西西弗杯数学竞赛复习题
第一届西西群联赛模拟参考答案和评分标准
全国高中数学联合竞赛一试模拟试题一、填空题（共8题,满分64分）1.已知集合A ,B 是{1,2,···,20}的两个不交子集,且若a ∈A ,则2a +2∈B .则A 的元素之和的最大值为.答案:39.解析:由2n +2⩽20,得n ⩽9.若2n +2⩽9,则n ⩽72,从而A 中至多有9−õ72û=6个元素.注意A ={4,5,6,7,8,9}符合条件,故最大值为39.2.函数f (x )=t −√x +2的定义域和值域均为[a,b ],则实数t 的取值范围是.答案:(−54,−1].解析:显然f (x )在定义域上单调递减,故f (a )=b ,f (b )=a .从而f (a )−f (b )=√b +2−√a +2=b −a =(b +2)−(a +2),故√a +2+√b +2=1,由于a <b ,故0⩽√a +2<12.而t =a +√b +2=a −√a +2+1=(√a +2−12)2−54,故t ∈(−54,−1].3.已知−→a 1,−→a 2,···,−−→a 2023是平面上的单位向量,且对1⩽n ⩽2023,−→a n ·−−→a n +1=12,这里下标按模2023理解.则对正整数i ,j ,−→a i 与−→a j 夹角的所有可能的取值组成的集合为.答案:∅.解析:注意单位向量的数量积为12等价于两向量夹角为60◦,所以能取到的夹角都是60◦的整数倍.又由向量夹角在0◦到180◦之间,故可能取值有0,60◦,120◦,180◦.但容易注意−−−→a 2k +1只可能出现在与−→a 1夹角0◦或120◦的位置,这导致−−→a 2023·−→a 1=12不可能,从而不存在这样的向量−→a 1,−→a 2,···,−−→a 2023,故答案为∅.4.已知半径为2的球O 与平面α相切于点A ,直线l 与平面α相交,交点为C .l 与球O 相切,切点为B ,AC =7,且l 与平面α所成角的大小为30◦,则AB =.答案:√14.解析:设B 在平面α的投影为D ,则OABD 四点共面,又CA =CB =7,sin ∠BCD =30◦,故BD =72.过O 作BD 的垂线,垂足为点E ,则DE =OA =2,OE =AD ,故BE =32.从而AD =OE =√OB 2−BE 2=√72.故AB =√AD 2+BD 2=√14.5.定义函数f :C →C 满足f (a +b i )=b +a i.已知复数z 满足|z |=√3,则|(z +f (z ))(¯z +f (z ))|的最大值为.答案:6√2.解析:设z =a +b i,则a 2+b 2=3.故|(z +f (z ))(¯z +f (z ))|=|(z +f (z ))||(¯z +f (z ))|=|(a +b )+(a +b )i ||(a +b )+(a −b )i |=»2(a +b )2·»(a +b )2+(a −b )2=»2(a 2+b 2+2ab )·»2(a 2+b 2)⩽»4(a 2+b 2)·»2(a 2+b 2)=6√2.6.已知实数a 满足0⩽a ⩽π.随机且独立地从[0,a ]和[0,π]中选取实数x 和y ,则cos 2x +cos 2y >1的最小可能概率为.答案:√2−1.解析:容易看出cos 2x +cos 2y >1等价于sin 2x <cos 2y .考虑边界情况,即sin x =±cos y =sin (π2±y ).这对应四条直线y =π2−x ,y =x −π2,y =x +π2,y =3π2−x .将这四条直线绘制在[0,π]×[0,π]中,容易看出,这四条线包绕出的小正方形外侧表示所求区域,因此我们只需选取恰当的a ⩾π2,让x =a 左侧的矩形中,小正方形外侧的面积占矩形之比最小,设k =a π∈[0,1],则此概率P =(π2)2+(a −π2)2aπ=1k (14+(k −12)2)=1k (12+k 2−k )=k +12k−1⩾√2−1.7.已知单调递增的正整数数列{a n }共有m 项,且a 1=1,a m =100.对于任意的1⩽i ⩽m −1,|a i −a i +1|⩽1.若对于任意1⩽p <q ⩽m ,总存在异于p ,q 的1⩽s <t ⩽m ,使得a s +a t =a p +a q ,则对所有可能的m ,a 1+a 2+···+a m 的最小值为.答案:5454.解析:因为数列{a n }任意相邻两项的差的绝对值不超过1,a 1=1,所以a 2=1或a 2=2.当a 2=2时,a 4≥a 3≥2,此时a 1+a 2=3<a 3+a 4,矛盾,所以a 2=1.类似地,必有a 3=1,a 4=1,a 5=2,a 6=2,由a s +a t =a p +a q 得前6项任意两项之和小于等于3时,均符合,a 1+a 2+···+a m 要最小,则每项尽可能小,且m 值要尽量小,则a 5+a 6=4=a 1+a 7,a 7=3,同理,a 8=4,a 9=5,···,a m −6=98,当{a n }中间各项为公差为1的等差数列时,可使得m 值最小,且满足题设.由对称性得最后6项为a m =a m −1=a m −2=a m −3=100,a m −4=a m −5=99,则a 1+a 2+···+a m 的最小值S =(1+99)·992+4×100+3×1+2+99=5454.8.在一条单行道上有6个停车位,编号1,2,3,4,5,6.有6辆车，他们各自有一个(可以相同的)心仪的停车位p i ∈{1,2,···,6},1⩽i ⩽6.现在6辆车依次驶入这个单行道,径直驶向自己心仪的停车位.如果心仪的停车位为空,该车就在此泊车;否则该车就停在此后的第一个空停车位;如果后面的停车位都已满,该车就驶离单行道.已知最后恰有5辆车停在了自己心仪的停车位上，则有种可能的(p 1,p 2,···,p 6).答案:7416.解析:考虑一般情况,记恰有n −1辆车停在心仪的位置上的方法数为A n .容易看出(p 1,p 2,···,p n )中恰好有一对心仪同一个位置,称这对车为好车,而且恰有一个位置没有车心仪,称这个位置为坏位置.