近世代数习题
近世代数课后习题答案
近世代数课后习题答案近世代数课后习题答案近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是抽象代数结构及其性质。
在学习近世代数的过程中，课后习题是巩固知识、加深理解的重要途径。
本文将为大家提供一些近世代数课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、群论1. 设G是一个群，证明恒等元素是唯一的。
答案：假设G中有两个恒等元素e和e'，则有e * e' = e'和e' * e = e。
由于e是恒等元素，所以e * e' = e' = e' * e。
再由于e'是恒等元素，所以e * e' = e =e' * e。
因此，e = e'，即恒等元素是唯一的。
2. 设G是一个群，证明每个元素在G中的逆元素是唯一的。
答案：假设G中的元素a有两个逆元素b和c，即a * b = e，a * c = e。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的逆元素a'，得到a' * (a * b) = a' * (a * c)。
根据结合律和逆元素的定义，等式右边可以化简为b = c。
因此，元素a的逆元素是唯一的。
二、环论1. 设R是一个环，证明零元素是唯一的。
答案：假设R中有两个零元素0和0'，则有0 + 0' = 0'和0' + 0 = 0。
由于0是零元素，所以0 + 0' = 0' = 0' + 0。
再由于0'是零元素，所以0 + 0' = 0 = 0' + 0。
因此，0 = 0'，即零元素是唯一的。
2. 设R是一个环，证明每个非零元素在R中的乘法逆元素是唯一的。
答案：假设R中的非零元素a有两个乘法逆元素b和c，即a * b = 1，a * c = 1。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的乘法逆元素a'，得到(a * b) * a' = (a * c) *a'。
近世代数第一章练习题
近世代数试题一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题3分，共15分)1.设A=R（实数域），B=R+（正实数域）φ:a→10a∀a∈A则φ是从A到B的( )。
A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射2.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )。
A.x→10xB.x→2xC.x→|x|D.x→-x3.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )。
A.1B.2C.3D.44.整数环Z中，可逆元的个数是( )。
A.1个B.2个C.4个D.无限个5.剩余类加群Z18的子群有( )。
A.3个B.6个C.9个D.12个二、填空题(每空3分，共27分)1.设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个.2.n次对称群S n的阶是____________.3.一个有限非可换群至少含有____________个元素.4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有____________个.5.除环的理想共有____________个.6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________.7.设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是____________.8.在2, i+3, π2, e-3中，____________是有理数域Q上的代数元.9.2+ 3在Q上的极小多项式是____________.三、解答题(第1、2小题各12分，第3小题10分，共34分)1.设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群.2.求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？3.设Z是整数环，则(2)∩(3)、(2,3)是Z的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z的理想吗？为什么？四、证明题(每小题8分，共24分)1.设a 、b 是群G 的元素，a 的阶为2，b 的阶为3，且ab=ba ，证明ab 的阶是6.2.证明：在n 阶群G 中每个元都满足x n =e.3.设A=⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 0b a a 、b 、c ∈⎭⎬⎫关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明 A 1=⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛x 000x ∈⎭⎬⎫是A 的子环，找出A 到A 1的一个同态满射f,求f 的核N.。
