2000-2013年(新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷及答案(试题全与答案分开)

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试卷：2014年上海市新知杯初中数学试题(含答案解析)

2014上海市初三数学竞赛试卷（2014年12月7日上午9：00—11:00）解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每小题10分，共80分）1.化简：3223222a a b ab b a ab b--+=-+ 2. 若y xa x z+=，z y b y x +=，x z c z y +=，则()()()b c a c a b a b c +-+-+-的值为3. 已知ABCD 是等腰梯形， ABIICD ，AB=6，CD=16，△ACE 是直角三角形，∠AEC=900，CE=BC=AD ，则AE 的长为4. 方程2014xyz xy yz zx x y z ++++++=的非负整数解（x ,y ,z ）的组数为5.在三角形ABC 中，∠ABC=440，D 是边BC 上的一点，满足DC=2AB, ∠BAD=240，则∠ACB 的大小为6. 在直角坐标平面xOy 上，由不等式221x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪-≤⎩确定的区域的面积为7. 使得关于x 的方程2221130a x ax a ++-=有两个整数根的所有正实数a 是8. 设20142的所有正约数为d 1,d 2,…,d k ,则12111 (201420142014)k d d d +++=+++二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 解关于x 的方程：(1)xx x x x a x x+--=++10.如图，在凸四边形ABCD 中，已知∠ABC +∠CDA =3000，AB CD BC AD ⨯=⨯, 求证：AB CD AC BD ⨯=⨯11. 已知边长为a 的正方形ABCD 的内部有n 个圆，每个圆的面积都不大于1，且与正方形ABCD 的边平行的直线都至多与一个圆相交，求证：这n 个圆的面积之和小于a 。

12. （1）证明：可以将全体正整数分成3组A 1，A 2，A 3，使得对每一个整数15n ≥，在A 1，A 2，A 3的每一组中都能取出两个不同的数，它们的和为n（2）证明：将全体正整数任意分成4组A 1，A 2，A 3，A 4，则存在整数15n ≥，在A 1，A 2，A 3 ，A 4中一定有一组A i ，在A i 中不存在两个不同的数，它们的和为n2014上海市初三数学竞赛试卷解答（2014年12月7日上午9：00—11:00）解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每小题10分，共80分）1.化简：3223222a ab ab ba ab b--+= -+2. 若y xax z+=，z yby x+=，x zcz y+=，则()()()b c a c a b a b c+-+-+-的值为3. 已知ABCD是等腰梯形，ABIICD，AB=6，CD=16，△ACE是直角三角形，∠AEC=900，CE=BC=AD，则AE的长为4. 方程2014xyz xy yz zx x y z ++++++=的非负整数解（x ,y ,z ）的组数为5.在三角形ABC 中，∠ABC=440，D 是边BC 上的一点，满足DC=2AB, ∠BAD=240，则∠ACB 的大小为6. 在直角坐标平面xOy 上，由不等式221x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪-≤⎩确定的区域的面积为7. 使得关于x 的方程2221130a x ax a ++-=有两个整数根的所有正实数a 是8. 设20142的所有正约数为d 1,d 2,…,d k ,则12111 (201420142014)k d d d +++=+++二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 解关于x 的方程：(1)xx x x x a x x+--=++⨯=⨯, 10.如图，在凸四边形ABCD中，已知∠ABC+∠CDA =3000，AB CD BC AD⨯=⨯求证：AB CD AC BD11. 已知边长为a的正方形ABCD的内部有n个圆，每个圆的面积都不大于1，且与正方形ABCD的边平行的直线都至多与一个圆相交，求证：这n个圆的面积之和小于a。