记第一辆是好车的方法数为a n ,第一辆车不是好车的方法数为b n ,容易看出若第一辆车不是好车,则可以把这辆车和它心仪的停车位同时删去,故b n =nA n −1.若第一辆车是好车,则存在2⩽i ⩽n ,使得p 1=p i .若i =2,p 1=p 2=n ,则3,4,···,n 这些车在前n −1个停车位各选一个心仪的(不重复),有(n −1)!种,若p 1=p 2=k <n ,则坏位置必须是k +1,从而也是(n −1)!种,共计2(n −1)!种.若i >2,则第二辆车不是好车,它的心仪位置有n 种选法,然后可以删去第二辆车和它心仪的停车位,故这种情况共有na n −1种.故a n =na n −1+2(n −1)!.从而A n =nA n −1+na n −1+2(n −1)!,化简可得A n =2nA n −1−n (n −1)A n −2+2(n −1)!.由A 0=A 1=0,容易递推算出A 6=7416.二、解答题（共3题,第9题满分16分,第10,11题满分20分,满分56分）9.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足a cos C +√5a sin C −b −c =0.求bc a 2的取值范围.答案:(0,32].解析:因为a cos C +√5a sin C −b −c =0,所以由正弦定理知sin A cos C +√5sin A sin C =sin B +sin C ,而sin B =sin (A +C )=sin A cos C +sin C cos A ,故sin A cos C +√5sin A sin C =sin A cos C +sin C cos A +sin C ,从而√5sin A cos C =cos A sin C +sin C .由于C 是三角形内角,故sin C =0,从而√5sin A =cos A +1,故(√5sin A −cos A )2=sin 2A +cos 2A ,亦即5sin 2A =2√5sin A cos A ,显然sin A =0,故tan A =√52,cos A =23,sin A =√53.·········(8分)从而bc a 2=sin B sin C sin A =910(cos (B −C )−cos (B +C ))=910(cos (B −C )+cos A )=35+910cos (B −C )·········(12分)不妨设B ⩾C ,则0⩽B −C <π−A ,故cos (B −C )∈(cos (π−A ),1],而cos (π−A )=−cos A =−23,代入上式得bc a 2∈(0,32].·········(16分)10.已知正实数列{a n }(n ⩾1)的前n 项和为S n ,a 2=2,且S n =n (1+a n )2,n ⩾1.记b n =a 1a n +1n ,n ⩾1.(1)数列{b n }的最大项是第几项?(2)数列{b n }中是否存在相等的两项?若存在,求出所有正实数x ,使得数列{b n }中有至少两项等于x ;若不存在,请给出证明.答案:(1)第4项;(2)x =3√2.解析:(1)S 1=1+a 12=a 1,即a 1=1.当n ⩾2时,a n =S n −S n −1=n (1+a n )2−(n −1)(1+a n −1)2,即(n −2)a n −(n −1)a n −1+1=0.将n 换成n +1,有(n −1)a n +1−na n +1=0.上述两式相减得(n −1)a n +1−2(n −1)a n +(n −1)a n −1=0,即a n +1=2a n −a n −1,n ⩾2,故{a n }为等差数列.由a 1=1,a 2=2,知a n =n .由b n =n 1n +1,易得b 1<b 2<b 3<b 4.当n ⩾4时,由(1+1n )n =1+n ∑k =1C k n ·1n k =1+n ∑k =11k !n (n −1)···(n −k +1)n k⩽1+n ∑k =11k !<1+n ∑k =112k −1<3,可得(n +1n )n +1=(1+1n )n (1+1n )<3(1+1n )=3+3n<n ,即(n +1)n +1<n n +2,亦即n 1n +1<(n +1)1n +2.从而可得b n <b n +1(n ⩾4),故{b n }的最大项是第4项b 4.·········(10分)(2)由(1)知,1=b 1<b 2<b 3<b 4,b 4>b 5>b 6>···.又对n ⩾2,b n =n 3n +1>b 1,故若{b n }中有两项相等,只可能是b 2=b k 或b 3=b m ,(k,m ⩾5),且这样的k,m 若存在,则必唯一.易得b 2=213=815=b 8,b 3=314>b 5=516,又b 3<b 4,则仅有b 2=b 8=3√2两项相等.故x =3√2.·········(20分)11.已知椭圆C 的方程为x 220+y 216=1,点P 的坐标为(1,1).平面上是否存在一点Q ,使得任意作一条过点P 的直线交椭圆于A ,B 两点,总有∠AQP =∠BQP .若存在,请求出点Q 的所有可能坐标;若不存在,请说明理由.答案:(32541,39641).解析:先考虑题设中过点P 的直线与坐标轴垂直的情况.设l :x 20+y 16=1,记y =1与椭圆交于A ,B ,与l 交于T ,x =1与椭圆交于C ,D ,与l 交于点S .则以P T 和P S 为直径的圆分别为AB 和CD 的阿波罗尼斯圆.记两圆的第二个交点为Q ,则P Q ⊥ST 且Q 在ST 上.计算可得Q (32541,39641).·········(5分)下证点Q (32541,39641)满足条件.设过点P 的直线方程为y =k (x −1)+1,与椭圆方程联立得(5k 2+4)x 2+10k (1−k )x +5(1−k )2−80=0.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由韦达定理知x 1+x 2=−10k (1−k )5k 2+4,x 1x 2=5(1−k )2−805k 2+4.