大一第二学期高数论文设计

姓名：某某某学院：某某学院班级：某某***班学号：**********【摘要】又经过一个学期的学习，我对高数的认识又有不同了，大一上学期的学习主要是对高数的基础进行认识，而大二的学习就是更深入延伸和拓展，在原有学习的基础上更深入的了解其精髓，重点学习了高数中的导数、微分和积分的扩充，对于我们更深刻的掌握高数这门学科有很大的好处。

这一学期里我们，即从对一元函数的求导到对多元函数的求导，求偏导和求全微分，从一重积分扩充到二重积分和三重积分，但是之前的一重积分主要是运算，但是重积分则更加注重在其运用上，积分也从之前的对某一个区域积分延伸到对曲线积分和曲面积分上。

另外，这学期也新引入了无穷级数和微分方程。

学习高数我们应该有严谨的态度，在努力的基础上加上认真，才能更好的学习。

【关键词】导数微分重积分级数一、对高数的认识已经经过两个学期的学习，我对高数的认识已然不同，高数是最最有用的课程之一，后面的好多课程都会用到高数的知识。

高数是公共基础课，对工科学生尤为重要，后续课程都会用到，比如，接下来的复变函数、积分变换是高数的延续，而大学物理、电路、电子技术等都需要高数的知识进行解题。

是进一步进修不可或缺的考研等都要考数学。

总之高数是理工科基础的基础。

就像你小学学的加减法是你继续学习的基础一样。

数学培养的是我的思维，是分析问题、解决问题的思维方式。

许多实际问题都需要建立数学模型来解决，而我建立模型地基础就是我怎样把实际问题转化为数学问题。

而很多时候数学的学习是有很多趣味的，像重积分，二重积分，哪怕是三重积分，那些变化，通过立体模型的解题过程是多么的好玩，多么的妙趣横生。

二、如何学习(1)课前预习从小到大，经过这么多年的学习，当然发现适当的预习是必要的，在上课前对所学知识的先行认识，相应地复习与之相关内容。

如果能够做到这些，那么学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。

(3)课后复习复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某个定理的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，不清楚之处再对照教材或笔记。

三、高数解题方法（多重积分）1.高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是积分，高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在许多学科中、生活中应用比较广泛。

1.1曲面的面积设曲面∑的方程为()，y x f z,=∑在xoy 面上的投影为xy D ，函数()y x f ,在D 上具有连续偏导数，则曲面∑的面积为：()()⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=D y x Dd y x f y x f dxdy y f x f A σ,,112222若曲面∑的方程为()，z y g x ,=∑在yoz 面上的投影为yz D ，则曲面∑的面积为：()()⎰⎰⎰⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=Dz y Dd z y f z y f dydz z g y g A σ,,112222若曲面∑的方程为()，x z h y ,=∑在zox 面上的投影为zx D ，则曲面∑的面积为：()()⎰⎰⎰⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=Dx z Dd x z f x z f dzdx x h z h A σ,,112222例1：计算双曲抛物面xy z =被柱面222R y x =+所截出的面积A 。

解：曲面在xoy 面上投影为222:R y xD ≤+,则⎰⎰++=Dy x dxdy z z A 221即有:()322202113RDA d R πθπ⎡⎤===+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰从而被柱面222R y x=+所截出的面积A 如上所示。

例2:求半径为a 的球的表面积.解:取上半球面方程为222y x a z --=,则它在xoy 面上的投影区域(){}222,a y x y x D ≤+=.又由 ,222y x a x x z ---=∂∂,222y x a y y z ---=∂∂得.122222y x a a y z x z --=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+因为这函数在闭区域D 上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域(){}()a b b y x y x D <<≤+=0,2221为积分区域,算出相应于1D 的球面面积1A 后,令a b →取1A 的极限就得半球面的面积.⎰⎰--=1,2221D dxdy yx a a A利用极坐标,得⎰⎰⎰⎰-=-=bD a d d a d d a a A 022202211ρρρθθρρρπ于是().22lim lim 2221a b a a a A ab ab ππ=--=→→ 这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为.42a A π=1.2质量1.2.1平面薄片的质量若平面薄片占有平面闭区域D ，面密度为()y x ,μ，则它的质量为()⎰⎰=Dd y x m σμ,，其中()σμd y x dm ,=称为质量元素.1.2.2物体的质量若物体占有空间闭区域Ω，体密度为()z y x ,,μ，则它的质量为()⎰⎰⎰=Ddvz y x m ,,μ例3：由螺线θρ2=，与直线2πθ=，围成一平面薄片D ，它的面密度为22y x +=μ，求它的质量。

