华师版七年级数学上册(HS)难点探究精品专题：整式中的规律探究(选做)
初一数学整式规律探索含答案
规律探索中考要求重难点1.能根据图，表，数，式中的排列特征，探究期中蕴藏的数式规律课前预习德国著名大科学家高斯(1777～1855)出生在一个贫穷的家庭.高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误.长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。
他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。
数学家们则称呼他为“数学王子”.他八岁时进入乡村小学读书。
教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。
而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣.这一天正是数学教师情绪低落的一天。
同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了.“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和.谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。
”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了.教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好.。
有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来.还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去.“老师，答案是不是这样？”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。
”他想不可能这么快就会有答案了.可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的.”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n 的方法。
高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。
专题06 整式中规律探索的三种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(7年级上册人教版)
专题06整式中规律探索的三种考法类型一、单项式规律性问题例．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3那个点，如此，则经2015次跳后它停的点所对应的数为（）A．5B．3C．2D．1【答案】C【分析】先根据题意，求出前几次跳到的点的位置，发现这是一个循环，按照3、5、2、1成一个循环，再用解循环问题的方法求解．【详解】解：按照题意，第一次在1这个点，下一次就跳到3，再下一次跳到5，再下一次跳到2，2是偶数了，就逆时针跳一个点，又回到了1这个点，发现这是一个循环，3、5、2、1是一个循环，÷ ，20154=5033∴最后到2这个点．故选：C．【点睛】本题考查找规律，解题的关键是通过前几个数发现这是一个循环问题，利用解循环问题的方法求解．【变式训练1】按上面数表的规律．得下面的三角形数表：【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．类型三、图形类规律探索例.根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（）根．A．8080B．6066C．6061D．6060【答案】C【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．【详解】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；∴搭2020个这样的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；故选C．【点睛】本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．【变式训练1】下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（）A．69B．73C．77D．83【答案】B【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案．【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1），第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3，第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4，第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5，第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6，……【答案】57【分析】根据每个图形增加三角形的个数，找到规律即可．【详解】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…，第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=（4n﹣3）个，当n=15时，4n﹣3=4×15﹣3=57．故答案为：57．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题关键是通过图形数量的变化发现规律，并应用规律解决问题．课后训练20192020)a a -。
七年级数学上册-难点探究：整式中的规律探究问题压轴题七种模型全攻略(解析版)
专题11难点探究专题：整式中的规律探究问题压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一数字类规律探索之单项式问题】 (1)【类型二数字类规律探索之排列问题】 (3)【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】 (6)【类型四数字类规律探索之新运算问题】 (8)【类型五数字类规律探索之等式问题】 (12)【类型六图形类规律探索之数字问题】 (17)【类型七图形类规律探索之数量问题】 (19)【典型例题】【类型一数字类规律探索之单项式问题】【变式训练】(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n 个单项式是什么吗？(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．【答案】(1)1,3,5,7,,37,39,--- ，系数的绝对值的规律是21n -(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数(3)()(1)21n nn x--(4)第2022个单项式是20224043x ，第2023个单项式是20234045x -【分析】（1）根据单项式系数的含义进行求解，再观察其绝对值的规律即可；（2）观察次的变化，从而可求解；（3）结合（1）（2）进行分析即可；（4）根据（3）进行求解即可．【详解】（1）解：这组单项式的系数依次是1,3,5,7,,37,39,--- ，系数的绝对值为1,3,5,7,,37,39, ，是从1开始的奇数，∴系数的绝对值的规律是21n -．（2）解：这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．（3）解：由（1）问得：符合规律是(1)n -，∵这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，∴第n 个单项式是()(1)21n n n x --．（4）解：第2022个单项式是20224043x ，第2023个单项式是20234045x -．【点睛】本题主要考查找规律，能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键．【类型二数字类规律探索之排列问题】例题：（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为0．（1）第5行第10列的数字是（2）数字2023在图中的第【答案】04525n-行的第【分析】（1）根据第21n-行第（2）观察数据发现第21【详解】解：（1）观察数据发现根据第【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，m的值A．86B．52C．38【答案】A即故选：A．