是“M数列”，可得|S3|-|S2|＞|S2|-|S1|，即|S1|+|S3|＞2|S2|，可得1+|3+6d|＞2|2+2d|，即有或＜＜＞或＞，即d≤-1或-1＜d＜-或d＞0，可得∈ ，，；（3）数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，＞，运用数学归纳法证明：当n=1时，u1=，v1=a2，显然a3-a2＞a2-a1即u1＞v1．设n=k时，u k＞v k．即＞，可得k（a1+a3+…+a2k+1）＞（k+1）（a2+a4+…+a2k），当n=k+1时，即证＞，即证（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），由（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）=k（a1+a3+…+a2k+1）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3，即证（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），即证（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，由a1+a2k+3＞a2+a2k+2，a3+a2k+3＞a4+a2k+2，…，a2k+3+a2k+1＞a2k+2+a2k+2，相加可得（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，则对一切n∈N*，有u n＞v n．【解析】（1）由新定义，结合单调性的定义可得数列{b n}是递增数列；结合a5＞2a4-a3，a4＞2a3-a2，可得2（a5-a4）＞a4-a2；（2）运用新定义和等差数列的求和公式，解绝对值不等式即可得到所求范围；（3）对一切n∈N*，有u n＞v n．运用数学归纳法证明，注意验证n=1成立；假设n=k不等式成立，注意变形和运用新定义，即可得证．本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的证明和等差数列的通项公式和求和公式，以及数学归纳法的应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．。
2017-2018学年上海市复旦附中高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
2017-2018学年上海市复旦附中高一第二学期期末数学试卷一.填空题1．在等差数列{a n }中，若a 4＝0，a 6+a 7＝10，则a 7＝2．在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第 项 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣1，那么数列{a n }的通项公式为 4．若在等比数列{a n }中，a 1•a 2…a 9＝512，则a 5＝ 5．方程（3cos x ﹣1）（cos x +√3sin x ）＝0的解集是 6．若数列{a n }满足a 1＝13，a n +1﹣a n ＝n ，则a n n的最小值为7．若数列{a n }是等差数列，则数列b n =a n+1+⋯+a n+mm（m ∈N *）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n }是等比数列，则数列d n ＝ 也是等比数列 8．观察下列式子：1+12≥32，1+12+13+14＞2，1+12+13+⋯+18＞52，…，你可归纳出的不等式是 ．9．在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n ＝ 10．对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为11．对于数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1﹣a n ∈{a 1，a 2，…，a n }（n ∈N *），其前n 项和为S n ，记满足条件的所有数列{a n }中，S 12的最大值为a ，最小值为b ，则a ﹣b ＝ 12．设n ∈N *，用A n 表示所有形如2r 1+2r 2+⋯+2r n 的正整数集合，其中0≤r 1＜r 2＜…＜r n ≤n ，且r i ∈N （i ∈N *），b n 为集合A n 中的所有元素之和．则{b n }的通项公式为b n ＝ ． 二.选择题13．“b 是1+√3与1−√3的等差中项”是“b 是2+√3与2−√3的等比中项”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝64，且数列{an+1an}是等比数列，其公比q =−12，则数列{a n }的最大项等于（ ） A ．a 7B ．a 8C ．a 6或a 9D ．a 1015．若数列a n =cos(π3n +π5)，若k ∈N *，则在下列数列中，可取遍数列{a n }前6项值的数列为（ ） A ．{a 2k +1}B ．{a 3k +1}C ．{a 4k +1}D ．{a 5k +1}16．