2013上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷

2013上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．若在区间2,3][上，函数c bx x x f ++=2)(与x x x g 6)(+=在同一点取相同的最小值，则函数)(x f 在2,3][上的最大值是．2．若d c b a ,,,为整数，且20137lg 5lg 3lg 2lg =+++d c b a ，则有序数组),,,(d c b a = ．3．已知函数222222)3()5()2(x x x x y +-+-+-=，则该函数的最小值是．4．已知线段9=+y x （0,0≥≥y x ）分别与y 轴，指数函数x a y =的图像，对数函数x y a log =的图像，x 轴交于点D C B A ,,,，其中1,0≠>a a ，若中间两点恰好三等分线段AD ，则a 的值是．5．如图，已知椭圆C ：12522=+y x 和⊙O ：122=+y x ，在椭圆内，且在⊙O 外的区域内（包括边界）所含圆的最大半径是．6．关于n m ,的方程431112=-+mn n m 的整数解),(n m = ． 7．袋中有6 只红球与8 只白球, 任意抓5 只放入一个A 盒中，其余9 只球放入一个B 盒中，则A 盒中白球个数加B 盒中红球个数之和不是质数的概率是 (用数字作答)．8．若在集合},100!,99!,,3!,2!{1! 中删去一个元素后，余下元素的乘积恰好是一个完全平方数，则删去的这个元素是．二、解答题9．（本题满分12分）正整数列}{n a 的前n 项和为n b ，数列}{n b 的前n 项积为n c ，且12=+n n c b （*N n ∈），求数列}1{n a 中最接近2013 的数．10．（本题满分12分）已知正数p 及抛物线C ：px y 22=（0>p ），)0,6(p A 为抛物线C 对称轴上一点，O 为抛物线C 的顶点，M 为抛物线C 上任意一点，求||||AM OM 的最大值．11．（本题满分18分）已知不等式)()(5)(222*++>++ c b a ca bc ab k（1）若存在正数c b a ,,，使不等式)(*成立，求证：5>k ；（2）求所有满足下列条件的整数k ：存在正数c b a ,,使不等式)(*成立，且凡使不等式)(*成立的任意一组正数c b a ,,都是某个三角形的三边长．12．（本题满分18分）已知棱长为1 的正方体ABCDEFGH （如图），P 为它的8 个顶点构成的集合，对*N n ∈规定12+n 个有序顶点组)(2210n A A A A 满足A A =0，且对每个}12,,2,1,0{-∈n i ，1+i A 与i A 是P 中的相邻顶点．（1）求顶点n A 2所有可能的位置；（2）设n S 2表示C A n =2的所有12+n 个有序顶点组)(2210n A A A A 的个数, 求n S 2．。

2013年上海市中考数学真题试卷(含答案)