【点睛】本题稍复杂，不但要考虑相邻两个图形中数字的变化规律，还要找出每个图形中四个数之间的规【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】例题：（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列算式：031=，133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得20033的个位数字是（）A ．1B ．3C ．9D ．7【答案】D【分析】先由前面8个具体的计算归纳得到个位数每四次循环，再利用规律解题即可．【详解】解：031=，133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=…，归纳可得：个位数每四次循环，∵()200314501+÷=，∴20033与33的个位数相同，是7；故选D【点睛】本题考查的是数字变化规律的探究，乘方的含义，掌握探究的方法并灵活应用规律解决问题是解题关键．【变式训练】【类型四数字类规律探索之新运算问题】例题：（2022·湖南株洲·统考二模）定义一种关于整数n 的“F ”运算：（1）当n 是奇数时，结果为35n +；（2）【变式训练】【类型五数字类规律探索之等式问题】【变式训练】1．（2023春·山东济南·七年级统考期中）已知1x ≠，观察下列等式；()()2111x x x -+=-；()()23111x x x x -++=-；()()234111x x x x x -+++=-；…(1)猜想：()()23111n x x x x x --++++⋅⋅⋅+=________；(2)应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①()()234512122222-+++++=________；②()()202220212020211x x x x x x -+++⋅⋅⋅+++=________．(3)求10099982222221+++⋅⋅⋅+++的值是多少？【答案】(1)1nx -(2)①63-；②20231x -(3)10121-【分析】（1）根据所列等式所呈现的规律得出答案；（2）①利用（1）中得到的结论得出结果为612-即可；②将原式变为()()220202*********x x x x x x ++-+⋅⋅++-⋅+，再利用（1）中的结论即可得出结果；（3）将原式化为()()210012122...2--⨯++++，再利用（1）中得到的结论得出结果即可．【详解】（1）解：由已知条件可得：()()231111n n x x x x x x --++++⋅⋅⋅+=-；故答案为：1n x -；（2）①()()23456121222221263-+++++=-=-，②()()202220212020211x x x x x x -+++⋅⋅⋅+++，()()220202*********x x x x x x =+++⋅⋅⋅++--+，()20231x =--，20231x =-，故答案为：20231x -；（3）10099982222221+++⋅⋅⋅+++，()()210012122...2=--⨯++++，()10112=--，【类型六图形类规律探索之数字问题】例题：（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，根据图形中数的规律，可推断出a的值为（）A．128B．216C．226D．240【答案】C【分析】根据图形得出右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，然后计算即可．=⨯+，【详解】解：由图可得：2022=⨯+，10242=⨯+，2646250682=⨯+，即右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，a=⨯+=，所以14162226故选：C．【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，运用规律．【变式训练】A ．450B ．463C ．465D ．526【答案】B 【分析】结合表格找出其中的规律，求出28165x =+=，8658528=⨯+=y ，再计算y x -即可．【详解】解：由表可得：2521=+，12252=⨯+；21741=+，724174=⨯+；23761=+，2286376=⨯+；∴28165x =+=，8658528=⨯+=y ；∴52865463y x -=-=．故选：B ．【点睛】本题考查数字规律题，解题的关键是找出其中的规律：28165x =+=，8658528=⨯+=y ．2.（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）根据图中数字的规律，若第n 个图中A B C D ++-的值为196，则n =（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C 【分析】通过观察可知，若第n 个图中A 位置上的数是1n +，B 位置上的数是2n ，C 位置上的数是n 1-，D 位置上的数是2n ，所以2A B C D n ++-=，带入数值求出即可．【详解】解：通过观察可知，若第n 个图中A 位置上的数是1n +，B 位置上的数是2n ，C 位置上的数是n 1-，D 位置上的数是2n ，所以()()22112A B C D n n n n n ++-=+++--=，当196A B C D ++-=时，2196n \=，n Q 是正整数，14n ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决问题关键．3.（2022秋·河南周口·七年级校考期中）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，则第n （n 为正整数）个三角形中，用n 表示y 的式子为（）A ．21n +B ．2n n +C ．12n n ++D ．21n n ++【答案】B 【分析】由题意可得各三角形中下边第三个数是上边两个数字的和，而上边第一个数的数字规律为1，2，3，⋯，n ，第二个数的数字规律为：2，22，32，⋯，2n ，由此即可得到答案．【详解】解：由题意可得：三角形上边第一个数的数字规律为：1，2，3，⋯，n ，三角形上边第二个数的数字规律为：2，22，32，⋯，2n ，三角形下边的数的数字规律为：112123+=+=，224226+=+=，3383211+=+=，⋯，∴第n 个三角形中的数的规律为：2n y n =+，故选：B ．【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出：第n 个三角形中的数的规律为：2n y n =+，是解题的关键．【类型七图形类规律探索之数量问题】(1)按图示规律完成下表：(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？【答案】(1)13，17，21(2)41n +(3)61【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；（2）由（1）进行总结即可；（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．【详解】（1）解：第1个图形的火柴棒根数为：5，第2个图形的火柴棒根数为：954541=+=+⨯，第3个图形的火柴棒根数为：13544542=++=+⨯，第4个图形的火柴棒根数为：175444543=+++=+⨯，第5个图形的火柴棒根数为：2154444544=++++=+⨯，⋯⋯故答案为：13，17，21；（2）解：由（1）得：搭第n 个图形需要火柴棒根数为：54(1)41n n +-=+．答：第n 个图形需要火柴棒根数为：41n +；（3）解：当15n =时，41415161n +=⨯+=，所以搭第15个图形需要61根火柴棒．【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律．【变式训练】1．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（）A ．6074B ．6072C ．6070D ．6068【答案】C【分析】根据题意可得第n 个图案中的“”的个数为((31)n +个，即可求解．【详解】解：∵第1个图案中的“”的个数1314=⨯+=（个），第2个图案中的“”的个数2317=⨯+=（个），第3个图案中的“”的个数33110=⨯+=（个），…，第2023个图案中的“”的个数3202316070==⨯+（个），故选：C ．【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．2．（2023春·湖北武汉·七年级统考开学考试）如图，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要7根火柴，……，以此类推．那么摆第八个图形需要（）根火柴．A ．24B ．27C ．25D ．28【答案】C 【分析】根据给出的图形，得到第n 个图形需要()431n +-根火柴，进而求出第八个图形所需要的火柴数．