近世代数习题解答(石生明版)
∑
ａｉ
ｎ ｊ＝１
∑
ｂｊ ＝
ｍ
ｎ
若 ａ， ｂ 交换 ， 则 （ ａｂ ） ｍ ＝ ａｍ ｂｍ ． 倡 ６畅 Ｒ 是环 ，ａ ，ｂ ∈ Ｒ ，ａ ， ｂ 交换 ， 证明二项定理 ： （ ａ ＋ ｂ ） ｎ ＝ ａｎ ＋ 其中 ｎ ｎ －１ ａ ｂ＋ … ＋ １
倡 ５畅 Ｒ 是环 ， 验证 ： 对所有非负整数 ｍ ，ｎ ，橙 ａ ， ｂ∈ Ｒ ， 有 ｍ＋ ｎ ｍ ｎ ｍ ｎ ｍｎ ａ ＝ ａ ａ ， （ａ ） ＝ ａ ．
ｉ＝ １ ｊ＝ １
∑ ∑
ａｉ ｂｊ ．
ｎ ｎ－ｋ ｋ ａ ｂ ＋ … ＋ ｂｎ ， ｋ
ｎ ｎ （ ｎ － １） … （ ｎ － ｋ ＋ １） ｋ ＝ Ｃｎ ＝ １・２ … ｋ ｋ －１ －１ ７畅 Ｒ 是环 ，ａ１ ，ａ２ ，… ，ａｍ ∈ Ｒ ， 分别有乘法逆元素 ａ１ ，… ，ａ ｍ ， 则 ａ１ … ａｍ
（ － ｎ ）个 （ － ｎ ）个 （ － ｎ ）个
ｍ
ｍ
ｎ
ｍｎ
＝ ａΒιβλιοθήκη （ － ｍ ）（ － ｎ ）
又 ａｍ・０ ＝ １ ＝ （ ａｍ ）０ ． 这就证明了 ａ
ｍｎ
＝ （ ａｍ ） ｎ ， 当 ｎ＜０ ； ＝ （ａ ） ．
ｍ ｎ
＝ ａ
－ ｍ… － ｍ
＝ ａ
－ ｍ
… ａ
－ ｍ
＝ （ａ ）
ｍ
－１
… （ａ ）
ｍ
－１
与 （ ａｂ ） ｍ 都是 ｍ 个 ａ ，ｍ 个 ｂ 的乘积 ， 由广义结合律知它们相等 ， 当 ｍ 为负整 数时 ，ａ
－ ｍ
若 ａ ，ｂ 交换 ， 当 ｍ＝０时， 显然有 ａ ｂ ＝ （ ａｂ ） ． 当 ｍ 为正整数时 ，ａ ｂ ｂ
近世代数习题解答张禾瑞三章
近世代数习题解答第三章 环与域1 加群、环的定义1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的.证 (ⅰ)若S 是一个子群则S b a S b a ∈+⇒∈,'0是S 的零元,即a a =+'0对G 的零元,000'=∴=+a a即.00S a a s ∈-=-∴∈(ⅱ)若S b a S b a ∈+⇒∈,今证S 是子群由S S b a S b a ,,∈+⇒∈对加法是闭的,适合结合律,由S a S a ∈-⇒∈,而且得S a a ∈=-0再证另一个充要条件:若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-⇒∈-⇒∈,,反之S a a S a a S a ∈-=-⇒∈=-⇒∈00故S b a b a S b a ∈+=--⇒∈)(,2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定:+ 0 a b c 0 a b c0 a b c 0 0 0 0 0 aa 0 cb a 0 0 0 0 bb c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c证明,R 作成一个环证 R 对加法和乘法的闭的.对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(=事实上.当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0.当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律.两个分配律都成立xz xy z y x +=+)(事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样,只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了.至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看0=y 或a y = (可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx剩下的情形就只有∴R 作成一个环.2 交换律、单位元、零因子、整环1. 证明二项式定理在交换环中成立.证 用数学归纳法证明.当1=n 时,显然成立.假定k n =时是成立的:看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++(因为)()()(11k r k r kr -++=)即二项式定理在交换环中成立.2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环.证 设a 是生成元则R 的元可以写成na (n 整数)3．证明,对于有单位元的环来说,加法适合交换律是环定义里其他条件的结果 (利用)11)((++b a )证 单位元是1,b a , 是环的任意二元,4．找一个我们还没有提到过的有零因子的环.证 令R 是阶为2的循环加群规定乘法:R b a ∈,而0=ab则R 显然为环.