2013年上海市中考数学试卷【精品】一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（2013•上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）（2013•上海）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=03．（4分）（2013•上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．（4分）（2013•上海）数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（）A．2和2.4 B．2和2 C．1和2 D．3和25．（4分）（2013•上海）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：56．（4分）（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（）A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）（2013•上海）分解因式：a2﹣1=_________．8．（4分）（2013•上海）不等式组的解集是_________．9．（4分）（2013•上海）计算：=_________．10．（4分）（2013•上海）计算：2（﹣）+3=_________．11．（4分）（2013•上海）已知函数，那么=_________．12．（4分）（2013•上海）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为_________．13．（4分）（2013•上海）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为_________．14．（4分）（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为_________．15．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是_________．（只需写一个，不添加辅助线）16．（4分）（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是_________升．17．（4分）（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_________．18．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为_________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19～22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）（2013•上海）计算：．20．（10分）（2013•上海）解方程组：．21．（10分）（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．22．（10分）（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）23．（12分）（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．24．（12分）（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．25．（14分）（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．2013年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（2013•上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．分析：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．解答：解：A、=3，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、=2，不是最简二次根式，故此选项错误；D、=，不是最简二次根式，故此选项错误；故选：B．点评：本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．2．（4分）（2013•上海）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0考点：根的判别式．专题：计算题．分析：计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．解答：解：A、这里a=1，b=0，c=1，∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a=1，b=﹣1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选D点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．3．（4分）（2013•上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．解答：解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．点评：本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．（4分）（2013•上海）数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（）A．2和2.4 B．2和2 C．1和2 D．3和2考点：中位数；加权平均数．分析：根据中位数和平均数的定义求解即可．解答：解：这组数据的中位数为：（1+3）÷2=2，平均数为：=2．故选B．点评：本题考查了中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．5．（4分）（2013•上海）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5考点：平行线分线段成比例．专题：压轴题．分析：先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB=CE：AC，则可求得答案．解答：解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．6．（4分）（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（）A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC考点：等腰梯形的判定．专题：压轴题．分析：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．解答：解：A、∵∠BDC=∠BCD，∴BD=BC，根据已知AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、根据∠ABC=∠DAB和AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；C、∵∠ADB=∠DAC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠ACB，∴OA=OD，OB=OC，∴AC=BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；D、根据∠AOB=∠BOC，只能推出AC⊥BD，再根据AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了对等腰梯形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，注意：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）（2013•上海）分解因式：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．考点：因式分解-运用公式法．分析：符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．解答：解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．点评：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8．（4分）（2013•上海）不等式组的解集是x＞1．考点：解一元一次不等式组．专题：探究型．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞1；由②得，x＞﹣3，故此不等式组的解集为：x＞1．故答案为：x＞1．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（4分）（2013•上海）计算：=3b．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：分子和分母分别相乘，再约分．解答：解：原式==3b，故答案为3b．点评：本题考查了分式的乘除法，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．10．（4分）（2013•上海）计算：2（﹣）+3=．考点：*平面向量．分析：先去括号，然后进行向量的加减即可．解答：解：2（﹣）+3=2﹣2+3=2+．故答案为：2+．点评：本题考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握向量的加减运算是关键．11．（4分）（2013•上海）已知函数，那么=1．考点：函数值．分析：把自变量的值代入函数关系式进行计算即可得解．解答：解：f（）==1．故答案为：1．点评：本题考查了函数值求解，把自变量的值代入进行计算即可，比较简单．12．（4分）（2013•上海）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为．考点：概率公式．分析：让英文单词theorem中字母e的个数除以字母的总个数即为所求的概率．解答：解：∵英文单词theorem中，一共有7个字母，其中字母e有2个，∴任取一张，那么取到字母e的概率为．故答案为．点评：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．13．（4分）（2013•上海）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为40%．考点：条形统计图．分析：各个项目的人数的和就是总人数，然后利用报名参加甲组和丙组的人数之和除以总人数即可求解．解答：解：总人数是：50+80+30+40=200（人），则报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为×100%=40%．故答案是：40%．点评：本题考查了条形统计图，正确读图，理解图形中说明的意义是关键．14．