【详解】解：由图可知，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要437+=根火柴，摆第三个图形需要43210+⨯=根火柴，L∴第n 个图形需要()431n +-根火柴，∴摆第八个图形需要()438125+⨯-=根火柴；故选C ．【点睛】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到第n 个图形需要()431n +-根火柴．3．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm ，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm ．（1）观察图形，填写如表；链条节数/x（节）2345…链条长度/y（cm） 4.2 5.97.6…（2）如果一辆自行车的链条（安装以后）共由60节链条组成，那么链条的总长度是(1)按此规律摆下去，第6个图案有多少个三角形即可求出第6个图案有多少个三角形；（2）由（1）中发现的规律，即可得出第n 个图案有多少个三角形；（3）将2022n =代入31n +即可求解．【详解】（1）第1个图案有4个三角形，即4311⨯＝＋第2个图案有7个三角形，即7321⨯＝＋第3个图案有10个三角形，即10331⨯＝＋第4个图案有13个三角形，即13341⨯＝＋第5个图案有16个三角形，即16351⨯＝＋第6个图案有19个三角形，即19361⨯＝＋（2）按此规律摆下去，第n 个图案有()31n +个三角形．（3）当2022n =时，316067n +=．答：第2022个图案有6067个三角形．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律是解题的关键．。
2024-2025学年七年级数学上册第4章整式的加减重难点[含答案]
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A． 3x2 y 与 3xy2
B． -2x2 y2 与 -2x
C． -3ab2 与 4b2a
D． 3a2 与 3b2
例2
6．若单项式 5x4 y 和 25xn+6 ym 是同类项，则 m + n2024 的值为
．
变式 1
7．下列运算正确的是（ ）
A． 5a + 3b = 8ab
B． 4a3 + 3a4 = 7a7
C． 9a2 - 6a2 = 3
D． 9a6b - 9ba6 = 0
变式 2
8．单项式 2 xm+5 y4-n 与 2 y3x3 的和仍是单项式，则 m + n = 2023
．
3
1. 1.去括号 （1）去括号法则： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_______；
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第 4 章整式的加减——重难点 内容范围：4.1~4.2
1.单项式与多项式的相关概念
相关概念 单项式
多项式
概念
数与字母的乘积 几个单项式的和
项数
只有一项
单项式的数量
系数
数字因数
每项的数字因数就是项的系数
次数
字母的指数和 最高项的次数
2.注意事项 （1）一个单项式（或多项式的项）中只含有字母因数，它的系数是 1 或者-1，不能认为是 0。 （2) 一个单项式（或多项式的项）是一个常数时，它的系数就是它本身。 （3）单项式（或多项式的项）的系数有正有负，确定一个单项式（或多项式的项）的系数，
系数相加
2.合并同类项的方法 一找，找出多项式中的________，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的______律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三合，将同一括号内的同类项______即可. 3.利用同类项求参 利用相同字母的指数相同建立方程，解方程就可以求出参数的值。
3华东师大版初中数学七年级上册精品教案.3 整式
3.3 整式【课程分析】本节课要求学生了解单项式、多项式、整式的概念,弄清它们与代数式之间的联系和区别,学会确定单项式和多项式的系数、次数及项,通过对单项式、多项式、整式概念的学习,培养学生观察、分析、归纳、概括的能力;学会将一个多项式按某个字母降幂或升幂排列,通过对多项式的升降幂排列提高学生的审美情操.【教材分析】1.地位与作用:单项式和多项式的概念以及升幂降幂排列是整式运算的起始课,学生已经学习了“有理数”和“字母表示数”,有了充分的认知前提;由此学习单项式及系数、次数、多项式的项数、次数等概念,它既是对前面所学知识的继续和拓展,更是随后学习合并同类项,整式的加减乘除运算、公式、乃至不等式、函数等数学知识最基本的基础,有着承上启下的作用.2.重点与难点:本节的重点是单项式的系数与次数及多项式的项与次数;能把一个多项式按某个字母进行升(降)幂排列;本书的难点是单项式的概念的建立,多项式次数的确定.【教法分析】单项式、单项式的系数、单项式的次数等概念是代数式中的几个基本概念、教学中要让学生理解单项式的系数包括它前面的符号;对于“单独的一个数或字母也是单项式”,教师不必作过多的解释,教材中的注意事项应结合具体例子先讲解,后总结,而不是作为教案把学生套住,讲解时对学生从正面予以强化,不要从反面予以否定;多项式的次数是一个难点,教学中,最好对比单项式的次数进行教学,让学生切实能将多项式的次数与单项式的次数区分开来,“升降幂的排列”的呈现,能培养学生的审美观,也有利于教师把握本节课的情感因素.教学中,教师应引导学生去发散思考,然后将思维聚合,在学生的思索中引入新知识,让学生体会到升(降)幂排列的可行性和必要性,教学时以启发谈话法为主,进行讲解及作用,达到掌握知识的目的.【学法分析】本节学习中要注意应通过观察,归纳、结合实例,对比理解单项式的系数与次数及多项式的项与次数,抓住概念的特征;在理解记住这些概念的同时,在解决问题时要有意识地联系这些概念,以这些概念为依据完成题目.3.3.1 单项式【教学目标】知识与技能1.使学生理解单项式及单项式系数、次数的概念,并会找出单项式的系数、次数.2.初步培养学生观察—分析和归纳—概括能力,使学生初步认识特殊与一般的辩证关系.过程与方法1.引导学生阅读教材,培养学生的自学能力.2.培养学生主动参与、积极交流的主体意识和乐于探索,勇于创新的科学精神.情感态度与价值观1.培养学生的探索精神.2.在平等的教学氛围中,通过学生之间,师生之间的交流合作与评价,拉近学生之间,师生之间的情感距离.【教学重难点】重点:理解单项式及单项式系数、次数的概念并会找出单项式的系数、次数.难点:识别单项式的系数与次数.【教学过程】一、创设情境,导入新课设计意图:通过现实与虚拟的故事引入,创设问题情境,引起学生的学习兴趣,引发学生思考.师:我国第一颗绕月卫星“嫦娥一号”发射成功之后,数学世界里很多成员也深受鼓舞,航天迷8a正准备召开会议,研讨不久后的探月计划,已入会场的有:100t,6a2,a3,2.5x,-n,vt,a,9,a,-3x2y等,但主持人却把-3a+b,拒之门外这是为什么呢?让学生思考讨论,归纳特点,教师可适当点拨.师:要求学生概括这些代数式的相同点,引出单项式的概念——数与字母的乘积组成的式子叫单项式.师:“9”是不是单项式?“a”是不是单项式?“0”是不是单项式?以引出单项式概念的补充——单个的数或字母也称为单项式.师:是不是单项式?2x+1和a-b是不是单项式?由此更深一步了解分母中含有字母的式子不是单项式;数字和字母之间由加减号连接的也不是单项式.现在你知道主持人为什么把-3a+b拒之门外了吧,因为这是一个单项式成员会议.二、推进新课设计意图:通过学生的自学讨论,再次对单项式的概念加深理解,同时对单项式的系数、次数有一个初步的认识.师:布置学生阅读教材95页概括中的一、二段.然后讨论回答以下几个问题:1.谈谈你对单项式的系数,次数的认识.2.单项式100t,6a2,a3,2.5x,-n,vt,a,-3x2y的系数,次数分别是什么?3.以上各单项式中,哪些是一次单项式,哪些是二次单项式,哪些是三次单项式?师:让学生指出识别单项式的系数时的注意点:①当单项式的系数是“1”或“-1”时,常可将“1”省略不写;②当系数是带分数时,应写成假分数;③计算次数时是所有字母的指数和;④系数的指数不能计算进去.学生回答以上问题时,教师注意引导学生的思路和发现当中的问题,当场发现,及时解决.教师出示教材例1,让学生独立完成,以加深巩固对单项式及单项式次数、系数的认识.三、巩固练习设计意图:通过练习,进一步巩固本节所学的知识,加深对单项式的系数和次数的理解,突出重点,分解难点.教师出示练习题:用单项式填空,并指出它们的系数和次数.(1)每包书有12册,n包书有册;(2)底边长为a,高为h的三角形面积是;(3)一个长方体的长和宽都是a,高是h,它的体积是;(4)一台电视机原价是a元,现按原价的9折出售,现在的售价是;(5)一个长方形的长是0.9,宽是a,这个长方形的面积是.学生完成后,教师根据反馈情况进行讲解.四、课堂小结设计意图:通过小结使学生对本节内容有一个完整的认识.最后提出问题,引发学生的课外思考.教师引导学生总结本课学习的内容,学生用自己的语言概括本课的内容,对单项式的概念、系数、次数等知识有清晰的认知和理解.