Θ 阶为2 ∴有R a ∈ 而 0≠a但 0=aa 即a 为零因子或者R 为n n ⨯矩阵环.5．证明由所有实数2b a + (b a ,整数)作成的集合对于普通加法和乘法来说 是一个整环.证 令2{b a R +=b a ,(整数)}(ⅰ) R 是加群2)()()2()2(d b c a d c b a +++=+++适合结合律,交换律自不待言.零元 200+2b a +的负元2b a --(ⅱ)2)()2()2)(2(bc ad bd ac d c b a +++=++乘法适合结合律,交换律，并满足分配律.(ⅲ)单位元 201+(ⅲ) R 没有零因子，任二实数00=⇒=a ab 或0=b3 除、环、域1. =F {所有复数bi a + b a ,是有理数}证明 =F 对于普通加法和乘法来说是一个域.证 和上节习题5同样方法可证得F 是一个整环.并且 (ⅰ)F 有01≠+i(ⅱ) 0≠+bi a 即 b a , 中至少一个0≠022≠+∴b a 因而有, i b a b b a a 2222+-++ 使)((bi a +i b a b b a a 2222+-++1)= 故F 为域2. =F {所有实数,3b a + b a ,( 是有理数)}证明 F 对于普通加法和乘法来说是一个域.证 只证明 03≠+b a 有逆元存在.则b a ,中至少有一个0≠ , 我们说0322≠-b a不然的话,223b a =Θ,0(≠b 若0=b 则 0=a 矛盾) 223b a = 但 3 不是有理数 既然0322≠-b a 则 3b a + 的逆为3332222b a b b a a -+- 4. 证明 例3的乘法适合结合律.证),)](,)(,[(332211βαβαβα又 )],)(,)[(,(332211βαβαβα-----------------+--=)()([3232132321αββαβββααα,5. 验证,四元数除环的任意元 )(),(di c bi a ++ ,这里d c b a ,,,是实数,可以写成 ),0)(0,()1,0)(0,()0,)(0,()0,(i d c i b a +++的形式.证 ),(),(),(di bi c a di c bi a +=++4 无零因子环的特征1. 假定F 是一个有四个元的域,证明.(a )的特征是2;(b )F 的0≠ 或11的两个元都适合方程证 (a ) 设F 的特征为P则P 的(加)群F 的非零元的阶所 4P (4是群F 的阶)但要求P 是素数, .2=∴P(b ) 设},,1,0{b a F =由于2=P ,所以加法必然是,0=+x x ,而b a a a =+⇒≠+11故有0 1 a b 00 1 a b 11 0 b a Aa b 0 1 B b a 1 0又 },,1{b a 构成乘群,所以乘法必然是1,22≠≠a a a (否则b a = )b a =⇒2故有.1 a b 11 a b aa b 1 b b a 1这样, b a , 显然适合12+=x x2. 假定 ][a 是模 的一个剩余类.证明,若a 同 n 互素,那么所有][a 的书都同n 互素(这时我们说][a 同n 互素).证 设][a x ∈ 且d n x =),(则11,dn n dx x ==由于)(1111q n x d q dn dx nq x a nq a x -=-=-=⇒=-故有 ,a d ,且有 n d因为 1),(=n a 所以1=d3. 证明, 所有同 n 互素的模 n 的剩余类对于剩余类的乘法来说作成一个群(同 互素的剩余类的个数普通用符号)(n φ 来表示,并且把它叫做由拉φ函数)证]{[a G =而][a 同n 互素}G 显然非空,因为)1),1((]1[=∈n G(ⅰ)G b a ∈][],[则][]][[ab b a =又1),(,1),(==n b n a 有1),(=n ab(ⅱ)显然适合结合律.(ⅲ)因为n 有限,所以G 的阶有限.若]][[]][['x a x a =即][]['ax ax = 由此可得)(''x x a ax ax n -=-',1),(x x n n a -∴=Θ即有][]['x x =另一个消去律同样可证成立.G 作成一个群4. 证明,若是1),(=n a , 那么)(1)(n a n ≡φ(费马定理)证 ),(n a 则G a ∈][而 ][a 的阶是G 的阶 )(n φ的一个因子因此]1[][)(=n a φ即]1[][)(=n a φ5 子环、环的同态1. 证明,一个环的中心是一个交换子环.证 设N 是环的中心.显然N O ∈ N b a ∈,，x 是环的任意元是子环,至于是交换环那是明显的.2. 证明, 一个除环的中心是个域.证 设!是除环！是中心由上题知N 是R 的交换子环,1R ∈显然N ∈1,即N 包含非零元,同时这个非零元1是的单位元.R x N a ∈∈,即xa ax =N ∴!是一个域3. 证明, 有理数域是所有复数b a bi a ,(+是有理数）作成的域)(i R 的唯一的真子域. 证 有理数域R 是)(i R 的真子域.设F !是)(i R 的一个子域,则R F ⊇(因为R 是最小数域)若,F bi a ∈+ 而0≠b则)(i F F F i =⇒∈这就是说,R 是)(i R 的唯一真子域.4. 