数列{a n }中，若a 1＝a ，a n+1=sin(π2a n )，n ∈N *，则下列命题中真命题个数是（ ） （1）若数列{a n }为常数数列，则a ＝±1；（2）若a ∈（0，1），数列{a n }都是单调递增数列；（3）若a ∉Z ，任取{a n }中的9项a k 1，a k 2，a k 3，…，a k 9（1＜k 1＜k 2＜…＜k 9）构成数列{a n }的子数列{a k n }，n ＝1，2，…，9，则{a k n }都是单调数列． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三.解答题17．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 4a 6＝96，a 3+a 7＝20，数列{b n }满足等式：a n =b 12+b 222+b 323+⋯+bn 2n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n +n+12}的前n 项和S n ． 18．已知b 、c 为常数且均不为零，数列{a n }的通项公式为a n ={b ⋅n −1，n 为奇数c ⋅3n，n 为偶数，并且a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列． （1）求b 、c 的值；（2）设S n 是数列{a n }前n 项的和，求使得不等式S 2n ＞20182成立的最小正整数n ． 19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n 年末还款后此人在银行的欠款额为a n 元． （1）设每年的还款额为m 元，请用m 表示出a 2； （2）求每年的还款额（精确到1元）．20．设数列{a n}的首项a1为常数，且a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*）．（1）判断数列{a n−3n5}是否为等比数列，请说明理由；（2）S n是数列{a n}的前n项的和，若{S n}是递增数列，求a1的取值范围．21．如果数列{a n}对任意的n∈N*满足：a n+2+a n＞2a n+1，则称数列{a n}为“M数列”．（1）已知数列{a n}是“M数列”，设b n＝a n+1﹣a n，n∈N*，求证：数列{b n}是递增数列，并指出2（a5﹣a4）与a4﹣a2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n}是首项为1，公差为2d的等差数列，S n是其前n项的和，若数列{|S n|}是“M数列”，求d的取值范围；（3）已知数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较u n=a1+a3+⋯+a2n+1n+1和v n=a2+a4+⋯+a2nn的大小，并说明理由．2017-2018学年上海市复旦附中高一第二学期期末数学试卷参考答案一.填空题1．在等差数列{a n }中，若a 4＝0，a 6+a 7＝10，则a 7＝ 6 【分析】由已知列式求得公差，再由等差数列的通项公式得答案． 解：在等差数列{a n }中，由a 4＝0，a 6+a 7＝10， 得2a 4+5d ＝10，即d ＝2． ∴a 7＝a 4+3d ＝6． 故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．2．在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第 7 项【分析】分别求出a 2﹣a 1，a 3﹣a 2，a 4﹣a 3，结果构成等比数列，进而推断数列{a n ﹣a n ﹣1}是首相为2，公比为2的等比数列，进而各项相加可得答案．解：a 2﹣a 1＝21，a 3﹣a 2＝22，a 4﹣a 3＝23，…依此类推可得a n ﹣a n ﹣1＝2n ﹣1∴a 2﹣a 1+a 3﹣a 2+a 4﹣a 3…+a n ﹣a n ﹣1＝a n ﹣a 1＝21+22+23+…+2n ﹣1＝2n ﹣2 ∴a n ﹣a 1＝2n ﹣2， a n ＝2n ﹣1， ∴2n ﹣1＝127， 解得n ＝7， 故答案为：7【点评】本题主要考查了求数列的通项公式．关键推断{a n ﹣a n ﹣1}是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式．3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣1，那么数列{a n }的通项公式为 a n ={0，n =12n −1，n ≥2【分析】运用数列的递推式：a 1＝S 1；n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可得到所求通项公式． 解：数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣1， 可得a 1＝S 1＝1﹣1＝0；n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣1﹣（n ﹣1）2+1＝2n ﹣1，则a n ={0，n =12n −1，n ≥2，故答案为：a n ={0，n =12n −1，n ≥2．