师:用字母表示数,相同的字母在同一个式子中表示的意义相同,在不同的式子中可以有不同的含义.在上面的例子中,0.9a分别表示了售价和面积,你能赋予它其他的意义吗?五、课后作业你能用-2,字母x、y写出一个系数是-2的四次单项式吗?这样的式子有几个?【答案】能,这样的式子共有三个,分别是-2xy3,-2x2y2,-2x3y.【板书设计】一、创设情境,导入新课二、推进新课三、巩固练习四、课堂小结五、课后作业3.3.2 多项式3.3.3 升幂排列与降幂排列【教学目标】知识与技能1.掌握多项式的概念,进而理解整式的概念.2.掌握多项式的项数、次数的概念,并能熟练说出多项式的项数和次数.3.让学生了解什么是升幂排列和什么是降幂排列.4.使学生学会把一个多项式按某一字母作降幂或升幂排列.过程与方法1.通过具体的情景,发展学生的形象思维.2.通过观察、讨论、自主探究等形式,发展学生的抽象概括能力.3.通过对升、降幂排列的学习,培养学生的观察、探究能力,体会知识的系统性.情感态度与价值观1.通过交流,研讨活动,培养学生主动与他人合作的意识.2.通过学生对升、降幂排列的学习,提高学生的审美情操,培养学生的和谐审美观.【教学重难点】重点:1.多项式的概念及多项式的项数、次数的概念.2.把一个多项式按某一字母作降幂或升幂排列的方法.难点:1.多项式的次数.2.把多项式进行降、升幂排列依据的理解.【教学过程】一、创设情境,导入新课设计意图:通过问题引发学生的思考,培养学生观察、分析能力,激发学生的学习兴趣,自然引入本节课的内容.师:出示问题(多媒体显示):1.观察一列数1、4、9、16、25、…,第6个数是多少?第n个数呢?你能用含n的式子表示第n个数吗?生:思考后通过合作互助得出答案:第6个数是36,第n个数是n2.师:出示问题:2.观察一列数2、5、10、17、26、…、第6个数是多少?第n个数呢?你能用含n的式子表示第n个数吗?生:思考后,小组内合作得出答案:第6个数是37,第n个数是n2+1.师:我们知道,n2是一个单项式,而n2+1不是单项式,它属于哪一类代数式呢?师:让学生运用加法的交换律,任意交换多项式x2+x+1中各项的位置,看看可以得到哪些不同的排列方式.生:学生分组去完成,并通过交流得出完整的结论.共有六种不同的排列形式:x2+x+1,x2+1+x,x+x2+1,x+1+x2,1+x+x2,1+x2+x.师:在以上这些排列方式中,你认为哪几种比较整齐?生:经过选择得出:x2+x+1,1+x+x2.师:为什么这两种情况比较整齐,它们的排列有什么特点呢?这就是本节课我们要学习的内容.二、推进新课(一)多项式及多项式项数、次数的概念设计意图:通过问题引出多项式的概念,进而通过教师的导与学生的演很自然地得出多项式的项数、次数的概念;寓教于乐,增进师生的感情.师:出示问题,先填空,再看一看列出的式子有什么特点.列代数式:(1)长方形的长与宽分别为a、b,则长方形的周长是;(2)右图中阴影部分的面积为;(3)某班有男生x人,女生21人,则这个班的学生一共有人.生:自主得出结果,然后让学生公布答案:(1)2a+2b;(2)2ar-πr2;(3)x+21.师:以上各式显然不是单项式,它们和单项式有联系吗?生:讨论、交流、自由发言回答上面的问题.师:指出多项式的概念及相关的概念;每个单项式叫多项式的项,不含字母的项叫做常数项,一个多项式由几个单项式组成,我们就把它叫做几项式,如“2a+2b”是二项多项式.师:进一步引导学生探究多项式次数的概念.生:可以发挥自己的想象去探究给多项式的次数命名的方法,教师不必苛求学生怎样想,让学生大胆发言,只要能发挥他们的想象力即可.师:在这一过程教师可以引导,多项式的次数是不是也可以将所有的字母指数加在一块呢?如果字母多的话是不是太乱呢?如果这样的话我们是不是派个代表就行了,派谁当代表呢?引导学生说出,以次数最高项的次数作为代表.师:多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数,同单项式一样,一个多项式的次数是几,我们就称它为几次式,如“2x-3”可以叫一次二项式,2ar-πr2可以叫二次二项式.(二)例题(出示多媒体)设计意图:通过对例题的探究和讨论,进一步加深学生对多项式的项数和次数的理解,增进学生分析和解决问题的能力,加深学生对用字母表示数的意义的理解.例1 指出下列多项式的项和次数.(1)a3-a2b+ab2-b2;(2)3n4-2n2+1.学生独立完成,教师巡视.注意:多项式的每一项包括它前面的符号;多项式的次数不是所有的次数之和.例2 指出下列多项式是几次几项式.(1)x3-x+1;(2)x3-2x2y2+3y2.教师提问学生说出答案.教师指出:单项式和多项式统称整式.(三)升幂排列与降幂排列设计意图:通过观察归纳,获得数学经验和解决问题的方法,体会数学活动的探索性和创造性,通过自主学习探究,抽象概括升幂排列和降幂排列概念,理解掌握怎样把一个多项式进行升、降幂排列.师:(板书)升幂排列与降幂排列.师:任意交换多项式x2+x+1中各项的位置,可以得到6种不同的排列方式,在众多的排列方式中,像x2+x+1与1+x+x2这样的排列比较整齐.这两种排列有一个共同特点,那就是x的指数逐渐变小(或变大)的,这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来方便.因而我们常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母的指数大小顺序来排列.例如:把多项式5x2+3x-2x3-1按x的指数从大到小的顺序排列,写成:-2x3+5x2+3x-1,叫做这个多项式按字母x 的降幂排列;若按x的指数从小到大的顺序排列,写成:-1+3x+5x2-2x3,叫做这个多项式按字母x的升幂排列.生:结合教师的讲解,理解升、降幂排列,并说出在引例中的x2+x+1与1+x+x2分别是怎样排列的?师:让学生完成如下题目:(1)把多项式2πr-1+πr3-πr2按r升幂排列;(2)把多项式a3+b2-3a2b-3ab3重新排列:①按a升幂排列;②按a降幂排列;(3)把多项式-1+2πr2-x+x3y按x升幂排列.学生独立完成,然后组内交流评议.教师总结:(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动.(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂或降幂排列.三、课堂小结设计意图:进一步强化对多项式的概念的理解与掌握,通过小结使学生对本节课的内容有一个系统的认识和理解.通过小结进一步加深学生对降幂、升幂排列的理解,对本节内容有一个完整的认识.小结:说一说单项式、多项式、整式各有什么特点?它们三者之间的关系是怎样的?让学生谈谈自己对降、升幂排列的认识,以及在进行降、升幂排列时应注意的问题.四、课后作业1.(1)如果多项式-2a m b+2x2-1是一个四次三项式,那么m= ;(2)多项式-3x2y+2x2-1是一个次项式,其中常数项是,次数最高的项的次数是,二次项系数是.【答案】(1)3 (2)3 3 -1 3 22.下列说法正确的是( )A.a5-a3bc2+bc3是5次多项式B.数-1不是单项式C.-3(x+y)是单项式D.x+2是多项式【答案】D3.把多项式2a3b-4b2+5a2-3b3a重新按下列要求排列.(1)按a的降幂排列;(2)按b的升幂排列.【答案】(1)2a3b+5a2-3b3a-4b2;(2)5a2+2a3b-4b2-3b3a.【板书设计】一、创设情境,导入新课二、推进新课(一)多项式及多项式的项数、次数的概念(二)例题(三)升幂排列与降幂排列.三、课堂小结四、课后作业。
华师版七上数学精选找规律专题18道-附答案和考点详解
华师版七上数学精选找规律专题18道一．选择题（共6小题）1．观察图中正方形四个顶点所标的数字的规律，可知数2018应标在( )A ．第504个正方形的左下角B ．第505个正方形的左上角C ．第504个正方形的右下角D ．第505个正方形的右上角2．一根1m 长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下绳子的一半．如此剪下去，剪第8次后剩下的绳子的长度是( ) A ．61()2mB ．71()2mC ．81()2mD ．121()2m3．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有( )个〇．A ．6055B ．6056C ．6057D ．60584．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是( )A ．10B ．89C ．165D ．2945．观察下列各式：133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，⋯，你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：20203的个位数字是()A ．1B ．3C ．7D ．96．观察式子：3211=，332212(12)3+=+=，33322123(123)6++=++=，3333221234(1234)10+++=+++=，⋯，根据你发现的规律，计算3333335678910+++++的结果是( ) A ．2925B ．2025C ．3225D ．