（4分）（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据题意画出图形，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可得出BD的长，在Rt△OBD中，利用勾股定理及可求出OD的长．解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵AB=4，∴BD=AB=×4=2，在Rt△OBD中，∵OB=3cm，BD=2cm，∴OD===．故答案为：．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．15．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AC=DF．（只需写一个，不添加辅助线）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：求出BC=EF，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：解：AC=DF，理由是：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC=DF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．16．（4分）（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是2升．考点：一次函数的应用．分析：先运用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，然后把x=240时带入解析式就可以求出y的值，从而得出剩余的油量．解答：解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由函数图象，得，解得：，则y=﹣x+3.5．当x=240时，y=﹣×240+3.5=2升．故答案为：2点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的运用，根据自变量求函数值的运用，解答时理解函数图象的含义求出一次函数的解析式是关键．17．（4分）（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．考点：三角形内角和定理．专题：压轴题；新定义．分析：根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．解答：解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．点评：此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．18．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．解答：解：过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB=AC，BC=8，tanC=，∴=，QC=BQ=4，∴AQ=6，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过B′点作B′E⊥BC于点E，∴B′E=AQ=3，∴=，∴EC=2，设BD=x，则B′D=x，∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，∴x2=（6﹣x）2+32，解得：x=，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．故答案为：．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19～22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）（2013•上海）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：分别进行二次根式的化简、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算，然后按照实数的运算法则计算即可．解答：解：原式=2+﹣1﹣1+2=3．点评：本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、绝对值、零指数幂、负整数指数幂等知识，属于基础题．20．（10分）（2013•上海）解方程组：．考点：高次方程．分析：先由②得x+y=0或x﹣2y=0，再把原方程组可变形为：或，然后解这两个方程组即可．解答：解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，．点评：此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．21．（10分）（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）连接OA，过A作AC垂直于y轴，由A的横坐标为2得到AC=2，对于直线解析式，令y=0求出x 的值，表示出OB的长，三角形AOB面积以OB为底，AC为高表示出，根据已知三角形的面积求出OB 的长，确定出B坐标，代入一次函数解析式中即可求出b的值；（2）将A坐标代入一次函数求出t的值，确定出A坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式．解答：解：（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，∵A（2，t），∴AC=2，对于直线y=x+b，令x=0，得到y=b，即OB=b，∵S△AOB=OB•AC=OB=1，∴b=1；（2）由b=1，得到直线解析式为y=x+1，将A（2，t）代入直线解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），把A（2，2）代入反比例解析式得：k=4，则反比例解析式为y=．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．（10分）（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）考点：解直角三角形的应用．分析：过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠EAH=53°，则∠EAH=53°，然后在△EAH中，利用余弦函数的定义得出EH=AE•cos∠AEH≈0.96米，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．解答：解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°﹣∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度为2.2米．点评：本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．23．（12分）（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．解答：证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；（2）∵四边形DBCF为平行四边形，∴DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．（12分）（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）根据（1）中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；（3）分别根据当△ABC1∽△AOM以及当△C2AB∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．解答：解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴AE=1，EO=，∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；（2）过点M作MF⊥OB于点F，∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，当△ABC1∽△AOM，∴=，∵MO==，∴=，解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；当△C2AB∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．点评：此题主要考查了锐角三角函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的性质等知识，利用分类讨论思想以及数形结合得出是解题关键．25．（14分）（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用相似三角形△ABP∽△MQB，求出y关于x的函数解析式；注意求x的取值范围时，需考虑计算x最大值与最小值的情形；（2）如答图1所示，利用相外切两圆的性质，求出PQ的长；利用垂直平分线的性质PQ=BQ，列方程求出x的值；（3）如答图2所示，关键是证明△CEQ∽△ABP，据此列方程求出x的值．解答：解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．∵MQ是线段BP的垂直平分线，∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，∴∠MBQ+∠BQM=90°，∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，又∵∠A=∠BMQ=90°，∴△ABP∽△MQB，∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）．当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1；又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．∴y=（x2+25）（1≤x≤13）．（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y；∵PQ=BQ，∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意．∴x=．（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，∴△CEQ∽△ABP，∴，即，化简得：4x+5y=65，将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意，∴x=．点评：本题是中考压轴题，难度较大．试题的难点在于：其一，所考查的知识点众多，包括相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、圆的位置关系、角平分线的性质、垂直平分线的性质、解分式方程与一元二次方程等，对数学能力要求很高；其二，试题计算量较大，需要仔细认真计算，避免出错．参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；sd2011；gbl210；HJJ；sks；HLing；wdxwwzy；CJX；hdq123；未来；ZJX；星期八；lantin；zjx111；zhjh（排名不分先后）菁优网2013年12月10日。