【点评】本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查运算能力，属于基础题． 4．若在等比数列{a n }中，a 1•a 2…a 9＝512，则a 5＝ 2 【分析】根据等比中项的性质即可求解． 解：{a n }是等比数列，a m •a n ＝a p •a q ． 由a 1•a 2…a 9＝512， 即a 59=512， ∴a 5＝2． 故答案为：2．【点评】本题考查了等比数列的性质，是基础题．5．方程（3cos x ﹣1）（cos x +√3sin x ）＝0的解集是 {x|x =±arccos 13+2kπ，x =−π6+kπ，k ∈Z}【分析】直接利用三角函数关系是的恒等变换，再利用三角方程求出结果． 解：方程（3cos x ﹣1）（cos x +√3sin x ）＝0， 整理得：（3cos x ﹣1）•2sin （x +π6）＝0． 故：cos x =13或sin （x +π6）＝0，解得：x =±arccos 13+2kπ或x =−π6+kπ（k ∈Z ）． 故方程的解集为{x |x =±arccos 13+2kπ，x =−π6+kπ，k ∈Z }故答案为：{x |x =±arccos 13+2kπ}，x =−π6+kπ，k ∈Z }【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，反三角的应用． 6．若数列{a n }满足a 1＝13，a n +1﹣a n ＝n ，则a n n的最小值为235【分析】由数列恒等式：a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+…+（a n ﹣a n ﹣1），以及基本不等式和等号成立的条件，计算可得所求最小值． 解：数列{a n }满足a 1＝13，a n +1﹣a n ＝n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+…+（a n ﹣a n ﹣1） ＝13+1+2+…+（n ﹣1）＝13+12n （n ﹣1）， 则a n n =12n +13n −12， 由12n +13n≥2√132=√26，当且仅当n =√26∉N *，由n ＝5可得12×5+135−12=235；由n ＝6可得12×6+136−12=143， 则a n n的最小值为235．故答案为：235．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列恒等式，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题． 7．若数列{a n }是等差数列，则数列b n =a n+1+⋯+a n+mm（m ∈N *）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n }是等比数列，则数列d n ＝ √c n+1⋅c n+2⋯c n+m m 也是等比数列【分析】本题考查的知识点是类比推理，在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{c n }是等差数列，则当b n =a n+1+⋯+a n+mm时，数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，若数列{a n }是各项均为正数的等比数列，则当d n =√c n+1⋅c n+2⋯c n+m m 时，数列{d n }也是等比数列． 解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时， 我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法， 由算术平均数类比推理为几何平均数等， 故我们可以由数列{a n }是等差数列，则当b n =a n+1+⋯+a n+mm时，数列{b n }也是等差数列．类比推断：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n =√c n+1⋅c n+2⋯c n+m m 时，数列{d n }也是等比数列．故答案为：√c n+1⋅c n+2⋯c n+mm【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．8．观察下列式子：1+12≥32，1+12+13+14＞2，1+12+13+⋯+18＞52，…，你可归纳出的不等式是1+12+13+⋯+12n≥n+22．【分析】观察左边可得左边为1+12+13+⋯+12n，右边为n+22，即可得到答案．解：1+12≥32，1+12+13+14＞2=42，1+12+13+⋯+18＞52，…，可得1+12+13+⋯+12n＞n+2 2，故答案为：1+12+13+⋯+12n＞n+22【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于基础题9．在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23【分析】根据题意结合数列的概念进行求解即可．解：本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即3×5×7＝105，即数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23，故答案为：105n+23【点评】本题主要考查数列的概念，结合题意进行转化是解决本题的关键．