2625二．填空题（共4小题）7．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．8．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，⋯⋯，移动2019次后，该点所对应的数是 ．9．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，⋯叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为1a ，第二个三角数记为2a ⋯，第n 个三角数记为n a ，计算12a a +，23a a +，34a a +，⋯由此推算399400a a += ．10．填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是 ．三．解答题（共8小题）11．观察下列等式的规律，解答下列问题：1122()212a =+，2122()223a =+，3122()234a =+，4122()245a =+，⋯⋯． （1）第5个等式为 ；第n 个等式为 （用含n 的代数式表示，n 为正整数）； （2）设112S a a =-，234S a a =-，356S a a =-，⋯⋯，100820152016S a a =-．求1231008S S S S +++⋯⋯+的值．12．如图，将连续的奇数1，3，5，7⋯按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2)分别用a，b，c，d，x表示．（1）若17x=，则a b c d+++=．（2）移动十字框，用x表示a b c d+++=．（3）设M a b c d x=++++，判断M的值能否等于2020，请说明理由．13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题21342+==213593++==21357164+++==213579255++++==（1）试猜想13579..19++++++=；试猜想13579922222++++⋯+=；（2）试猜想13579(21)(21)(23)n n n+++++⋯+-++++=；（3）写出过程，请用上述规律计算出最后数值并用科学记数法表示100110031005..19971999+++++．14．观察下面三行数：2-，4，8-，16，32-，64 ⋯①0，6，6-，18，30-，66⋯②1-，2，4-，8，16-，32⋯③（1）第①行数按什么规律排列？（2）第②③行数与第①行数有什么关系？ （3）取每行数的第十个数，计算这三个数的和．15．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是 ； （2）如果继续分割下去，部分的面积为 ；（3）受此启发，请你求出711112482+++⋯+的值．16．探究与应用： 观察下列各式： 13+=2135++= 21357+++= 213579++++= 2⋯⋯问题：（1）在横线上填上适当的数；（2）写出一个能反映此计算一般规律的式子；（3）根据规律计算：(1)(3)(5)(7)(2019)-+-+-+-+⋯+-．（结果用科学记数法表示） 17．小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：1132321123232323236--=-===⨯⨯⨯⨯，反之，这个式子仍然成立，即：1132321162323232323-===-=-⨯⨯⨯⨯ （1）问题发现 观察下列等式：①1212111121212122-==-=-⨯⨯⨯⨯， ②13232112323232323-==-=-⨯⨯⨯⨯， ③14343113434342334-==-=-⨯⨯⨯⨯，⋯， 猜想并写出第n 个式子的结果：1(1)n n =+ ．（直接写出结果，不说明理由） （2）类比探究将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯，类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果：①111112233420192020+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ ； ②1111122334(1)n n +++⋯+=⨯⨯⨯+ ； （3）拓展延伸 计算：1111133********+++⋯+⨯⨯⨯⨯． 18．某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： （1）当有n 张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？（2）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？华师版七上数学精选找规律专题18道参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．观察图中正方形四个顶点所标的数字的规律，可知数2018应标在( )A ．第504个正方形的左下角B ．第505个正方形的左上角C ．第504个正方形的右下角D ．第505个正方形的右上角【分析】根据数字在图形上的变化，寻找规律即可求解． 【解答】解：观察图形的数字的变化规律，可知 (101)423+÷=⋯∴数10应标在第3个正方形的左上角；(141)433+÷=⋯∴数14应标在第4个正方形的左上角；⋯(20181)45043+÷=⋯∴数2018应标在第505个正方形的左上角；故选：B ．【点评】本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 2．一根1m 长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下绳子的一半．如此剪下去，剪第8次后剩下的绳子的长度是( ) A ．61()2mB ．71()2mC ．81()2mD ．121()2m【分析】根据题意归纳总结得到一般性规律，确定出所求即可． 【解答】解：第一次剪去全长的12，剩下全长的12， 第二次剪去剩下的12，剩下全长的2111222⨯=， 第三次再剪去剩下的12，剩下全长的23111222⨯=，如此剪下去，第8次后剩下的绳子的长为8881111()()222m ⨯==． 故选：C ．【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．3．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有( )个〇．A ．6055B ．6056C ．6057D ．6058【分析】设第n 个图形有n a 个〇(n 为正整数），观察图形，根据各图形中〇的个数的变化可找出“13(n a n n =+为正整数）”，再代入2019a =即可得出结论． 【解答】解：设第n 个图形有n a 个〇(n 为正整数），观察图形，可知：1131a =+⨯，2132a =+⨯，3133a =+⨯，4134a =+⨯，⋯， 13(n a n n ∴=+为正整数）， 20191320196058a ∴=+⨯=．故选：D ．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中〇的个数的变化找出变化规律“13(n a n n =+为正整数）”是解题的关键．4．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是( )A ．10B ．89C ．165D ．294【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为05，右边第2位的计数单位为15，右边第3位的计数单位为25，右边第4位的计数单位为35⋯⋯依此类推，可求出结果． 【解答】解：321025153545294⨯+⨯+⨯+⨯=， 故选：D ．【点评】本题考查用数字表示事件，理解“逢五进一”的计数规则是正确计算的前提． 5．观察下列各式：133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，⋯，你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：20203的个位数字是() A ．1B ．3C ．7D ．9【分析】根据题意可得出尾数每4个一循环，进而求出答案．【解答】解：133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，⋯，∴尾数每4个一循环，3，9，7，1，20204505÷=，20203∴的个位数字是：1．故选：A ．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的乘方，尾数特征，观察得到每4个数为一个循环组依次进行循环是解题的关键．6．观察式子：3211=，332212(12)3+=+=，33322123(123)6++=++=，3333221234(1234)10+++=+++=，⋯，根据你发现的规律，计算3333335678910+++++的结果是( ) A ．