注意∠AQP =∠BQP 等价于k AQ −k P Q 1+k AQ k P Q =k P Q −k BQ 1+k BQ k P Q ,代入k P Q =54得5k AQ k BQ =5+98(k AQ +k BQ ).将斜率展开得⇔5·39641−k (x 1−1)+132541−x 1·39641−k (x 2−1)+132541−x 2=5+98(39641−k (x 1−1)+132541−x 1+39641−k (x 2−1)+132541−x 2)⇔(−40k 2+18k +40)x 1x 2+(40k 2+266k −395)(x 1+x 2)=40k 2+550k −750·········(15分)⇔200k 4+2750k 3−3590k 2+2200k −30005k 2+4=40k 2+550k −750.最后一个式子显然成立.故点Q (32541,39641)即为所求.·········(20分)另解:容易看出这样的点Q 至多有一个.将点P 平移到原点,则椭圆方程变为16(x +1)2+20(y +1)2=320,即16x 2+20y 2+32x +40y −284=0.然后以原点为反演中心,1为反演半径作反演变换,则点(x,y )变为点(x x 2+y 2,y x 2+y2).记点A ,B ,Q 在反演变换下的像分别为A ′,B ′,Q ′,则根据反演变换的性质有∠Q ′A ′P =∠AQP ,∠Q ′B ′P =∠BQP .因此∠AQP =∠BQP 等价于∠Q ′A ′P =∠Q ′B ′P .注意直线AB 在反演变换下保持不变,故上述条件等价于点Q ′在线段A ′B ′的中垂线上.·········(5分)由于反演变换的逆变换为自身,故C 在反演后对应的曲线C ′方程为16(x x 2+y 2)2+20(y x 2+y 2)2+32x x 2+y 2+40y x 2+y 2−284=0,亦即16x 2+20y 2+(32x +40y )(x 2+y 2)−284(x 2+y 2)2=0,(x,y )=(0,0).考虑一条曲线C ′′,其方程为(32x +40y )(x 2+y 2)−284(x 2+y 2)2=0.·········(10分)先考虑A ′B ′斜率存在的情况,设直线方程为y =kx .分别与C ′和C ′′方程联立可得−284(1+k 2)2x 2+(1+k 2)(32+40k )x +16+20k 2=0与−284(1+k2)2x2+(1+k2)(32+40k)x=0.注意由韦达定理,与C′和C′′方程联立得到的两根之和相同.从而与两曲线各自的两交点的中垂线是同一条.而方程C′′是圆284x2+284y2−32x−40y=0,它的任意一条弦的中垂线必过圆心(4 71,571).容易看出直线A′B′斜率不存在时,中垂线也过该点,故该圆心即点Q′.·········(15分)从而反演变换前点Q的坐标为(28441,35541).故在原坐标系下点Q的坐标为(32541,39641).·········(20分)全国高中数学联合竞赛加试模拟试题一、（本题满分40分）已知集合A ={a 1,a 2,···,a n },其中a 1<a 2<···<a n ,集合B ={b 1,b 2,···,b n },其中b 1<b 2<···<b n .证明:对任意双射f :A →B ,都有max 1⩽i ⩽n |f (a i )−a i |⩾max 1⩽i ⩽n|b i −a i |.解析:设max 1⩽i ⩽n|b i −a i |=|a k −b k |,(k =1,2,···,n ).因为f 为双射,不妨设a k ⩾b k .用反证法,假设max 1⩽i ⩽n|f (a i )−a i |<a k −b k ,注意对所有k +1⩽i ⩽n ,a i 在f 中的像b j 都应满足k +1⩽j ⩽n ,否则|a i −f (a i )|=a i −b j ⩾a k −b k ，与假设矛盾.故f 在{a k +1,···,a n }上的限制也是双射,与{b k +1,···,b n }一一对应.故所以f (a k )∈{b 1,b 2,···,b k }.又由{b n }为严格单调递增,故|a k −f (a k )|=a k −f (a k )⩾a k −b k ,与假设矛盾.证毕.·········(40分)二、（本题满分40分）如图,已知⊙O 的两条直径为AB ,CD ,点P 是圆外一定点.直线P A ,P B ,P C ,P D 分别与⊙O 交于不同于A ,B ,C ,D 的点U ,V ,W ,X .记UV 和XW 的交点为Q .点S 是弧ACB 上任意一点,直线SQ 与⊙O 再次交于点T ,连接P S ,P T ,P O .证明:∠SP T =∠OST .（解答时请将图画在答题纸上）解析:首先证明P,Q,O 三点共线.注意原题可以改写为:设P O 与UV 交于点Q .只需要证明Q 点是只关于⊙O 与点P 的一个定点.故只需要考虑解答图1并证明P Q P O 是定值.对四边形ABCD 使用四边形梅涅劳斯可得:DP P A ·AO OB ·BP P C ·CQ QD =1,即DQ QC =P B P A ·P D P C =P B 2P A 2.对四边形QCBO 使用四边形梅涅劳斯可得:QP P O ·OA AB ·BP P C ·CD DQ =1,可以得到P Q P O =2P C P B·DQ DQ +CQ =2P C P B ·P B 2P B 2+P A 2=2P C ·P B P B 2+P A 2.·········(10分)因为P C·P B=P O2−R2,P O2=2P A2+2P B2−(2R)24,故得P QP O=P O2−R2P O2+R2,表明Q是仅与P和⊙O有关的定点,故可知原题中P,Q,O三点共线.·········(20分)回到原题,题目转化为:P为以AB为直径的圆外一点,P A,P B与圆交于D,C,P O交CD与Q,其中S是弧CD上任意一点,SQ交⊙O于另外一点T,连接OS,只要证明:∠OST=∠SP T即可.延长P S交⊙O与K点,过S作P T的平行线交⊙O与L点,延长SO交⊙O于点M,设P T 交⊙O于另一点R,则∠KSL=∠SP T,故只要证明∠KSM=∠LST即可.