大一下高数论文(1)

大一下高数论文大一下学期，我们主要学了微分方程，微分方程是数学的重要分支.在这里我重点介绍了几个利用微分方程常来解决的问题的例子,从中我们可以了解到微分方程用的广泛性以及解决具体问题时常采用的一般步骤. 应用微分方程解决具体问题的主要步骤:(1)分析问题,将实际问题抽象,设出未知函数，建立微分方程,并给出合理的解; (2)求解微分方程的通解及满足定解条件的特解,或由方程讨论解的性质; (3)由所求得的解或解的性质,回到实际问题,解释该实际问题,得出客观规律. 微分方程的应用举例 几何问题 1.等角轨线我们来求这样的曲线或曲线族,使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线轨线已知曲线的等角轨线.当所给定的角为直角时,等角轨线就轨线正交轨线.等角轨线在很多学科（如天文,气象等）中都有应用.下面就来介绍等角轨线的方法.首先把问题进一步提明确一些.设在（x,y ）平面上,给定一个单参数曲线族（C ）:()0,,=c y x ϕ求这样的曲线l ,使得l 与(C)中每一条曲线的交角都是定角α.设l 的方程为1y =)(1x y .为了求)(1x y ,我们先来求出)(1x y 所对应满足的微分方程,也就是要求先求得x ,1y ,'1y 的关系式.条件告诉我们l 与（C ）的曲线相交成定角α,于是,可以想象,1y 和'1y 必然应当与（C ）中的曲线y =)(x y 及其切线的斜率'y 有一个关系.事实上,当α≠2π时,有 k y y y y ==+-αtan 1'1'''1 或1'1'1'+-=ky k y y当α=2π时,有 '1'1y y -=又因为在交点处,)(x y =)(1x y ,于是,如果我们能求得x , 1y ,'1y 的关系()0,,'=y y x F采用分析法.设y =)(x y 为（C ）中任一条曲线,于是存在相应的C,使得()()0,,≡c x y x ϕ因为要求x ,y,'1y 的关系,将上式对x 求导,得()()()()()0,,,,'''≡+x y c x y x c x y x y xϕϕ 这样,将上两式联立,即由()()()⎩⎨⎧=+=0,,,,0,,'''y c y x c y x c y x y x ϕϕϕ 消去C,就得到()()x y x y x ',,所应当满足的关系()0,,'=y y x F这个关系称为曲线族（C ）的微分方程. 于是,等角轨线（α≠2π）的微分方程就是 01,,'1'11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ky k y yx F 而正交轨线的微分方程为01,,'11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y y x F为了避免符号的繁琐,以上两个方程可以不用1y ,而仍用y,只要我们明确它是所求的等角轨线的方程就行了.为了求得等角轨线或正交轨线,我们只需求上述两个方程即可. 例1 求直线束cx y =的等角轨线和正交轨线.解 首先求直线束cx y =的微分方程.将cx y =对x 求导,得'y=C,由⎩⎨⎧==cy cx y '消去C,就得到cx y =的微分方程xy dx dy =当α≠2π时,由（2.16）知道,等角轨线的微分方程为 x y dxdy kkdx dy =+-1 或kydx xdy ydy xdx -=+及22221y x ydx xdy k y x ydy xdx +-⋅=++即22211⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⋅=++x y xy d k y x ydy xdx积分后得到()c xyk y x ln arctan 1ln 2122+=+ 或xycey x arctan 2122=+如果α=2π,由（2.17）可知,正交轨线的微分方程为 x y dxdy =-1 即yx dx dy -= 或 0=+ydy xdx故正交轨线为同心圆族222c y x =+.例2 抛物线的光学问题在中学平面解析几何中已经指出,汽车前灯和探照灯的反射镜面都取为旋转抛物面,就是将抛物线绕对称轴旋转一周所形成的曲面.将光源安置在抛物线的焦点处,光线经镜面反射,就成为平行光线了.这个问题在平面解析几何中已经作了证明,现在来说明具有前述性质的曲线只有抛物线,由于对称性,只有考虑在过旋转轴的一个平面上的轮廓线l,如图,以旋转轴为Ox 轴,光源放在原点O(0,0).设l的方程为y=y(x,y).由O 点发出的光线经镜面反射后平行于Ox 轴.