2000年到2011年全国初中数学竞赛历考答案(12份)-716

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～5 6～10 11 12 13 14 得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，，都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（﹣1，0）（D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S=++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223yx =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=． 4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为（第14题）（第4题）()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-，又因为2BD AC =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32（第8题）解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+．由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AFCB AC=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，（第10题）解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.（第12题）（第13题）于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PCQD x =-，所以BC PC BD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ，故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC =3a ，BD =3b ，所以 AC =32a -，AD =23b -.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即3223a a b b -=-，所以3a b ab +=．由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以33322ab a b =+=，，于是可求得2 3.a b == 将32b =代入223y x =，得到点Q 的坐标（32，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =- 所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 222(1)Q QQ x x y =++. 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3. 又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=. 若32Q x =，代入上式得 3P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =，可得32P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．（第14题）。

2017年新知杯上海市数学竞赛

2017年新知杯上海市数学竞赛2017年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷2017年12月4日上午9:00~11:00）一、填空题（每题10分，共80分）1.已知关于x的两个方程：x-x+3m=……①，x+x+m=……②，其中m≠0.若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m的值是___________。

2.已知梯形ABCD中，XXX，∠ABC=90°，BD⊥AD，BC=5，BD=13，则梯形ABCD的面积为_______________。

3.从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。

4.将8个数-7，-5，-3，-2，2，4，6，13排列为a，b，c，d，e，f，g，h，使得(a+b+c+d)+(e+f+g+h)的值最小，则这个最小值为____________。

5.已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边AB，BC上的点，使得AE=3，BF=2，线段AF与DE相交于点G，则四边形DGFC的面积为_____________。

6.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，P是△ABC内一点，使得PA=11，PB=7，PC=6，则边AC的长为______________。

7.有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得分。

比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的4/5，则第2名选手的得分是_________。

8.已知a，b，c，d都是质数（质数即素数，允许a，b，c，d有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则a+b+c+d的最小值为_________。

二、解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9.如图，矩形ABCD的对角线交点为O，已知∠DAC=60°，角DAC的平分线与边DC交于点S，直线OS与AD相交于点L，直线BL与AC相交于点M。

2001——2013年上海中考数学压轴题--(试题加答案精心整理)

年上海市数学中考2001DCABADBCADBCADABCD．2＝＝，5＝，且＜，∥中，．已知在梯形27ABPCADP．＝∠上的一点，满足∠为，8）如图1（ 8 图DPCABP∽△①求证；△AP的长．②求EBCPEABPEDAPADP（，于点交直线，＝∠且满足∠，不重合）、与点（点边上移动在如果点）2QDC同时交直线，那么于点xyyCQxAPDCQ的函数解析式，并写出函数的定关于，求＝，＝的延长线上时，设在线段①当点义域；APCE＝②当．的长（不必写出解题过程）时，写出1ACPABCD上滑动，在对角线上，并使它的直角顶点的正方形1将一把三角尺放在边长为操作：．27 QDCB．相交于点，另一边与射线直角的一边始终经过点7 图图图xPA．两点间的距离为、：设探究PBPQCDQ）当点1（之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；与线段上时，线段在边xyyPBCQCDQ之间的函数解析式，并写出函数的与，求的面积为上时，设四边形在边）当点2（定义域；PCQPCQACP是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△上滑动时，△在线段）当点3（xQ的值；如果不可能，试说明理由．的位置，并求出相应的成为等腰三角形的点年初中毕业高中招生统一考试2003上海市长为半径的圆的一段弧。

点AB为圆心，B是点AC，弧1＝AB中，ABCD如图，在正方形27.上AD是边E于点DC所在圆的切线，交边AC作弧E，过不重合）D、A与点E的任意一点（点为切点：G，F 的中点；EF为线段Gº时，求证：点45＝DEF）当∠1（（的函数解析式，并写出函数的定义域；x关于y，求y＝FC，x＝AE）设25）将△3（是否相似，如果FED与△DAD时，讨论△＝EF，如图，当EFD翻折后得△EF沿直线DEF1116 相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。