10．对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为﹣505【分析】故第10行的第一个数为1+(1+9)×92=46，第10行的最后一个数无45+10＝55，由此能求出第10行所有数的和．解：第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数为1+(1+9)×92=46，第10行的最后一个数无45+10＝55，且奇数为负数，偶数为正数，故第10行所有数的和为462﹣472+482﹣492+502﹣512+522﹣532+542﹣552＝﹣（46+47+48+49+50+51+52+53+54+55）＝﹣505，故答案为：505．【点评】本题考查数列中第10行所有数的和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．11．对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S12的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝4017【分析】由a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），分别令n＝2，3，4，5，求得{a n}的前5项，观察得到最小值b＝1+2+3+4+5+…+12，a＝1+2+22+23+24+…+211，计算即可得到a﹣b的值．解：由a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2﹣a1＝a1，解得a2＝2a1＝2，又a3﹣a2∈{a1，a2}，可得a3＝a2+a1＝3或2a2＝4，又a4﹣a3∈{a1，a2，a3}，可得a4＝a3+a1＝4或5；a4＝a3+a2＝5或6；或a4＝2a3＝6或8；又a5﹣a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5＝a4+a1＝5或6或7；a5＝a4+a2＝6或7或8；a5＝a4+a3＝7或8或9或10或12；a5＝2a3＝8或10或12或16．综上可得S12的最大值a＝1+2+22+23+24+…+211=1−2121−2=4095，最小值为b＝1+2+3+4+5+…+12=12(1+12)2=78．则a﹣b＝4095﹣78＝4017．故答案为：4017．【点评】本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．12．设n ∈N *，用A n 表示所有形如2r 1+2r 2+⋯+2r n 的正整数集合，其中0≤r 1＜r 2＜…＜r n ≤n ，且r i ∈N （i ∈N *），b n 为集合A n 中的所有元素之和．则{b n }的通项公式为b n ＝ n •（2n +1﹣1） ．【分析】把集合A n 中每个数都表示为2的0到n 的指数幂相加的形式，并确定20、21、22、…、2n 每个数都出现n 次，于是利用等比数列求和公式计算b n =n(20+21+22+⋯+2n )，可求出数列{b n }的通项公式．解：由题意可知，r 1、r 2、…、r n 是0、1、2、…、n 的一个排列，且集合A n 中共有n +1个数，若把集合A n 中每个数表示为2r 1+2r 2+⋯+2r n 的形式， 则20、21、22、…、2n 每个数都出现n 次， 因此，b n =n(20+21+22+⋯+2n)=n⋅1(1−2n+1)1−2=n(2n+1−1)，故答案为：n •（2n +1﹣1）．【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题． 二.选择题13．“b 是1+√3与1−√3的等差中项”是“b 是2+√3与2−√3的等比中项”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据等差中项和等比中项的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：若b 是1+√3与1−√3的等差中项，则b =1+√3+1−√32=1，若b 是2+√3与2−√3的等比中项， 则b ＝±√(2+√3)(2−√3)=±1，则“b 是1+√3与1−√3的等差中项”是“b 是2+√3与2−√3的等比中项”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出b 的值是解决本题的关键．14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝64，且数列{an+1an}是等比数列，其公比q =−12，则数列{a n }的最大项等于（ ） A ．a 7B ．a 8C ．a 6或a 9D ．a 10【分析】在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝64，且数列{an+1an}是等比数列，其公比q =−12，利用等比数列的通项公式可得：a n+1a n=（﹣1）n ﹣1•27﹣n ．