大一下学期高数论文

利用偏导数解决最值问题

青岛滨海学院文理基础学院

11文科1

刘凯丽

20110500120

摘要：利用偏导数解决实际生活中关于容器容积最大化问题，以得到最大的容积。

关键词：偏导数、最大值、容积

问题背景：生活中，很多地方需要用到最值问题。当材料有限时，如何获得要求的最大值尤为重要。因此，我们要找寻一个有效方法利用已定的资源，使其利用价值最大化。

问题的提出：要制造一个无盖的长方体水槽，已知其总造价为216元，底部造价为18元/平方米，侧面造价为6元/平方米。问应选取怎样的尺寸，才能使水槽的容积最大？

求解：

法一：设其容积为V

V xyz ⇒= 18xy+6(2xz+2yz)=216

3(12)

2()xy z x y -=+

223(12)2(+)

xy x y v x y -⇒=其中x>o,y>o,z>o 222'2

222'2

3(122)()(12)=2()3(122)()(12)2()x y y xy x y xy x y V x y x x y x y xy x y V x y -+--⋅+-+--=⋅+2,2,3x y z ⇒===

法二：拉格朗日乘数法

设(,),(,)z f x y x y ϕ=在定义域内均有连续的一阶偏导数，且'',x y

ϕϕ不同时为零。

求目标函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ϕ=下的极值或最值的步骤：

（1）构造辅助函数——拉格朗日函数

(,)(,)(,)F x y f x y x y λϕ=+

（2）求 ''''''00(,)0x x x y y y F f F f x y λϕλϕϕ⎧==+⎪==+⎨⎪=⎩

（3）求出的驻点为可能的极值点

（4）若求出的驻点在定义域内唯一，结合实际问题，可得到该驻点就为所求的极值点或最值点。

(32236)F xyz xy xz yz λ=+++-

'''(32)0(32)0(22)0322360x y z F yz y z F xz x z F xy x y xy xz yz λλλ⎧=++=⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++-=⎩

32x y y z ⇒=⇒= 2,3x y z ⇒===

说明：

1、拉格朗日乘数法可推广到目标函数为多元函数以及有有限个约束条件的情形

中。

2、在求驻点时，常常采用比值法，即先通过移项相比寻找自变量之间的关系，

再代入约束条件方程来求解。

3、拉格朗日乘数法对一元函数的条件极值问题也成立。

总结：可见，当长、宽、高分别为2米，2米，3米时，此水槽可得到最大容积。生活中有效利用偏导数可使有限的资源得到最大化利用，这充分实践了科学发展观的基本内容。

参考文献

[1]徐文雄.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]赵树嫄.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2009.

[3]华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，2001