而∠KT M=∠KSM,∠OT S=∠OST,故只需证明∠KT R=∠MT S=90◦即可.故只需证明KR为直径.设KO交圆于R′,P R′交圆于T′,由第一部分证明可知ST′过Q,而ST过Q,故T=T′,从而由R=R′.证毕.·········(40分)三、（本题满分50分）给定正整数n.已知A是由正整数构成的集合,且|A|=n.证明:A的各子集元素和构成模2n的完全剩余系当且仅当可以将A中的元素排列成a0,a1,···,a n−1,使得对0⩽i⩽n−1,都有2i∥a i.解析:先证明当A 中元素可以排列成a 0,a 1,···,a n −1,使得对0⩽i ⩽n −1,都有2i ∥a i 时,A 的各子集元素和构成模2n 的完全剩余系.事实上我们只需证明,对任意整数k ,不定方程ε0a 0+ε1a 1+···+εn −1a n −1≡k (mod 2n ),εi ∈{0,1},0⩽i ⩽n −1,都存在一组解.我们对n 归纳,奠基是平凡的.注意此时ε0与k 同奇偶.对n −1和a ′i =a i 2,1⩽i ⩽n −1用归纳假设,知ε1a ′1+ε2a ′2+···+εn −1a ′n −1≡12(k −ε0a 0)(mod 2n −1),εi ∈{0,1},1⩽i ⩽n −1都存在一组解,亦即ε1a 1+···+εn −1a n −1≡k −ε0a 0(mod 2n ),εi ∈{0,1},0⩽i ⩽n −1都存在一组解,由此完成归纳.·········(20分)现在来证明另一侧,用反证法.若存在集合,其子集元素和构成模2n 的完全剩余系但不具有题述形式,取其中一个使n 最小的集合A .显然A 中存在奇数,否则其子集元素和中不可能出现奇数,自然无法构成模2n 的完全剩余系.若A 中只有一个元素是奇数a 0,则12(A \{a 0})={a /2|a ∈A \{a 0}}也不符合题设条件,且构成2n −1的完全剩余系,与A 的极小性矛盾.因此,设A 中至少有t ⩾2个元素是奇数.·········(30分)鉴于A 构成模n 的完系,其子集元素和模2n 恰为0,1,···,2n −1的一个排列.故2n −1∑a ∈A a =∑B ⊆A ∑a ∈B a ≡2n −1∑i =1i =2n −1(2n −1)(mod 2n ),故∑a ∈A a 是奇数.记F 0是元素和为偶数的A 的子集构成的集合族.我们断言,∑B ∈F 0∑a ∈B a =2n −2∑a ∈A a .事实上,若固定A 中的一个奇元,则选取其它元素构成子集B ,使得B ∈F 0的方法数为2n −t ·∑0⩽j ⩽t −1j ≡1(mod 2)(t −1j )=2n −t +t −2=2n −2.类似地,若固定A 中的一个偶元,则选取其它元素构成子集B ,使得B ∈F 0的方法数为2n −t −1·∑0⩽j ⩽t −1j ≡0(mod 2)(t j )=2n −t −1+t −1=2n −2.这立刻证明了断言.由此2n −2∑a ∈A a =∑B ∈F 0∑a ∈B a ≡2n −1−1∑i =12i =2n −1·(2n −1−1)(mod 2n ),这表明∑a ∈A a 是偶数,矛盾.·········(50分)四、（本题满分50分）在某个赛季中,n 支队伍间进行了单循环比赛,每场比赛都有一方获胜而另一方落败.试求最大的正整数k =k (n ),使得总可以找到k 支队伍A 1,A 2,···,A k ,其中对1⩽i ⩽k −2,队伍A i 都赢下了与A i +1和A i +2的比赛,且A k −1赢下了与A k 的比赛.解析:答案是k =°2n 3§.·········(10分)转化成图论语言,即证明n 个顶点的竞赛图中存在一条长为k −1的有向路径,且路径中的每一个顶点都有一条指向自己的后继顶点的后继顶点(如果存在的话)的一条边,称这样的路径为好路径.定义ℓ(n )是满足存在一个n 个顶点的竞赛图没有长为ℓ(n )的好路径的最小的正整数,从而只需证明ℓ(n )=°2n 3§.记ℓ(n )对应的图为T (ℓ(n )),我们先证明一个引理.引理:对于任意的正整数m 和n ,都有ℓ(m +n )⩽ℓ(m )+ℓ(n ).引理的证明:我们从T (ℓ(m ))和T (ℓ(n ))生成一个m +n 个顶点上的竞赛图.考虑T (ℓ(m ))∪T (ℓ(n )),并把两个团的顶点间都连上从T (ℓ(m ))中顶点指向T (ℓ(n ))中顶点的边,得到一个m +n 个顶点上的竞赛图.这样新图中的好路径必然是由T (ℓ(m ))和T (ℓ(n ))拼接而成,因此长度至多是ℓ(m )−1+ℓ(n )−1+1<ℓ(m )+ℓ(n ).容易发现ℓ(1)=1,ℓ(2)=ℓ(3)=2,在引理中令m =n −3,n =3可知ℓ(n )⩽ℓ(n −3)+ℓ(3)=ℓ(n −3)+2.归纳即得ℓ(n )⩽°2n 3§.·········(20分)考虑竞赛图的顶点排列为v 1,v 2,···,v n ,如果这个排列方式使得图中满足i <j 的边v i →v j 数量最多,就称它是一种好排列.容易看出好排列要求v i →v i +1都在该图中,若由某条边是v i +1→v i ,则交换两者在排列中会使满足i <j 的边数变多,与极大性矛盾.此外,如果存在边v i →v i −2,则v 1,···,v i −3,v i −1,v i ,v i −2,v i +1,···,v n 和v 1,···,v i −3,v i ,v i −2,v i −1,v i +1,···,v n 也是两个好排列,因为显然这三个排列的i <j 的边数相同.由此可见,若v i →v i −2在图中,则v i −2,v i −1和v i 都有一条指向v i +1的边,且至多有一个存在一条由v i +2指向其的边.(性质⋆)否则不妨设存在边v i +2→v i −1和v i +2→v i ,则根据前述结论,可以交换v i ,v i +1,v i +2在排列中的顺序,得到一个排列使得v i +2在排列中紧邻着v i −1,矛盾.·········(30分)若好排列v 1,v 2,···,v n 中有指标i 使得v i →v i −2在竞赛图中,且v i +2→v i 和v i +2→v i −1中有一条边也在竞赛图中,就称i 是一个坏指标.