浙教版中考复习专题。。。全等和相似
中考专题复习相似三角形课件浙教版
中考专题复习相似三角形课件浙教版一、教学内容本节课我们将学习浙教版初中数学九年级下册第十章“几何图形的相似”中的“相似三角形”。
具体内容包括：相似三角形的判定、性质、应用等方面。
本章共分为三节，我们将重点学习第一节“相似三角形的判定”与第二节“相似三角形的性质”。
二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的判定方法及其性质。
2. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题，提高几何解题能力。
3. 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和团队合作能力。
三、教学难点与重点教学难点：相似三角形的判定与性质的理解和应用。
教学重点：掌握相似三角形的判定方法和性质，并能运用其解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、量角器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过展示实际生活中的相似图形（如建筑物的立面图、家具设计图等），引出相似三角形的概念。
2. 知识讲解：（1）相似三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS。
（2）相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例、对应面积成比例。
3. 例题讲解：讲解典型例题，分析解题思路，引导学生运用相似三角形的判定与性质解决问题。
4. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：针对练习题中的难点，组织学生进行小组讨论，共同解决问题。
7. 课后作业布置：布置相关作业，要求学生在课后巩固所学知识。
六、板书设计1. 相似三角形的判定：（1）SSS：三组对应边成比例（2）SAS：两组对应边成比例且夹角相等（3）ASA：两组对应角相等且夹边成比例（4）AAS：两组对应角相等且一组对应边成比例2. 相似三角形的性质：（1）对应角相等（2）对应边成比例（3）对应面积成比例七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC与三角形DEF相似，求证：$\angleA=\angle D$，$\angle B=\angle E$，$\angle C=\angle F$。
2024年中考专题复习相似三角形课件浙教版
2024年中考专题复习相似三角形课件浙教版一、教学内容本节课选自浙教版教材九年级下册第6章《几何变换》中的第3节“相似三角形”，具体内容包括：相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用，特别是相似三角形在实际问题中的模型建立和计算。
二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的定义，熟练运用判定方法识别相似三角形。
2. 掌握相似三角形的性质，并能运用性质解决相关问题。
3. 学会运用相似三角形的知识解决实际生活中的问题，培养几何直观和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：相似三角形的判定与性质。
难点：相似三角形在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、量角器、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一些生活中的相似图形，如建筑物的立面图、摄影中的景物等，引导学生发现相似图形的美和实用性。
2. 例题讲解：讲解相似三角形的判定方法（SSS、SAS、AA）和性质（对应角相等、对应边成比例）。
（1）已知三角形的两边及夹角与另一个三角形相等，证明这两个三角形相似。
（2）在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，证明△ADE∽△ABC。
4. 知识拓展：介绍相似三角形在工程、建筑、摄影等领域的应用。
5. 解题方法指导：针对不同题型，给出解题思路和技巧。
六、板书设计1. 相似三角形的判定方法：（1）SSS（三边相等）（2）SAS（两边及夹角相等）（3）AA（两角相等）2. 相似三角形的性质：（1）对应角相等（2）对应边成比例3. 相似三角形的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC。
（2）在△ABC中，∠ABC=45°，AB=6cm，AC=8cm，求BC的长度。
2. 答案：（1）证明：∵DE∥BC，∴∠A=∠A（公共角），∠DEA=∠C （同位角相等），∴△ADE∽△ABC（AA）。
中考专题复习相似三角形课件浙教版
中考专题复习相似三角形课件浙教版一、教学内容本节课将深入探讨浙教版初中数学九年级下册第5章“相似三角形”的相关内容，具体包括第1节至第3节的内容。
通过复习，学生将掌握相似三角形的判定方法、性质以及在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的定义、判定方法和性质。
2. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和团队合作能力。