2925B ．2025C ．3225D ．2625【分析】根据题意找到规律：3333322(1)1234(1234)[]2n n n n ++++⋯+=++++⋯+=即可．【解答】解：3211=，332212(12)3+=+=， 33322123(123)6++=++=， 3333221234(1234)10+++=+++=，⋯，3333321234(1234)n n ∴+++⋯+=++++⋯+， 3333335678910+++++333333333(123410)(1234)=+++⋯+-+++ 22(123410)(1234)=++++⋯+-+++ 2210(101)4(41)[][]22⨯+⨯+=-225510=- 2925=．故选：A ．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 二．填空题（共4小题）7．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 41n + 个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，然后写出第n 个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可．【解答】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5219⨯-=， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为53213⨯-=，⋯，第n 个图案涂有阴影的小正方形的个数为5(1)41n n n --=+． 故答案为：41n +．【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多4个基础图形”是解题的关键．8．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，⋯⋯，移动2019次后，该点所对应的数是 1010 ．【分析】先表示出前6次移动后所对应的数，从而得出第n 次移动后，若n 为偶数，则对应的点表示的数为2n-，若n 为奇数，则对应的点表示的数为12n +，据此求解可得．【解答】解：第1次移动后对应的数为1， 第2次移动后对应的数为1-， 第3次移动后对应的数为2， 第4次移动后对应的数为2-， 第5次移动后对应的数为3， 第6次移动后对应的数为3-，⋯⋯∴第n 次移动后，若n 为偶数，则对应的点表示的数为2n -； 若n 为奇数，则对应的点表示的数为12n +， 当2019n =时，该点所对应的数为2019110102+=， 故答案为：1010．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据前几次的移动得出第n 次移动后，若n 为偶数，则对应的点表示的数为2n -，若n 为奇数，则对应的点表示的数为12n +的规律．9．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，⋯叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为1a ，第二个三角数记为2a ⋯，第n 个三角数记为n a ，计算12a a +，23a a +，34a a +，⋯由此推算399400a a += 51.610⨯或160000 ．【分析】首先计算12a a +，23a a +，34a a +的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论． 【解答】解：21242a a +==；2233693a a +=+==；234610164a a +=+==；⋯∴21(1)n n a a n ++=+；∴25399400400160000 1.610a a +===⨯．故答案为：51.610⨯或160000．【点评】本题考查的是规律发现，根据计算12a a +，23a a +，34a a +的值可以发现规律为21(1)n n a a n ++=+，发现规律是解决本题的关键．10．填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是 184 ．【分析】正方形中的四个数字之间具有的规律是：左下方格中的数字比左上方格中的数字大2，右上方格中的数字比左上方格中的数字大4，且左下方格中的数字与右上方格中的数字的乘积等于左上方格中的数字与右下方格中数字的和．利用此规律结论可求． 【解答】解：依据正方形中的四个数字之间具有的规律，可得：131511m ⨯=+， 184m ∴=．故答案为：184．【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确发现数字的规律是解题的关键．三．解答题（共8小题）11．观察下列等式的规律，解答下列问题：1122()212a =+，2122()223a =+，3122()234a =+，4122()245a =+，⋯⋯． （1）第5个等式为122()256+ ；第n 个等式为 （用含n 的代数式表示，n 为正整数）； （2）设112S a a =-，234S a a =-，356S a a =-，⋯⋯，100820152016S a a =-．求1231008S S S S +++⋯⋯+的值．【分析】（1）根据规律写出结论，再将第n 个式子化简；（2）分别计算112S a a =-，234S a a =-，356S a a =-，⋯⋯，100820152016S a a =-．再代入所求式子，可得结论．【解答】解：（1）由题意得：5122()256a =+；122()21n a n n ∴=++；故答案为：122()256+，122()21n n ++；（2）由（1）可知111n a n n =++， 1121111(1)()12233S a a ∴=-=+-+=-，234111111()()344535S a a =-=+-+=-，356111111()()566757S a a =-=+-+=-，⋯⋯⋯1008201520161111()()2015201620162017S a a =-=+-+ 1120152017=-， 1231008S S S S ∴+++⋯+，1111111(1)()()()3355720152017=-+-+-+⋯+-，112017=-， 20162017=． 【点评】此题考查数字的变化规律，利用数字之间的联系与运算的方法，得出规律，进一步利用规律，解决问题．12．如图，将连续的奇数1，3，5，7⋯按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2)分别用a ，b ，c ，d ，x 表示． （1）若17x =，则a b c d +++= 68 ． （2）移动十字框，用x 表示a b c d +++= ．（3）设M a b c d x =++++，判断M 的值能否等于2020，请说明理由．【分析】观察图1，可知：12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+． （1）当17x =时，找出a 、b 、c 、d 的值，将其相加即可求出结论；（2）由12a x =-、2b x =-、2c x =+、12d x =+，即可求出a b c d +++的值；（3）根据2020M =，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出x 的值，由x 为偶数即可得出M 不能为2020．【解答】解：观察图1，可知：12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+． （1）当17x =时，5a =，15b =，19c =，29d =， 515192968a b c d ∴+++=+++=．故答案为：68．（2）12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+， (12)(2)(2)(12)4a b c d x x x x x ∴+++=-+-++++=．故答案为：4x ．（3）M 的值不能等于2020，理由如下： 令2020M =，则42020x x +=， 解得：404x =． 404是偶数不是奇数，∴与题目x 为奇数的要求矛盾，M ∴不能为2020．【点评】本题考查了规律型中数字的变化类以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）将a 、b 、c 、d 四个数相加；（2）观察图1，用含x 的代数式表示出a 、b 、c 、d ；（3）由2020M =，列出关于x 的一元一次方程．13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题 21342+== 213593++== 21357164+++== 213579255++++==（1）试猜想13579..19++++++= 100 ； 试猜想13579922222++++⋯+= ； （2）试猜想13579(21)(21)(23)n n n +++++⋯+-++++= ； （3）写出过程，请用上述规律计算出最后数值并用科学记数法表示 100110031005..19971999+++++．