我们断言,任意竞赛图都存在一个不含坏指标的好排列.用反证法,假设有某竞赛图不满足上述性质,我们取一个好排列v 1,v 2,···,v n 使得最大的坏指标i 最小.由前述讨论,我们可以交换v i −2,v i −1,v i 的位置,得到一个新的好排列v 1,···,v i −3,v i −2‘,v i −1’,v i ‘,v i +1,···,v n ,使得v i +2→v ′i −2是一条边,则此时竞赛图中必然有边v ′i −1→v i +2和v ′i →v i +2,且v ′i −1→v i +1和v ′i →v i +1也在图中,从而在交换后,i ,i +1,i +2不是坏指标,故最大的坏指标在新排列中小于i ,矛盾!·········(40分)现在我们证明ℓ(n )⩾°2n 3§.考虑一个n 顶点竞赛图和它的一个不含坏指标的好排列,记图中不存在边v i →v i −2的指标i 构成指标集I ={i 1<i 2<···<i m },显然i 1=1,i 2=2.我们证明v i 1···v i m 是一条好路径.首先注意,若v i +2→v i 在图中,则v i +1→v i −1(性质⋆)和v i →v i −2(没有坏指标)都不能在图中,即若i +2∈I ,则i,i +1∈I .从而这条路径至少包含°2n 3§个顶点.现在只需验证v i j −2→v i j −1和v i j −1→v i j 都在竞赛图中.显然i j −3⩽v i j −2<v i j −1<v i j ,若第一个不等号严格成立,则此时v i j −1和v i j 在好排列中相邻,是图中的边,据I 的定义,v i j −2→v i j 也在图中.现在考虑i j −2=i j −3的情况,此时存在一个指标i j −3<i <i j 不在I 中,若i =i j −1,则由性质⋆,x i j −2→x i j 是一条边,若i =i j −2,则由没有坏指标,x i j −2→x i j 是一条边.我们完成了证明.·········(50分)。
第24届希杯全国数学邀请赛
第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第二试2013年4月15日 上午8：30至10：30一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。
）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（ ） （A ）正方形 （B ）矩形 C ）菱形 （D ）梯形2、设a 、b 、C 是不为零的实数，那么||||||a b c x a b c =+-的值有（ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种3、ABC ∆的边长分别是21a m =-，21b m =+，()20c m m =>，则ABC ∆是（ ）（A ）等边三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）锐角三角形4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ）（A ）是2019年， （B ）是2031年， （C ）是2043年， （D ）没有对应的年号5、实数 a 、b 、m 、n 满足a<b, -1<n<m, 若1a mb M m +=+，1a nbN n+=+，则M 与N 的大小关系是（ ）（A ）M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。
6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是（ ）（A ）214cm （B ）242cm （C ）249cm （D ）264cm7、已知关于x 的不等式组230320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）23≤a ≤32 (B)43≤a ≤32 (C)43＜a ≤32 (D)43≤a ＜328 、The number of intersection point of the graphs of function||k y x=and function (0)y kx k =≠ is( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ） （A ）16小时 （B ）7158小时 （C ）151516小时 （D ）17小时)10、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ）（A ）48人 （B ）45人 （C ）44人 （D ）42人 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知a b c ⋅⋅o 为ABC ∆三边的长，则化简|a b c -+12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术”，已知1毫米微米，1微米纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为＿＿米。
2013汇川区西西弗决赛试卷六年级
汇川区第六届西西弗杯“明天数学家”小学数学竞赛决 赛 试 题 （六年级组）一、填空。
（每空2分，共32分）1、三角形的底边和高都扩大3倍，则三角形的面积（ ）。
2、如果（A-B ）х0.5=1.2, A ÷0.8=12, 那么，B=（ ）。
3、一个圆柱的侧面展开图是边长为25.12厘米的正方形，这个圆柱的体积约是（ ）立方厘米。
4、某年的三月份正好有4个星期三和4个星期六，那么这年的3月1日是星期（ ）。
5、在150克水中加入10克盐，盐与盐水的比是（ ），如果有盐25克，要配成同样的盐水应加水（ ）克。