三、教学难点与重点重点：相似三角形的判定方法、性质及运用。
难点：在实际问题中灵活运用相似三角形的性质解决问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、三角板。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中相似三角形的例子，引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2. 知识回顾与梳理（10分钟）引导学生回顾相似三角形的定义、判定方法和性质，对知识进行梳理。
3. 例题讲解（15分钟）讲解典型例题，分析解题思路和方法，强调相似三角形性质的应用。
4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论与展示（15分钟）学生分组讨论，共同解决实际问题。
每组选代表进行展示，分享解题过程和答案。
7. 课堂小结（5分钟）学生对本节课的学习内容进行回顾，巩固记忆。
六、板书设计1. 相似三角形的判定方法2. 相似三角形的性质3. 实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）已知：三角形ABC与三角形DEF相似，AB=4cm，AC=6cm，BC=8cm，DE=3cm，求DF的长度。
（2）如图，AB//CD，AB=6cm，CD=8cm，AE=4cm，求EC的长度。
2. 答案：（1）DF=6cm（2）EC=5cm八、课后反思及拓展延伸1. 关注学生对相似三角形判定方法和性质的理解。
2. 注重培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3. 加强课后作业的布置与批改，及时了解学生的学习情况。
浙教版初三数学复习《相似三角形的判定》课件
浙教版初三数学复习《相似三角形的判定》课件一、教学内容本节课选自浙教版初三数学教材，主要涉及第九章《几何图形的相似》中的第二节“相似三角形的判定”。
具体内容包括：了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定方法，包括AA、SAS、SSS三种情况，并能够运用这些方法解决实际问题。
二、教学目标1. 知识目标：使学生掌握相似三角形的定义和判定方法，能够准确判断并证明两个三角形是否相似。
2. 能力目标：培养学生运用相似三角形的性质解决实际问题的能力，提高逻辑思维和空间想象能力。
3. 情感目标：激发学生对数学几何学习的兴趣，培养学生合作探究、积极思考的学习态度。
三、教学难点与重点重点：相似三角形的定义和判定方法。
难点：运用判定方法进行实际问题的求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入通过展示生活中常见的相似图形，如建筑物的立面图、家具设计图等，引导学生思考相似图形在实际生活中的应用。
2. 例题讲解（1）回顾相似三角形的定义，讲解AA、SAS、SSS判定方法。
（2）举例说明如何运用判定方法求解实际问题。
3. 随堂练习（1）让学生判断给定图形中的三角形是否相似，并说明理由。
（2）让学生运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
4. 小组讨论六、板书设计1. 相似三角形的定义2. 相似三角形的判定方法：AA、SAS、SSS3. 例题及解题步骤4. 课堂练习及答案七、作业设计1. 作业题目（2）已知△ABC与△A'B'C'相似，求证：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
2. 答案（1）见附图。
（2）证明：由相似三角形的性质，得AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对相似三角形的判定方法掌握程度，以及在实际问题中的应用能力。
+4.4+两个相似三角形的判定+第二课时++课件++2024—-2025学年浙教版数学九年级上册
D
旋转型
E
B
C
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个
三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
∠B=∠B,78°=∠A
2
3
, 但夹角没有对应相等
AB AC
2
3
, A A
AB AC
2．下列各组条件中，一定能推出△ABC 与△DEF 相似的是( C )
A ．∠A ＝∠E 且∠D＝∠F
B ．∠A＝∠B 且∠D＝∠F
AB EF
C．∠A＝∠E 且 ＝
AC ED
AB DF
D．∠A ＝∠E 且 ＝
证明：∵ AB ·AD = AE·
AC，
AB AC
.
∴
AE AD
又∵ ∠DAB =∠CAE，
A
D
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
E
即∠BAC =∠DAE，
∴ △ABC ∽△AED.
B
旋转型
C
课堂小结
判定两个三角形相似的方法：
两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
A
斜A型
例2
如图，已知点D,E分别在AB,AC上,且
=
.
A
求证:DE‖BC.
证明：在△ADE和△ABC中，∠A=∠A，
D
=
所以△ADE ∽ △ABC
故∠ADE=∠B
所以DE‖BC.