【分析】（1）根据题目中数字的特点，可以求得所求式子的值； （2）根据题目中式子的特点可以求得所求式子的值； （3）根据题目中的例子和式子的特点可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）213579..1910100++++++==，2135799135995012502222222+++⋯+++++⋯+===， 故答案为：100，1250；（2）2223113579(21)(21)(23)()(2)2n n n n n +++++++⋯+-++++==+， 故答案为：2(2)n +；（3）100110031005..19971999+++++ (1351999)(135999)=+++⋯+-+++⋯+ 22199919991()()22++=-221000500=-(1000500)(1000500)=+⨯- 1500500=⨯ 750000=57.510=⨯．【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、科学记数法，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． 14．观察下面三行数：2-，4，8-，16，32-，64 ⋯①0，6，6-，18，30-，66⋯②1-，2，4-，8，16-，32⋯③（1）第①行数按什么规律排列？ （2）第②③行数与第①行数有什么关系？（3）取每行数的第十个数，计算这三个数的和．【分析】（1）观察可看出第一行的数分别是2-的一次方，二次方，三次方，四次方⋯且奇数项是负数，偶数项是正数，用式子表示规律为：(2)n -；（2）观察可知，第②行数比第①行相对应的数大2；第③行数是第①行相对应的数的12； （3）根据规律分别求得第10个数的值，再求其和即可． 【解答】解：（1）(2)n -；（2）第②③行数与第①行数的关系为：第②行数比第①行相对应的数大2；第③行数是第①行相对应的数的12； （3）第一行的第十个数为：1024； 第二行的第十个数为：1026； 第三行的第十个数为：512； 102410265122562++=．故这三个数的和为：2562．【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，做此类题要求学生对给出的条件仔细观察从而找出规律．15．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是164； （2）如果继续分割下去，部分的面积为 ；（3）受此启发，请你求出711112482+++⋯+的值．【分析】（1）根据图形和题意，可以得到阴影部分的面积；（2）根据图形和题意，可以得到部分的面积；（3）根据图形和题目中式子的特点，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：（1）由题意可得， 阴影部分的面积是：611()264=，故答案为：164； （2）由题意可得， 部分的面积为：1()2n ，故答案为：1()2n ；（3）711112482+++⋯+ 7112=-77212-= 1281128-=127128=． 【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． 16．探究与应用： 观察下列各式： 13+= 22135++= 21357+++= 213579++++= 2⋯⋯问题：（1）在横线上填上适当的数；（2）写出一个能反映此计算一般规律的式子；（3）根据规律计算：(1)(3)(5)(7)(2019)-+-+-+-+⋯+-．（结果用科学记数法表示） 【分析】（1）根据从1开始连续n 个奇数和等于奇数的个数n 的平方即可得；（2）根据以上所得规律列式表示即可； （3）先提取负号，再利用所的规律求解可得． 【解答】解：（1）2132+= 21353++= 213574+++= 2135795++++=⋯⋯故答案为：2、3、4、5；（2）第n 个等式为21357(21)n n ++++⋯++=； （3）原式(135792019)=-+++++⋯+ 21004=-61.00801610=-⨯．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出从1开始连续n 个奇数和等于奇数的个数n 的平方的规律．17．小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：1132321123232323236--=-===⨯⨯⨯⨯，反之，这个式子仍然成立，即：1132321162323232323-===-=-⨯⨯⨯⨯ （1）问题发现 观察下列等式： ①1212111121212122-==-=-⨯⨯⨯⨯， ②13232112323232323-==-=-⨯⨯⨯⨯， ③14343113434342334-==-=-⨯⨯⨯⨯，⋯， 猜想并写出第n 个式子的结果：1(1)n n =+ 111n n -+ ．（直接写出结果，不说明理由） （2）类比探究将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯，类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果：①111112233420192020+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ ； ②1111122334(1)n n +++⋯+=⨯⨯⨯+ ； （3）拓展延伸 计算：1111133********+++⋯+⨯⨯⨯⨯． 【分析】（1）根据题目中的式子可以写出第n 个式子的结果；（2）①根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值； ②根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值； （3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）由题目中的式子可得， 111(1)1n n n n =-++， 故答案为：111n n -+； （2）①111112233420192020+++⋯+⨯⨯⨯⨯ 111111112233420192020=-+-+-+⋯+-112020=- 20192020=， 故答案为：20192020； ②1111122334(1)n n +++⋯+⨯⨯⨯+ 11111111223341n n =-+-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1nn =+， 故答案为：1nn +； （3）1111133********+++⋯+⨯⨯⨯⨯ 11111111(1)23355799101=⨯-+-+-+⋯+-11=⨯-(1)21011100=⨯210150=．101【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值．18．某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？（2）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？【分析】能够根据桌子的摆放发现规律，然后进行计算判断．【解答】解：（1）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．即有n张桌子时是64(1)42+-=+．n n第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即62(1)24n n+-=+．（2）中，分别求出两种对应的n的值，或分别求出25n=时，两种不同的摆放方式对应的人数，即可作出判断．打算用第一种摆放方式来摆放餐桌．因为，当25⨯+=>n=时，425210298当25n=时，22545498⨯+=<所以，选用第一种摆放方式．【点评】关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．。
华东师大版数学七年级上册3.3《整式》要点梳理