证明, )(i R 有且只有两自同构映射.证 有理数显然变为其自己.假定α→i则由i i =⇒-=⇒-=αα1122或 i -=α这就证明完毕.当然还可以详细一些:21,φφ确是)(i R 的两个自同构映射.现在证明只有这两个.若bi a i +=→αφ:(有理数变为其自己)则由12)(12222-=+-=+⇒-=abi b a bi a i若 102-=⇒=a b 是有理数,在就出现矛盾,所以有0=a 因而.1±=b 在就是说, 只能i i →或i i -→i5. 3J 表示模3的剩余类所作成的集合.找出加群3J 的所有自同构映射,这找出域3J !的所有自同构映射.证 1）对加群3J 的自同构映射自同构映射必须保持!00←→故有i i →:1φ2）对域3J 的自同构映射.自同构映射必须保持00←→，11←→所有只有i i →:φ6. 令R 是四元数除环, R 是子集=S {一切)}0,(a 这里a 阿是实数,显然与实数域-S 同构.令-R 是把R 中S 换成-S 后所得集合;替R 规定代数运算.使-≅R R ,分别用k j i ,,表示R 的元),,0(),1,0(),0,(i i ,那么-R 的元可以写成d c b a dk cj bi a ,,,(+++是实数）的形式(参看.3.3 习题5). 验证.1222-===k j i ，.,,j ik ki i kj jk k ji ij =-==-==-=证 1）对a a →)0,(:φ来说显然-≅S S2）=S {一切)}0,(a a 实数=-S {一切（)0,a a 实数 Λβα,{(=R 一切)}0,(a 复数对)(αβ是不属于S 的R 的元. =-R Λβα,{(一切}a 规定由于S 与-S 的补足集合没有共同元,容易验证ψ是R 与-R 间的一一映射. 规定 -R 的两个唤的和等于它们的逆象的和的象.-R 的两个元的积等于它们的逆象的积的象.首先,这样规定法则确是-R 的两个代数运算.其次,对于这两个代数运算以及R 的两个代数运算来说在ψ之下-≅R R（3）由.3.3习题5知这里 d c b a ,,, 实数这是因为令),0(),1,0(),0,(i k j i i ===（4）1)0,1()0,)(0,(2-=-==i i i同样j ik ki i kj jk =-==-=,6 多项式环1. 证明, 假定R 是一个整环,那么R 上的一个多项式环][x R 也是一个整环. 证 R !是交换环][x R ⇒交换环,R 有单位元11⇒是][x R 的单位元,R 没有零因子][x R ⇒没有零因子事实上，0,)(10≠++=a x a x a a x f n n Λ则m n m n x b a b a x g x f +++=Λ00)()(因为R 没有零因子,所以0≠m n b a因而0)()(≠x g x f这样][x R 是整环2． 假定R 是模7的剩余类环,在][x R 里把乘积 计算出来解 原式=]2[]5[]4[]5[]5[]5[]3[]5[345345++++=-++-x x x x x x x x3. 证明:(ⅰ) ],[],[1221ααααR R =(ⅱ) 若n x x x ,,,21Λ是R 上的无关未定元,那么每一个i x 都是R 上的未定元.证 （ⅰ）=],[21ααR {一切}211221i i i i a αα∑{],[12=ααR 一切}112212j j j j a αα∑由于=∑211221i i i i a αα112212j j j j a αα∑因而=],[21ααR ],[12ααR（ⅱ）设00=∑=nk k i k x a即∑=+-n k n i h i i k x x x x x a 00010101ΛΛ 因为n x x x Λ,,21是R 上的无关未定元,所以即i x 是R 上的未定元4. 证明:(ⅰ) 若是n x x x Λ,,21和n y y y Λ,,21上的两组无关未定元,那么 (ⅱ) R !上的一元多项式环][x R 能与它的一个真子环同构. 证 (ⅰ)),,(),,(:2121n n y y y f x x x f ΛΛ→φ根据本节定理3 ],,[~],,[2121n n y y y R x x x R ΛΛ 容易验证),,(),,(212211n n x x x f x x x f ΛΛ≠),,(),,(212211n n y y y f y y y f ΛΛ≠⇒ 这样],,[],,[2121n n y y y R x x x R ΛΛ≅（ⅱ）令{][=x R 一切}2210n n x a x a a +++Λ显然][][2x R x R ⊂但][2x R x ∉不然的话这与x 是R 上未定元矛盾.所以][2x R 是][x R 上未定元显然故有（ⅰ）}[][2x R x R ≅这就是说,][2x R 是][x R 的真子环,且此真子环与][x R 同构.7 理想1. 假定R 是偶数环,证明,所有整数r 4是ϑ的一个理想,等式!对不对? 证 R r r r r ∈∈2121,,4,4ϑϑ∴ 是R 的一个理想.等式 )4(=ϑ不对这是因为R 没有单位元,具体的说)4(4∈但ϑ∉42. 假定R 是整数环,证明.1)7,3(= 证 R 是整数环,显然)1(=R .1)7,3(=又 )7,3()7(13)2(1∈+-=3. 假定例3的R 是有理数域,证明,这时),2(x 是一个主理想. 证 因为2与x 互素,所以存在)(),(21x P x P 使),2()1(][x x R ==∴ 。