可得a n =a 1×a 2a 1×a3a 2×⋯×a nan−1=(−1)(n−2)(n−1)22(n−1)(6+8−n)2，利用二次函数的单调性即可得出． 解：∵在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝64，且数列{an+1an}是等比数列，其公比q =−12， ∴a n+1a n=641×（−12）n ﹣1＝（﹣1）n ﹣1•27﹣n ．∴a n =a 1×a2a 1×a3a 2×⋯×a nan−1=1×（﹣1）0+1+……+（n ﹣2）×26+5+……+（8﹣n ）=(−1)(n−2)(n−1)22(n−1)(6+8−n)2， ∵(n−1)(14−n)2=−12(n −152)2+1698．由n ＝7或8时，(−1)(n−2)(n−1)2=−1，n ＝6或9时，a 6＝220＝a 9， ∴数列{a n }的最大项等于a 6或a 9． 故选：C ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、累乘求积方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．若数列a n =cos(π3n +π5)，若k ∈N *，则在下列数列中，可取遍数列{a n }前6项值的数列为（ ） A ．{a 2k +1}B ．{a 3k +1}C ．{a 4k +1}D ．{a 5k +1}【分析】推导出{a n }是以6为周期的周期数列，从而{a 5k +1}是可取遍数列{a n }前6项值的数列．解：∵数列a n =cos(π3n +π5)，k ∈N *， ∴a 1=cos 8π15，a 2=cos 13π15， a 3=cos 18π15，a 4=cos 23π15， a 5=cos28π15， a 6=cos 33π15=cos 3π15，a 7=cos 8π15，∴{a n }是以6为周期的周期数列，∴{a 5k +1}是可取遍数列{a n }前6项值的数列． 故选：D ．【点评】本题考查可取遍数列{a n }前6项值的数列的求法，考查数列的周期性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．数列{a n }中，若a 1＝a ，a n+1=sin(π2a n )，n ∈N *，则下列命题中真命题个数是（ ） （1）若数列{a n }为常数数列，则a ＝±1；（2）若a ∈（0，1），数列{a n }都是单调递增数列；（3）若a ∉Z ，任取{a n }中的9项a k 1，a k 2，a k 3，…，a k 9（1＜k 1＜k 2＜…＜k 9）构成数列{a n }的子数列{a k n }，n ＝1，2，…，9，则{a k n }都是单调数列． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】（1）由数列{a n }为常数数列，则a 2＝sin （π2a ）＝a ，解方程可得a 的值； （2）由函数f （x ）＝sin （π2x ）﹣x ，x ∈（0，1），求得导数和极值，可判断单调性；（3）由f （x ）＝sin （π2x ）﹣x ，判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结论．解：数列{a n }中，若a 1＝a ，a n+1=sin(π2a n )，n ∈N *， （1）若数列{a n }为常数数列，则a 2＝sin （π2a ）＝a ，解得a ＝0或±1，故（1）不正确； （2）若a ∈（0，1），π2a ∈（0，π2），a 2＝sin （π2a ），由函数f （x ）＝sin （π2x ）﹣x ，x ∈（0，1），f ′（x ）=π2cos （π2x ）﹣1，由π2x ∈（0，π2），可得极值点唯一且为m =2πarccos 2π， 极值为f （m ）=√π2−4π−2πarccos 2π＞0，由f （0）＝f （1）＝0，可得a 2＞a 1， 则a 3﹣a 2＝sin （π2a 2）﹣sin （π2a 1）＞0，即有a 3＞a 2，…，由于a n ∈（0，1），π2a n ∈（0，π2），由正弦函数的单调性，可得a n +1＞a n ， 则数列{a n }都是单调递增数列，故（2）正确；（3）若a ∈（0，1），任取{a n }中的9项a k 1，a k 2，a k 3，…，a k 9（1＜k 1＜k 2＜…＜k 9） 构成数列{a n }的子数列{a k n }，n ＝1，2，…，9，{a k n }是单调递增数列； 由f （x ）＝sin （π2x ）﹣x ，可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）为奇函数；当0＜x ＜1时，f （x ）＞0，x ＞1时，f （x ）＜0； 当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0；x ＜﹣1时，f （x ）＞0，运用正弦函数的单调性可得0＜a ＜1时，a ＜﹣1时，数列{a n }单调递增； ﹣1＜a ＜0时，a ＞1时，数列{a n }单调递减． 数列{a n }都是单调递增数列，故（3）正确； 故选：C ．【点评】本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性，以及分类讨论思想方法，属于难题． 