ox解：如图所示，()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=+==DDd d dxdy y x dxdy m 220222πθρρρθμ4051445205204πθθθππ=⋅==⎰d1.3质心1.3.1平面薄片的质心若平面若平面薄片占有平面比区域D ，面密度为()y x ,μ，则它的质心坐标为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎰⎰⎰⎰D D d y x y m y d y x x m x σμσμ,1,1，其中m 为平面薄片的质量. 1.3.2物体的质心若物体占有空间闭区域Ω，体密度为()z y x ,,μ，则它的质心坐标为：()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D dv z y x m z dvz y x m y dv z y x m x ,,1,,1,,1μμμ，其中m 为物体的质量. 例4：求位于两球面()42222=-++z y x，和()11222=-++z y x 之间的均匀物体的质心.解：由对称性可知，质心必须位于z 轴上 ，故0,0==y x由公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==υμυμυμd d z d z m z 1由面≡μ常数，不妨设1≡μ，则()⎰⎰⎰ΩΩΩ=的体积υμd ，πππ328134-23433=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=υυμzd d z()πϕπϕϕϕπϕϕϕϕϕπϕϕρϕθρϕϕρρϕθπππϕϕπππϕϕπ20cos 61120cos sin 120cos 16cos 4cos sin 412cos sin 41sin cos 2062054442cos 4cos 22042020cos 4cos 2220=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d所以71532820==ππz ， 从而质心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛715,0,0。

例5:求位于两圆θρsin 2=和θρsin 4=之间的均匀薄片的质心。

解：如图所示：因为闭区域D 对称于轴y 轴，所以质心()y x C,，必位于y 轴上，于是0=x 。

再按公式⎰⎰=Dyd A y σ1计算y ，由于闭区域D 位于半径为1和半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两圆面积之差，即π3=A 。

再利用极坐标计算积分x因此 ,3737==ππy 所以质心是⎪⎭⎫ ⎝⎛37,0C 。

1.4转动惯量1.4.1平面薄片的转动惯量若平面薄片占有平面闭区域D ，面密度为()y x ,μ，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:()σμσμσμd y x I d x I d y I DDo y Dx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+===2222,,1.4.2物体的转动惯量若物体占有空间闭区域Ω，体密度为()z y x ,,μ，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:()()()()υμυμυμυμd z y x I d y x I d x z I d y x I o z y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++=+=+=+=222222222,,,例6：求半径为a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。

4sin 2242sin 056sin sin sin 73DDyd d d d d d πθπθσρθρθθθρρθθπ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:建立坐标系如图所示:⎩⎨⎧≥≤+0:222y a y x Dox221241sin sin 0432232πμθθμθθμμπ⋅⋅⋅====⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDax a dr r d drd r dxdy y I又 半圈薄片的质量μπ221a M =.412Ma I x =∴. 例7：求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量。

解:取球心为原点, z 轴为l 轴,设球所占域为,:2222a z y x ≤++Ω则()().3452132252sin sin cos sin cos sin 20032543222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅⋅⋅==⋅+=+=ΩΩππρππρϕϕθρθϕϕθϕθϕρρaa M M a a dr r d d d drd r r r dxdydzy x I1.5引力1.5.1平面薄片对质点的引力若平面若平面薄片占有平面比区域D ，面密度为()y x ,μ，质量为m 的质点位于()00,y x ，设薄片对质点的引力为{}y x F F F ,=，则()⎰⎰-=Dx d r x x GmF σμ30, ()⎰⎰-=Dy d r y y Gm F σμ3其中()()2020y y x x r -+-=,G 为引力常数.1.5.2物体对质点的引力若物体占有空间闭区域Ω，体密度为()z y x ,,μ，质量为m 的质点位于()000,,z y x ，设薄片对质点的引力为{}z y x F F F F ,,=，则()⎰⎰⎰Ω-=υμd rx x Gm F o x 3()⎰⎰⎰Ω-=υμd r y y Gm F o y 3()⎰⎰⎰Ω-=υμd r z z Gm F o z 3其中()()()202020z z y y x x r -+-+-=,G 为引力常数.例8：求一高R ，底面半径为R 的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。

解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为z 轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为R z y x ≤≤+22，设密度为μ，所求{}z y x F F F F ,,=用微元法讨论，在圆锥任意一点()z y x ,,处取微元υd ，则此小块质量为υμd ，它对原点处单位质点引力为：r rd G r r r d G F d 321υμυμ=⋅=，其中{}.,,,222z y x r z y x r ++==由对称性可知0==y xF F ，ϕcos F d dF z=因为r z =ϕcos ，所以υμd rz G dF z 3=，从而υμd rz GF z 3⎰⎰⎰Ω=()()()[]()R G G d R G d zG dRzzzd d G dzd d zzG RR RR Rμπμπρρρμπρρρπμρρρθμθρρρμπ2222122122022022202222212323-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω 所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为()R G F μπ22-=。