设M(x,y)为l 上任一点,光线OM 经反射后为MR.MT 为l 在M 点的切线,MN 为l在M 点的法线,根据光线的反射定律,有∠OMN=∠NMR从而tan ∠OMN=tan ∠NMR因为MT 的斜率为'y ,MN 的斜率为-'1y ,所以由正切公式,有tan ∠OMN='1'1xy yx yy ---, tan ∠NMR='1y从而'1y =-yxy yy x -+''即得到微分方程2'yy +2x 'y -y=0由这方程中解出'y ,得到齐次方程'y =-1)(2+±yxyx 令xy =u,即y=xu,有dxdy =u+dx du x代入上式得到dx du x=uu u 221)1(+±+-分离变量后得=+±+221)1(u u uduxdx -令1+22t u=上式变为xdxt dt -=±1.积分后得ln xC t ln 1=+或112±=+xcu .两端平方得 2211⎪⎭⎫⎝⎛+=+x c u化简后得x c x c u 2222+=以222c cx y xyu+==代入，得.这是一族以原点为焦点的抛物线. 2．动力学问题动力学是微分方程最早期的源泉之一.我们都知道动力学的基本定律是牛顿第二定律ma f =这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明显地含有加速度a,a 是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键就在于找到外力f 和位移对时间的导数－速度的关系.只要找到这个关系,就可以由ma f =列出微分方程了.在求解动力学问题时,要特别注意力学问题中的定解条件,如初值条件等.例：物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,在速度不太大的情况下,空气阻力可看做与速度的平方成正比试证明在这种情况下,落体存在极限速度1v .解 设物体质量为m,空气阻力系数为k,又设在时刻t 物体下落的速度为v,于是在时刻t 物体所受的合外力为2kv mg f -=（重力-空气阻力）从而,根据牛顿第二定律可得出微分方程2kv mg dtdvm-= 因为是自由落体,所以有()00=v⎰⎰=-t vdt kvmg mdv002 积分得t kvmg kv mg mg m=-+ln 21 或mkgtkvmg kv mg 2ln=-+解出v,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1122m kg t m kg t e k e mg v当∞→t 时,有1lim v kmg v t ==+∞→据测定,s k αρ=,其中 为与物体形状有关的常数,为介质密度,s 为物体在地面上的投影面积.人们正是根据公式1lim v kmgv t ==+∞→ ,来为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小的.在落地速度1v ,m, α,与一定时,可定出s 来.例: 某厂房容积为45m ×15m ×6m,经测定,空气中含有0.2﹪的2CO .开通通风设备,以360s m3的速度输入含有0.05﹪的2CO 的新鲜空气,同时又排出同等数量的室内空气.问30min 后室内所含2CO 的百分比.解 设在时刻t,车间内2CO 的百分比为x(t) ﹪,当时间经过dt 后,室内2CO 的该变量为45×15×6×dx ﹪=360×0.05﹪×dt-360×x ﹪×dt于是有关系式4050dx=360(0.05-x)dt或()dt x dx -=05.0454初值条件为x(0)=0.2.将方程分离变量并积分,初值解满足dt x dx t x⎰⎰=-02.045405.0 求出x,有X=0.05+0.15t e454-以t=30min=1800s 代入,得x ≈0.05.即开动通风设备30min 后,室内的2CO 含量接近0.05﹪,基本上已是新鲜空气了.4.变化率问题若某未知函数的变化率的表达式为已知,那么据此列出的方程常常是一阶微分方程.例：在某一个人群中推广技术是通过其中已掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t=0时刻已掌握新技术的人数为0x ,在任意时刻t 已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例系数k ＞0,求x(t).解 由题意立即有()()00,x x x N kx dtdx=-= 按分离变量法解之,()kdt x N x dx=-,即kNdt dx x N x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11积分并化简的通解kNtkNt ce Nce x +=1 由初值条件得特解kNt kNt ex x N e Nx x 000+-= 通过以上几个简单的例子，我们发现用微分方程解决一些实际问题其实很方便，也很普遍，所以在以后的学习中，除了学习必须的理论与方法外，更应该加强理论与实际的联系，将学习的知识更好的用于解决实际问题中.通过大一下学期的高数学习，让我的知识更进了一步。