华东师大版数学七年级上册3.3《整式》要点梳理《整式》要点梳理1．单项式（1）概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：2x 可以看成12x ?，所以2x 是单项式；而2x 表示2与x 的商，所以2x 不是单项式，凡是分母中含有字母的就一定不是单项式.（2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如：212x y -的系数是12-；2r π的系数是2.π 注意：①单项式的系数包括其前面的符号；②当一个单项式的系数是1或1-时，“1”通常省略不写，但符号不能省略. 如：23,xy a b c -等；③π是数字，不是字母.（3）次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.注意：①计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1的情况. 如322xy z 的次数为1326++=，而不是5；②切勿加上系数上的指数，如522xy 的次数是3，而不是8；322x y π-的次数是5，而不是6.2．多项式（1）概念：几个单项式的和叫做多项式.其含义是：①必须由单项式组成；②体现和的运算法则.（2）项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如：2231x y --共含有有三项，分别是22,3,1x y --，所以2231x y --是一个三项式.注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是1-，而不是1.（3）次数（拓展）：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数. 注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式2242235x y x y xy -+中，222x y 的次数是4，43x y -的次数是5，25xy 的次数是3，故此多项式的次数是5，而不是45312++=.3．整式（1）整式的定义：单项式和多项式统称做整式.事实上，单项式是不含加减运算的整式，多项式是含加减运算的整式．值得注意的是整式含有对字母加法、减法、乘法运算，不含有对字母的除法运算．如果一个整式的项中含有分母，分母中决不能含有字母存在．如21x y 4-、224a 3ab 2b -+是整式，而1x 、25a b -+就不是整式．因为后者的分母中含有字母．（2）整式的判别判别一个代数式是不是整式，应考虑这个代数式是不是单项式，或者是不是多项式．如果它既不是单项式又不是多项式，那么这一定不是整式．如22x 、0、23xy z 是单项式，4327x 6x 5x 4x 3 -+-+、2a 3b4+、1x +是多项式，所以它们都是整式．而a bc 、x3y z +-既不是单项式又不是多项式，所以它们都不是整式．4．降幂排列与升幂排列（1）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.（2）升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.注意：①降（升）幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；②把一个多项式按降（升）幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；③在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多项式24423332xy x y x y x y ----按x 的升幂排列为：42233432y xy x y x y x -+---；按y的降幂排列为：42323432y x y xy x y x --+--.。
2019年秋七年级数学华东师大版上册课件：第3章 微专题3 整式中的规律探究 (共15张PPT)
(1)下表是 2016 年 5 月 18 日生产的某饼干包装袋的部分说明：
商品名称 ××饼干
配料
小麦粉、白砂糖、精炼植物油、鸡蛋、食盐、食品添加剂 (碳酸氢钠、柠檬酸等)
规格 180g
保质期 10 个月
请回答下列问题： ①饼干的配料中，富含蛋白质的是 鸡蛋 ，其中能为人体提供能量的有 4 种；
该饼干目前已不宜再食用，原因是 已过保质期 。 ②碳酸氢钠俗称 小苏打 ；在医疗上，它是治疗 胃酸过多 症的一种药剂。
解：(1)－2516x2y8，它是 10 次单项式； (2)(－1)n＋121nx2yn，系数为(－1)n＋121n，次数为(n＋ 2)．
类型 3 代数式求值在探究规律中的应用 6. 你能很快计算出 20152 吗？为了解决这个问 题，我们来考察个位为 5 的自然数的平方，任意一个 个位为 5 的自然数都可以写成 10n＋5 的形式，于是原 题即求(10n＋5)2 的值．n 为自然数，分析 n＝1，n＝2， n＝3，……这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、 猜想得出结论．
第3章 整式的加减 微专题3 整式中的规律探究
专题解读 本章教材 P90“问题”中列举了座位排列规律的探 究问题，它既是整式应用的例子，又是培养探究思维 能力的好题材．生活中也有很多几何图形的探究规律 问题．几何图形要从图形大小(周长、面积)以及相邻图 形的关系等组成图形的基本元素入手，数表式子的变 化要注意数式的本身，从特例分析，经过归纳、总结、 验证等步骤，发现和总结规律．
2．常见的有机高分子化合物有 淀粉 、 蛋白质 等；常见的天然有机高分子材料 有 棉花 、 羊毛 和天然橡胶；日常生活中用得最多的合成材料有 塑料 、 合成纤维 和合成橡胶等。
3． 热塑性 塑料可以反复加工，多次使用； 热固性 塑料一经加工成型受热也不 再熔化，不能反复加工。
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难点探究专题：整式中的规律探究（选做）
——从特殊到一般，探寻多方规律
◆类型一 整式规律探究 一、有规律的一列数
1.（雅安模拟）已知一组数：1，3，5，7，9，…按此规律，第n 个数是 .【方法11①】
2.观察下列一组数：32，1，710，917，11
26，…它们是按一定规律排列的，那
么这组数的第n 个数是 （n 为正整数）. 二、有规律的一列单项式
3.有一组单项式：a 2，－a 32，a 43，－a 54，a
6
5
，…则第10个单项式是 ，
第n 个单项式是 .
4.（临沂中考）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第个单项式是【方法11①】（ ） A.x B.4029x C.4029x D.4031x 三、数的循环规律或式中的规律
5.（河南模拟）如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…按照上述规律弹到第个音符
是 Ｗ.
6.（滨州中考）观察下列式子：
1×3＋1＝22；
7×9＋1＝82；
25×27＋1＝262；
79×81＋1＝802；
…
可猜想第个式子为________________________________________________.
四、数表中的规律
7.（邵阳中考）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y
与n之间的关系是（）
A.y＝2n＋1
B.y＝2n＋n
C.y＝2n＋1＋n
D.y＝2n＋n＋1
8.（重庆校级月考）观察下面一组数：－1，2，－3，4，－5，6，－7，…将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，则第11行中从左边数第10个数是（）
A.－110
B.110
C.－111
D.111
◆类型二图形规律探究
9.（宁波中考）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图
案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒……按此规律，图案⑦需根火柴棒.【方法11②】
10.按如下规律摆放三角形：
（1）第4堆三角形的个数为；
（2）第n堆三角形的个数为.【方法11②】
11.如图，将一组正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到个小正方形，则需要操作的次数是.
12.（安徽模拟）如图是用棋子摆成的图案：
根据图中棋子的排列规律解决下列问题：
（1）第4个图中有颗棋子，第5个图中有颗棋子；
（2）写出你猜想的第n 个图中棋子的颗数（用含n 的式子表示）是 . 参考答案与解析 1．2n －1
2.2n ＋1n 2＋1 解析：1＝55，这样分子为去掉1后的一列奇数，即2n ＋1，而分母为2＝12＋1，5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，26＝52＋1，即第n 个数的分母为n 2
＋1.故填2n ＋1n 2＋1
.
3．－a 1110 (－1)n ＋1
·a n ＋1n
4．C 解析：第n 个单项式为(2n －1)x n . 5．4
6．(3－2)×3＋1＝(3－1)2
7．B 解析：因为观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n ，右边三角形的数字规律为2，22，…，2n ，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n ＋2n ，所以y ＝2n ＋n. 8．B 9.50 10.(1)14个 (2)(3n ＋2)个
11．671 解析：图形中小正方形个数依次为4＝1＋3×1，7＝1＋3×2，10＝1＋3×3，…故第n 次操作共有(3n ＋1)个小正方形，所以3n ＋1＝，得n ＝671.
12．(1)22 32 (2)n(n ＋1)＋2。