B
E
C
例3 如图，D为△ABC的边AC上一点. 若要
使△ABD与△ACB相似，可添加什么条件
中考专题复习相似三角形课件浙教版
中考专题复习相似三角形课件浙教版教学内容：1. 相似三角形的定义与性质；2. 相似三角形的判定方法；3. 相似三角形的应用。
教学目标：1. 学生能够掌握相似三角形的定义与性质，了解相似三角形的判定方法，并能够运用相似三角形解决实际问题；2. 学生能够通过自主学习、合作探讨，提高分析和解决问题的能力；3. 培养学生的数学思维，提高学生的数学素养。
教学难点与重点：难点：相似三角形的判定方法及应用；重点：相似三角形的性质和判定方法。
教具与学具准备：教具：多媒体课件、黑板、粉笔；学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。
教学过程：一、实践情景引入（5分钟）教师通过展示一组实际问题，引导学生关注相似三角形的应用，激发学生的学习兴趣。
例1：在三角形ABC中，AB=8cm，BC=12cm，AC=10cm。
若三角形DEF是三角形ABC的相似三角形，求DE、DF的长度。
二、自主学习（5分钟）学生自主学习教材中关于相似三角形的内容，了解相似三角形的定义、性质和判定方法。
三、合作探讨（15分钟）四、教师讲解（15分钟）教师根据学生的讨论结果，进行讲解，强调相似三角形的性质和判定方法，解答学生的疑问。
五、随堂练习（10分钟）学生独立完成练习题，巩固所学知识。
练习1：判断下列三角形是否相似，并说明理由。
1. 三角形ABC与三角形DEF，其中AB=DE，BC=DF；2. 三角形ABC与三角形EFG，其中AC=EF，BC=FG；3. 三角形ABC与三角形A'B'C'，其中∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。
六、板书设计（5分钟）教师根据讲解内容，设计板书，突出相似三角形的性质和判定方法。
七、作业设计（5分钟）1. 教材课后练习第1题：判断下列三角形是否相似，并说明理由。
2. 教材课后练习第2题：已知三角形ABC中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm。
若三角形DEF是三角形ABC的相似三角形，求DE、DF的长度。
专题4.3相似三角形的判定与性质(一)-知识点梳理+练习(含解析)-浙教版九年级数学上册
A．①②③
B．①②④
C．①③④
【题型 3 根据图形数据判断两三角形相似】
试卷第 4 页，共 13 页
D．②③④
【例 3】（2023 春·河北保定·九年级统考期末） 9．如图， ABC 中， A 78 ， AB 4 ， AC 6 ．将 ABC 沿图中的虚线剪开，下列 四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）
A．①②③
B．③④
C．①②③④
D．①②④
【变式 3-1】（2023 春·河南新乡·九年级统考期末）
10．如图，已知△MNP ．下列四个三角形，与△MNP 相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式 3-2】（2023 春·山西阳泉·九年级统考期末） 11．如图是老师画出的 ABC ，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师 画出的 ABC 不一定相似的是（ ）
试卷第 6 页，共 13 页
P ，它与 A , C 两点形成的三角形与 ABC 相似，则 P 点的坐标是 ．
【变式 4-3】（2023 春·山东淄博·九年级统考期末） 16．平面直角坐标系中，直线 y 1 x 2 和 x、y 轴交于 A、B 两点，在第二象限内
2 找一点 P，使△PAO 和△AOB 相似的三角形个数为( )
A． OB 6 CD 5
B．
6 5
C．
S1 S2
6 5
【变式 1-1】（2023 春·九年级上海市民办文绮中学校考期中）
D．
C1 C2
6 5
2．两个相似三角形的面积之差为 3cm2 ，周长比是 2：3，那么较小的三角形面积是 cm2 ．
【变式 1-2】（2023 春·四川成都·九年级成都实外校考期中）
浙教版中考数学第二轮专题复习提升练习
浙教版2012年中考数学第二轮专题复习提升训练--全等与相似一， 知识链接：1.如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ） A.7 B.9 C.10 D. 112.如图2，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )3. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若1AD =，3BC =，则AOCO 的值为( ) A.12B. 13C. 14D. 194.如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD 的长为 （ ） A. 14 B. 15 C. 23 D. 325．如图3，在△ABC 中，∠C =90°，BC =6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 A ．2米 B ．5米 C ．6米 D ．7米6、如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）A △ADE ∽△ABCB AFC ABF S S △△=C ABC ADE S S △△41=D DF=EF 7.如图，在直角三角形ABC 中（∠C ＝90o）,放 置边长分别3,4,x 的三个正方形，则x 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 128.如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE 。
将△ADE 沿对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF 。