年上海市中考数学试卷2004上海）数学课上，老师提出：2004•（、27如图，，AB=OA的右侧，A且在点轴上，x在B点，）0，1（点的坐标为A为坐标原点，O在平面直角坐标系中，2于点BD交OC，直线D和C的图象于点y=x轴的垂线，分别交二次函数x作B和A过点y交CD，直线M ．y的纵坐标为H，点x、x的的横坐标分别为D、C，记点H轴于点DCH 同学发现两个结论： y﹣=•xx数值相等关系：3 ②：=2S：①SCMD△HABMCDC梯形成立；②和结论①）请你验证结论1（，其他条件不变，”）0＞t（）0，t的坐标（“A改为”）0，1的坐标（“A）请你研究：如果上述框中的条件2（；是否仍成立（请说明理由）①结论2“A改为”）0，1的坐标（“A）进一步研究：如果上述框中的条件3（”“y=x，又将条件”）0＞t（）0，t的坐标（2（“y=ax改为有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）y与x、x，其他条件不变，那么”）0＞aHDC年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷2005分）4分，每小题满分各为12（本题满分、1是边O，3＝BC，4＝AB°，90＝ABC中，∠ABC在△相AB为圆心作半圆，与边O上的一个动点，以点AC 。

2023“新知杯”上海市九年级数学竞赛初赛试卷

一．选择题(每题5分）1．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B ．C ．D ．2．若关于x的不等式kx2+（k﹣6）x+2＞0的解为全体实数，则实数k的取值范围是（）A．﹣2＜k＜18B．﹣18＜k＜﹣2C．2＜k＜18D．﹣18＜k＜23．已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，设s＝a﹣2b，则s的取值范围是（）A ．B．﹣3＜s≤3C．﹣6＜s ≤D ．4．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2023，则m的值是（）A．46B．45C．44D．435．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（）A ．B ．C ．D ．6．如图，在⊙O中，弦BC＝，半径OA⊥弦BC于点D，将⊙O沿弦BC向上折叠，使折叠后的圆弧与AD交于点E，若sin∠ABE ＝，则OD的长度（）A．3B ．C．4D ．二．填空题（每题6分）11．已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2．则的值为．12．已知a，b，c均为非零实数，满足：＝＝，则的值为．13.如图，在矩形OABC中，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，边AB与反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象交于点E，若E为AB的中点，则矩形OABC的面积为．14.如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM．连接DF、CF，则DF+FC的最小值为．二．解答题.15.（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）+k2＝0有两个实根x1、x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；（2）已知a＜b＜0，且＝6，求（）3的值．16．（16分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC 于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．（1）求证：D是的中点；（2）求证：∠DAO＝∠B+∠BAD；（3）若，且AC＝4，求CF的长．17．（18分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（1，2），与x轴交于点B（﹣1，0），C两点，与y轴交于点D，点P是抛物线上的动点．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）如图2，连接CD，点E在CD上，若点P在第一象限，且∠PEC＝90°，求线段PE长度的最大值；（3）如图3，连接AB、AC，已知∠ACB+∠PCB＝α，是否存在点P，使得tanα＝2？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．。

2000年全国初中数学竞赛

2000年全国初中数学竞赛一、选择题：（本题共6小题，每小题5分，满分30分。

每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设c b a ,,的平均数为M ，b a ,的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a >>，则M 与P 的大小关系是（）A 、M=PB 、M>PC 、M<PD 、不确定2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米a b <(），再前进c 千米，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是（）3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁4、一个一次函数的图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，并且过点)25,1(--，则在线段AB 上（包括端点A ，B ），横、纵坐标都是整数的点有（）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个5、设c b a ,,分别是ABC ∆的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角B A ∠∠,的关系是（） A 、A B ∠>∠2 B 、A B ∠=∠2 C 、A B ∠<∠2 D 、不确定6、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，面积为S ：'''C B A ∆的三边分别为',','c b a ，面积为S ’，且',','c c b b a a >>>，则S 与S ’的大小关系一定是（）A 、'S S >B 、'S S <C 、'S S =D 、不确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）7、已知333124++=a ，那么=++32133aa a __________。