6、一个长方形的周长是36厘米，它的长和宽的比是5：4，如果在这个长方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）平方厘米。
7、按规律填空：（1）98、94、92、91、（ ）、361、（ ）（2）1，2，3，6，12，23，44，（ ），1648、把4个棱长为2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体表面积最小是（ ）平方厘米。
9、A 、B 两数的平均数是30，C 数是A 、B 两数和的158，B 数与C 数的比为7:8，则A 数是（ ）。
10、小明按1～3报数，小红按1～4报数，两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了100个数时，两人报的数有（ ）次相同。
11、有一堆苹果，3个3个的数余2, 4个4个的数余3，5个5个的数余4,这堆苹果的总数至少有（ ）个。
12、一列火车长180米，每秒行20米，全车通过一座大桥用了35秒，桥长（ ）米。
13、5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分。
赛完后有四个队分别得1分、2分、5分和7分，那么第五队得（ ）分。
二、选择题。
（每小题2分，共12分）1、一个圆的半径扩大4倍，面积扩大（ ）倍。
A 、4 B 、8 C 、16 D 、π2、8⨯是假分数， 9⨯是真分数，х+9=（ ）。
A 、15B 、16C 、17D 、183、“六一”期间，甲商场以“打九折”的措施优惠，乙商场以“满100元送10元购物卷”的形式促销。
数学冲刺竞赛试题及答案
数学冲刺竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：若\( a \), \( b \), \( c \) 是一个二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根，且 \( a \), \( b \), \( c \) 均为正整数，已知 \( a + b + c = 14 \)，求所有可能的 \( a \), \( b \), \( c \) 的组合。
答案：根据韦达定理，我们知道 \( a + b + c = -\frac{b}{a} \)，并且 \( ab + bc + ca = \frac{c}{a} \)。
由于 \( a \), \( b \), \( c \) 均为正整数，并且 \( a + b + c = 14 \)，我们可以通过试错法找出所有可能的组合。
可能的组合有：(1, 13, 0), (2, 4, 8), (4, 5, 5)。
由于 \( c \) 不能为0，所以只有 (2, 4, 8) 和 (4, 5, 5) 是有效的解。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，斜边长为 \( c \)，两直角边长分别为\( a \) 和 \( b \)。
如果 \( a = 3 \) 且 \( c = 5 \)，求 \( b \) 的值。
答案：根据勾股定理，我们知道 \( a^2 + b^2 = c^2 \)。
将给定的值代入，我们得到 \( 3^2 + b^2 = 5^2 \)，即 \( 9 + b^2 = 25 \)。
解这个方程，我们得到 \( b^2 = 16 \)，所以 \( b = 4 \)。
试题三：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球。
随机抽取两个球，求至少有一个红球的概率。
答案：首先计算抽取两个球的所有可能组合，共有 \( \binom{8}{2}= 28 \) 种。
然后计算没有红球的组合，即两个球都是蓝球的情况，共有 \( \binom{3}{2} = 3 \) 种。
遵义市红花岗区首届西西弗杯“明天数学家”小学数学竞赛决赛试卷(六年级组)
遵义市红花岗区首届西西弗杯“明天数学家”小学数学竞赛决赛试卷（六年级组）（2024•其他杯赛）填上符合数的排列规律的数：1、2、4、8、16、32、64、128。
答案：16；64。
解析：规律：后项等于前项乘2。
解答：解：1、2、4、8、16、32、64、128。
故答案为：16；64。
（2024•其他杯赛）7599除以一个质数，所得的余数是9，这个质数最小是 11。
答案：11。
解析：根据题意，要求这个质数最小，还要满足这个质数要大于9，因此设最小质数为x,得x×商+9=7599，即x×商=7590，然后把7590分解质因数，即可求出这个最小的质数。
解答：解：设最小质数为x,得：x×商+9=7599，即x×商=7590，因为7590=2×3×5×11×23，所以x=11＞9。
答：这个质数最小是11。
故答案为：11。
（2024•其他杯赛）从11起至1111为止的所有整数中，各个数位上的数字相同的整数共有 19个。
答案：19。
解析：分类计数即可。
解答：解：11～99有：9个；111～999有：9个；1111有1个；9+9+1=19（个）答：各个数位上的数字相同的整数共有19个。
故答案为：19。
（2024•其他杯赛）一个数的1000倍是0.732，这个数的10倍和它本身的和是 0.008052。
答案：0.008052。
解析：先用0.732除以1000，求出这个数是多少，再用这个数乘10，最后加上这个数即可。
解答：解：0.732÷1000=0.0007320.000732×10+0.000732=0.00732+0.000732=0.008052答：这个数的10倍和它本身的和是0.008052。
故答案为：0.008052。
（2024•其他杯赛）做除法时，错把除数的小数点点错，结果比原来扩大了100倍，变成335.6，正确的商应该是 3.356。
2013汇川区西西弗决赛试卷四年级
汇川区第六届西西弗杯“明天数学家”小学数学竞赛决 赛 试 题 （四年级组）一、填空。
（25分）1、7.35这个数中的“5”在（ ）位上，它的计算单位是（ ），表示（ ）。
2、被除数是486，商是23，余数是3，除数是（ ）。