近世代数习题答案
绪论部分：7.由1))((11111111121112121==----------a a a a a a a a a a a a a a m m m m m m m ,故11121121)(----=a a a a a a m m .对第2个问题,上面一段正是证明了它的充分性,再证必要性.设121=⋅u a a a m ,则任意i ,1)(111=--u a a a a a m i i i ,故每个i a 有逆元素.注：直接根据逆元的定义和广义结合律证明.8.11)1(11)1)(1()1(=+-=-+-=-+-=+-=-ba ba ca ab b ba babca bca ba bca ba d babcababca ba ba bca ba d -+-=-+=-1)1)(1()1(.11)1(1=+-=-+-=ba ba a ab bc ba即1-ba 在R 内也可逆又由c abc cab c ab ab c =+=+=-=-11,1)1()1(得.故cab)ab(11abcab ab 1bca)b a(11adb 1++=++=++=+c abc =+=1.注：直接根据结合律和环中乘法对加法的分配律验证. 第一章： 第一节：5.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a A 0，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c d c B 0,其中a,b,c,d 都是复数,a ≠0且c ≠0,则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=ac bc ad ac AB 0也和A,B 具有相同的形式. 显然, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001I 是单位元且⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a b ab a C 1012是A 的逆矩阵.又矩阵乘法满足结合律,故结论得证.注：根据群的定义直接验证,需要说明AB 也和A,B 具有相同的形式.7.对,G a ∈a 有右逆b.b 又有右逆a '，这时a 为b 的左逆.由ab e a b =='，得到()()a a ab a b a a '='='=，可知a a '=.这样e ab ba ==，即b 是a 的逆.12.设{}s g g G ,,1 =.由性质（2），G ag ag G a s ⊆∈∀},{,1 ,且是s 个不同的元，故G ag ag s =}{1 .同样由性质（3）可得，G a g a g s =},{1 。
近世代数模拟试题
近世代数模拟试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个选项是群的一个例子？A. 整数集合B. 偶数集合C. 正实数集合D. 所有实数的集合2. 群的运算满足以下哪个性质？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足3. 在群中，单位元具有什么性质？A. 唯一性B. 可逆性C. 交换性D. 以上都不是4. 以下哪个选项是环的一个例子？A. 整数集合B. 有理数集合C. 复数集合D. 所有选项都是5. 环中的加法运算满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足6. 以下哪个选项是域的一个例子？A. 整数集合B. 有理数集合C. 实数集合D. 所有选项都是7. 域中的乘法运算满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足8. 向量空间中的向量加法满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足9. 线性变换的定义域和值域必须是？A. 向量空间B. 群C. 环D. 域10. 以下哪个选项是线性无关的例子？A. 一组线性方程的解B. 一组线性方程的系数C. 一组线性方程的增广矩阵D. 一组线性方程的系数矩阵二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个群的元素个数是有限的，则称该群为________群。
12. 群的运算满足封闭性，即对于任意两个元素a和b，它们的运算结果________。
13. 环中的元素a和b，如果满足ab=ba，则称这两个元素________。
14. 域中的元素a和b，如果满足ab=1，则称b为a的________。
15. 向量空间中的一组向量，如果它们之间不存在非平凡的线性组合等于零向量，则称这组向量________。