下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF;④S △FGC =3. 其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 、3 D 、4第1题OADBCC ABD第7题9．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ） （A ）48cm（B ）36cm （C ）24cm（D ）18cm10. 如图，在平行四边形 ABCD 中(AB≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O,且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO=BO ；②OE=OF ； ③△EAM ∽△EBN ；④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④11．如图6，已知菱形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC =________.12.如图，等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点,E,F 分别为BC 边上的两个三等分点，AE 和AF 分别与BD 相交于P,Q,则BP:PQ:QD=_______________. 13．一次函数y =34x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，在x 轴上取一点，使△ABC 为等腰三角形，则这样的的点C 最多．．有 个． 14.在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB=A F ，则点F 到直线BC 的距离为__________15．如图在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，O 分别是AB ，CD ，AD 的中点，以O 为圆心，以OE 为半径画弧EF .P 是上的一个动点，连结OP ，并延长OP 交线段BC 于点K ，过点P 作⊙O 的切线，分别交射线AB 于点M ，交直线BC 于点G .第9题FAB CDH EG①②③④ ⑤9题图ABCEFM N O 第8题 第10题AODBFKE 第15题 GMC A12题D P QB E F CB A O 第17题 E DCF A BC DEK若3 BMBG，则BK ﹦ . 16. 如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形DEFG 的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过ΔABC 的内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上。
浙江省中考数学总复习第28讲相似三角形优质课件2
浙江省中考数学总复习第28讲相似三角形优质课件一、教学内容本讲主要依据浙江省中考数学总复习教材，针对第28讲“相似三角形”进行深入讲解。
具体内容包括教材第三章第五节“相似图形”，详细内容涉及相似三角形判定、性质及其应用。
还包括相似三角形实际应用问题，以便学生能将理论知识与实际情境相结合。
二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握相似三角形判定定理、性质及应用，能运用相似三角形解决问题。
2. 过程与方法：培养学生运用几何直观和逻辑推理分析问题、解决问题能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学兴趣，增强其探究精神，使其体会到数学在实际生活中应用。
三、教学难点与重点1. 教学难点：相似三角形判定与应用、性质理解及运用。
2. 教学重点：掌握相似三角形判定定理、性质，并能解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、三角板、量角器。
2. 学具：直尺、圆规、三角板、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示实际生活中相似三角形例子，如三角形太阳能电池板摆放，引导学生发现相似三角形应用。
2. 知识讲解：（1）相似三角形判定定理：通过讲解例题，引导学生掌握SSS、SAS、ASA、AAS判定定理。
（2）相似三角形性质：通过例题讲解，让学生理解相似三角形对应角相等、对应边成比例等性质。
3. 随堂练习：布置一些相似三角形判定和性质应用题目，让学生当堂完成，并及时给予反馈。
4. 例题讲解：挑选具有代表性例题，详细讲解解题思路和步骤，引导学生运用所学知识解决问题。
六、板书设计1. 相似三角形判定定理：（1）SSS（2）SAS（3）ASA（4）AAS2. 相似三角形性质：（1）对应角相等（2）对应边成比例3. 例题及解题步骤七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC与三角形DEF相似，其中AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，求三角形DEF周长。
（2）在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上点，且BD=3cm，DE=4cm，EC=5cm，求证：三角形BDE与三角形CAB相似。
浙江省中考数学总复习第28讲相似三角形课件
浙江省中考数学总复习第28讲相似三角形课件一、教学内容本讲主要依据浙江省中考数学总复习要求，围绕教材中相似三角形的内容进行深入讲解。
详细内容包括：相似三角形的判定（SAS、SSS、AA相似判定法）、相似三角形的性质（对应角相等、对应边成比例）、相似三角形的应用（主要包括解三角形、图形的放大与缩小等）。
涉及教材的第三章第三节“相似图形的判定与性质”及第四章第一节“相似三角形的应用”。
二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的判定方法及性质；2. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题，如求三角形边长、角度等；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
三、教学难点与重点重点：相似三角形的判定方法、性质及应用。
难点：相似三角形的实际应用问题，特别是综合应用相似与其他数学知识的题型。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、三角板；2. 学具：直尺、圆规、量角器、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示图片或实际物体，让学生观察并发现相似三角形在生活中的应用，如地图、建筑设计等。