3、把3缩小到它的是1001是（ ）；把5.6的小数点向右移动两位后，这个数是（ ）。
4、用8、4、0、1、3这五个数字，组成的最大五位数是（ ），最小五位数是（ ）。
5、一个西瓜和16个苹果的重量相等，4个苹果相当于3个梨的重量，6个梨重900克，一个西瓜重（ ）克。
6、一个两位数，两个数字的和是8，差是2，这个两位数是（ ）。
7、把一根木料截成4段要24分钟，如果每截一次的时间相同。
那么截成6段要（ ）分钟。
8、算式□÷=9……△，要使△中的数最大，□应填（ ）。
9、小明家住的楼房每上一层要走18个台阶，小明到家要走90个台阶，他家住在（ ）楼。
10、妈妈在烤箱里烤面包，每次最多能烤2个面包，每次只能烤一面，面包的两面都要烤， 每烤一次需要2分钟， 妈妈烤8个面包至少需要（ ）分钟。
二、判断。
（对的在括号里打“√”，错的打“”。
（5分）1、用4、1、2和小数点组成的最大小数是4.21。
（ ）2、56×（9+1）=56×9+56。
（ ）3、一个非0的数除0，无意义。
（ ）4、在小数点的后面添加上“0”，小数的大小不变。
（ ）5、把一个平行四边形框架拉成长方形后，面积不变。
（ ）三、选择。
（选择正确答案的序号填在括号里）（10分）1、不能一笔画的图形是（）。
A、 B、 C、2、下面三组纸条中，能围成一个三角形的是（）。
A、3、6、10B、6、7、8C、4、5、93、36名学生围成一个正方形，每边人数相等，四个顶角都有人，每边各有（）名学生。
A、8B、9C、104、有一个数，先除以2，又减去8，再乘4，结果为24，这个数是（）。
A、28B、44C、1765、4个数的平均数是50，如果把其中一个数改为60，平均数就变成55，被改动的数是（）。
(新)汇川区2014四年级西西弗数学竞赛题
四年级数学（决赛）试卷．1．(共4页) 四年级数学（决赛）试卷．2．(共4页)汇川区第七届西西弗杯“明天数学家”小学数学竞赛决赛试题(四年级组)一、填空。
（每空2分，共30分）1、将一张圆形的纸对折3次得到的角是（ ）度。
2．被除数是3320，商是150，余数是20，除数是（ ）。
3、兄妹二人共有图书134本，哥哥比妹妹多26本，哥哥有图书（ ），妹妹有图书（ ）本。
4、甲、乙二人比赛爬楼房，甲跑到四楼时，乙恰好跑到三楼，照这样计算，甲跑到十六楼时，乙跑到（ ）楼。
5、某地的邮政编码可用ABCCDD 表示，已知这六个数字的和是8，A 与B 的和等 于2个D ，A 是最小的非零自然数。
这个邮政编码是（ ）。
6、李师傅3小时生产96个零件，照这样计算，生产288个零件要（ ）小时。
7、3998是4个连续自然数的和，其中最小的数是( )。
8、今年“六·一”儿童节是星期日，今年的“十·一”国庆节是星期（ ）。
9、两枝钢笔和一枝圆珠笔共16元，一枝钢笔和两枝圆珠笔共11元，那么一枝钢笔是（ ）元。
10、在一条笔直的公路上，小明和小可从相距100米的地方同时出发，相向跑 步。
小明每秒跑6米，小可每秒跑4米。
出发（ ）秒时，他们相距200米。
11、观察右面的五个数：19、37、55、a 、91排列的规律，推知a = ( )。
12、●表示实心圆，○表示空心圆，若干个实心圆与空心圆排成一行如下： ○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●……在前200个圆中有 ( )个实心圆。
13、有一些积木的块数比50多,比70少,每7个一堆,多了一块,每9个一堆,还是多1块,这些积木有 （ ）块。
14、有甲、乙、丙三个数，已知甲、乙两数的和是168，丙数是甲、乙两数平均数的2倍，甲、乙、丙三个数的平均数是（ ）。
二、判断。
（对的打“√”，错的打“×” ）(每题1分，共5分)1、给一个方形建筑物插彩旗，每边插7面，一共要插24面彩旗。
最新汇川区西西弗决赛试卷五年级资料
汇川区第六届西西弗杯“明天数学家”小学数学竞赛决赛试题（五年级组）一、填空。
（3题3分，其余每空2分，共31分）1、一个三位数，它能被2整除，又有因数5，百位上的数是最小的质数，十位上的数是最小的合数，这个三位数是（）。
2、正方体的棱长扩大3倍，它的表面积扩大（）倍，它的体积扩大（）倍。
3、一个正方体积木（如图），每两个相对的面数字适当的数字。
4.已知：（□＋△）х0.7＝3.5，△÷6＝3，那么：□＝（），△＝（）。
5、两个数的最大公约数是8，最小公倍数是48，其中一个数是16，另一个数是（）。
6、把一根木料锯成3段要用6分钟的时间，用同样的速度把这根木料锯成6段，需要（）分钟。
7、用4、5、6三张卡片上的数字组成6个不同的三位数，它们的和是（）。
8、甲乙两数的和是45，如果把甲数的给乙数，则甲乙两数就相等。
甲数原来是（）。
9、爸爸今年32岁，恰好是儿子年龄的4倍，过（）年后，爸爸的年龄恰好是儿子年龄的3倍。
10、12个队参加乒球团体赛，如果进行循环赛，要比（）场。
11、有一数列：1、2、4、7、11、16……这列数列第25个数是（）。
12、箱子里有同样多的红球和黄球，每次取出5个红球和3个黄球，取了若干次后，红球还剩2个，黄球还剩14个，那么，箱子里原来有红球（）个。
13、一列火车以20米/秒的速度通过一个山洞。
已知火车长180米，从进入山洞到火车完全离开共用了48秒，这个山洞长（）米。
二、把正确答案的字母填在括号里。
（每题2分，共12分）1、把10克盐溶解在40克水中,盐的重量是盐水重量的 （ ）。
A 、41B 、51C 、45D 、542．如右图中三个三角形的面积比较（ ）。
A 、 A=B=CB 、A>B>CC 、 A>B=CD 、无法比较3、保留一位小数后是9.9的数是（ ）。
A 、9.94B 、9.849C 、9.9D 、9.874、已知a ÷ｂ =6，那么a 和b 的最大公因数是（ ）。
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西西弗杯数学竞赛复习题 Final revision on November 26, 2020
“西西弗”杯数学竞赛复习试卷
一、填空。
1、有一个111……11(101个)除以3余数是( ).