2013年全国初中数学联合竞赛试题(含答案解析)

10．如果实数，，满足，用表示，，的最大值，则的最大值为___________．
三、解答题
11．已知实数，，，满足，求的值．
12．已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连，若，求的值．
13．已知是一元二次方程的一个根，若正整Leabharlann ，，使得等式成立，求的值．
10．
【详解】
由已知等式得，
不妨设，则
，
解得．
所以的最大值为，当，时取得
11．
【详解】
解：设，，则．
因为，即，所以 …………①
又因为
………………②
由①，②可得．即．
注：符合条件的实数，，，存在且不唯一，
，，，就是一组．
12．
【详解】
解：连，因为，为圆的切线，所以．
于是可得，，，
所以
因此，，是关于的一元二次方程的两个整数根，
该方程的判别式．
又因为，是正整数，所以，从而可得．
又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有符合要求．
把代入可得．
14．
【详解】
解：因为，所以．
等式即，
即，
整理得，
于是可得．
因此，，是关于的一元二次方程 ……①的两个整数根，
7．4
【详解】
由得，代入得，所以，，，从而
8．8
【详解】
只有一个面染红色的小正方体的总数为个，任何面均不是红色的小正方体的总数为个，由题意知，解得
9．
【详解】
作点关于，的对称点，，连接，，，，，，则，且，作于点．

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1 2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 一、填空题(每题10分) 1.已知721,721ba，则.________33bbaa

2.已知43214321//////,//////mmmmllll，._______,20,100EFGHILKJABCDSSS则

3.已知FEACABA、，,8,690在AB上且3,2BFAE过点E作AC的平行线交BC于D，FD的延长线交AC的延长线于G，则

.__________GF

4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321xfaaaaa为二次三项式；当1ax或者5432aaaax时，5)(xf，当21aax时，,)(pxf当543aaax时，qxf)(，则.________qp

5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为___________.

6.已知关于x的一元二次方程0)2)(1(2mmaxx对于任意的实数a都有实数根，则m的取值范围是_________________.

7.已知四边形ABCD的面积为2013，E为AD上一点，CDEABEBCE,,的重心分别为321,,GGG，那么321GGG的面积为

________________.

8.直角三角形斜边AB上的高3CD，延长DC到P使得2CP，过B作APBF交CD于E，交AP于F，则._________DE 2

二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知90BAC，四边形ADEF是正方形且边长为1，求

CABCAB111的最大值.

10.已知a是不为0的实数，求解方程组：axyxyayxxy1 11.已知：,1nnaaaa,,,,321

为整数且

2013321321nnaaaaaaaa，求n的最小值.

12.已知正整数dca、、、b满足),13(),13(22dcbdca求所有满足条件的d的值.

答案： 1.27102 2.60 3.265 4.0 5.735 6.12m

7.3671 8.59

9.CABCAB1114221 10.经检验原方程组的解为：1122ayaax，





1122ayaa

11.【解析】2013,1,1,554321aaaaan当满足题设等式，下证当4n时，不存在满足等式要求的整数，不妨设naaaa321， (1)当4n时，611132013，当4321,,,aaaa中有负整数时，必为

20132015,1434321aaaa

aa，若2013,143aa不满足条件，当

20152671,344343aaaaa无解.不可能，当4321,,,aaaa 3

中无负整数时，显然20134a，6714a，容易验证等式不可能成立. (2)当3n时，当321,,aaa中有负整数时，必为,121aa显然等式不成立，当321,,aaa中无负整数时，同上容易验证等式不可能成立. (3)当2n时，21,aa均为正整数，同上易验证等式不可能成立. 综上所述，n的最小值为5.