三.解答题17．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 4a 6＝96，a 3+a 7＝20，数列{b n }满足等式：a n =b 12+b 222+b 323+⋯+bn 2n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n +n+12}的前n 项和S n ．【分析】（1）由已知列式求得a 4、a 6的值，进一步求出公差，则数列{a n }的通项公式可求；（2）把数列{a n }的通项公式代入a n =b 12+b 222+b 323+⋯+b n 2n ，得a n−1=b 12+b 222+b323+⋯+b n−12n−1（n ≥2），作差可得b n ，再由数列的分组求和可得数列{b n+n+12}的前n 项和S n ．解：（1）在等差数列{a n }中，由a 3+a 7＝20，得a 4+a 6＝20， 又a 4a 6＝96，可得{a 4=8a 6=12或{a 4=12a 6=8．∵d ＞0，∴{a 4=8a 6=12，则d =a 6−a 46−4=2． ∴a n ＝a 4+2（n ﹣4）＝2n ；（2）由a n =b 12+b 222+b 323+⋯+bn 2n （n ∈N *）， 得a n−1=b 12+b 222+b 323+⋯+bn−12n−1（n ≥2）， ∴a n −a n−1=2=b n 2n ，即b n =2n+1（n ≥2）， ∵b 1=2a 1=4=22满足上式， ∴b n =2n+1．则b n +n+12=2n+1+n+12， ∴数列{b n +n+12}的前n 项和S n ＝（b 1+b 2+…+b n ）+12(1+2+⋯+n)+n2 =4(1−2n)1−2+12×n(n+1)2+n 2=2n+2−4+n(n+3)4． 【点评】本题考查数列递推式，考查数列的分组求和，是中档题．18．已知b 、c 为常数且均不为零，数列{a n }的通项公式为a n ={b ⋅n −1，n 为奇数c ⋅3n ，n 为偶数，并且a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列． （1）求b 、c 的值；（2）设S n 是数列{a n }前n 项的和，求使得不等式S 2n ＞20182成立的最小正整数n ． 【分析】（1）由a n ={b ⋅n −1，n 为奇数c ⋅3n ，n 为偶数，可得a 1＝b ﹣1，a 2＝9c ，a 3＝3b ﹣1，a 4＝81c ．根据a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列．可得2a 3＝a 1+a 2，a 22=a 1a 4，代入解出即可得出． （2）由（1）可得：a n ={2n −1，n 为奇数3n ，n 为偶数，可得S 2n ＝（a 1+a 3+……+a 2n ﹣1）+（a 2+a 4+……+a 2n ）＝（1+5+……+4n ﹣3）+（32+34+……+32n ），分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．解：（1）∵a n ={b ⋅n −1，n 为奇数c ⋅3n ，n 为偶数，∴a 1＝b ﹣1，a 2＝9c ，a 3＝3b ﹣1，a 4＝81c ． ∵a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列．∴2a 3＝a 1+a 2，a 22=a 1a 4，∴2（3b ﹣1）＝b ﹣1+9c ，81c 2＝（b ﹣1）×81c ，b ，c ≠0． 联立解得：b ＝2，c ＝1． （2）由（1）可得：a n ={2n −1，n 为奇数3n，n 为偶数，∴S 2n ＝（a 1+a 3+……+a 2n ﹣1）+（a 2+a 4+……+a 2n ） ＝（1+5+……+4n ﹣3）+（32+34+……+32n ）=n(1+4n−3)2+9(1−9n)1−9＝2n 2﹣n +9n+1−98，由S 2n =2n 2−n +9n+1−98＞20182，解得n ＞6． ∴n ＝7．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n 年末还款后此人在银行的欠款额为a n 元． （1）设每年的还款额为m 元，请用m 表示出a 2； （2）求每年的还款额（精确到1元）．【分析】（1）由题意可得：a 2＝100000×（1+5%）2﹣m （1+5%）﹣m ．（2）a 10＝100000×（1.05）10﹣m ×（1.05）9﹣m ×（1.05）8﹣……﹣m ＝0，利用等比数列的求和公式即可得出．解：（1）a 2＝100000×（1+5%）﹣m （1+5%）2﹣m ＝110250﹣2.05m ． （2）a 10＝100000×（1.05）10﹣m ×（1.05）9﹣m ×（1.05）8﹣……﹣m ＝0，100000×1.0510−m(1−1.0510)1−1.05=0，解得：m =100000×0.05×(1.05)10(1.05)10−1≈12950．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．设数列{a n }的首项a 1为常数，且a n +1＝3n ﹣2a n （n ∈N *）． （1）判断数列{a n −3n5}是否为等比数列，请说明理由；（2）S n 是数列{a n }的前n 项的和，若{S n }是递增数列，求a 1的取值范围． 