三、解答题（每题20分，共40分）16. 给定一个群G，证明群G中的单位元是唯一的。
17. 证明如果一个环R的乘法运算满足交换律，则称R为交换环。
近世代数习题与答案
一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) (从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。
(A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。
(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。
(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。
(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。
(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内）1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。
2、F 是域，则[](())F x f x 是域当且仅当 。
3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:A ～B ⇔秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。
4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。
5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。
三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”）1、设G 是群，∅≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ）2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。
( )3、商环6Z Z 是一个域。
（ ）4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，若1()f H G -， 则H G 。
（ ）5、任意群都同构于一个变换群。
（ ）四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、找出6Z 的全部理想，并指出哪些是极大理想。
哈工大近世代数习题参考答案
1）封闭性：对 ∀f , g ∈ G ，设 f ( x) = ax + b ， g ( x) = cx + d ， a ≠ 0, c ≠ 0 ， 则 f g ( x) = f ( g ( x)) = f (cx + d ) = a (cx + d ) + b = (ac) x + ad + b ，所以 f g ∈ G 2）结合律：映射的复合满足结合律。 3）单位元： I R ( x) = x 4）逆元： 显然对 ∀f ∈ G ， 由 f 为双射， 故 f 可逆， 且 f −1 ( x) = 12.5.3 证明：由 a r ∈ G ，则 (a r ) ⊆ G 。设 a r 的阶为 k ，即 (a r ) k = e 。 因为 (a r ) n = (a n ) r = e r = e ，所以 k n 。又由 (a r ) k = e ⇒ a rk = e ，而 a n = e ，
ϕ (e1 ) ∗ y = ϕ (e1 ) ∗ ϕ ( x) = ϕ (e1 x) = ϕ ( x) = y ，同理有 y ∗ ϕ (e1 ) = ϕ ( x) = y ，所以：
ϕ (e1 ) ∗ y = y ∗ ϕ (e1 ) = y ，则 ϕ (e1 ) = e2 ，所以 e1 ∈ S 。
2）封闭性：对 ∀x, t ∈ S ，有 ϕ ( x) = e2 ， ϕ (t ) = e2 ，则 ϕ ( x t ) = ϕ ( x) ∗ ϕ (t ) = e2 ， 所以 x t ∈ S 。 3）结合律：显然。 4）单位元： e1 ∈ S 。 5）逆元：对 ∀x ∈ S ，有 ϕ ( x) = e2 ，则： e2 = ϕ (e1 ) = ϕ ( x x −1 ) = ϕ ( x) ∗ ϕ ( x −1 ) = e2 ∗ ϕ ( x −1 ) = ϕ ( x −1 ) ，即 ϕ ( x −1 ) = e2 ，所以 x −1 ∈ S 。 12.4.1 证明：显然对 ∀f ∈ G ， f 为双射。
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. 1 / 18 近世代数复习思考题 一、基本概念与基本常识的记忆 〔一〕填空题 1.剩余类加群Z12有_________个生成元. 2、设群G的元a的阶是n,则ak的阶是________. 3. 6阶循环群有_________个子群.