12.85d 2013上海新知杯初中数学竞赛答案 4 5

2012年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷解答本试卷可以使用科学计算器

一、填空题（每题10分，共80分） 1. 已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，则直线与之间的距离为_____________。 2. 同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，则

的值为______________。 3. 在平面直角坐标系中，已知点（，），点在直线上，使得是等腰三角形，则点的坐标是____________________。 4. 在矩形中，。点分别在

上，使得。是矩形内部的一点，若四边形的面积为，则四边形的面积等于_______________。

5. 使得是素数的整数共有___________个。 6

6. 平面上一动点到长为的线段所在直线的距离为，当取到最小值时，_____________。 7. 已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为________________。

8. 将所有除以余和除以余的正整数从小到大排成一列，设表示这数列的前项的和，则

___________。（这里表示不超过实数的最大整数。）

二、解答题（第9,10题，每题15分，第11,12题，每题20分，共70分）

9. 如图，是正方形内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为。已知，求证：或者，或者。 10. 解方程组。 11. 给定正实数，对任意一个正整数，记，这里，表示不超过实数的最大整数。（1）若，求的取值范围；（2）求证： 12. 证明：在任意个互不相同的实数中，一定存在两个数，满足 7

2011解答本试卷可以使用科学计算器

一、填空题（每题10分，共80分） 1. 已知关于x的两个方程：032mxx①，02mxx②，其中0m。若方程①中有一个根是方程②

的某个根的3倍，则实数m的值是___________。 2. 已知梯形ABCD中，AB//CD，90ABC，ADBD，5BC，13BD，则梯形ABCD的面积为_______________。 3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。 4. 将8个数7，5，3，2，2，4，6，13排列为a，b，c，d，e，f，g，h，使得22hgfedcba的值最小，则这个最小值为____________。 5. 已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边AB，BC上的点，使得3AE，2BF，线段AF与DE相交于点G，则四边形DGFC的面积为_____________。 6. 在等腰直角三角形ABC中，90ACB，P是ABC内一点，使得11PA，7PB，6PC，则边AC的长为______________。 7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。 8. 已知a，b，c，d都是质数（质数即素数，允许a，b，c，d有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则dcba的最小值为_________。二、解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分） 9. 如图，矩形ABCD的对角线交点为O，已知60DAC，角DAC的平分线与边DC交于点S，直线OS与AD相交于点L，直线BL与AC相交于点M。求证：LCSM//。

10. 对于正整数n，记nn21!。求所有的正整数组fedcba,,,,,，使得!!!!!!fedcba，且

fedcba。

解

OMSLDCBA 8

11. （1）证明：存在整数x，y，满足2022422yxyx；（2）问：是否存在整数x，y，满足?2011422yxyx证明你的结论。解

12. 对每一个大于1的整数n，设它的所有不同的质因数为1p，2p，...，kp，对于每个kipi1，存在正整数ia，使得1iiaiaipnp，

记kakaapppnp2121例如，895210026p。（1）试找出一个正整数n，使得nnp；（2）证明：存在无穷多个正整数n，使得n.np11。解 9 10 11

2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）

1. 已知31xx，则10551011xxxx_________。

2. 满足方程33222yxyx的所有实数对yx，为__________。 3. 已知直角三角形ABC中，3690CABCC，，，CD为C的角平分线，则_________。 4. 若前2011个正整数的乘积201121能被k2010整除，则正整数k的最大值为________。

5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为_________。

6. 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是_________。

7. 整数qp，满足2010qp，且关于x的一元二次方程

0672qpxx的两个根均为正整数，则p________。

8. 已知实数cba，，满足0cbacba，且0a。设21xx，是

方程02cbxax的两个实数根，则平面直线坐标系内两点1221xxBxxA，，，之间的距离的最大值为_______。

9. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于_______。

10. 设cba，，是整数，91cba，且1cabbcaabc能被9整除，则cba的最小值是_________，最大值是__________。

二、解答题（每题15分，共60分）

11. 已知面积为4的ABC的边长分别为bccABbCAaBC，，，，AD是A的角平分线，点'C是点C关于直线AD的对称点，若BDC'与ABC相似，求ABC的周长的最小值。

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