【分析】（1）由a n +1＝3n ﹣2a n （n ∈N *），当a 1≠35时，a n+1−3n+15a n −3n 5=3n −2an −3n+15a n −3n 5=−2，即可得出结论．（2）由（1）可得：a n −3n 5=(a 1−35)×（﹣2）n ﹣1，可得a n =(a 1−35)(−2)n−1+3n5＞0，n ≥2，可得a 2＞0，a 3＞0，即可得出． 解：（1）∵a n +1＝3n ﹣2a n （n ∈N *）， 则a 1≠35时，a n+1−3n+15a n −3n 5=3n −2a n −3n+15a n −3n 5=−2(a n −3n5)a n −3n 5=−2，∴a 1≠35时，{a n −3n5}为等比数列，公比为﹣2．（2）由（1）可得：a n −3n5=(a 1−35)×（﹣2）n ﹣1，∴a n =(a 1−35)(−2)n−1+3n 5＞0，n ≥2，∴a 2＞0，a 3＞0， ∴−34＜a 1＜32．【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．如果数列{a n }对任意的n ∈N *满足：a n +2+a n ＞2a n +1，则称数列{a n }为“M 数列”． （1）已知数列{a n }是“M 数列”，设b n ＝a n +1﹣a n ，n ∈N *，求证：数列{b n }是递增数列，并指出2（a 5﹣a 4）与a 4﹣a 2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n }是首项为1，公差为2d 的等差数列，S n 是其前n 项的和，若数列{|S n |}是“M 数列”，求d 的取值范围；（3）已知数列{a n }是各项均为正数的“M 数列”，对于n 取相同的正整数时，比较u n =a 1+a 3+⋯+a 2n+1n+1和v n =a 2+a 4+⋯+a 2nn的大小，并说明理由．【分析】（1）由新定义，结合单调性的定义可得数列{b n }是递增数列；结合a 5＞2a 4﹣a 3，a 4＞2a 3﹣a 2，可得2（a 5﹣a 4）＞a 4﹣a 2；（2）运用新定义和等差数列的求和公式，解绝对值不等式即可得到所求范围；（3）对一切n ∈N *，有u n ＞v n ．运用数学归纳法证明，注意验证n ＝1成立；假设n ＝k 不等式成立，注意变形和运用新定义，即可得证．解：（1）证明：数列{a n }是“M 数列”，可得a n +2+a n ＞2a n +1， 即a n +2﹣a n +1＞a n +1﹣a n ，即b n +1＞b n ， 可得数列{b n }是递增数列； 2（a 5﹣a 4）＞a 4﹣a 2； （2）数列{|S n |}是“M 数列”， 可得|S 3|﹣|S 2|＞|S 2|﹣|S 1|， 即|S 1|+|S 3|＞2|S 2|， 可得1+|3+6d |＞2|2+2d |，即有{d ≤−11−3−6d ＞−4−4d 或{−1＜d ＜−121−3−6d ＞4+4d 或{d ≥−121+3+6d ＞4+4d ，即d ≤﹣1或﹣1＜d ＜−35或d ＞0， 可得d ∈(−∞，−35)∪(0，+∞)；（3）数列{a n }是各项均为正数的“M 数列”， 对于n 取相同的正整数时，u n =a 1+a 3+⋯+a 2n+1n+1＞v n =a 2+a 4+⋯+a 2nn， 运用数学归纳法证明： 当n ＝1时，u 1=a 1+a 32，v 1＝a 2，显然a 3﹣a 2＞a 2﹣a 1即u 1＞v 1． 设n ＝k 时，u k ＞v k ．即a 1+a 3+⋯+a 2k+1k+1＞a 2+a 4+⋯+a 2kk，可得k （a 1+a 3+…+a 2k +1）＞（k +1）（a 2+a 4+…+a 2k ）， 当n ＝k +1时，即证a 1+a 3+⋯+a 2k+1+a 2k+3k+2＞a 2+a 4+⋯+a 2k +a 2k+2k+1，即证（k +1）（a 1+…+a 2k +1+a 2k +3）＞（k +2）（a 2+a 4+…+a 2k +a 2k +2），由（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＝k（a1+a3+…+a2k+1）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3，即证（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），即证（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，由a1+a2k+3＞a2+a2k+2，a3+a2k+3＞a4+a2k+2，…，a2k+3+a2k+1＞a2k+2+a2k+2，相加可得（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，则对一切n∈N*，有u n＞v n．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的证明和等差数列的通项公式和求和公式，以及数学归纳法的应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．。