4、设群G中元素a的阶为m,如果ean,那么m与n存在整除关系为———. 5. 模8的剩余类环Z8的子环有_________个. 6.整数环Z的理想有_________个. 7、n次对称群Sn的阶是——————.
8、9-置换728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————. 9.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］},则S的单位元是____________. 10. 24中的所有可逆元是：__________________________. 11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构. 12. 设()Ga为循环群,那么〔1〕若a的阶为无限,则G同构于___________,〔2〕若a的阶为n,则G同构于____________. 13. 在整数环中,23=__________________； 14、n次对称群Sn的阶是_____. 15. 设12
,AA为群G的子群,则21AA是群G的子群的充分必要条件为___________.
16、除环的理想共有____________个. 17. 剩余类环Z5的零因子个数等于__________. 18、在整数环Z中,由｛2,3｝生成的理想是_________. 19. 剩余类环Z7的可逆元有__________个. 20、设Z11是整数模11的剩余类环,则Z11的特征是_________. 21. 整环I={所有复数a+bi},则I的单位是__________. 22. 剩余类环Zn是域n是_________. 23、设Z7 ={0,1,2,3,4,5,6}是整数模7的剩余类环,在Z7 [x]中, <5x-4><3x+2>=________. 24. 设G为群,aG,若12a,则8a_______________.
25、设群G=｛e,a1,a2,…,an-1｝,运算为乘法,e为G的单位元,则a1n =___. 26. 设A={a,b,c},则A到A的一一映射共有__________个. 27、整数环Z的商域是________. . 2 / 18 28. 整数加群Z有__________个生成元. 29、若R是一个有单位元的交换环,I是R的一个理想,那么RI是一个域当且仅当I是————————. 30. 已知1234531254为5S上的元素,则1＝__________. 31. 每一个有限群都与一个__________群同构. 32、设I是唯一分解环,则I［x］与唯一分解环的关系是——————. 二、基本概念的理解与掌握. 〔二〕选择题 1.设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有〔 〕个元素. A.2 B.5 2.设A＝B＝R,如果A到B的映射 ：x→x＋2,x∈R, 则是从A到B的〔 〕 A.满射而非单射B.单射而非满射 C.一一映射D.既非单射也非满射 3.设Z15是以15为模的剩余类加群,那么,Z15的子群共有〔 〕个. 4、G是12阶的有限群,H是G的子群,则H的阶可能是< > A 5； B 6； C 7； D 9. 5、下面的集合与运算构成群的是 < > A {0,1},运算为普通的乘法； B {0,1},运算为普通的加法; C {-1,1},运算为普通的乘法； D {-1,1},运算为普通的加法; 6、关于整环的叙述,下列正确的是 < > A 左、右消去律都成立； B 左、右消去律都不成立; C 每个非零元都有逆元； D 每个非零元都没有逆元; 7、关于理想的叙述,下列不正确的是 < > A 在环的同态满射下,理想的象是理想; B 在环的同态满射下,理想的逆象是理想; C 除环只有两个理想,即零理想和单位理想 D 环的最##想就是该环本身. . 3 / 18 8.整数环Z中,可逆元的个数是< >. A.1个B.2个C.4个D.无限个
9. 设M2=dcba a,b,c,d∈R,R为实数域按矩阵的加法和 乘法构成R上的二阶方阵环,那么这个方阵环是< >. A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环
10. 设Z是整数集,σ=为奇数时当为偶数时当a,21aa,2a ,Za,则σ是R的< >. A. 满射变换 B. 单射变换 C. 一一变换 D. 不是R的变换 11、设A={所有实数x},A的代数运算是普通乘法,则以下映射作成A到A的一个子集 的同态满射的是< >. A、x→10x B、x→2x C、x→|x| D、x→-x . 12、设是正整数集Z上的二元运算,其中max,abab〔即取a与b中的最大者〕,那么在Z中〔 〕 A、不适合交换律 B、不适合结合律 C、存在单位元 D、每个元都有逆元. 13.设3S={〔1〕,〔1 2〕,〔1 3〕,〔2 3〕,〔1 2 3〕,〔1 3 2〕},则3