2、把两个面积相等的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是12厘米，每个正方形的面积是（）平方厘米。
3、一个长方体的长、宽、高分别是a、b、h（单位厘米），如果它的高增加5厘米，新的长方体体积增加了（）立方厘米。
4、一个数与它本身相加、相减、相除、所得的和、差、商相加是12，这个数是（）。
5、如果把两个棱长5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的表面积是（）平方厘米。
6、已知11×99=1089，111×999=110889，11……1（20个1）
×99……9（20个9）的积里有（）个数位上的数是偶数。
7、甲、乙、丙、丁四人做游戏，有写着0—100号码的卡片，按照下列要求连续分发，先发给甲2张、第二发给乙1张、再发给丙2张、最后发给乙1张。
问：
⑴、得到第44号卡片的是（）。
⑵、第99号卡片又发到（）的手中。
8、已知a※2=a×a 那么5※3=（）
9、已知□※△=3□-2△ 那么4※3=（）
10、把边长是10厘米的两个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。
11、用3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体，这个大长方体表面积是（）厘米2。
12、用棱长是2厘米的正方体木块拼成一个较大的正方体，至少要（）块。
13、甲数是a，比乙数的4倍少0.5，求乙数的式子是（）。
14、一个正方体棱长总和是48厘米，这个正方体的表面积是（）平方厘米。
15、已知a除以b的商是8，余数是3。
如果把a和b的同时扩大100倍后，商是（），余数是（）。
16、爸爸对儿子说：我像你这么大时，你才4岁；当你像我这么大时，我就79岁了。
现在爸爸是（）岁，儿子是（）岁。
17、如果把一根木料锯成3段需用9分钟，那么用同样的速度把这根木料锯成4段，要用多少时间？
二、计算。
（用简便方法计算）
4253×7236+7678×2764+3425×7236 （125×99+125）×16÷
0.1+0.2+0.3+0.4+……+9.9 3.6×1.4+36×0.86
三、解方程。
[Ｘ－（7.5+6.1）]×1.5=14.7 1÷[（6－2.8）×Ｘ]=0.125
四、应用题
1、在一个汽车停车场停车一次至少要交费2元，如果停车超过1小时，每多停0.5小时要多交0.5元，这辆汽车离开停车场时交了5.5元，这辆汽车停了多少小时？
2、小龙买了1千克糖果和3千克饼干付了44.2元，小丽买了同样的糖果和饼干各1千克付了24.2元，这种糖果和饼干每千克各是多少元？
3、一个三位数，它能被2整除，又有因数5，百位上的数是最小的质数，十位上的数比百位的数大5，这个三位数是多少？
4、六年级一班上体育课，每3人一排多1人，每4人一排多1人，每5人一排多1人，问六年级一班有多少人？
5、五年级一班做课间操，每4人一排差2人，每5人一排差3人，每
6人一排差4人，问五年级一班有多少人？
6、鸡、兔同笼，上有28个头，下有72只脚。
鸡、兔各有多少只？
7、有100颗棋子，两人轮流拿，每人每次最少拿1颗，最多拿5颗，谁最后把棋子拿完谁就获胜，若要获胜，先拿还是后拿，第一次拿几颗？
8、学校举行数学竞赛，赛题20个，做对一题得5分，做错一题扣3分，结果小画得60分，请你算一算小画做对多少题？
9、一组学生分练习本，其中1人分6本，其余每人分4本，则余4本；如果1人分10本，其余每人分6本，则差18本；求多少学生分多少练习本？
10、六年级有学生200人，报名参加体育小组的有160人，参加文娱小组的有140人，有10人两种小组都没有参加，只参加体育小组和只参加文娱小组各有多少人？
1、5×19.99+16×1.999+0.34×199.9=()
2、7.5×46.7+17.9×2.5=()
3、现在有1克、3克、7克的砝码各一个，那么在天平上能称出()种不同重量的物体。
4、按照一定规律列出的加法算式3+4、5+9、7+14、9+19、11+24……中第80个算式的和是( )。
5、7个连续自然数的和是105，其中最小的数是()，最大的数是()。
6、有一年二月份有5个星期日，这一年的“六一”儿童节是星期()。
7、一个数的小数点向右移动一位，比原数大59.94，这个数是()。
8、某校举行环保知识竞赛，一共20题。
答对一题得8分，答错一题倒扣5分，没有回答得0分。
小明共得134分，答对了( )题。
9、两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组学生人数比甲组的3倍少10人，求参加义务劳动的学生共有()人。
11、某8个数的平均数为50，若将其中一个数改为90，则平均数变成60，求被改动的数原来是()。
12、一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。
被除数、除数、商及余数之和是()。
13、甲乙两数之和加上甲数是220，如果加上乙数是170，甲乙两数之和是()。
14、25名同学一起去游园，每人只买一瓶饮料。
如果3个空瓶可以换回1瓶饮料，他们最多可以喝到()瓶饮料。
15、甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课。
⑴甲上课会用汉语。
⑵外语老师是一个学生的哥哥。
⑶丙是“三八红旗手”，比数学老师年轻。
则甲、乙、丙老师分别上______、_______、_______课。
16、两辆汽车分别从A、B两地同时相向而行，甲车从A地出发，乙车从B地出发，相遇后还继续前进，乙车到达A地后立即返回，又在距B 地140千米追上甲车，甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米。
问：A、B两地相距()千米。
17、幼儿园中班的小朋友分饼干，如果每人分5块，剩余22块，如果每人分7块，还少18块。
中班有()个小朋友，一共有()块饼干。