2. 例题讲解：讲解教材中的典型例题，引导学生掌握相似三角形的判定与性质。
3. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
4. 知识拓展：介绍相似三角形在其他领域的应用，如摄影、艺术等。
六、板书设计1. 相似三角形的判定：SAS、SSS、AA2. 相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例3. 相似三角形的应用：解三角形、图形的放大与缩小七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，求三角形ABC的面积。
（2）已知三角形DEF中，∠D=60°，∠E=40°，DF=8cm，求DE和EF的长度。
2. 答案：（1）三角形ABC的面积为24cm²。
（2）DE=8√3 cm，EF=4√3 cm。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：关注学生在课堂中的表现，针对学生的疑问和困难，进行针对性的解答和辅导。
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图9A BCD E P F 例1(2010珠海)19.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC AB ∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC CD=AB=4又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD 在Rt △ADE 中，DE=63)33(2222=+=+AEAD∵△ADF ∽△DEC ∴CDAF DEAD = ∴4633AF =AF=32例2.湖北襄阳25．（本小题满分10分）如图9，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF.(1)求证：∠ADP ＝∠EPB ； (2)求∠CBE 的度数；(3)当AP AB的值等于多少时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由. （1）证明：∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠A ＝∠PBC ＝90°，AB ＝AD ，∴∠ADP ＋∠APD ＝90° ∵∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠EPB ＝90°, ∴∠ADP ＝∠EPB .（2）过E 点作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，则∠EGP ＝∠A ＝90° .又∵∠ADP ＝∠EPB ，PD ＝PE ，∴△PAD ≌△EGP. ∴EG ＝AP ，AD ＝AB ＝PG . ∴AP ＝EG ＝BG .∴∠CBE ＝∠EBG ＝45°.（3）法1：当AP AB = 12时，△PFD ∽△BFP.∵∠ADP ＝∠FPB ，∠A ＝∠PBF ，∴△ADP ∽△BPF .） 设AD ＝AB ＝a ，则AP ＝PB ＝12a ，∴BF ＝BP ·AP AD ＝14a .∴PD ＝AD 2＋AP 2＝52a ，PF ＝PB 2＋BF 2＝54a . ∴PB PD ＝BF PF ＝55. 又∵∠DPF=∠PBF=90°，∴△PFD ∽△BFP. 法2：假设△PFD ∽△BFP ，则PD PF ＝PBBF.∵∠ADP ＝∠FPB ，∠A ＝∠PBF ，∴△ADP ∽△BPF .∴PD PF ＝APBF. ∴PB BF ＝AP BF ∴PB=AP . ∴AP AB ＝12时，△PFD ∽△BFP . 例3.2010日照24.如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ，交BC 与D ．求证：（1）D 是BC 的中点；（2）△BE C ∽△ADC ； （3）BC 2=2AB ·CE ．（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90° ， 即AD 是底边BC 上的高．又∵AB =AC ，∴△ABC 是等腰三角形， ∴D 是BC 的中点；(2) 证明：∵∠CBE 与∠CAD 是同弧所对的圆周角， ∴ ∠CBE =∠CAD 又∵ ∠BCE =∠ACD ， ∴△BEC ∽△ADC ； （3）证明：由△BEC ∽△ADC ，知BCCE ACCD ，即CD ·BC =AC ·CE ． ∵D 是BC 的中点，∴CD=21BC ．又 ∵AB =AC ，∴CD ·BC =AC ·CE =21BC ·BC=AB ·CE即BC 2=2AB ·CE ．例4.（2011•南充）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上．（1）求证：△ABE ∽△DFE（2）若sin ∠DFE=错误！未找到引用源。
，求tan∠EBC 的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=∠C=90°，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE=∠C=90°，∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°，又∠AFB+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DFE，∴△ABE∽△DFE，（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
，∴设DE=a，EF=3a，DF=错误！未找到引用源。
=2错误！未找到引用源。
a，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，又由（1）△ABE∽△DFE，∴错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
，∴tan∠EBF=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
，tan∠EBC=tan∠EBF=错误！未找到引用源。
．选择4（2011•南充）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=错误！未找到引用源。