S 中与元〔1 2 3〕
不能交换的元的个数是< > A、1 B、2C、3 D、4. 14、设,G为群,其中G是实数集,而乘法:ababk,这里k为G中固定的常数.那么群,G中的单位元e和元x的逆元分别是〔 〕 A、0和x； B、1和0； C、k和2xk； D、k和(2)xk 15、设H是有限群G的子群,且G有左陪集分类,,,HaHbHcH.如果H6,那么G
的阶G〔 〕 A、6 B、24 C、10 D、12 16.整数环Z中,可逆元的个数是<>. A、1个 B、2个 C、4个 D、无限个. 17、设12
:fRR是环同态满射,()fab,那么下列错误的结论为〔 〕 . 4 / 18 A、若a是零元,则b是零元 B、若a是单位元,则b是单位元 C、若a不是零因子,则b不是零因子 D、若2R是不交换的,则1
R不交换
18、下列正确的命题是〔 〕 A、欧氏环一定是唯一分解环 B、主理想环必是欧氏环 C、唯一分解环必是主理想环 D、唯一分解环必是欧氏环 19. 下列法则,哪个是集A的代数运算< >.
A. A=N, ab=a+b-2 B. A=Z,ab=ba C. A=Q, ab=ab D. A=R, ab=a+b+ab 20. 设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法,则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是< >.
A. x→-x B. x→x1
C. x→x
1 D. x→5x
21. 在3次对称群S3中,阶为3的元有< >. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 22．剩余类环Z6的子环有< >. A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
23、设cba,,和x都是群G中的元素且xacacxbxcax,12,那么x〔 〕 A.11abc； B.11ac； C.11bca； D.cab1. 24、设21
:GGf是一个群同态映射,那么下列错误的命题是〔 〕
A.f的同态核是1
G的不变子群;
B.1
G的不变子群的象是2G的不变子群.
C.1
G的子群的象是2G的子群； . 5 / 18 D.2
G的不变子群的逆象是1G的不变子群；
25、设H是群G的子群,且G有左陪集分类cHbHaHH,,,.如果H6,那么G的阶G〔 〕
A.6； B.24； C.10； D.12. 〔三〕判断题〔每小题2分,共12分〕
1、设A、B、D都是非空集合,则BA到D的每个映射都叫作二元运算.〔 〕 2、除环中的每一个元都有逆元.〔 〕 3、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的,则G与整数加群同构.〔 〕 4、如果群G的子群H是循环群,那么G也是循环群.〔 〕 5、域是交换的除环.〔 〕 6、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子.〔 〕 7、设f：GG是群G到群G的同态满射,a∈G,则a与f 的阶相同.〔 〕 8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群.〔 〕 9、循环群的子群也是循环群.〔 〕 10、整环I中的两个元素a,b满足a整除b且b整除a,则a＝b.〔 〕 11、一个环若没有左零因子,则它也没有右零因子.〔 〕 12、只要f是A到A的一一映射,那么必有唯一的逆映射1f
.〔 〕
13、如果环R的阶2,那么R的单位元10.〔 〕 14、指数为2的子群不是不变子群.〔 〕 15、在整数环Z中,只有±1才是单位,因此在整数环Z中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号.〔 〕 16、两个单位和的乘积也是一个单位.〔 〕 17、环K中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元.〔 〕 18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积,所以零元和单位都不能唯一分解.〔 〕 19、整环必是唯一分解环.〔 〕 20、在唯一分解环K中,p是K中的素元当且仅当p是K中的不可约元.〔 〕 21、设K是唯一分解环,则K中任意二个元素的最大公因子都存在,且任意二个最大公因子相伴.〔 〕 22、整数环Z和环Qx都是主理想环.〔 〕
23、K是主理想环当且仅当K是唯一分解环.〔 〕