；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个解答：解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，CD=DE，∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，∴∠ACE=90°；∵△ABC∽△CDE∴错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
①∴tan∠AEC=错误！未找到引用源。
，∴tan∠AEC=错误！未找到引用源。
；故本选项正确；②∵S△ABC=错误！未找到引用源。
a2，S△CDE=错误！未找到引用源。
b2，S梯形ABDE=错误！未找到引用源。
（a+b）2，∴S△ACE=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab，S△ABC+S△CDE=错误！未找到引用源。
（a2+b2）≥ab（a=b时取等号），∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BM=DM；故本选项正确；③又MN=错误！未找到引用源。
（AB+ED）=错误！未找到引用源。
（BC+CD），∴∠BMD=90°，即BM⊥DM；故本选项正确．故选D．解答3.2011日照23如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．证明：（1）在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15o，∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，∴∠DCA=∠DCB=45o．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC；（2）如图，连接MC ，∵DC=DM ，且∠MDC =60°，∴△MDC 是等边三角形，即CM=CD ．又∵∠EMC =180°-∠DMC =180°-60°=120°， ∠ADC =180°-∠MDC =180°-60°=120°， ∴∠EMC =∠ADC ． 又∵CE=CA ，∴∠DAC =∠CEM =15°，∴△ADC ≌△EMC ， ∴ME=AD=DB ．解答4.2011日照21如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．求证：（1）∠AOC =2∠ACD ；（2）AC 2＝AB ·AD ．证明：（1）∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD =90°， 即∠ACD +∠ACO =90°．…① ∵OC=OA ，∴∠ACO =∠CAO ，∴∠AOC =180°-2∠ACO ，即21∠AOC +∠ACO =90°. …②由①，②，得：∠ACD -21∠AOC =0，即∠AOC =2∠ACD ；（2）如图，连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°．在Rt △ACD 与△Rt ACD 中，∵∠AOC =2∠B ，∴∠B =∠ACD ， ∴△ACD ∽△ABC ， ∴ACAD ABAC，即AC 2=AB ·AD ．解答5。
2011遵义23．(10分) 把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠，使点A 与点E 重合，点C 与点F 重合（E 、 F 两点均在BD 上），折痕分别为BH 、DG 。
（1）求证：△BHE ≌△DGF ；（2）若AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，求线段FG 的长。
解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，∵△BEH是△BAH翻折而成，∴∠1=∠2，，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，∵△DGF是△DGC翻折而成，∴∠3=∠4，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，∴△BEH与△DFG中，∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠2=∠3，∴△BEH≌△DFG，（2）∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，∴BD=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=10，∵由（1）知，BD=CD，CG=FG，∴BF=10﹣6=4cm，设FG=x，则BG=8﹣x，在Rt△BGF中，BG2=BF2+FG2，即（8﹣x）2=42+x2，解得x=3，即FG=3cm．解答6．（2011•内江）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，∴∠EAD=∠EDA=45°，∴AE=DE，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°，∠EDC=∠ADC﹣∠EDA=180°﹣45°=135°，∴∠EAB=∠EDC，∵D是AC的中点，∴AD=AC，∵AC=2AB，∴AB=AD=DC，∴△EAB≌△EDC，∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，∴BE⊥EC．解答7（2012湛江）23. 如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O 与直角边BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．解：（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，又∵AC⊥BC，∴OD∥AC，∴∠2=∠3；∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵BC与圆相切于点D．∴BD2=BE•BA，∵BE=2，BD=4，∴BA=8，∴AE=AB﹣BE=6，∴⊙O的半径为3．24解答8.。